专题三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换期末复习讲义13大重难题型+3阶分层过关高一数学上学期人教A版

专题09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律9.1角的概念推广与弧度制能理解任意角的概念，掌握角度与弧度的互化，并能计算弧长与扇形面积。基础概念题，常与后续三角函数结合考查。9.2任意角的三角函数定义（单位圆定义与坐标定义）能根据角终边上点的坐标或单位圆上的点求三角函数值。定义理解题，易错在于符号判断。9.3同角三角函数的基本关系（sin²θ+cos²θ=1，tanθ=sinθ/cosθ）能利用同角关系进行求值、化简和证明。高频计算题，常与齐次式结合考查。9.4诱导公式的理解与应用（奇变偶不变，符号看象限）能利用诱导公式化简三角函数式或求值。必考点，符号判断是易错点。9.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式能熟练运用公式进行化简、求值与证明。中档题，公式记忆与变形是关键。9.6二倍角公式及其变形能利用二倍角公式进行化简、求值与证明。常与三角恒等变换综合考查。9.7简单的三角恒等变换（辅助角公式、降幂公式）能将

asinx+bcosx

化为

Rsin(x+φ)

形式，或利用降幂公式化简。中档难点，常见于解答题中。9.8三角函数式的化简与求值能综合运用各种公式进行三角函数式的化简与求值。综合性较强，常作为中等解答题出现知识点01特殊角的三角函数值知识点02同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：知识点03正弦的和差公式，知识点04余弦的和差公式，知识点05正切的和差公式，知识点06正弦的倍角公式 知识点07余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点08正切的倍角公式知识点09推导公式知识点10辅助角公式，，其中，题型一终边相同的角【典例1】（24-25高一上·山西·期末）与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）下列各角中，与终边相同的角是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一下·四川成都·月考）与角终边相同的角的集合是（

）A． B．C． D．题型二象限角与轴线角【典例1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【变式1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角，那么的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式2】（24-25高一上·宁夏固原·期末）若是第三象限角，则是（

）A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．题型三扇形中的弧长与面积公式【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26高一上·全国·期末）如图所示的图形形似水滴，它是由线段和圆的优弧围成的，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（

）

A． B． C． D．【变式1】（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（

）A． B． C．1 D．2【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．题型四任意角的三角函数【典例1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例3】（24-25高一上·山东德州·期末）已知命题为锐角；命题且；则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例4】（24-25高一上·江苏·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·河北承德·期末）（多选）已知角的终边经过点，则（

）A． B．C． D．为第四象限角【变式2】（24-25高一上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知命题，命题为第三象限或第四象限的角，则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知角满足，，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式5】（2024·全国·模拟预测）设，则（

）A． B．C． D．题型五同角三角函数的基本关系【典例1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（）A． B．2 C． D．【典例2】（23-24高一上·贵州黔南·期末）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【典例3】（24-25高一上·天津·期末）已知，则（

）A． B． C． D．3【典例4】（24-25高一上·广东·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，且是第三象限角，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，则下列等式正确的是（

）A．B．C．D．【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点在角的终边上，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．【变式4】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（

）A． B． C． D．题型六诱导公式【典例1】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·广东深圳·期末）是第四象限角，，则（

）．A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知角是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)若，求的值.【典例4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知.(1)若的纵坐标为，求的值；(2)若，求的值.【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期末）（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知.(1)求的值；(2)求的值.【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．(1)求的值；(2)求的值【变式4】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中.(1)化简；(2)若，求的值；(3)若，求的值.题型七两角和差的直接应用【典例1】（24-25高一上·河南洛阳·期末）（

）A． B． C． D．1【典例2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）计算：（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）计算：（

）A． B． C． D．题型八拼凑思想的应用【典例1】（2025·湖南·二模）若，则的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）已知则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则．【变式4】已知，均为锐角，且，，则的值是．题型九倍角公式【典例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·河南三门峡·期末）若，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·四川泸州·一模）若，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·山东滨州·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．题型十降幂公式【典例1】已知，，则．【典例2】若，则等于（

）A．cosα－sinα B．cosα＋sinαC．－cosα＋sinα D．－cosα－sinα【变式1】已知，则（

）A． B． C． D．【变式2】已知，则A． B． C． D．【变式3】函数的最小正周期为（

）.A． B． C． D．题型十一半角公式【典例1】已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【典例2】（

）A． B．0 C． D．【典例3】设，，则等于（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式2】数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（

）A． B． C． D．【变式3】已知，，则=（

）A．2 B．-2 C． D．题型十二辅助角公式【典例1】（24-25高一下·上海·月考）若函数在时取到最大值，则．【典例2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若时，取得最大值，则（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数在时函数取得最大值，则．【变式1】（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，函数的最大值为1，则.【变式2】（24-25高一下·湖北十堰·期中）设当时，函数取得最大值，则.【变式3】24-25高一下·河南南阳·期末）设，已知，则【变式4】（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在处取得最小值，则.题型十三积化和差、和差化积【典例1】．【典例2】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1】（22-23高二上·贵州·开学考试）设，，则．【变式2】已知，则（

）A． B． C． D．1期末基础通关练（测试时间：20分钟）一、单选题1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·重庆·期末）已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（

）A． B． C．2 D．13．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知角的终边过点，则等于（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·山西·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（24-25高一上·四川广元·期末）已知角的终边经过点，则（

）A．8 B． C． D．7．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·重庆·期末）已知，则（）A． B． C． D．9．（25-26高一上·全国·期末）已知，则（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（）A．1 B． C． D．2二、多选题11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则下列说法正确的有（

）A．为锐角B．点在的终边上C．D．12．（24-25高一上·甘肃·期末）若角的终边在第四象限，则的值可能为（

）A．0 B．4 C．6 D．三、解答题13．（24-25高一上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点(1)求的值；(2)求的值、14．（24-25高一上·广东广州·期末）（1）化简：；（2）已知是第三象限角，求的值.15．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，且．(1)求，的值；(2)求的值；(3)已知，且，求的值．期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（

）（参考数据）A． B． C． D．2．（24-25高一上·陕西西安·期末）在单位圆中，已知角的终边上与单位圆的交点为，位于第几象限（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高一下·湖南·期中）若，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（

）（提示：）A． B． C． D．6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（

）A． B． C． D．7．（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则10．（24-25高一上·山东德州·期末）已知角满足，则（

）A．0 B． C． D．11．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知实数满足，则下