2025-2026学年酬乐天扬州教学设计数学

2025-2026学年酬乐天扬州教学设计数学科目授课班级授课教师课时安排授课题目教学准备课程基本信息：一、课程基本信息1.课程名称：二次函数的应用——最优化问题。2.教学年级和班级：九年级（2）班。3.授课时间：2025年9月20日下午第2节课。4.教学时数：1课时（45分钟）。核心素养目标：二、核心素养目标1.数学建模：能将实际问题（如利润最大化、面积最值）抽象为二次函数模型，体会数学与实际问题的联系。2.逻辑推理：通过分析变量间的关系，推导二次函数最值的求解方法，培养严谨的推理能力。3.数学运算：熟练运用配方法或公式法求二次函数最值，提升运算的准确性和效率。4.数据分析：从实际问题中提取关键数据，建立函数关系，增强数据意识和应用意识。学习者分析： 三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：九年级学生已掌握二次函数的定义、图像性质、顶点公式及配方法，能求解简单二次函数的最值问题，与课本中二次函数的应用单元一致，具备基础建模能力。2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对实际问题如利润最大化兴趣浓厚，能力上多数能进行基本运算，但建模能力参差不齐；学习风格偏好视觉辅助和小组合作，动手实践积极性高。3.学生可能遇到的困难和挑战：在将实际问题转化为函数模型时易混淆变量，建立关系时忽略约束条件，求最值时计算错误或应用配方法不熟练，影响解题效率。教学资源：1.软硬件资源：计算机、投影仪、图形计算器、白板、实物模型。

2.课程平台：学校在线学习管理系统。

3.信息化资源：二次函数动画视频、Excel建模模板、PPT课件、数学软件GeoGebra。

4.教学手段：小组合作学习、实物演示、课堂练习卡。教学过程：**环节1：情境导入，激发探究（5分钟）**

师：同学们，今天商店老板遇到一个难题：一款玩具进价40元，售价60元时每天能卖30件。如果每涨价1元，销量就减少1件。老板想调整售价使利润最大，你们能帮他算算吗？请用第二人称思考：如果你是老板，会怎么调整价格？

生：涨价可能赚更多，但涨价太多又没人买……需要算清楚涨价多少最划算。

师：说得好！这就是我们今天要解决的问题——如何用数学方法找到最优价格。翻开课本PXX页，看看例题1的解题思路，我们一起来建模。

**环节2：模型构建，师生共探（10分钟）**

师：设涨价x元，售价变为多少？销量呢？

生：售价是60+x元，销量是30-x件。

师：利润=售价×销量，对吗？请写出利润y与x的关系式。

生：y=(60+x)(30-x)。

师：展开看看！

生：y=1800+30x-60x-x²=-x²-30x+1800。

师：观察这个函数，它是什么类型？开口方向如何？

生：二次函数，开口向下，有最大值！

师：太棒了！这就是用数学建模解决实际问题的第一步——把文字题转化为函数式。

**环节3：方法探究，突破难点（15分钟）**

师：求最大值有几种方法？配方法还是顶点公式？

生：两种都可以！

师：先用配方法试试：y=-x²-30x+1800，提取负号得y=-(x²+30x)+1800。

生：要配成完全平方，x²+30x需要加225，因为(15)²=225！

师：对！所以y=-(x²+30x+225-225)+1800=-(x+15)²+2025。

生：最大值是2025元，当x=-15时？

师：等等，x=-15是什么意思？

生：降价15元？但进价40元，售价不能低于40啊！

师：发现关键问题了！实际问题中x有范围限制——售价≥进价，即60+x≥40，得x≥-20；同时销量≥0，30-x≥0，得x≤30。所以x∈[-20,30]。

生：x=-15在范围内，但降价15元售价45元，利润2025元？比原来1800元高！

师：很好！现在用顶点公式验证：顶点横坐标x=-b/2a=-(-30)/2×(-1)=-15，结果一致。

**环节4：分层练习，巩固应用（10分钟）**

师：完成课本PXX页练习1：用矩形围菜园，一边靠墙，另三边用总长40米篱笆。如何设计使面积最大？

生：设垂直墙的边长为x米，则平行墙的边长为40-2x，面积S=x(40-2x)=-2x²+40x。

师：顶点横坐标x=-b/2a=-40/2×(-2)=10米。

生：S最大=10×20=200平方米！

师：练习2（提升）：某商品进价100元，售价150元时日销20件。每降1元多卖2件，求最大利润。

生：设降价x元，售价150-x，销量20+2x，利润y=(150-x)(20+2x)=-2x²+100x+3000。顶点x=-100/2×(-2)=25元。

生：最大利润y=125×70=8750元！

师：挑战题（拓展）：若要求利润不低于8000元，x的取值范围？

生：解不等式-2x²+100x+3000≥8000，得2x²-100x+5000≤0，判别式Δ=10000-40000<0，无解？

师：分析错误！实际利润函数y=-2x²+100x+3000，顶点值8750>8000，说明存在区间满足。重新计算：

生：解-2x²+100x+3000≥8000→2x²-100x-5000≤0→x²-50x-2500≤0，根为[25±√(625+10000)]/2=[25±103]/2，取x∈[-39,64]，结合实际x≥0且销量20+2x≥0，得x∈[0,64]。

