高考数学复习讲义：椭圆 （原卷版）

解密20椭圆

【考点解密】

1.椭圆的概念

平面内与两个定点R,尸2的距离的和等于常数（大于IHBI）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的正点,两焦

点间的羽离•叫做椭圆的焦距.

集合尸={M|MQl+|M?2l=2〃},|Q&=2c<2a,其中aX）,c>0,且小。为常数.

2.椭圆的标准方程和几何性质

、2

1+5=1

标准方程沿卧

（a>b>0）（a>b>0）

y

图形

Bt\b

A\F^^F^A2iL

Tr

一aWxWa一bWxWb

范围

-b&y&b一“WyW”

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点4（一。,0）,A2（a,0）4（0,一。），42（0,a）

坐标51（0,-b）,&（0,b）Bi（一瓦0）,&S,0）

性

轴长轴A也的长为四;短轴8由2的长为七

质

焦距|F,F2|=2C

离心率注£（01）

a,b,c

4一+c2

的关系

【方法技巧】

1.椭圆的离心率（或离心率的取值范围〕，常见求法：

①求出4,。，代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于。，4c的齐次式，结合〃="一/转化为。，c的齐次式，然后等式（不等式）两边

分别除以〃或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得的取值范围）.

2.涉及与椭圆有关的轨迹方程及椭圆中的定点定值，.

求轨迹方程方法为直接法，即将题意转化为代数语言，化简即得轨迹方程；

对于定点问题，常可由对称性确定定点所在位置，后由三点共线结合向量共线或斜率相等可得定点坐标.

【核心题型】

题型一：利用椭圆的定义解决焦点三角形或者边长问题

1.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C的焦点为1）,鸟（0,1）,过工的直线与。交于尸，Q两点，若

|P段二3优Q|,|PQ|二1|Q用，则椭圆C的标准方程为（）

人5x25y2,n，

A.----1—■—=1B.xH----=1

232

2.（2023・全国•高三专题练习）已知点P是椭圆C：=+二上一点，点左、工是椭圆C的左、右焦点,

a~b~

若的内切圆半径的最大值为4-C,若椭圆的长轴长为4,则APG5的面积的最大值为（）

A.2B.2&C.—D.立

23

3.（2022秋•黑龙江佳木斯•高三建三江分局第一中学校考期中）已知在平面直角坐标系中，4-1,0）,8（1,0）,

。（-2,0）,E（2,0）,P为该平面上一动点，记直线PQ,PE的斜率分别为仁和攵2,且勺3=-设点。运动形成

曲线凡点M是曲线/上位于x轴上方的点，则下列说法错误的有（）

A.动点户的轨迹方程为二+反=1

43

B.一外4面积的最大值为G

C.|Q4|十|Pq的最大值为5

D.AMAB的周长为6

题型二：待定系数法求椭圆方程

4.（2022・全国•高三专题练习）平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点05在x轴上，离心率为乎.过点6

的直线/与。交于A、8两点，旦△A8K周长为46，那么。的方程为（）

A.—+/=1B.—+^-=1C.—+^-=1D.—+^-=1

332124128

5.（2022・全国•高三专题练习）已知F、工是椭圆C=+与=1（。＞人＞。）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B

crb-

在x轴上，A8・Ag=0且2A5.若坐标原点O到直线的距离为3,则椭圆C的方程为（）

C.土+21=1D.—+^-=1

1691612

2

6.（2023・全国•高三专题练习）已知双曲线产-汇=1的左、右顶点为A,B,焦点在y轴上的椭圆以A,A为顶点,

且离心率为由，过A作斜率为左的直线/交双曲线于另一点M,交椭圆于另一点N,若AN=2NM，则上的值为

D.±1

题型三：直接法求椭圆离心率问题

7.（2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C£+2=1（。＞力＞0）的左右焦点分别为耳，工，点

P是。上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

8.（2。23・全国.高三专题练习）已知椭圆呜+疥叱“。）的左焦点为F,过尸且斜率为型勺直线/与,交于

A4两点，与y轴交于点P.若户户=2而，则。的离心率为（）

A,走二B.好D.”

