高中数学一轮复习-函数的性质及应用

专题3.3函数的性质及应用

r必背知识

1.函数的奇偶性

(1)奇偶性的概念

奇偶性定义图象特点

一般地,设函数/(%)的定义域为。，如果VxeD,都有一%£D,且

偶函数关于y轴对称

/(-X)=/(%工那么函数/■(%)就叫做偶函数

一般地,设函数/(%)的定义域为，如果VXeD,都有一Xe。，且

奇函数关于原点对称

/(-X)=-/•(幻\那么函数，(幻就叫做奇函数

⑵奇、偶函数的性质

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，即函数为奇函数或偶函数的必要条件是

其定义域关于原点对称：

②若奇函数的定义域包含0,则/(x)=0；

③令函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

④奇函数：/(-%)=-/IX);偶函数：/(-x)=/(x)；

⑤奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反.

【重要结论】

1.若函数/(|%|)的图象是由函数/(%)的y轴右侧图象翻折到y轴左侧，函数八|对)是偶函数;

2.二次函数/(%)=ax2+bx+C(Q。0)为偶函数Qb=0；

3.三次函数/(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0)为奇函数时<=>b=d=0；

4.常用的两个等价关系

(1)/(%+a)为偶函数=/(—x+a)=f(x+a)u>f(%)的图象关于直线％=a对称.

(2)/(%+a)为奇函数q/(-%+a)=-/Q+a)Q/(%)的图象关于点(a,0)对称.

5.熟记常见函数的奇偶性

奇函数：/(x)=/oga|^(a>0且Q工1)、/(x)=log。(J(几x)2+1—>0且aH

功、

/(%)=±(ax-a~x)(a>0且QH1)、/(%)=；j：.(a>0且aH1)、

f(x)=m(a>0且QA1)、f(x)=sin(kx)(kA0)、f(x)=tan(kx)也W0)

偶函数：/(%)=±(。义+。-%)、fW=cos(kx)(k*0)、

2.函数的周期性

(1)周期性的概念

①周期函数：一般地，设函数的定义域为。，如果存在一个非零常数7,使得对每一个Xe

D,都有

x+TG。，且+7)=/(x),那么函数/(x)就叫做周期函数.非零常数7叫做这个函数的

周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小

正数就叫做/(%)的最小正周期.

⑵函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量工：

①若/(x+a)=-/(%),则7=2a(a>0)；

②若/(x+a)=六，则T=2Q(Q>0)；

J("J

③若/(x+a)=-六，则7=2a(Q>0)；

④若f(x+a)=f(x-a),则T=2a(a>0)

3.函数图象的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数.

⑴轴对称：若/(x+a)=f(b-x)恒成立，则/(x)的图象关于直线詈对称；

+x)=f(Q-％)

逆用：若/(x)关于％=Q对称：可得到如下结论中任意一个：｛/(%)=/(2a-x)；

If(r)=/(2a+%)

(2)点对称：若/9+%)+“8—%)=仁则/(%)的图象关于点(半，9对称；

(f(Q+X)=-f(Q-%)

最常逆应用：若/(%)关于(a,0)对称：可得到如下结论中任意一个：［/(%)=-/(2a-x).

(/(-x)=-f(2a+%)

史教材改编

1.【人教A版必修一322奇偶性练习1P85】已知偶函数/(%)与奇函数gQ)的定义域

都是它们在［0,2］上的图象如图所示，则关于％的不等式/(x)-g(x)<0的解集是()

A.(-2,-l)U(04)B.(-1,0)U(0,1)C.(-1,0)U(1,2)D.(-2,-1)U(1,2)

2.【人教A版必修一习题5.4第12题P214］对于四个函数y=|sinx|,y=|cosx|,

y=5in|x|,y=lan|x|,下列说法错误的是()

A.y=|sin%|不是奇函数，最小正周期是TT,没有对称中心

B.y=|cosx|是偶函数，最小正周期是7T,有无数多条对称轴

C.y=sin|%|不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴

D.y=tan|x|是偶函数，最小正周期是心没有对称中心

考点归纳

考点一函数的奇偶性及应用

【方法储备】

1.函数奇偶性的判断

⑴定义法：①判断定义域是否关于原点对称；②若对称，判断f(-X)与/(X)的关系；③结

论.

⑵图象法：图象关于原点对称，函数为奇函数；图象关于y轴对称，函数为偶函数.

⑶性质法：设/(%),g(x)的定义域分别是仇也，那么在它们的公共定义域上：奇+奇二奇，

奇X奇二偶，偶+偶=偶，偶X偶二偶，奇X偶二奇.