**环节5：总结升华，联系实际（5分钟）**

师：今天我们用二次函数解决了哪些实际问题？

生：商品定价、面积优化、利润控制……

师：核心步骤是什么？

生：设变量→列函数→求最值→考虑定义域！

师：对！课本强调"实际问题必须检验定义域"。生活中处处有最优化问题，比如手机续航、交通调度，课后观察生活，用今天的方法解决一个实际问题！

**板书设计**

```

二次函数最值应用

1.模型建立：y=(售价)(销量)→二次函数

2.求最值：配方法/顶点公式

3.关键：定义域约束（售价≥进价，销量≥0）

例：利润y=-x²-30x+1800，x∈[-20,30]

顶点x=-15，y_max=2025元

```拓展与延伸：1.拓展阅读材料

（1）《数学史话：最优化问题的起源》

介绍17世纪约翰·伯努利提出的最速降线问题，以及欧拉、拉格朗日等数学家如何用变分法解决优化问题，说明二次函数最值在近代数学发展中的基础作用。

（2）《生活中的二次函数：抛物线运动》

结合物理知识，分析篮球投篮轨迹（y=-0.02x²+1.5x+2）、喷泉水柱高度（h=-5t²+20t）等实例，说明二次函数在描述抛物线运动中的应用。

（3）《经济学中的边际分析》

解释企业生产中边际成本（MC=3Q²-12Q+50）与边际收益（MR=100-2Q）的平衡点，通过求MR=MC时的产量Q，体现二次函数在利润最大化中的实际价值。

（4）《几何最值问题精选》

收录课本PXX页习题拓展：用总长20米的篱笆围矩形鸡舍，靠墙设计时如何使面积最大？对比四边形与三角形围栏的最优方案，强化约束条件下函数建模能力。

2.课后自主探究任务

（1）基础巩固题

某商店销售T恤，进价50元，售价80元时日销30件。每涨价1元少卖2件，每降价1元多卖3件。求：①售价定为多少时日利润最大？②若要求利润不低于1000元，售价范围是多少？

（2）跨学科应用题

小明用长40cm的铁丝制作矩形框架，框架一边固定在墙上。设垂直墙的边长为xcm，则平行墙的边长为(40-2x)cm。①求面积S与x的函数关系式；②当x为何值时面积最大？最大值是多少？

（3）挑战创新题

某农场计划用120米篱笆围成矩形种植区，一边靠墙。若墙长不超过50米，求：①如何设计使面积最大？②若在种植区内划分两个小矩形（用篱笆隔开），如何分配可使总面积最大？

（4）生活实践题

记录家庭一周用电量（y度）与气温（x℃）的关系，尝试用二次函数y=ax²+bx+c拟合数据，分析气温对用电量的影响，预测极端天气下的用电需求。

（5）数学建模任务

调查本地某商品近半年价格与销量数据，建立利润函数模型，计算最优定价，并分析市场波动对利润的影响，撰写200字数学建模报告。反思改进措施：七、反思改进措施（一）教学特色创新1.生活化情境贯穿始终，用商店利润、菜园围栏等贴近学生生活的实际问题导入，有效激发建模兴趣，与课本二次函数应用章节高度契合。2.分层任务设计精准，从基础练习到挑战创新题，兼顾不同层次学生需求，确保全员参与深度学习。（二）存在主要问题1.建模过程时间把控不足，部分学生从文字题到函数转化的耗时较长，影响后续练习效率。2.个别学生对定义域约束条件理解不深，如忽略售价≥进价等实际限制，导致最值结果脱离实际。（三）改进措施1.预留学生独立建模时间，增加“小组互评”环节，通过同伴互助加速转化过程，重点突破“设变量—列关系式”难点。2.设计专项错题分析课，收集典型错误案例（如忽略定义域），结合课本例题对比讲解，强化“实际问题必须检验定义域”的意识。教学评价与反馈：八、教学评价与反馈1.课堂表现：学生参与度高，情境导入环节积极思考利润调整策略，90%学生能正确设变量并建立函数关系式，建模意识显著提升；方法探究中配方法与顶点公式应用熟练，但15%学生展开函数时符号易出错，需加强运算细节训练。2.小组讨论成果展示：基础组顺利完成课本PXX页练习1，正确求出矩形菜园最大面积；提升组在利润题中准确分析定义域约束，如售价≥进价条件；拓展组创新提出“分区域定价”思路，体现应用迁移能力。3.随堂测试：采用课本例题变式（商品定价最值），85%学生独立完成建模与最值求解，20%学生忽略销量非负条件，暴露定义域检验薄弱环节，需针对性强化。