初中数学知识点总结

初中数学知识点总结（精华）

第一章有理数

〔正整数正整数

正有理数

［正分数整数'零

1、有理数的分类：①有理数・零(2）有理数，负整数

〔负整数:正分数

负有理数＜分数，

［负分数〔负分数

2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3.相反数：（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的

相反数还是0；

⑵相反数的和为00a+b=O.

4、.绝对值：

⑴正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数；注意：

绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

a>oX

(aZH

oo

(a-a(a>0)绝对值的问题经常

（2）绝对值可表示为：|a|-,(a

a<On-a(a<0)

-z

分类讨论：

5、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：。没有倒数；若aWO,那么〃的

倒数是,；若ab=loa、b互为倒数

a

6、有理数的四则运算：（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并

把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用

较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0;0与任何数相加都

等于任何数

（2）有理数减法法则：：减去一个数等于加上这个数的目反数

（3）有理数的乘法法则：①两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

。乘以任何一个数都等于0；

②多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时，

积为正数，负因数有奇数个时，积为负数，再把各个因数的绝对值相乘

（4）有理数的除法法则①两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；。除

以任何一个不为0的数都得0;

②除以一个不为0的数，等丁乘以这个数的倒数

7、有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；

（2）乘法的结合律：（ab）c=a（be）；

（3）乘法的分配律:a（b+c）=ab+ac.

8、比较两个数的大小：（1）负数＜0＜正数，任何一个正数都大于一切负数

（2）数轴上的点表示的有理数，左边的数总比右边的数小

（3）两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反

而小

（4）两数相乘（或相除），同号得正＞0,异号得负＜0

9、有理数乘方的法则：（1）正数的任何次基都是正数；

（2）负数的奇次嘉是负数；负数的偶次事是正数；注意：当n为正奇数时：（-a）n=-an

或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时：（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）".

10、科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一

位的数，这种记数法叫科学记数法.

11、非负数的性质：若M+/+八=0,则。=0且6=0月1=0

第二章整式的加减

1.单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但

除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

2.单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称

单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

3.多项式；几个单项式的和叫多项式.

4.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项

式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

5、整式：单项式和多项式统称整式

6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

7、合并同类项的法则：将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不

变。

8、去括号法则：去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“一”号，全变号

第三章一元一次方程

1、等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

2.一元一次方程的一般式：ax+b=0（x是未知数，a、b是常数，且aWO）.

3.一元一次方程解法的一般步骤：整理方程……去分母……去括号……移

项……合并同类项……系数化为1……得到方程的解.

4.列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：距离二速度•时间速度=/时间=却受；

时间速度

（2）工程问题：工作量=工效•工时工效=工时=当空；

工时工效

（3）比率问题：部分=全体-比率比率=黑全体=磬；

全体比率

（4）顺逆流问题：顺流速度二静水速度+水流速度，逆流速度二静水速度-水流速度;

(5)商品价格问题：售价=定价•折•二，利润=售价-成本，

10

利润率=售价「成本X100%；

成本

2

长方形

(6)周长、面积、体积问题：CM=2nR,Si«=nR,C=2(a+b),

22=

S长方形二ab,C正方形=4a,S正方形二a",S环形二n(R-r),V长方体二abc,V正方体二a',Vguttn

21•.

R-h,V»=-nR'h.