c.5/3—1

9.（2023•山东淄博•统考一模）直线x・2y+2=（）经过椭圆£+£=1（"力＞（））的左焦点尸，交椭圆于A,3两点,

交），轴于M点，若FM=3AM，则该椭圆的离心率为（）

A717+75RVr7-x/5V17-＞/5n717+75

A.-----------D.-----------Cr.-----------L）.--------

8429

题型四：构造齐次方程求离心率

10.（2023・湖南邵阳・统考二模）己知椭圆+/=的左、右焦点分别为"，半焦距为C.在椭圆上

存在点尸使得.工pp=•:，则椭圆离心率的取值范围是（）

sinZ.PF}F2sinN尸

A.B.（V2-l,l）C.（0,x/2-l）D.（0,V2-l]

II.（2023秋•河北保定•高三统考期末）已知椭圆C：*+*=,入分别为椭圆的左、右焦点，P

为椭圆上一点，过用作』耳?用外角平分线的垂线交的延长线于N点.若sinNPNF尸叵则椭圆

34

的离心率（）

A.正！B.@C.在D.坛1

2222

12.（2023•江西赣州•统考一模）已知椭圆。:1+，=1（〃＞》＞0）的左、右焦点分别为匕，K.椭圆。在第一象限

存在点加，使得|用用=花可，直线甲w与y轴交于点A,且"人是/“月耳的角平分线，则椭圆。的离心率为（）

A^6—1R5/5—1p•nG-l

A・-------o.-------V.~D•--------

题型五：利用自变量范围求离心率范围

13.（2023•全国•高三专题练习）设椭圆G：£+"=离心率为e,双曲线G：£-＞1的渐近线的斜率

小于竽，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

A.（噜阁B.停,1）（噜/）D.（底+8）

14.（2022秋.黑龙江鹤岗.高三鹤岗一中校考阶段练习）已知椭圆C：£+工=1（。＜〃?＜4）,定点A（2,0）,8（6,0）,

m~16

有一动点P满足卜&归山，若P点轨迹与椭圆C恰有4个不同的交点，则椭圆。的离心率的取值范围为（）

B.圈

15.（2022・四川绵阳仞川省绵阳南山中学校考二模）己知点〃在以6，尸2为左、右焦点的椭圆。：£+£=1（。＞〃＞0）

crb~

3

上，椭圆内存在一点Q在尸尸2的延长线上，且满足。£，。尸，若sin/£PQ=：,则该椭圆离心率取值范围是（）

题型六：椭圆的综合问题

16.（2023•宇夏•六盘山高级中学校考模）已知椭圆E：E+£=1（a＞〃＞0）的左、右焦点分别为外鸟，上顶点为

a~b~

与，若^耳为等边三角形，且点尸在椭圆石上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，&，不过坐标原点的直线,与椭圆上相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点）,

直线/U,、8人与），轴的交点分别为M、N,若|ON|=3|OM|,证明：直线过定点，并求该定点的义标.

17.（2023・河南开封•开封高中校考模拟预测）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、＞轴，且过

彳―孝,友两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P（0,8）的直线交E于M,N两点，点N关于＞轴的对称点为K,问直线是否过定点？若过定点，求出

该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

18.（2023春•天津河西•高三天津市新华中学校考阶段练习）设椭圆C:£+g=l（a＞人＞0）的右焦点为凡右顶点

为A,已知椭圆离心率为:，过点r且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

（1）求椭圆C的方程；

⑵设过点人的直线/与椭圆C交于点8（4不在x轴上），垂直于/的直线与/交于点M,与），轴交于点，，若以BH

为直径的圆经过点儿设直线/的斜率为上直线OM的斜率为占，且攵+4＜。，求直线/斜率攵的取值范围.

