五年级奥数应用题-方程组解法综合（ABC级）教师版

方程组解法综合

J知识框架

知识点说明：

一、方程的历史

同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元263年，数学家刘徽所著《九章算术》一

书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二乘，中禾三秉，下禾一秉，

实三十四斗：上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出

的“方程”如图所示。

左行中行右行

上禾111

中禾IIIIIN

下禾III1•

三叩।

实=丁三1111

(3)(2)(1)

方程的英语是equation,就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把equation译成“相等式”，

到清朝咸丰九年才译成“方程”，从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘微所

说的“方程”就叫做“方程组”了。

二、学习方程的目的

使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数

学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。

三、解二元一次方程组的一般方法

解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。

消元方法：代入消元法和加减消元法

代人消元法：

1.取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①；

2.将①代入另一个方程，得一元一次方程；

3.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

4.将这个未知数的值代人①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.

加减消元法：

1.变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）;

2.将两条方程相加或相减准元；

3.解一元一次方程；

4.代入法求另一未知数.

加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入.

'J重难点

（1）解分数系数方程组

（2）代入法消元法的基础理解

W例题精讲

一、二元一次方程组

x+y=5

【例1】解方程,（工，7为正整数）

【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答

【解析】方法一：（x+y）+（x-y）=5+l

2x=6

x=3

x=3

）=2

方法二：解代人消元法，由x+y=5得到x=5-y,代入方程=l中，得到（5-y）-y=1,整

x=3

理得y=2,所以x=3,所以方程的解为〈r

[y=2

x=3

【答案】）

y=2

(x+y=7(l)

【巩固】试用代入消元法和加减消元法求解方程组13x+y=17(2)

【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答

【解析】代人消元法：由①知Y=7-x,代人②式得3x+7-x=17.

即x=5,代入①式，得Y=2,所以b二：

加减消元法：②-①得2工=10,即兀=5,代入①式，得Y=2.所以

Iy=2

x=5

【琴案】

)'=2

9u+2v=20

【例2】解方程3〃+41。⑻为正整数）

【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答

【解析】方法一：加减消元法

化u的系数相同，加减消元法计算得2(9//+2v)-(3w+4v)=2x20-10

去括号和并同类项得18〃-3“=20

15〃=30

u=2

]〃=2

Iv=1

方法二：代入消元法由9〃+2u=20得到v=10-4.5〃，代入方程3〃+4u=10中得到

u=2

3〃+4(10-4.5〃)=10,整理得〃=2,v=1,所以方程解为，

v=1

u=2

【率案】

7arx-2-y=i2l(l()2)由手小吴看错了方程①_中的〃而得到方程组的解

【巩固】小吴和小林两人解方程组,

y—AX=l，如果按正确的。、〃计算，试求出原方程

为)二9，小林看错了方程②中的。而得到的解为

)'=8

组的解.

【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答

1=4

【解析】因为小吴同学没有看错②，所以)：9是符合②的解，有4x749j解得b=3;因为小林同学没

有看错①，所以是符合①的解，有。x3-2x8=2,解得〃=6；

y=8

6A2尸2

即原方程组为7尸3尸1解得

x=l

【客案】

y=2

x-5y=0

【例3】解方程组(X)，为正整数)

3x+2,y=17

【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答

【解析】加减消元,若想消掉y,应将)'的系数统一，因为[2,5]=10,所以第一个方程应该广大2倍，第

二个式子应该扩大5倍，又因为y的系数符号不同，所以应该用加消元，计星结果如下：

2(x-5y)+5(3x+2}')=2xO+5xl7,17x=85得x=5,所以5—5)，=0,解得)，=1。

【客案】

【巩固】解方程组x+yX।

-------------=1

32

【考点】二元一次方程组

【解析】把①变形为丁=4-x③

把③代入②得："+"J

把若代入③得

所以原方程的解是「o

y=3-

【答案】3

【例。解方程组内为正整数)

【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答

【解析】将第一个式子扩大2倍和二式相减得2(3x-)，)+(5x+2)，)=2x5+12,去括号整理1&=22解得

x=2

x=2,所以方程的解为

y=->

x=2

【答案】、

)'=T

20%x+8%y=300xl5%,

【巩固】

x+y=300

【考点】二元一次方程组

【解析】先整理，再利用带入或消元法解题

x=175,

【客案】

'y=125.