H3

第四章图形的认识初步

1、直线公理：两点确定一条直线

2、线段公理：两点之间，线段最短

3、两点之间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离

4、1°=60；1=60'：1周角=360°；1平角=180°

5、两个角的和等于直角，这两个角互余；两个角的和等于平角，这两个角互补

6、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等

第五章相交线与平行线

1、命题：判断一件事情的语句叫命题。命题是由题设和结论两部分构成的，它可以

改写成“如果……那么……”的形式。

2、垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

3、.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

5、平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角互补，两直线平行。

6、平移的性质：平移前后的图形全等

第六章实数

1、实数的分类

•正整数

0正有理数

自然数，正实数

整数・.正整数正分数

有理数负整数正无理数

实数、'正分数、实数0

分数

负分数‘负整数

负有理数

正无理数负实数.负分数

无理数，

鱼无理数、负无理数

2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a

的算术生方根.，记作及。0的算术平方根为0。即、后（〃20）。

3.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a,即X?二a,那么数x就叫做a的

生方.根。

4.平方根的性质：正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平

方根，就是它本身；负数没有平方根。

5、立方根定义：如果V=Q,那么工

6、立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数

7、实数a的相反数是一a；一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它

的相反数，0的绝对值是0

8、实数和数轴上的点一一对应；有序实数对与平面内的点成一一对应关系

第七章平面直角坐标系

1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐

标系。

2、（1）将点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应的点（x±a,

y）；

（2）将点（x,y）向上（或左下）平移a个单位长度，可以得到对应的点（x,y±b）

（3）平移的口诀是：左减右加，上加下减

3、坐标平面内的点与有序实数堆成一一对应的关系

第八章二元一次方程组

1、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二

元一次方程的解。

2、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一

次方程组。

3、解二元一次方程组的基本思想：消元思想：基本方法是：代入消元法和加减.消元

法

4、解三元一次方程的基本方法是：三元（消元）f二元（消元）->一元

第九章不等式与不等式组

1、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

2、定理与性质

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等

号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向

不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向

改变。

3、不等式的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不

等式组的解集。

4、解不等式组的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。

第十章数据的收集、整理与描述

1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

3.总体：要考察的全体对象称为总体。

4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。（不带单位）

7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

频数频数

8频率：频数与数据总数的比为频率。即：频率=,数据总数=

数据总数

频数=数据总数X频率

第十一章三角形

1、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

2、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

3、公式与性质（1）三角形的内角和：三角形的内角和为180。

（2）三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大丁任何一个和它不相邻的内角。

（3）多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）-180°

（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360。。

（5）多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线,

把多边形分词（n-2）个三角形。

②n边形共有四自条对角线。

2

第十二章全等三角形

1、全等三角形：两个三角形的形状、大小都一样时称为全等三角形。一个图形经过

平移、旋转、对称等运动（或称变换）后得到另一个图形，变换前后的图形全等。

2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3、三角形全等的判定公理及推论有：

（1）“边角边”简称“SAS”：（2）“角边角”简称“ASA”：（3）“边边边”

简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”：（5）斜边和直角边相等的两直角

三角形（HL）＜»

4、（1）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等

（2）角平分线推论（或称判定）：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分

线上。

第十三章轴对称

1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么

这个图形叫做轴对.称图形二这条直线叫做对称轴。

2.性质；（1〉轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）角平分线上的点到角两边距离相等。

（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）

4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线

合一

5.等腰三角形的判定：等角对等边。

6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°,

7.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形：（2）有一个角是

60°的等腰三角形是等边三角形：（3）有两个角是60,的三角形是等边三角形。

8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。B

10、最短路径为题：如图L已知点A、B在直线1的同侧，A/

现在1上求一点C,使CA+CB最小，作法如下：|

作点B（或点A）关于1的对称点Bp连接/呵，交1于C,|

则点C就可使AC+BC最短。即

第十四章整式的乘除与分解因式

1.同底数塞的乘法法则：•优=4"5,n都是正数）

2.鼎的乘方法则：=优”"（也〃都是正数）

3.积的乘方法则：（ab）〃=优寿血〃都是正数）

4.整式的乘法

（1）单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在

一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它

转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每

一项，再把所得的积相加。+/?+（?）=ma+mb+me

（3）.多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再

把所得的积相加。：（a+b）（m+〃）=am+an+bm+bn

5.乘法的平方差公式：5+"）（"_"）=/一〃

6.乘法的完全平方公式：3±b）2=/±2"+〃

7.同底数界的除法法则：同底数累相除，底数不变，指数相减，即优；就二建一“

（a^O,m>n都是正数，且m>n）.

在应用时需要注意以下几点：

①法则使用的前提条件是“同底数呆相除”而且0不能做除数，所以法则中aWO.

