人民教育出版社A版选修第三册63杨辉三角性质

人民教育出版社A版选修第三册第六章计数原理=

C

an

+C

an—1b+...+C

an—kbk

+...+C

bn

(n∈N*

)1nnnkn1n0(a+b)n第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行杨辉三角（1261年）.

.

..

.

.杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。

“杨辉三角

”出现在杨辉1261年所著

的《详解九章算法》一书中，且我国

北宋数学家贾宪（约公元11世纪）

已

经用过它，这表明我国发现这个表不

晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们

把这个表叫做帕斯卡三角。杨辉三角

的发现要比欧洲早500年左右.杨辉杨辉三角（1261年）推理和论证归纳和猜想探究方法观察和实验请同学们仔细观察杨辉三角的结构，画一画，连一连，算一算,你有什么发现？

1

（1）从横行来看，每一行有什么数字规律？（2）从相邻两行来看，有什么发现？(3)从上至下斜行来看，有什么发现？（4）计算每行的和，有什么发现？'

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

.

.

.第n-1行

1

C

—1

C

—1

...

C

——

C

—1

...

C

——

1第n行

1

C1

C2

...Cr-1

Cr

Cr+1

...Cn-1

1n

n

n

nnn12nnnr11nrn2n1第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行11

11

2

11

3

3

11

4

6

4

11

5

10

10

5

116

15

20

156

1

C:

C

C:

C:C:C:

C:C:

C:.

.

.

C:

C

.

.

.1每一横行

第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行11

11

2

11

3

3

11

4

6

4

1对称性：

C"=C"1

5

10

10

5

1C:

C:

C:C:

C:

C:16

15

20

156

11.

.

.第n-1行

1C

—1

C

—1

...

C

——

C

—1

...

C

——12

1第n行

1CC...

C

—1

C

C

+1

...

C

—1递归性：

C

=

C

—1

+C

——

如何证明？11nrnrnrnnnrnrnrn2n1nnnr11nrn2n111

11

2

11

3

3

11

4

6

4

11

5

10

10

5

116

15

20

156

1

C;C;

C;\/c:

CC;

c;/C:

C;

C:

C

C;C:

C:

C:

C:

C:C:C:相邻两行

第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行c'

1

.

.

.111

+

1

=1

+2

+

1

=

1

+

3

+

3

+

1

=1

+

4

+

6

+

4

+

1

=

1

+

5

+

10+

10

+

5

+

1

=1

6

15

2015

61···

···C0

+

C2

+

…

=

C1

+

C3

+

…n

n

n

n12

+

2+

1212

+

32

+32

+12

+

42

+62

+421

510

101

6

1520

15=1

=+1

=5

16

1第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行求和12481632求和1

2

6

20

70112

+12

=CCCC84634221每行的和221．第一斜行的数字始终是1.2．第二斜行是正整数列.3．第三斜行是三角形数数列

每一斜行

第0行

1第1行

1

1第2行

12

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

1520

15

6

1第7行

17

21

35

35

21

7

1第8行

1

8

28

56

70

56

28

8

1思考：斜线上各行数字之和有什么规律?斐波那契数列各斜行的和583421133211·

·

·自腰上的某个腰的一条线上的连续的和等于最后一个数斜右下方的那个数+Cr

+Cr

+...+Cr

=

Cr+111

31

41

5

1012

110

5

1文字语言：1n.数学符号语言：1

6

15

20

15

6

11

7

21

3535

21

7第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行第7行思考：从每一斜列的和，

你能提出哪些猜想？3

16

4

1联想结构，如何证明？r+1

r+2

n—1n开始平行于个数Crr111应用1：杨辉在《详解九章算法》

中有这样一个题目：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问：计几何？应用1：杨辉在《详解九章算法》中有这样一个题目：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问：计几何？题目大意：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个圆球，最上层只有1个（上尖），问：总共有多少个圆球？

”一层

1

1二层

1+2

3三层

1+2+3

6.

.

.十二层

1+2+···+12

781+3+6+···+78=?自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数.

1+3+6+···+78=

364应用2:底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个，顶层是1个，求总数.

1

1(即求n层三角垛的圆球总个数)

1

2

11

33

11

4

6

4

11

51010

5

11

6

15

2015

61.

.

.1

C1

C2

Cr-1

Cr

Cn

1n+1n+1

...

n+1

n+1...

n+1...

C

121nnC+2n1C

+2n2C

+2n3C21nrCrn+21...垛积术术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一，本法。答曰：三百六十四个。大意：12×

物品，如酒坛、圆球、棋子等数量的计算；三角垛

茭草垛

1+

2

+

3+

.

.

.

+

n四隅垛

12

+

22

+32

+...+

n2“化垛为数，以数表形

”体现了古人高超的直