2。-150)=5(3)，+50)

【例5】解方程组J（苍），为正整数）

0.Lv+0.06y=0.085x800

【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答

【解析】对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得：

⑵一15y=550

<o'oc"s，若想消掉）'，将方程二犷大3倍，又因为），的系数符号不同，所以应该用加

5x+3y=8.5x400

消元，计算结果如下：（2x—15），）+5（5x+3y）=550+5x8.5x400,去括号整理得27x=17550,解

[x=650

得x=650,所以方程的解为〈”

y=50

x=650

【答案】

y=50

3d50)=4(3)，+60)

【巩固】

O.Olx+O.O6j=O.13xllO

【考点】二元一次方程组

【解析】

3x-12y=690

'x+6y=1430

312y=690

13x+18y=4290

30)，=3600

y=120

【答案】x=710,y=120

4x+3y-2=0

【例6】解下面关于]、），的二元一次方程组：'4

y-1=—

L3x

【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答

【解析】整理这个方程组里的两个方程，可以得到：|以+33，-2=0可以看出两个方程是不可能同时成

4戈+3y-3=0

立的，所以这是题目本身的问题，无解

【答案】无解

宰=7,

【巩固】尸3

二+2=14.

132

【考点】二元一次方程组

【解析】整理的（1）3x+4y=84（2）4x+3y=84,利用消元法求出x=y=12

【答案】x=12,y=12

=3

解方程组”;4

【例7】（人），为正整数）

=2

x—4y-1

【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答

【解析】本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将x-4与），-1看出相应的未知数，因为每一项的分母

不同，所以先将分母系教化成同样的，所以第二个式子等号两边同时乘以2整理得：

349291

（—T+一;）+2（-----）=34-2x2,去括孑整理后得到一、一7,根据分数的性质计笄得

.r-4y-1.r-4y-1x-4

x=7

x=7,所以方程的解为：.

l.y=3

【答案】!x=7

[y=3

【巩固】32

3(x+y)-2(x-j)=28

【考点】二元一次方程组

【解析】整理的式l:5x-y=36；式2：x+5y=28,利用消元法得x=8,y=4

【答案】x=8,y=4

二、多元一次方程

3x-4z=7

【例8】解方程组卜x+3y-z=9(x，)，，z为正整数)

5x-9y-7z=8

【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答

【解析】观察M)'，z的系数发现，第二个式子与第三个式子中的系数是3倍关系，所以将第二个式子扩大

3倍与第三个式子相减得到：3(2x+3y-z)+(5x—9y-7z)=3x9+8,去括号整理得llx-10z=35,

与第一个式子整理得《一s”，若想消掉Z,,因为4,10=20,所以第一个方程应该扩大5

llx-10z=35

倍，第二个式子应该扩大2倍，又因为z的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：

x=5

2(llx-10z)-5(3x-4z)=2x35-5x7,去括号整理得7x=35,x=5,所以方程解为卜=7

z=2

x=5

【客案】•y=l

z=2

x-y+z=\

y-z+u=2

【例9】解方程组z-“+v=5为正整数)

u-v+x=2

v-x+y=l

【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答

【解析】将5个式子相加得人+)'+2+〃+^=17,将1式与2式相加得x+〃=3,将2式与3式相加得y+v=7,

x+u=3A=0

y+v=7y=6

同理连续相加得到，z+x=7,整理后解为■z=7

”+y=9u=3

v+z=8v=1

',1=0

y=6

【答案】，z=7

u=3

v=1

J课堂检测

3+C=29

2

a十c

【随练1】解方程组」丁+〃=23,则人=

*"2。

【考点】解方程组

a+b

+c=29

2

【解析】

三式相加2(。+/?+c+)=72=>〃+力+c=36

。=4

每个式子都乘2减去上民，得"=10

c=22

【答案】Z/-10

x+2y=5

/、x+2z=5

【随练2】解方程组(2)jz+2〃=ll

u+2x=6

【考点】解方程组

【解析】

x+2y=5

y=2z=8

依次叠代有:

z+2〃=11

u+2,v=6

x=5-2y=5-2(8-2z)=4z-ll=4(ll-2w)-ll=33-8w=33-8(6-2x)=16x-15o

所以x=\,y=2,2=3,w=4；

【客案】x=l,y=2,z=3»w=4；

-家庭作业

2x-y=0(1)

【作业1】解方程组《，二

x2-/+3=()(2)

【考点】二元一次方程组

【解析】由于方程⑴是二元一次方程，故可由方程(1),得),=2x，代入方程⑵消去y

【答案】x=l,y=2

3।4

【作业2】归1=3

9_____2

=2

x-4y-\

【考点】二元一次方程组

【解析】

3492

二一+——)+2(--------------)=3+2x2

x-4y-\x-4y-1

21

=7

7^4

x=7

x=7

y=3

【辱案】r二7

V=3

(0.04+x+y)0.4%=0.04+x,

【作业3】

/+)，+0.04=20-5,

【考点】二元一次方程组

【解析】先整理成整系数方程组，然后求解。

0.02

【答案】『100'

"14.94

2(x+y)=