乘法原理与加法原理教案

第十一讲乘法原理与加法原理

知识提要

理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念与计算方

法。

加法原理：ml+m2+...+0

乘法原理：mlXm2X........Xo

经典例题

例1小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4

条路可以走（如下图）。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？

分析与解：

把从小刚家到学校的路分为两步。

第一步从家到桥，第二步从桥到学校。这两步中每一步都不能单独走

完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。

从图中看出从家到学校共有12种不同的走法：

根据此题，得出如下结论：

乘法原理要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有ml种不同

的方法；第二步有m2种不同的方法；……第n步有种不同的方法；则要

完成任务共有：mlXm2XXo

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例2有四张数字卡片’

用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个?

分析与解：

用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4

种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上

的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：

4X3X2=24（个）

例3:由数字1.2.3.4.5.6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数?

分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3

种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；

百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。由乘法原理，共可组成:

3X5X4X3=180（个）没有重复数字的四位奇数。

例4:下图为4X4的棋盘，要把A.B.C.D四个不同的棋子放在棋盘的方格

中，并使每行每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？

分析与解：四个棋子要一个一个地放，故可看做分四步完成任务，

第一步放棋子A,A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同

方法；第二步放棋子B,放A棋子的一行和一列都不能放B,还剩下9个

方格可以放B,所以B有9种方法;第三步放C,再去掉放B的行和列，还

有4个方格可以放C,故C有4种放法；最后放D,再去掉C所在的行和

列，只剩下一个方格放D了，D只有一种方法，由乘法原理，共有

16X9X4X1=576（种）不同放法。

在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别，往往是要综合使用的。

例5从北京到郑州可以坐飞机，乘火车，还可以乘汽车。一天中有飞

机2班，火车有3趟，汽车有5趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种

交通工具，共有几种不同的走法？

分析与解：

三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地，则每类交通工具中有

儿中不同的方法。（飞机2班，火车3趟，汽车5趟）因此，要到达目的

地应有2+3+5=10K同的方法。

根据此题，得出如下结论：

加法原理要完成一种任务有几类办法，在第一类办法中有ml中不

同方法；在第二类办法中有m2中不同方法；……在第n类办法中有中不

同方法。在这些不同的方法中，每一种方法都能独立完成任务，则完成这

一任务共有：

mi+m2+.......+c

例6:如图：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走,

从甲地到丙地有3条路可走。贝!从甲地到丙地共有多少种不同走法？

解:从甲地到内地共有两类不同走法。

第一类：由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。第一步，从甲地

到乙地有4种走法；第二步从乙地到丙地有2种走法。据乘法原理，从甲

地经乙地到丙地共有：4X2=8

种不同走法。

第二类：从甲地直接到丙地，有3种走法。由加法原理，从甲地到丙

地若有

8+3=11种不同的走法。

例7:有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上标有数字

1.2.3.4.5.6,将两个正方体任意放到桌面上，向上一面的两个数字之和

为偶数的有多少种情形？

解：两个数字之和为偶数，这两个数字的奇偶性必相同，所以分两大

类。

第一类：两个数字同奇，第一个正方体有3种可能，第二个正方体也

有3种可能，由乘法原理，共有3X3=9种不同的情形。

第二类：是两个数字同偶。也有9种不同的情况。

据加法原理：两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有：

9+9=18

种不同的情况。

基本训练

1.某校六一班有35人，六二班有40人，六三班有37人。从中选1人去

人民大会堂开会，有多少种选法？

2.某校六一班第一小队有12人,第二小队有11人，第三小队有13人。

从每个小队中各选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？

3.某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，则他共有几种不

同的由小学读完高中的不同选择方式？

4.如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同

一直线上的三个点一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一个三角

形，如三角形，问可以画多少个不同的三角形？

5.由数字1.2.3.4.5.6.7、8可以组成多少个

(1)三位数？

⑵三位偶数?

⑶没有重复数字的三位偶数?

(4)百位有8的没有重复数字的三位数?

⑸百位为8的没有重复数字的三位偶数?

拓展提高

1.某个地区的号码是八位数，如果首位不是0,其余各位上可以是

。〜9这十个数字中的任意一个，不同数位上的数字可以重复，则，这个

地区可以有多少个号码？

2.两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少

个？

3.某公司买了8辆汽车，这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把

每辆汽车的钥匙挑出来，最多要试多少次？

奥赛训练

超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8种不

同的水果。如果妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共

有多少种不同的选购方法？

从1〜30这三十个自然数中，选出两个数，使它们的和大于30,一共有多

少中不同的选法？

3.自然数1〜1000中，“0”这个数字一共出现了多少次?