2.函数奇偶性的应用

(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解；

(2)求函数解析式：已知/(%)为奇函数或偶函数，且已知%>0时/(%)的解析式，求XV0

时f(%)的解析式.先设％VO则一%>0,则可求出f(一X)的解析式，再根据f(%)=f(-%)或

f(x)=-/(-x),求得f(%).若f(%)为奇函数,定义域内有0,则f(0)=0.

⑶求解析式中的参数值：

①若表示定义域的区间含有参数,则利用定义域关干原点对称求参.

②利用/(-均±〃%)=0恒成立来确定参数的值；也可利用特殊值法求解，若定义域内

有a,则利用/(一Q)±f(a)=0求参；对于在％=0处有定义的奇函数/(%),可利用f(0)=0求解.

⑷画函数图象：利用奇函数或偶函数的图象的对称性，可画出函数在某区间对称区间上

的图象；

⑸求最值：①奇函数的性质：如果函数/(%)是定义在区间［Q,以上的奇函数，则/(X)max+

fOOrnin=。；

②偶函数的性质：如果函数/(%)是定义在区间&句上的偶函数，则函数f(x)是定义在区

间［a,b］上的最值等于函数fQ)在区间&0］(或［0/］)上的最值.

⑹判断函数单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相

反的单调性.

【典例精讲】

例1.(2025♦河南省省级联考)(多选)下列函数中，存在实数a,使函数f(x)为奇函数的是

A./(x)=lg(x+yjx2+a)B./(%)=x2+ax

B./(x)---2D.f(x)—xln(er+a)——

e12

例2.(2025•湖北省武汉市•模拟)已知函数fQ)=x(ex+ae^xGR),若函数/(x)是偶函

数，记a=m,若函数f(%)为奇函数，记。=九，则?n+2"的值为()

.OB.1C.2D.-1

例3.(2025•河北省石家庄市月考)已知函数/(%)为定义在R上的奇函数，且对于V'L&E

[0,+oo),都有"(X2)r"(/)>o(%j手打)，且/(3)=2,则不等式/(%)>&的解集为_____.

小一%1%

【拓展提升】

练1・1(2025•河北省石家庄市期末)(多选)以下关于函数y=/(x),xeR的四个命题中，

正确的有()

A.若f(1+2x)=/(I-2x),则/(x)的图象关于直线x=1对称

B.若f(2-x)+f(2+x)=2,则f(x)的图象关于(2,1)对称

C.若f。)为偶函数,且/(%+2)=-/(乃，则/(%)的图象关于直线％=2对称

D.若/'(%)+/(%+2)=6，则/(%)是周期函数,周期为2

练1・2(2025•河南省•月考试卷)(多选)已知函数f(x)的定义域为R,则下列说法正确的是

()

A./(%)可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和

B.若/(%)是奇函数，贝”2(%)是偶函数

C.若f(x)是偶函数，则Nf(x)是偶函数

D.若/(%)是奇函数，则/(炉)是奇函数

练L3Q025•河南省商丘市月考)(多选)已知函数y=/(x-l)的图象关于x=l对称，且

对y=fW,xeR,当％i，%2€(-8,0]且％iH不时，上空<0成立，若/(2a%)</(2%2+

x2~xl

1)对"任意x€R恒成立，贝必的可能取值为()

A.一。B.-1C.1D.C

【易错提醒】

判断函数奇偶性时忽视定义域

例4.(2025•北京市市辖区月考)(多选)下列函数为奇函数的是()

ex-e~x/——----

A./(x)=B./(%)=ln(x+Vx2+1)

Bf(x)=^+《D.f(x)=JU

考点二函数的周期性与对称性

【方法储备】

1.周期性的应用

⑴判断函数是否为周期函数：证明/(%+7)=/(%)(7。0),则函数为周期函数，T为函

数的一个周期，贝欣7(〃WZ且k工0)也是函数的周期；

⑵求函数的周期：

递推法：若+Q)=-/(x),贝叶(％+2a)=/[(x+a)+Q]=-f(x+a)=/(%),所以

周期T=2a；

换元法：若+a)=/(%-Q),令％-Q=L%=t4-a,贝+2a),所以周

期丁=2a.

⑶根据周期性可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，或将未知区间上的问题转化

为已知区间上的问题，进行研究.

2.类周期函数

⑴类周期函数：若y=f(x)满足：/(x+m)=k/Q)或/(x)=-m),则y=/(x)横

坐标每增加m个单位，则函数值扩大k倍.此函数称为周期为小的类周期函数.

⑵倍增函数：若函数y=/(x)满足f(mx)=k/(x)或/(x)="($，则y=/Q)横坐标每

扩大?n倍，则函数值扩大k倍.此函数称为倍增函数.

