一元二次函数、方程和不等式（学生卷）-高一数学寒假讲义（人教A版）

第02讲一元二次函数、方程和不等式

Z印【学习目标】

1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究--类重要的不等式一基本

不等式.

2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想.

【考点目录】

考点一：等式性质与不等式性质

考点二：利用基本不等式求最值

考点三：二次函数与一元二次方程、不等式

考点四：恒成立问题

考点五：二次函数根的分布问题

考点六：不等式在实际问题中的应用

^5【基础知识】

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意xeR,则x>0（x为正数）、x=0或x<0（x为负数）三种情况有且只有一种成立.

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：a>0,b>0=>a+b>0；

a<O.ft<0=>a+b<0

②两个同号实数相乘，枳是正数

符号语言：a>0,b>0=>ab>0

a<0,b<0=>ab>0

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：ci>0,^<0=><0

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：XG/?=>X2>0♦X=0<Z>x2=0.

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数a、b

①a-Z)>0O4>b；

@a-h<0oa<b；

③a-6=0。a=b.

对于任意实数a、b,a>b,a=b,。<力三种关系有且只有一种成立.

知识点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

(1)对称性：a>bob<a

(2)传递性：a>h,b>c=>a>c

(3)可力口性：a>boa+c〉b+c(c£R)

c>0=>ac>bc

(4)可乘性：a>b,c=0=>ac=be

c<0^ac<be

运算性质有：

(1)可加法则：a>b,c>d=>a+c>b+d.

(2)可乘法则：a>b>0,c>d>0=>ac>bd>0

(3)可乘方性：a>b>0,weN*=>an>bn>0

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.

知识点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式a、b,可以作差后比较a-6与0的关系，进一步比较。与6的大小.

①a-/)>00o>b：

②a-Z)<0=a<b：

③a—b=()oa=b.

作商法：

任意两个值为正的代数式a、b,可以作商〃后比较且与1的关系，进一步比较。与人的大小.

b

①巴>\oa>b\

b

②@v1=a<6；

b

（3）—=\oa=h.

b

中间量法：

若且匕>c,则a>c（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.

知识点四、基本不等式

1、对公式/+〃1而及空^之而的理解.

2

（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。=5时取等号”.

2、由公式/+从22a〃和土助之而可以引申出常用的常用结论

2

①2+^22（a/同号）；

ab

②2+巴工一2（&6异号）；

ab

③金4而

>0力>0)或“84<“了(a>0,b>0)

1+12

ab

知识点诠释：“2+/N2R）可以变形为：工色」巴，土吆之而可以变形为：ah<（£±^）2,

222

知识点五、用基本不等式点4土吆求最大（小）值

2

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

知识点诠释：

1、两个不等式：而与竺公之而成立的条件是K同的，前者要求〃，〃都是实数，后者要求

2

a，〃都是正数.

2、两个不等式：”2+/22时与纪女之而都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取"=”号

2

这句话的含义要有正确的理解.

3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑

使用平均不等式：若对于所给的“和式”中的各项的“积''为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各

项的“和”为定值，则"积''有最大值.

4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件:

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值.

5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题：

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

对于一元二次方程or?+c=0（。>0）的两根为玉、当且玉《工2，设△=/一4",它的解按照

△>0,A=0,△<（）可分三种情况，相应地，二次函数y=+云+。（。>0）的图像与工轴的位置关

系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式奴2+bx+c>0（a>0）或a/+bx+c<0

（。〉0）的解集.

A=Z)2-4acA>0A=0A<0

二次函数uL

y=ax1+bx+c利0/&

(a>0)的图象0后声

有两相等实根

ax2+bx+c=0有两相异实根

b无实根

(a〉0)的根西,工2（再<X）x=x^=

2}2a

ax2+bx+c>0b

{.Y|X<>x2}<xx---R

(a>0)的解集2a

ax2-i-bx+c<0

{x|j1<x<x2}00

m>0)的解集

知识点七、一元二次不等式恒成立问题

（1）转化为一元二次不等式解集为R的情况，即G2+瓜+。>（）（〃工0）恒成立=恒成立

A<0

a<0

ax2+bx-^-c<0(。0)<=>•

A<0.

（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.

,一【考点剖析】

考点一：等式性质与不等式性质

例1.（2023•辽宁・新民市第一高级中学高一期末）已知。则（）

A.cr<abB.ab<b2C.a2<b2D.a2>b~

例2.（2023・湖北武汉•高一期末）已知"此[0』,。+力疝2,4].则4~2〃的取值范围是（）

A.[1,5]B.[1,6]C.[2,7]D.[2,8]

例3.（2023・四川自贡•高一期末（文））对任意实数命题：

①若。>A。工0,l/VJac>he；

22

②若a>b,则ac>be:

③若ac2>be2，则">〃.

