直线与直线垂直、直线与平面垂直 高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.2第1课时

直线与直线垂直、直线与平面垂直

由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置.直线的方向向量、平面的法向量：由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置如果要判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，你能想到什么方法？利用线线平行的传递性以及等角定理可判断以上命题均成立问题1：已知

l1，l2，

v1，v2，

n1，n2表示直线，

α1

，α2表示平面，与同学交流，判定下列命题是否成立.画出相应的示意图会比较直观向量与垂直

α1

设空间直线

l1，l2的方向向量分别为v1=(x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，平面α1，α2的法向量分别为n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，则位置关系向量表示图示向量运算坐标运算l1⊥l2v1⊥v2v1∙

v2=0x1x2＋y1y2＋z1z2

=0l1⊥α1v1//n1n1=k

v1

a1

=kx1

b1

=ky1

(k≠0)

c1

=kz1α1⊥α2n1⊥n2n1∙

n2=0a1a2＋b1b2＋c1c2

=0要点归纳α1如图，过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影．1．直线与直线垂直

预先给定平面α，空间任意一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成的图形，称为这个图形在平面α上的射影．①如果直线

l

垂直于平面α，那么

l

在α上的射影是一个点，就是

l

与α的交点．想一想：直线

l

在平面α上的射影是什么图形?②如图，如果直线

l

与平面α不垂直，

l

在α上的射影就是一条直线．我们知道，与平面α相交但不垂直的直线是平面α的斜线．关于平面α的斜线

l

的射影，有如下结论：三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在这个平面内的射影也垂直．如何利用向量的运算来证明三垂线定理及其逆定理呢？例1

已知AB，AC分别是平面

α

的垂线和斜线，BC是AC在

α

内的射影，l

⊂α且

l⊥BC．求证：l⊥AC．

三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在这个平面内的射影也垂直．

尝试证明三垂线定理的逆定理直线与直线垂直的判定方法：(1)向量法设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0.(2)三垂线定理及其逆定理法①三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的

垂直，则它和这条斜线也垂直.②三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的

也垂直.射影射影归纳总结注意：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可以转化为两直线的方向向量互相垂直.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直.2.直线与平面垂直如何用向量知识来证明它？

设直线

l

同时垂直平面

α

内两条相交的直线．求证：l⊥

α

．例2

设直线

l

同时垂直平面

α

内两条相交的直线．求证：l⊥

α

．证明：如图，设直线

l

与平面α相交于点O，从点O出发在平面α内分别作有向线段OA，OB，OP，使其分别代表直线a，b，p的方向向量a，b，p，其中直线p是α内任一直线.

想一想：它与平面的法向量

之间有何关系?与

共线直线与平面垂直的判定方法：(1)向量法：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔

⇔∃k∈R，使得

.(2)判定定理：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直.直线l的方向向量

与平面的法向量

共线,则直线与平面垂直.v∥nn=kv注意：证明直线l与平面α垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可以.1.(多选)下列命题中，正确的是（

）

A.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直B.直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直C.两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直D.若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直

线与平面垂直AC直线与平面平行或直线在平面内当平面内两条直线的方向向量共线时，直线不一定和平面垂直2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．先尝试进行求证，再与同学交流你们的方法是否相同.“判定定理法”—一条直线垂直于平面内的两条相交直线证明：2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．“向量法”—方向向量

与法向量共线方法二：本节课你学到了哪些知识与方法？

1.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（

）A.(1，0，-2) B.(1，0，2) C.(-1，0，2) D.(2，0，-1)C

联立①②得x=-1，z=2，故点P的坐标为(-1，0，2).2.已知空间A(-1，1，1)，B(0，0，1)，C