3.周期性与对称性

(1)准确区分题干条件是得到周期性，还是得到对称性;

(2)由对称条件得到函数周期.

①若/(x)的图象关于％=a对称，且关于％=b对称，贝J7=2\a-b|;

②若/(x)的图象关于(Q,0)对称，且关于％=b对称，则T=4\a-例;

③若/'(X)的图象关于(Q,0)对称,且关于(b,0)对称，则7=2\a-b\.

【典例精讲】

例5.(2025•河南省模拟)已知函数f(%)是定义域为R的奇函数，满足/(%)+f(2-x)=0,

且当％G(0,1)时，/(%)=旦,则f(l)=,g(x)=/(x)-|lgx|,则函数g(%)的零点共

有个.

例6.(2025•广东省汕尾市•模拟)(多选)已知定义在R上的函数/(x)满足/(I+x)+/(1-

%)=0,且/(%)不是常函数，则下列说法中正确的有()

A.若2为f(%)的周期，则f(%)为奇函数B.若/(%)为奇函数，贝IJ2为/Xx)的周期

B.若4为/(%)的周期，则“功为偶函数D.若为偶函数，则4为f(x)的周期

例7.(2025•广西贵港市•期末考试)已知y=f(x+1)是定义在R上的奇函数，且f(%+4)=

/(2-x),当时，fM=2x-x2,则/(1)=,/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+

•••4-/(2025)=.

【拓展提升】

练24(2025•辽宁省鞍山市期末)(多选)已知函数/(乃的定义域为R,其导函数为了'(X),

若函数/(2%-3)的图像关于点(2,1)对称，/(2+x)-/(2-x)=4x,且"0)=0,则()

A.f(%)的图像关于点(1,1)对称B.f(x+4)=/(X)

B.f(1026)=2D.鹏f(i)=2499

练222025•湖南省长沙市•模拟)(多选)已知函数/(%)满足：①f(Q-%)为偶函数

；G)/(c+X)+/(c-％)=2d,aH是/(%)的导函数，则下列结论正确的是()

A.-(%)关于%=c对称B.f(2%)的一个周期为2|c-a|

B.不关于(c,d)对称D.f(f(x)关于x=a对称

练2・3(2025•广东省佛山市月考)(多选)已知定义或为R的奇函数/(x)满足：当％G(0,1]

时，/(x)=xlnx；当/W(l,+8)时,f(%)=2/(%-1),下列说法正确的有()

A.八%)的周期为2

B.当*G时，f(x)=2(x+l)ln(-x-1)

c.若MIEN*,2^1/(；+0<A,

考点三函数的性质的综合应用

D.若方程f(%)=攵％-J在［0,2］上恰有三个根，则实数k的取值范围是(1-Zn2,i)

【方法储备】

1.函数单调性与奇偶性的综合：

①比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变

量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；

②解/3)+/3)>0类型的不等式，先判断函数的奇偶性，若函数为奇函数，即可转化

为-力，借助单调性解不等式，注意函数定义域；

2.周期性与奇偶性的综合：

此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转

化到已知解析式的函数定义域内求解；

3.函数的奇偶性与对称性相结合：

目的是利用奇偶性与对称性，将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

【典例精讲】

例8.(2025•江苏省南京市联考)(多选)已知/(%)是周期为4的奇函数，且当0工久42时，

小)=停学：会'〈2设9(%)=〃%)+〃、+1)，则()

A.函数y=g(x)为周期函数

B.函数y=g(x)的最大值为2

C.函数y=g(x)在区间(7,8)上单调递增

D.函数y=g(x)的图象既有对称轴又有对称中心

例9.(2025,江苏省苏州市月考)己知定义在R上的奇函数y=/(x)的导数为y=/'(%),当

XW0时，/。)+放>0,若b=-2/(-2),c=(ln1)/(ln1),则a,b,c的大小关

系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

例10.(2025•湖南省长沙市模拟)设y=/(x)为R上的奇函数，当工>0时，/(%)=

3foVXW2

又9。)=三，若x€［-5,7］时，函数y=f(x-1)与y=g(x)的图像的交

；/(x-2),x>2

点坐标为(卬％)，。2①)，・・・&1，%)，则£&1勺=()

A.-6B.6C.7D.8

【拓展提升】

练3・1(2025•湖南省邵阳市•模拟题)(多选)已知函数fO)的定义域为A,且/•(-%)=〃工),

/(%-2)=-/(-%),当)€［0,1］时,f(%)单调递减，则下列说法正确的是()

A.函数/(%)的图象关于直线％=-1对称B.函数/(%-1)为奇函数

5

C.Sn^lf(九)=0D.f(log3^)>f(log45)

练3-2(2025•浙江省模拟)已知函数/(%)=靖一e-,关于。的不等式/(cos26-7)+

/(4m-2?ncos。)>0对任意的。G［一］刍恒成立，则实数m的取值范围为.