第十二讲简单的排列与组合

知识提要

1.理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念与计算

方法。

加法原理：ml+m2+...+0

乘法原理：mlXm2X.......X。

排列：=n(1)(2)…(1)(m^n)

组合：=-T-

2.能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念与计算方法解决一些

简单的实际问题。

经典例题

5678

例1有四张数字卡片,

用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？

分析与解：

用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4

种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上

的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：

4X3X2=24(个)

排列的公式：=n(1)(2)…(1)(m^n)

例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数，可以组成多少个？

p；=n(1)(2)…(1)(mWn)

/75=5X(5-1)X(5-2)X(5-4+1)=5X4X3X2=120

例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用三种颜色的花

各一支扎成一束，可以扎成多少不同的束？

分析与解：

从n个不同元素中，任意取出m个元素(mWn),组成一组，叫做从n个不同元素取m

个元素的一个组合，所组合的个数，叫做组合数。用符号表示。

组合的公式：二+

排列与组合的区别：

排列与元素的顺序有关：

例如从7个人中选出正副组长，两个人有正、副之分。

组合与元素的顺序无关：

例如从7个人中选出两个人去开会，没有正、副之分。

因为所扎成的每一束花，与颜色的排列顺序无关，所以是组合问题。

p；+p1=(5X4X3)+(3X2X1)=60+6=10

答：一共可以扎成10种不同的花束。

例3从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站，则，火车

票应有多少种不同票价？

分析与解：

因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的，所以是组合问题。

Pi=(10X9)4-(2X1)

=90+2

=45

答：火车票应有45种不同票价。

例4平面上共有7个点(没有3个点在同一条直线上)，通过这些

点可以画出多少个三角形或四边形？

分析与解：

通过这些点画三角形和四边形时，这些点没有顺序关系，所以先根

据组合公式分别求出三角形和四边形的个数，再根据加法原理把两种的

个数相加。

c7C7(7X6X5)+(3X2X1)+(7X6X5X4)+(4X3X2X1)

=35+35

=70

答：可以画H70个三角形或四边形。

例5如图。共有多少个平行四边形？

分析与解：

根据数长方形个数的方法,“长边”上8个点中选两个点的组

合乘以宽边上6个点中两个点的组合。

ClXC6=(8X7)4-(2X1)X[(6X5)4-(2X1)]

=28X15

=420

答:共有420个平行四边形。

基本训练

1.一次乒乓球比赛，最后有6名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军

名单，可

以写出多少种？

2.在一张纸上有9个点，没有三个点在一条直线上。通过这些点一共可以

画出多少条线段？

3.第三小队共有队员12人，要选出正、副小队长各一人，选出的结果可

以有多少种不同的情况？

4.六一班有40名同学，现在要选派2名同学参加国庆活动，共有多少种

不同的选法？

5.小红有4件不同花色的衬衫，有3条不同样式的裙子，如果用一件衬衫

和一条裙子搭配成一套，一共可以搭配成多少套？

6.学校食堂今天中午的主食有：米饭、馒头、花卷和烙饼，炒菜有：炒芹

菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。张老师要买一种主食和一种炒菜

作为中午饭，张老师可以有多少种不同的买法？

拓展提高

L用0、1.2.3.4.5.6写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个.

2,用0、L2.3.4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以

写出多少个？

3.六一班的图书角现在有6本科技书，有8本故事书，有3本词典，小刚

想借其中的一本，一共可以有多少种不同的借法？

4.有6名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排3人，后排4人,

班主任要站在前排中间。他们一共有多少种不同的排法？

5.有.7名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，张刚说:

“我不站在后排的边上「。他们一共有多少种不同的排法？

6.有1克、2克、4克、8克、16克的祛码各一个，只选用其中的两个祛码，在天平上能称

出多少种不同重量的物体？

奥赛训练

1.一张纸上共画有10个点，其中有3个点在一条直线上，以这些点为三

角形的顶点，一共可以画出多少个三角形？

2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚，共可以组成多少

种不同币值？

第十三讲巧求面积

知识提要

1.掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的

特征：

2.理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推

导过程：

正方形面积二边长X边长2,

长方形面积=长><宽，

平行四边形面积二底X高，

三角形面积二底X高+2=他

2

梯形面积二（上底+下底）X高+2=鱼叱出

2

经典例题

例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.（已知大正方形边长10厘米,

小正方形边长6厘米）

Ae

囱图一图一图三

分析与解：

（6+10）X6+26X64-2(10+6)X10

・2

二48（平方厘米）二18（平方厘米）二80（平方厘米）

例2小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知大正方形的边长10厘米，小正方形的边

长6厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：

方法1：

两个正方形的面积之和减去三角形与三角形的面积，就得到阴影部分

的面积。

102+62-(10X104-2)-(10+6)X64-2=38(平方厘米)。

方法2：

添加辅助线，三角形与三角形的面积之和就等于阴影

部分的面积。

(10-6)X10+2+6X6+2=38(厘米2)

答：阴影部分的面积是38平方厘米。

例3用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.

分析与解：

方法1：如下图1,先将四等分，即，连结、、得到四个等积三角形，即

△、△、△、Ao

方法2:如下图2,先将二等分，分点D.连结，得到两个等积三角

形，即△与△等积.然后取、中点E、F,并连结、.以而得到四个

等积三角形，即△、△、△、△等积.

方法3：如下图3,先将四等分，即等于四分之一，连结，再将三等分，即，连结、,

从而得到四个等积三角形，即△、△、△、△等积.

图1图2

图3

想一想：你还有其他方法吗？

从上面例题得到下面结论：

①等底等高的两个三角形面积相等.

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与

底平行的直线上，这两个三角形面积相等.

③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一

个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几

倍.

例4如右图，在梯形中，与是对角线，其交点0,求证：△与△面积相

等.

分析与解：

证明：•・♦△与△等底等高,

ASAA

又;SAA—SA

SAA—SA

ASAA.

等量减等量所得的差相等。

例5一个三角形的底长5米，如果底延长1米，则面积就增加1.5平方米，（如图），则原来

三角形的面积是多少平方米

分析与解：

方法1:

已知阴影三角形的面积和底，根据三角形面积公式就能求出

三角形的高，也就是原三角形的高，又知道原三角形的底，从而求出原

三角形的面积。

1.5X24-1=3（米）

5X392=7.5（平方米）

答：原夹三角形的面积是7.5平方米。

方法2：

已知原三角形的底是阴影三角形的底的5倍，所以原三角形的面积就是阴

影三角形面积的5倍。

1.5X5=7.5（平方米）

例6如右图，已知在△中：3,2.若△的面积为1平方厘米.求三角形的面积.

分析与解：

方法1:连结，在△中

3,

JSA4SA4（平方厘米）.

在△中，V2,

:.SA3SA3X4=12（平方厘米）.

方法2：连结，如右图所示，在△中，

•・•2,

SA3SA3（平方厘米）.

在△中，V3

JSA4SA

=4X3=12（平方厘米）.

例7如右图，为平行四边形，平行，如果△的面积为4平方厘米.求三角形的面积

分析与解：

解：连结、，・・・SZ\Z\；SAA；

又・・•与平行，ASAA；

・・・SAA4（平方厘米）

例8如右图，在平行四边形中，直线交于E,交延长线于F,若S/X1,求△的面积.

分析与解：

解：连结，V,ASAA

又,二ASAA

而SAAA,SAAA

工SAAASAA1.

基本训练

1.选择题（有且只有一个正确答案）：

(1)如下左图，在△中，D是中点，E是中点，连结、，则与△等积的三角形一共有个.

(A)0个(B)1个

(C)2个(D)3个

(2)如上右图，在平行四边形中，平行，连结、、、则与△等积的三角

形一共有个.

(A)0个(B)1个

(C)2个(D)3个

(3)如下左图，在梯形中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共

有对.

(A)0对(B)1对

(C)2对(D)3对

(4)如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样

的菱形，则草地与空地面积之比是.

(A)1：1(B)1：1.1

(C)1：1.2(D)1：1.4

2.填空题：

(1)如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，则阴影部分面积占长方形面积的.

(2)如上右图，平行四边形的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积

是.

(3)如下左图，正方形的面积为1平方厘米，SA：SA2：1,SA：S

△1：1,则这四个小三角形面积之和.

(4)如上右图，在△中，平行，3,则三角形甲、乙、丙面积的连比是.