②任何不等于0的数的0次恭等于1,即“）一1（°十0）

③任何不等于0的数的-P次第（p是正整数），等于这个数的p次第的倒数，即

aWO,p是正整数），

ap

8.整式的除法

（1）单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数辕分别相除，作为商的因式,

对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式,

再把所得的商相加.（+bm+cm）+〃?=a+〃+c

9.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积

的形式，这种变形叫做把这仝炙项式因式分a2.b2「式分J（a+b）（a-b）

解?…也则分.解困式整式的乘法

分解因式的一般方法：1.提公共因式法2.运用公式法3.十字相乘法

分解因式的步骤：（1）先看各项有没有公因式,若有一,则先提取公因式；

⑵再看能否使用公式法；

（3）十字相乘法可对二次三项式试一试；

（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；

⑸因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

10、因式分解公式：平方差公式/-从=（々+与（。一〃）；

完全平方公式a2+2ab+b2=Ca±b）2

11、特别记住：完全平方式有两个：a2-vlab+lr^Wa1-lab^b2

第十五章分式

A

1.分式：形如？，A、B是整式，且B中含字母叫做分式。

B

A（=

2.（1）分式一有意义的条件：8/0：（2）当AJ0时，A一的值是0

BB

3、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为。的整式,

分式的值不变。用式子表示为：一=一（A,B,C为整式，且CW0）

BB・CB+C

4.约分：把一个分式的分子用分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分。

5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,

一般将一个分式化为最简分式或整式。

7.分式的四则运算：（1）同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把

分子相加减.用字母表示为：？±2=且

CCC

（2）异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分，化为同分母的分式,

然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：三±£=竺生"

hdbd

（3）分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相

乘的积作为积的分母.用字母表示为：—

bdbd

（4）分式的除法法则：（1）.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再

与被除式相乘：.2+£=9•4

hdhc

8.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

9.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最箧公分母，将分式方程化为

整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根（求出未知数的值

后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值

范围，可能产生增根）.：使最简公分母为零的整式方程的根不是原方程的根（是

增根），使最简公分母不为零的整式方程的根是原方程的根。（简称：一化二

解三检验）

第十六章二次根式

1、二次根式：一般地，形如JIT（a^O）的代数式叫做二次根式。当a>0时，7a

表示a的算术平方根，其中VO=0

2、理解并掌握下列结论：

（1）右（。之0）是非负数：双重非负性）;(2)(Va)2=a{a>0)；

>0)

(3)\[a^=|«|=«0(6/=0)a(a〉0)a(a>0)

-a(a<0)-a(a<0)

-a(a<0)

口诀：平方再开方，出来带“框框”

3、二次根式的乘法：^•y[b=/ab（a>^b>0）,反之亦成立

二次根式的除法：经二J1（aNO,b〉O）,反之亦成立

4、

5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

（1）被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。

6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这

几个二次根式是同类二次根式。

第十七章勾股定理

1.（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,“

b,斜边长为c,那么5+b2=C?。

（2）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2a

2

+b~=UO,那么这个三角形是直角三角形。4*^^"----------b「C

2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题、如果把其中一个叫做原命

题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

第十八章四边形

1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边

形的对角线互相平分；平行四边形是中心对成图形，对角线的交点是对称中心。

3.平行四边形的判定：①.两组对边分别相等的四边形

是平行四边形

②.对角线互相平分的四边形是平行I四边形;