④若a'>h3^ab<0,WO—>—,

ab

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

考点二：利用基本不等式求最值

Q

例4.（2023・江苏•连云港市赣马高级中学高一期末）函数y=4d+4的最小值是（）

厂

A.7B.9C.12D.-9

例5.（2023•青海玉树•高一期末）若实数x>0,”0满足2冷+工-2k0,则1-2），的最小值为

（）.

A.4B.3C.2D.1

例6.（2023•湖北武汉•高一期末）已知正实数a,6,c-ab+4b2-c=0,当;取最小值时，下列

ah

说法正确的是（）

A.a=4bB.c=4b2

C.a+b-c的最大值为；D.a+〃-c的最大值为]

48

例7.（2023•湖北武汉•高一期末）已知2a—力=2,且0<。+〃<2,则」+的最小值为（）

a+ba-2b

A.2B.3C.4D.5

例8.（2023・贵州遵义•高一期末）负实数x、N满足、+y=-2,则的最小值为（）

y

A.0B.-1C.-V2D.-V3

考点三：二次函数与一元二次方程、不等式

例9.（2023•安徽合肥•高一期末）已知关于x的不等式0d+几+2<0的解集为（1,2）,则下列结论中正确

的是（）

A.a=3,b=\B.«=-1,6=-3C.a=\,b=-3D.a=-3,b=-\

例10.（2023•广东广州•高一期末）不等式3--工-220的解集是（）

22

A.\x-<x<I*B.〈xTWxW一，

33

2I.i2

c.x<——Mr>1D.jx|x<-13lr>->

3

例11.（2023•河南开封•高一期末）关于x的不等式水—（/+1卜+。〈。的解集为｛x[x<x<.Q，且

22

x2-x1=\,贝I]a+a=()

A.3B.-C.2D.7

23

例12.（2023•黑龙江•哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数〃x）=ad+（a+]）Mae&）

⑴若求°的取值范围；

（2）解关于x的不等式/（X）<7.

例16.（2023•黑龙江实验中学高一期中）已知不等式加_3工+2>0的解集为3x<\^x>b].

⑴求的值；

（2）解不等式底一（如+3x+从<0.

考点四：恒成立问题

例17.（2023•陕西・长安一中高一期末）当x>l时，不等式x+工之]恒成立，则实数。的取值范围是

x-\

（）

A.（f，2]B.[2,+oo|C.[3,+oo）D.（F，3]

例18.（2023•广东揭阳•高一期末）对任意的xe（O,+x）,犬_2必+1>0恒成立，则机的取值范围为

（）

A.[1,-HO）B.（1,钟）C.D.（F,l）

例19,（2023•吉林・农安县教师进修学校高一期末）不等式（。-2）/+（4-2）1-1<0对一切工三??恒成

立，则实数。的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（-2,2]

C.（-2）D（2,+8）D.（-co,-

例20.（2023•云南丽江•高一期末）对任意实数x,不等式2履2+h-3<0恒成立，则实数4的取值范围是

（）

A.0<左<24B.-24<^<0

C.0<k<124D.2224

2|

例21.（2023•黑龙江哈尔滨七十三中高一期末）若x>0,歹>0,且一+—=1,x+2y>〃/+7〃?恒成

xy

立，则实数〃，的取值范围是（）

A.-B.〃？<-8或例>1

C.，”4一1或〃？D.-1<»?<8

考点五：二次函数根的分布问题

例22.（2023•甘肃庆阳・高一期末）关于x的方程/+（加-2）*2〃?-1=。恰有一根在区间（0,1）内，则实

数明的取值范围是（）

A-[ilB-图C•加D.（同邛-2例

例23,（2023,辽宁•营口市第二高级中学高一期末）若关于x的方程/+仆+/_1=（）有一正根和一负

根，则。的取值范围为.

例24.（2023•河南•高一期中）已知关于x的方程f-（小+1）%+4渭=0的两根分别在区间（0,1）,（1,2）

内，则实数机的取值范围为.

考点六：不等式在实际问题中的应用

例25.（2023•上海师大附中高一期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧

原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管

员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400

元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧

墙的长度均为x米（2WxW6）.

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为些1元伍>0）,若无论左右两面墙

的长度为多少米，乙T.程队都能竞标成功，试求。的取值范围.