拓展提高

1.如图1,在边长为6厘米的正方形内有一个三角形，已知线段3厘米，2厘米，求阴影部

分的面积是多少？

2.左下图是一块长方形草地，长方形的长是160米，宽是102米。中间有两条道路，

条是长方形，一条是平行川边形，则有草部分的面积等于多少平方米？

3.如图，梯形的下底为8厘米高,为4厘米。阴影部

分面积是多少平方厘米？

4.如图，四边形是长方形，A.D.E、F在同一条直线上。=7,=5,=3。求的长。

5.如图，正方形与长方形重置放在一起，已知4厘米，3厘米，5厘米。请你计算出长方形

的面积。

6.如图，三角形的面积是144平方厘米，=18厘米，=6厘米，=10厘米，=5厘米。求三

角形的面积。

奥赛训练

1.如右图，把四边形改成一个等积的三角形。

BC

第十四讲用等量代换求面积

知识提要

一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数,

它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质

在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一

个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从

而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

经典例题

例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位:

厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

分析与解:

阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道,

因而不能直接求出它的面积。因为三角形与三角形完全相同，都减去三角

形后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形面积相等，

所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形的面积。直角梯形的下底和高

已知,所以求出上底即可。

上底：10-3=7（厘米），面积：（7+10）X24-2=17（平方厘米）。

答：阴影部分的面积是17平方厘米。

例2在右图中，平行四边形的边长10厘米，直角三角形

的直角边长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形的

面积大10厘米2,求平行四边形的面积。

分析与解:

因为阴影部分比三角形的面积大10厘米2,者动n上梯形后，根据差不变性

质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面

积大10厘米2,所以平行四边形的面积等于:

10X84-2+10=50（平方厘米）。

答：平行四边形的面积是50平方厘米。

例3在下图中，8厘米，4厘米，6厘米，三角形比三角形的面积大18厘

米2。求的长。

分析与解：

求的长，需求出的长；求的长，需求出直角三角形的面积。因为三角形比

三角形的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形后，其差不变，所

以梯形比三角形的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形的面积，就

能依次求出三角形的面积和的长，从而求出的长。

梯形面积：（8+4）X64-2=36（厘米2）三角形面积：36-18=18（厘

米2）

:18X24-6=6（厘米）：6-4=2（厘米）答：长2厘米。

例4如下图，是7X4的长方形，是10X2的长方形，求三角形与三角形的面积之差。

分析与解：

直接求出三角形与三角形的面积之差，不太容易做到。如果利用差不

变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图

形的面积之差容易求出，则问题就解决了。

方法1：连结B,E(见下左图)。三角形与三角形都加上三角形，则

原来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差。

SA:4X(10-7)+2=6

SA:2X(10-7)4-2=3差：6-3=3

图1图2图3图4

方法2:连结C,F(见上右图)。三角形与三角形都加上三角

形，则原来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差。

SA:4X(10-7)4-2=6

SA:2X(10-7)4-2=3差：6-3=3

方法3：延长交于H(见左下图)。三角形与三角形都加上梯形，则

原来的问题转化为求三角形与矩形的面积之差。

S△:(4+2)X(10-7)+2=9

矩形：2义(10-7)=6差：9-6=3

方法4：延长，交于H(见上右图)。三角形与三角形都加上梯形,

则原来的问题转化为求矩形与直角三角形的面积之差。

矩形：4X(10-7)=12

SA:(10-7)X(4+2)+2=9差：12-9=3

例6左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形的面积。

分析与解：

这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形

的边长没关系。连结（见上右图），可以看出，三角形与三角形的底都等

于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角

形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性

质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等。根据等量代换，求

三角形的面积等于求三角形的面积。

4X44-2=8（厘米2）答：三角形的面积是8平方厘米。

基本训练

1.如右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，

求阴影部分的面积。

2.在右图的三角形中，I）,E分别是所在边的中点，求四边形的面积。

3.图中，矩形的边为4厘米，为6厘米，三角形比三角形的面积大9厘米2,求的长。

4.如图中，4厘米，三角形比三角形的面积大2厘米2,求的长。

5.如图，平行四边形的面积是120平方厘米，=3,=2。求三角形的面积。

拓展提高

1.如图，是梯形，对角线和相交于0,三角形的面积是12平方厘米，三角形的

面积比三角形的面积少15平方摩米。求梯形的面积。

2.如图，四边形是边长12厘米的正方形，E、F分别是和的中点，和相交于（）。

求四边形的面积。

奥赛训练

1.如图，△中，：2:1,:3:1,:4:1,则△是△的面积的几分之几?

