2.4.1圆的标准方程教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.1圆的标准方程(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章第四节)一、教学目标1.掌握确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程，利用圆的定义推导圆的标准方程,数学抽象、逻辑推理、数学建模的学科素养；2.能根据所给的条件求圆的标准方程，发展数学运算素养;3.会判断点与圆的位置关系,并能解决相关问题，发展数学运算素养．二、教学重难点1．掌握圆的标准方程的建立与应用；2．根据不同的已知条件，求圆的标准方程．三、教学过程1．提出问题，复习导入问题1：在直线的方程的学习中，我们研究了哪些问题？【师生活动】引导学生归纳我们建立了直线的方程，并利用直线的方程研究直线的位置关系，距离等几何性质.追问：类似的，如何研究圆？直线的方程是如何建立的？【师生活动】学生在回顾的基础上，明确采用坐标法建立圆的方程，再利用圆的方程研究圆的几何性质。教师引导学生回顾根据直线的几何要素建立直线的方程。【设计意图】回顾所学知识，体会坐标法研究几何问题的思想，明确研究方向.问题2：类似于直线的方程的建立，为建立圆的方程，我们首先考虑建立一个圆的几何要素。圆的定义是什么？如何用集合语言描述？【师生活动】引导学生总结，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点称为圆心，定长称为半径．因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径.学生明确抓住圆的几何要素可以确定一个圆．【设计意图】开门见山，引出课题“圆”．这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程．2．探究问题，生成新知问题3：在平面直角坐标系中如何确定一个圆呢？【师生活动】教师引导学生归纳，在平面直角坐标系中，☉的圆心坐标为，半径为，为圆上任意一点，则圆就是以下点的集合：．追问1：你能用坐标表示点满足的条件吗？【师生活动】学生根据两点间的距离公式，容易得到，追问2：能进一步整理吗？【师生活动】两边平方得到(1)．追问3：显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，点是否在圆A上？有没有例外？【师生活动】教师类比直线的方程的定义，引导学生归纳若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，点就在圆上．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程．追问4：圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是什么？【师生活动】学生回答追问5：方程一定表示圆心在原点的圆吗？【师生活动】学生讨论，教师引导归纳当时方程不表示圆，表示原点；当时，方程表示圆心在原点，半径为的圆.【设计意图】问题3是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段．第二阶段是基于逻辑的抽象，通过问题3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程．这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程．3．典例分析，深化理解例1．求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上．【师生活动】由教师分析解题思路，由学生完成后，教师多媒体展示图形。问题4：点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？【师生活动】由学生自主探究，总结，点在圆内的条件是点到圆心的距离小于半径，即；点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径，即．【设计意图】让学生学会判断点与圆的位置关系．这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法），二是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断（几何法）．最后引导学生发现几何法与代数法的内在联系，渗透数形结合思想．例2：∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,−3)，C(2,−8)，求∆ABC的外接圆的标准方程.【师生活动】学生交流合作，给出解决方案.解法1（代定系数法）：设△的外接圆的标准方程为，将三点坐标分别代入方程，联立解出参数的值．解法2（几何法）：设△的外接圆的圆心为，则点是线段的垂直平分线的交点．由线段中点及直线斜率知线段的垂直平分线为；同理可得线段的垂直平分线为．联立解得，即圆心坐标为．而半径，所以△的外接圆的标准方程是．【设计意图】例2为已知圆的相关条件，求圆的标准方程．通过例2的练习，帮助学生理解圆的标准方程由两个要素（圆心坐标、半径大小）确定，由浅入深，符合学生的认知规律．例3．已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程．【师生活动】教师分析，数形结合，师生讨论两种解题思路.【设计意图】例3在例2的基础上增加了难度，设计的目的是使学生明确求圆的标准方程关键是求出圆心坐标和半径，主要有两种方法：①几何法：借助圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径大小；②代数法（待定系数法）：设含有参数的圆的标准方程，建立关于的方程组，解出参数，求出圆的标准方程．4.回顾反思，提炼升华问题4：（1）圆的标准方程是什么？点与圆的位置关系有哪些？如何判断？求圆的标准方程都有哪些方法？【师生活动】学生从三个方面对课堂内容进行反思.【设计意图】及时梳理，提炼与升华所学知识.课堂小练习题：教