离差平方和与方差课件沪科版八年级数学下册

第20章

数据的初步分析20.3.1离差平方和与方差课堂小结例题讲解随堂演练情景导入获取新知

两台机床都生产直径是(20±0.2)mm的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽出10件进行测量,结果如下(单位:mm)：思考：根据以上结果评判哪台机床加工零件的精度更稳定？机床A20.019.820.120.219.920.020.219.820.219.8机床B20.020.019.920.019.920.220.020.120.119.8情景导入我们常用平均数、中位数来刻画数据的“集中水平”，但在有些情况下只有“集中水平”是不够的，如评价选手的射击水平、机器的加工零件的精度、手表的日走时误差时，还需要用一新的数量来刻画一组数据的波动情况.获取新知知识点1：离差平方和与方差首先比较两者的平均数：它们的中位数也都是20.0mm数据是由一个标准基数+浮动值构成的，这样可以减小计算量两组数据的集中趋势是相同的，所以无法区分，下面就来考虑数据的离散程度把每组零件的直径分别用散点图来表示：直径波动较大直径波动较小图中过20.0与横轴平行的直线上的点表示平均数.可见机床A生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有6个、0.1mm的有2个；机床B生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有2个、0.1mm的有4个，直观上容易看出机床B比机床A生产的零件的精确度更稳定.但如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？统计学中常采用下面的做法：设一组数据x1，x2，…,xn，它们的平均数是，我们将

称为这组数据的离差平方和，简记为.将称为这组数据的方差.

统计学中，通常采用离差平方和或方差衡量数据的离散程度.概念学习离差平方和和方差都具有如下性质：（1）最小值是0；（2）数据的离散程度大，它们的值也大.知识拓展①方差的作用：方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量，反映的是数据在平均数附近波动的情况.一般地，方差越大，该组数据的波动就越大（离散程度大）；方差越小，该组数据的波动就越小（离散程度小）.②方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．

下面通过计算离差平方和与方差，来分析机床A和机床B哪台生产的零件的精确度更稳定.前面已经算得A,B两组数的平均数都是20，于是它们的离差平方和分别为[]=(20

-20)2+···+(19.8-20)2+(19.8-20)2=0.26.[]=(20

-20)2+···+(20-20)2+(19.8-20)2=0.12.

方差分别为=110×0.26=0.026.=110×0.12=0.012.

由于0.26＞0.12，0.026＞0.012，可知无论是根据离差平方和还是方差，都可发现机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大.

据此，我们可以评判机床B生产的零件精度更稳定.用计算器计算机床A生产的零件的方差：20.0,19.8,20.1,20.2,19.9,20.0,20.2,19.8,20.2,19.8.知识点2：用计算器计算方差

用科学计算器求方差的一般步骤：1.按有关键,使计算器进入统计状态;2.依次输入数据x1,x2,……,xn;3.按求方差的功能键(例如x2键),计算器显示结果.归纳总结例题讲解例在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高(单位：cm)如表所示.哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？甲163164164165165166166167乙163165165166166167168168解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是方差分别是由s甲2＜s乙2可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.甲163164164165165166166167乙1631651651661661671681681.在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均成绩是9.1环，方差分别是s甲2=1.2，s乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定性的描述正确的是()A.甲比乙稳定B.乙比甲稳定

C.甲和乙一样稳定

D.甲和乙的稳定性没法比较A随堂演练2.如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况,则射击成绩的方差较小的是

.(填“甲”或“乙”)甲3.为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下：甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15；乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11.哪种麦苗长势整齐？分析：根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它们高度的方差，先求出其平均数，再根据方差的公式计算方差，进行比较可得结论．解：x甲＝×(15＋15＋…＋15)＝13.9(cm)，x乙＝×(17＋14＋…＋11)＝14(cm)，s甲2＝×[(15-13.9)2＋(15-13.9)2＋…＋(15-13.9)2]＝2.09，s乙2＝×[(17-14)