A

F

D

B

E

第十五讲用长方形图巧解题

知识提要

用长方形图来表示数量关系，可以使抽象的数量更加形象、具体，可

以帮助我们分析解答应用题，这一讲我们就来学习画长方形图解应用题

的方法。

经典例题

1.用长方形图巧计算

例1计算：1999X2105-1993X2108

分析与解：

计算时如果硬算就会感到比较复杂，但如果我们把它放在一个长方形

图中，就会使计算简便。

2105

K________________J

从图中可知：两个长方形的面积差就等于两个涂色部分的小长方形面积

的差。

所以：1999X2105-1993X2108

=(1999-1993)X2105-(2108-2105)X1993

=6X2105-3X1993

=12630-5979

=6651

例2计算：

分析与解:

计算时可引用正方形图来分析:

248163264102410241024

2.画长方形图解“平均数”问题

例3甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用5千克甲种糖与

多少千克乙种糖混合后，能使混合糖每千克&2元？

分析与解：

我们画两个长方形米表示甲、乙两种糖的数量、单价和总价。

在上图长方形中，表示甲种糖有5千克，表示甲和糖的单价是8.8元，它的面积表示

甲种糖的总价；长方形中，表示乙种糖的千克数，表示乙种糖每千克7.2元，它的面积表示

乙种糖的总价。、表示两种糖平均后单价8.2元。在平均过程中，甲种糖多出的价钱补给了

乙种糖，所以长方形与的面积是相等的。

经过平均，甲种糖单价由8.8元变为8.2元降低了0.6元，所以长方

形的宽是0.6,它的长是5,因此面积是3。

长方形的面积为3,宽为8.2—7.2=1,所以长为3+1=3。

即5千克甲种糖与3千克乙种糖混合后，混合糖每千克8.2元。

例4某校有60名学生参加区里举行的数学竞赛，平均分是63分，其中

参赛的男选手平均成绩为60分，女同学平均成绩为70分，则该校参赛的

男同学比女同学多多少人？

分析与解：

画长方形图来表示题目中的数量关系（如右图）。

长方形的长表示共有60人参赛，宽表示所有参赛同学的平均成绩63

分，它的面积表示所有参赛选手的总分。长方形表示所有参赛女生的总分,

长方形表示所有参赛男生的总分，这两个长方形的面积和应该也表示全

体参赛同学的总分，即与长方形的面积相等。图中空白部分是它们公有的,

所以阴影长方形（1）、（2）面积相等。

长方形⑴、（2）面积相等，它们宽：（70—63）：（63-60）=7：3,它们

长：3：7,长为10份，10份为60人，每份为60+10=6（人），男生比

女生多7—3=4份，所以男生比女生多6X4=24（人）。

答：参赛的男同学比女同学多24人.

3.画长方形图解“盈亏问题”

例5数学奥林匹克学校招收了一批新生，准备把这批新生编成几个

班。若每班55人，则还可以再招30名新生；若每班50人,则还可以再

招10名新生。请问现在招了多少名新生？

分析与解：

若每班55人，则还可以再招30名新生，说明最后一个班只有55—

30=25（人）。

若每班50人，则还可以再招10名新生，说明最后一个班只有50—

10=40（人）。

#---------------------------1H

I_______________ID

E

E人25人

ABJC

如下图长方形来表示按每班50人，排满若干班的人数，而长方形表

示剩下的40人，这两个长方形的面积之和表示这批新生的总人数；长方

形表示按每班55人，排满若干班的人数，而长方形表示剩下的25人，它

们的面积之和也表示这批新生的总人数。因为新生的总人数是固定的，所

以图中两个阴影长方形的面积相等。

长方形表示40—25=15（人）：

长方形也表示15人，它的宽为55—50=5（人），所以长为15+5=3。

即可以排满共有3个班。

所以共有50X3+40=190（人）。

答：现在招了190名新生。

例6解放军某部赶往长江干堤支援抗洪。计划每辆汽车乘30人，剩卜.3人随意搭乘在

某辆车上。但由于另有紧急任务，调走了一辆汽车，这样只好改为每辆汽车乘坐34人，剩

下5人随意搭乘在各辆主上。请问原来有多少辆汽车？共派出多少名解放军战士去抗

洪？

分析与解：

画长方形图来表示数量之间的关系。图中长方形的面积表示每车30

人，坐满原有车的人数，表示剩下的3人，两个长方形的面积之和表示总

人数；长方形的面积表示每车34人，坐满现有车的人数，表示剩下的5

人，它们的面积之和也表示总人数；由于总人数没变，所以两个面积之和

是相等的，除去它们共有的空白