③.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

注：平行四边形定义也是一种判定方法

4.三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边

的一半。

5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.矩形的定义；有一个角是直角的平行四边形。人口

7.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线刁

互相平分且相等；矩形是轴对有两称图形，即经过对边中

点的两条直线是对称轴。（也是中心对称图形）

8.矩形判定定理：①.有一个角是直角的平行四边形叫做B-------'c

矩形。②.对角线相等的平行四边形是矩形。③.有三个角是直角的四边形是矩形。

9.菱形的定义：邻边相等的平行四边形。

10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两

条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对

角；菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是

对称轴。（也是中心对称图形）

11.菱形的判定定理：①.一组邻边相等的平行四

边形是菱形。

。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。⑥四条边相等的四边形是菱形。

12.S菱形（a、b为两条对角线）二底X高Ar\7

13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。X

14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

15.正方形判定定理：（1）邻边相等的矩形是正方形。

（2）有一个角是直角的菱形是正方形。

或者先证一个四边形是矩形，再证一个四边形是菱形。反过来证也行

16、（1）顺次连接对角线互相垂直的四边形I四边中点所得的中点四边形是矩形；（2）

顺次连接对角线互相等的四边形四边中点所得的中点四边形是菱形。

第十九章一次函数

1.一次函数：若两个变量x.y间的关系式可以表示成y=kx+b（kWO）的形式，则称y

是x的一次函数（x为自变量,y为因变量）。特别地，当b=0时,称y是x的正比例函

1)(1)

b.>0⑴/⑵

⑵

k叫/?二0⑵k<0<Z?=0

⑶

b<0(3)h<0

2.正比例函数一般式：y=kx（k是常数且kWO）。

3.正比例函数的图像和性质：正比例函数y=kx（kWO）的图象是一条经过原点的直

线。（1）当k>0时，直线y-kx经过第一、三象限,y随X的增大而增大；当k<0时，

直线y二kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小，（2）在一次函数kkx+b中：当

k>0时,y随x的增大而增大；当k<0时,y随x的增大而减小。

4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法。解题步骤是：（1）设解析式，（2）由

题意列出方程（或方程组），（3）解这个方程（或方程组），（4）写出函数的解析式

5、当攵|=左2时，直线》=七/十4和直线）=七%+优平行

V=K.X+Z?.

6、两条直线y=4x+4和y=+打的交点坐标就是方程组，，，的解

第二十章数据的分析

1.加权平均数：加权平均数的计算公式：\="/：乎+-,+：/（/、力…力

工+人+…+工

叫对应的可、占…%的权）。权的理解：反映了某个数据在整个数据中的重要程

度。

2.中位数：将一组数据按照山小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数

是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则

中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

4、方差公式：/=—[(%一幻2+(/一幻2+•••+*“一了了]

n~

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

第二十一章一元二次方程

1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的

最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

2、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且aWO)

3、运用开平方法解形如(x-m)2=n(n^O)的方程；领会降次一转化的数学思想.

4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为(1+〃)2二夕的形式，如果q20,方程

的根是文=一〃土北；如果q<0,方程无实根.

—h+/?"-

5、一元二次方程ax?+bx+c=0(aWO),当b-Llac2O时，x=---二----------叫做一

2a

元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

6、一元二次方程为a*+以+。=0(“#0),其根的判别式为；A=一4ac,则有下

列性质:

①△>()=方程有两个不相等的实数根一「但尹

②△=()=方程有两个相等的实数根：%=毛=-3

2a

③A<0=方程没有实数根.

7、一元二次方程根与系数的关系(又叫韦达定理):如果一元二次方程后+/>+c=0

C

(4R0)的两根为“,电，那么，就有3+工2=一7X,<X2=-(注意：运用根与

系数的关系的前提是b2-4ac>0)

第二十二章二次函数

1.二次函数：一般地，函数y和x自变量之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a

WO)(a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

2.二次函数的解析式三种形式。

bC4ac-b2.小

(1)一般式：y=ax2++c=a(x—)■+--——(〃工0)

2a4a

“在也b*上山5/b4ac-b2.

对称轴：x=--，顶点坐林：(———,-----),

2a2a4。

与y轴交点坐标(0,c)

（2）顶点式：y=a（x-h）1+k,对称轴：尤=/?,顶点：（h,k）

（3）交点式（或双根式）：y=。（不一七）。一工2），

其中抛物线与x轴的交点是（为，0）与（W，0）

对称轴：工=上土三

2

3、增减性：当a>0时，对称轴左侧，y随x增大而减小；对称轴右侧，y随x增大

而增大

当a<0时，对称轴左侧，y随x增大而增大；对称轴右侧，y随x增大而减

小

4、勾画草图关键点：①开口方向②对称轴③顶点④与x轴交点⑤与y轴

交占

5、.图像平移步骤

（1）配方y=a（x-h）2确定顶点（h,k）

（2）对x轴左加右减（括号内）；对y轴上加下减（括号外）

6、二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为为、x2其对应的纵坐标相等,

那么对称轴工=土土三

2

7.根据图像判断a,b,c的符号

（1）a——确定图像的形状和开口方向

（2）b一一与a共同决定对称轴：左同右异，当b=0时对称轴是y轴

（3）c——图像与y轴交于（0,c）,即c决定图像与y轴的交点的位置

8.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y二ax'bx+c与x轴交点的横坐标为、龙?是一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）

