2026年高考数学终极冲刺压轴14 空间角与距离问题的6大核心题型（原卷版）

压轴14空间角与距离的4大核心题型

以空间几何体为载体考查空间角，空间距离是高考命题的重点，空间向量是将空间几何问题坐标化的

工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角及空间距离是高考的热点，考查题型既有选择题、填空

题，也有解答题，难度中等.

题型01求解直线与平面所成角的方法

技法指导

1.（2025北京卷T17）四棱锥PABCD中，ACD与ABC为等腰直角三角形，ADC90，BAC90，

E为BC的中点．

(1)F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG//面PAB；

(2)若PA面ABCD，PAAC，求AB与面PCD所成角的正弦值．

2.如图1所示，四边形ABCD是圆柱下底面的内接四边形，AC是圆柱底面的直径，PC是圆柱的一条母线，

ABAD，BAD60，点F在线段AP上，PA3PF．

图1

（1）求证：平面PAB平面PBC．

（2）若CP3，CA4，求直线AC与平面FCD所成角的正弦值．

题型02求解二面角（平面与平面所成角）的方法

技法指导

3.（2024·全国甲卷T19）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF

均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD4,ABBCEF2，ED10,FB23，M为AD的中点．

(1)证明：BM//平面CDE；

(2)求二面角FBME的正弦值．

4.已知三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，且PBAC，PA=PB=22，E，F分别

为棱PB，PC的中点．

(1)求证：PABC；

(2)求平面AEF与平面ABC的夹角的正弦值．

题型03求解空间中距离的方法

技法指导

5.（2024·天津卷T17）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，ABAD,AB//DC，

ABAA12,ADDC1．M,N分别为DD1,B1C1的中点，

(1)求证：D1N//平面CB1M；

(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角余弦值；

(3)求点B到平面CB1M的距离．

6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，AB2，ABC60，AC//平面BGH，点G，H分

别在棱PA，PC上，且GHPD．

(1)求证：PAPC；

(2)若PBPD，PB与平面PAC所成的角为60°，点A关于平面PCD的对称点为M，求点M到平面PAB的

距离．

题型04向量法解决探索性问题

技法指导

1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是

否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．

2.对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．

7.（2025·陕西西安二模）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为

等腰祶形，AB//CD,CD//EF,ABDEEFCF2,CD4,ADBC10,AE23，M为CD的中点．

(1)证明：平面ABCD平面CDEF；

(2)设点N是△ADM内一动点，NDNM0，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角的余弦

值．

8.（2025·湖北襄阳二模）在三棱锥P-ABC中，若已知PABC，PBAC，点P在底面ABC的射影为点H，

则

(1)证明：PCAB

4

(2)设PHHAHBHC2，则在线段PC上是否存在一点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦值为，

5

CM

若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.

CP

1．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，P在底面的投影O落

在线段AD上.

(1)证明：APBC；

(2)若BC8，PO4，AO3，OD2，M在线段AP上，且满足平面AMC平面BMC，求直线BM与直

线CP夹角的余弦值.

2．（2025·湖南常德三模）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2AD，点E是棱CC1的中点．

(1)求证：AC1//平面BDE；

(2)求直线BC1与平面BDE所成角的正弦值．

3（.2025·山东泰安·二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA平面ABCD,PA∥QD，

BC2AB2PA2,ABC60.

(1)证明：平面PCD平面PAC；

(2)若PQ22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.

x2y2

4.（2025·重庆·二模）已知椭圆C:1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1

a2b2

△

的斜率为1且与C的另一个交点为B，ABF2的周长为8．

(1)求C的方程及AB的值；

(2)如图，将C沿x轴折起，使得折叠后平面AF1F2平面BF1F2，求F2到平面ABF1的距离．

5．（2025·四川攀枝花·一模）如图，几何体ABCDEF中，E，F不在平面ABCD内，CF//AE,BF//平面ADE．

(1)求证：AD//BC；

2

(2)若AE平面ABCD，ADAB,ABAD2,AEBC4，且直线DF与平面ABCD所成角的正切值为，

2

求点F到平面BDE的距离．

π

6.（2025·河南周口·二模）如图，在四棱锥PABCD中，PC2PA2AD2PD42，CPD，四

3

边形ABCD为矩形，E在PC上，且DEPC，F为PA的中点，平面DEF交PB于点M．

(1)求证：DM^PB；

πAN

(2)在线段AB上是否存在点N（异于点A,B），使得平面PCN与平面PFN的夹角为？若存在，求出的

4NB

值；若不存在，说明理由．

7（.2025·天津河西·一模）如图所示，在几何体ABCDEF中，AE底面ABCD，CF//AE，AD//BC，ABAD，

ABAD1，AEBC2．

(1)求证：BF//平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

1

(3)若平面BDE与平面BDF所成角的余弦值为，求线段CF的长．

3

1

8．（2025·广西南宁·三模）等腰梯形ABCD中，BC//AD，BCAD，A60，点E为AD中点（如图

2

1）．将ABE沿BE折起到A1BE的位置，点O，F分别为BE,DE的中点（如图2）．

(1)求证：平面BCDE平面A1OC；

(2)如果BC2，平面A1BE平面BCDE，那么侧棱A1C上是否存在点P，使得BP//平面A1OF？若存在，

求平面PBE与平面A1OF夹角的余弦值，若不存在，请说明理由．

9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为CD，PA

的中点.

(1)证明：EF//平面PBC；

431

(2)若平面PAB平面ABCD，PAPB，AB2，BAD60，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，

31

求点F到平面PBC的距离.

10．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，点A1、B1、C1、

D1在底面的垂足分别为A、B、C、D，AD//BC，ABAD，CC11，BCBB12，ADABAA1DD14，

E为C1D1的中点，F在AA1上且AF3FA1.

(1)求BE与平面ADD1A1所成角的正弦值；

(2)求平面FBC与平面A1BC的夹角的余弦值；

(3)边DD1上是否存在点M，使B1、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由.

11．（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形ABCD是棱长为3的正方形．PA平面ABCD,PA//QC，且

PA3CQ3．

(1)求证：BC平面PAB；

(2)求平面PQB与平面ABCD夹角的余弦值；

(3)线段PA上是否存在