【高考必刷】

一、单选题

2

19.（2023.河南.洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆的上焦点"且斜率为〃的直线/交椭圆。于

2

4B两点，。为坐标原点，直线。4,。8分别与直线丁=2相交于时,八，两点.若4/07为锐角，则直线/的斜率攵的取

值范围是（）

B/也回

A.(^O,-I)u(l,-H»)D•,

D.（一一1）4一自，书51

,+8)

C卜母-忤+8)

22

20.（2023・山东日照•统考一模）已知椭圆C：,+〉1（4＞方＞0）的左、右焦点为匕，用，点4（-2,2）为椭圆。内

一点，点Q（a〃）在双曲线£：；=1上，若椭圆上存在一点P,使得I期+|尸国=8,则。的取值范围是（）

A.（0+同B.[3,5]C.（6+1,26]D.

21.（2023・全国•高三专题练习）设耳，用分别是椭圆C:£+*=1（。＞8＞（））的左、右焦点，点P,。在椭圆。上,

若+P勾=|尸耳一。勾，且2鸟=260,则椭圆C的离心率为（）

A.立B.弓C.且D.巫

3333

22.（2023•河南焦作・统考模拟预测）分别过椭圆+/=的左、右焦点”、居作平行直线4、〃，直

线人4在工轴上方分别与C交于。、Q两点，若4与，2之间的距随为且Sd＞M=3s△。-（S表示面积，o

为坐标原点），则。的离心率为（）

A.3B.—C.-D.—

3234

23.（2023・浙江•模拟预测）已知椭圆E+y2=l（a＞l）的左、右焦点为6，%P（LM为椭圆上一点，过P点作椭圆的

if

切线/,PM垂直于直线/且与％轴交于点M,若M为。6的中点，则该椭圆的离心率为（）

A.iB.巫C.女D.在

3322

，2

24.（2。23•辽宁沈阳•统考一模）己知椭圆£+£=1（〃”＞0）的右焦点为F,过尸作倾斜角为120的直线/交该椭

圆上半部分于点P,以FP,FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形。户PQ,点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆

的离心率为（）

A.；B.G—lC.立D.—

222

25.（2023•全国•模拟预测）己知椭圆C:「十=的左、右焦点分别为£,工，点/＞在椭圆C上，若离心率

|PF|

e=।/尸।,则椭圆。的高心率的取值范围为（

A.(0.^/2-1)D.[>/2-1,1)

26.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆夕+£=1（〃>6>0）的左右焦点分别为吊尸一椭圆存在一点人若

)

【夏

27.（2023春・全国•高三校联考阶段练习）已知£,人是双曲线。捺干=1（稣。，〃>。）的左、右焦点，A［平［是C

上一点，若C的离心率为区5,连结人马交。于点B,则（）

3

A.C的方程为［一尸=1B./£46=90

C."A尸2的周长为2石+2D.4A%的内切圆半径为君一石

28.（2023•河北邢台・校联考模拟预测）已知椭圆七:工+二=1的左焦点为八5为E的上顶点，A,C是七上两点.若

42

|必|,|五耳，|叱|构成以d为公差的等差数列，则（）

A.d的最大值是加

B.当”=1时，sinZAFC=—

3

C.当A,C在X轴的同侧时，SA"C的最大值为3

D.当A,C在％轴的异侧时（A,C与4不重合），*除-2

，2

29.（2023•山西晋中•统考二模）已知椭圆C：工+工=1的左、右焦点分别为"，鸟，上顶点为左直线/：），=心”工0）

43

与椭圆C交于M，N两点，/耳/鸟的角平分线与x轴相交于点£与），轴相交于点G（0,〃z）,则（）

14

A.四边形鸟的周长为8B-西卡丽的最小值为9

3D.当机=一《时，用目：区目=2:1

C.直线8M,8N的斜率之积为

4

22

30.（2023・湖南•模拟预测）己知椭圆：「：［+二=1（〃>6）的左、右焦点分别为斗%,右顶点为A,点M为椭

a'3

圆「上一点，点/是鸟的内心，延长交线段大工于N,抛物线），=］（“+0］（其中c为椭圆下的半焦距）

O

与椭圆「交于B,C两点，若四边形ABFJC是菱形，则下列结论正确的是（）

A.冈=竽B.椭圆「的离心率是更

2

149

c画十两的最小值为I

口制的值为3

三、填空题

31.（2023・广东江门•统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析儿

何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜

爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距

依次组成等比数列.根据以上信息，黄