的根。

抛物线y=ax2+bx+c,当y=O时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c-0

（1）当从-4々0>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴

有两个交点；

（2）当4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有

一个交点；

（3）当〃一4时<0时，一元二次方程无实根，二次函数图像与x轴没有交点

b—/厂

9、最值：对于抛物线y=ax2+bx+c（aWO）,若a>0,当x=----时，）小小值=--------;

2a4。

,,、»b.4ac-b~

右a<0,当x=一力一时，y破大值-:

2a4a

第二十三章旋转

1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动

叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相

等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

3、旋转的三要素；旋转的中心、旋转角、旋转的方向。

4.中心对称图形与中心对称：（是一种特殊的旋转）

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们

就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180

度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称,

5、.中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连

线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线

段平行（或者在同一直线上）且相等。

6^（1）点P（x,y）关于x轴对称点的坐标是（x,—y）

（2）点P（x,y）关于y轴对称点的坐标是（一X,y）

（3）点P（x,y）关于原点对称点的坐标是（-x,—y）

⑷口诀：关于横轴对称“横”不变，关于纵轴对称“纵”不变，关于原点对称“都”

要变

第二十四章圆

1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，

定长称为半径。

2.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两

边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

3.内心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的

外心，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶

点的距离相等(等于半径)。

3、外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内

心，三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等(等

于半径)。

5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

7.点和圆的位置关系：设的半径为r,点P到圆心0的距离是P0,(1)P

在。0外<=>PO>r；(2)P在。0上=PO=r；(3)P在。。内<=>P0Vr。

8.直线与圆有3种位置关系：设。。的半径为r,圆心到直线2的距离为d,(1)

直线2与。0相离。d>r；(2)直线。与。0相切=d=r：(3)直线2与。。相

交<=>d<r.

9.两圆之间有5种位置关系：两圆圆心之间的距离d叫做圆心距，两圆的半径

分别为R和r,且R2r：(1)外离od>R+r；(2)外切0d=R+门(3)相交oR-r

<d<R+r；(4)内切od=R-r(R>r)；(5)内含。d<R-r(R>r)。

10.切线的判定方法；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

11.切线的性质：(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)经过

切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直丁•经过切点的半径。

12、切线长定理：从园外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与

圆心的连线平分两条切线的夹角。

13.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

14.有关定理：

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)在同圆或等圆中，村等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(3)在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角

的一半.

(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

(5)园内接四边形对角互补

36003600

14、(1)正n边形的中心角=卫一；(2)正n边形的中心角=它的一个外角=江

nn

15、圆的计算公式：(1)圆的周长。=2成=加；(2)圆的面积5=成2；

2

(3)扇形弧长2=回；(4)扇形面积5=也-=,伍；(5)圆锥侧面积

1803602

5酬=或［母；（6）圆锥表面积%）锥全=加^+勿^母；（7）S制柱侧=2%〃？；（8）

S圆柱全=2加〃+2m，

第二十五章概率初步

1、确定事件：（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验

中必然会发生的事件。

（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做

不可能的事件。

2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

3、（1）统计概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率4会

m

稳定在某个常数P附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

（2）古典概型概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并

且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率

为P（A）=-

n

4、概率的取值范围：OVP（4）《1。

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1

（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

5、求概率的方法：（1）列表法：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的

结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。（也可采用

画树状图法）。

（2）画树状图法：

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏

地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

第二十六章反比例函数

1.反比例函数：形如丫=人（k为常数，kWO）

的函数称为反比例函