例26.（2023・湖南•宁远县明德湘南中学高一期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙（靠墙的一

面不用篱笆）的矩形菜园，墙长18m,向这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？

18m

例27.（2023•安徽•淮北一中高一期中）某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇

打造成“生态水果特色小镇经调研发现：某水果树的单株产量%（单位：千克）与施用肥料x（单位：

2?+34,0^^<2

千克）满足如下关系：氏。）=8，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x元.己知这

50-----,2<x<5

x-\

种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为/（x）1单位：

元）.

（1）求函数/（x）的解析式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

H【真题演练】

不等式，|＞。的解集是（）

1.（2007•全国•高考真题（文）)

A.(-3,2)B.(2,+co)

C.(-co,-3)U(2,+co)D.(-oo,-2)U(3,-Ko)

已知不等式（工+封仁+皆学乡对任意正实数x,y恒成立，则正实数

1.（2007•陕西•高考真题（理）)

的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2012•浙江•高考真题（文）)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是

2428

A.B.D.6

T~5C.5

3.（2023・天津・高考真题）若。＞。"＞。，则的最小值为.

（x+l）（2y+l）

4.（天津・高考真题（理））设，＞。一＞。，—，则的最小值为.

x

5.（2007,江西•高考真题（文））已知函数/（X）（"力为常数），且方程/（幻-x+12=0有两个

ax+b

实根为玉=3,Xj=4.

（1）求函数/（x）的解析式:

（2）设k＞l,解关于x的不等式:

2-x

6.（2007・上海•高考真题（文））解不等式：合2Y-「1〉色3x」-\一4.

7.（2007・北京•高考真题（理））若关于x的不等式公〜〉。的解集为（-*”），则实数。的取值范

围是；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数。的取值范围是

【过关检测】

一、单选题

Q

1.（2023・江苏•连云港市赣马高级中学高一期末）函数歹=1+2/+=的最小值是（）

厂

A.7B.-7C.9D.-9

2.（2023•湖南湘西•高一期末）不等式尔一加+c>0的解集为何-2Vx<1},则函数）,="2+公+。的图像大

3.（2023♦湖南•宁乡市教育研究中心高一期末）设力=2+竺（机、〃为互不相等的正实数），

m，i

8=-/+4.”2，则A与8的大小关系是（）

A.A>BB.A>B

C.A<BD.A<B

4.（2023•四川南充・高一期末（理））不等式（"2*+4（a-2）x-12<0的解集为R,则实数。的取值范

围是（）

A.B.{止1<Q«2}C.{〃卜2<4<1}D.{^|-1<«<2}

5.（2023•四川绵阳•高一期末）下列结论正确的是（）

A.若a>b,则ac>beB.若a>6,贝lj'>一

ab

C.若a>b,则a+c>/?+cD.若a>b,则/

6.（2023•湖北武汉•高一期末）已知2。—6=2,且0<。+6<2,则」^+―的最小值为（）

a+ba-2b

A.2B.3C.4D.5

7.（2023•陕西汉中•高一期末）若关于x的不等式〃渭+2x+〃?>0的解集是R,则加的取值范围是（）

A.（1,+00）B.（0,I）C.（-1,1）D.[1,+8）

8.（2023•四川自贡•高一期末（文））某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，

准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、三角形、弓形

这三种方案，最佳方案是（）

//////////////

方案1

A.方案1

二、多选题

9.（2023♦江苏•连云港市赣马高级中学高一期末）若。也cwR,a>b,且时工0,则下列不等式成立的是

（）

A，14B・卡〉尢C.意D.业|>阳

10.（2023•福建省福州高级中学高一期末）当x>0时，下列函数中最小值不是2的有（）

16

A.y=x2-2x+4B.y=x+——

x

C.y=x+—D.y=

x

11.（2023•湖北黄石•高一期末）下列说法正确的有（）

A.若工<?，则2x+丁二的最大值是-1

22x-l

41

B.若x,y,z都是正数，且x+y+z=2,则--+—的最小值是3

x+1y+z

C.若x>0,y>（）,x+2y+2xy=S,则x+2y的最小值是2

X2v

D.若实数x,»满足中>0,则——+-V的最小值是4-2及

12.（2023•湖北武汉•高期木）己知关于人的不等式+的解集为卜|。4〈尸},且

0-a<\,若再，X2是方程尔+6x+c=0的两个不等实根，则（）

222

A.a<0B.p-x}=x2-aC.|xj-x2|<lD.\fl-^|>|«-^|

三、填空题

13.（2023•上海市七宝中学高一期末）已知关于x的方程V-亦+25=0（〃eR）的两根为不、血•若

K-x2|=2,则实数夕的值是.

14.（2023•青海玉树•高一期末）已知关于x的不等式F+队-8>