练3・3(2025•浙江省•单元测试)(多选)已知函数/(X)=esin%-cos“+ecosx-sinx,则下列

说法正确的是()

A./(x)的图像是中心对称图形B./(x)的图像是秣对称图形

B./(x)是周期函数D.f(x)存在最大值与最小值

新题放送

1.(2025•湖南省益阳市模拟)已知定义在R上的函数/(%)满足/(%+1)+/(%-1)=2,且

y="2%+1)+2为奇函数，则/(2025)=()

A.OB.-4C.2D.-2

3.(2025•江苏省•期末考试)已知函数f(x)二会^,g(x)=1sin7rx+1,若y=f(x)的图象与丫=

g(x)的图象的交点分别为(Xi，yi),(X2，y2),…，(Xn，yn)，则X1+X?+…+Xn=.

4.(2025・全国•模拟题)(多选)定义在R上的函数/'(%),g(x)满足g(x+l)—f(2-x)=2,

f(x)=g'(x-1),且g(x+2)为奇函数，则下列结论正确的是()

A.函数g(%)关于点(2,0)对称B.函数-。)关于直线％=2对称

B.函数/(%)的周期为4D.£但fg(k)=o

【答案解析】

1.【人教A版必修一322奇偶性练习1P85]

解：如图所示：当OV%V1时，/(x)>0,gM>0,/(%)-gM>0；

当1V%V2时，/(%)<0,g(x)>0,/(%)-gM<0,故当%>0时，其解集为(1,2),

•・・y=/(%)是偶函数,y=g(%)是奇函数，・・・y=/(%)♦g(%)是奇函数,

由奇函数的对称性可得：当XV0时，其解集为(-1,0),

综上：不等式f(%).g(x)<0的解集是(-1,0)U(1,2).

故选C.

2.1人教A版必修一习题5.4第12题P214]

解:对于4,令/(x)=|sinx|,/(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=/(x),为偶函数，

且|sin(x+TT)|=|sinx|,故周期为兀，没有对称中心,故4正确;

对于B,令/(%)=|cos/(—%)=|cos(—%)|=|cosx|=/(%),是偶函数,

|cos(x+TT)|=|cosx|,周期是7T,有无数多条对称轴,故8正确;

对于C,令=$也|划，/(-%)=sin|(-x)|=sin|x|=/(x),为偶函数，

不具有周期性，只有一条对称轴为y轴，故C正确；

对于D,令/(%)=tan|/(-%)=tan|(-x)|=tan|x|=/(%),为偶函数，

不具有周期性，只有一条对称轴为y轴，没有对称中心，故。错误.

故选：D.

例1.

解：对于4当Q=1时，/(x)=lg(x+仃彳1)定义域为R,

/(-X)=lg(Vx2+l-x)=lg/，2+]=Tg(%+7/+1)=-/(%),

此时函数/(%)是奇函数，故A正确；

对于B,y="是偶函数，.../(%)=%2+ax不可能是奇函数，故B错误;

对于C,可知函数/(x)的定义域为(-8,0)u(0,+oo),

由/(一工)=可得羡台一2=一3+2,

可得Q—ae"=4e“-4,解得Q=—4,故C正确；

2

对于D,当Q=1时，/(%)=xln(ex4-1)——=%ln(e*4-1)--

=xln^-4--xlnfez+e-5),

此时出数/(x)的定义域为R,

/(-x)=-%-In(e-5+。万)=一/0),函数/(x)是奇函数，故D正确.

故选ACD.

例2.

解：设g(x)=e*+ae-,

若函数f(%)=x(ex+是偶函数，所以g(x)=ex+为奇函数.

又因为函数f(x)的定义域为A,所以g(0)=0,

即g(0)=l+Q=0,解得。=-1,所以巾=一1.

若函数/(乃=x(ex+Qe-x)是奇函数，所以g(x)=ex+此一、为偶函数

所以+ae")=ex+ae-vE|J(l—a)(e~x—ex)=0对任意的x都成立

所以Q=1,所以九=1,

所以机+2n=1,

故选:B.

例3.

解：•・・对于Vxi，&6[0,+8)都有七外七—>0(X1Hx2),

*2一41

当%1<小时可得：X2/(X2)>

则g(%)=xf(x)在[o,+8)上单调递增，

又函数/(%)是定义在R上的奇函数，/(3)=2,

故函数g(x)=x/(x)在R上是偶函数，

所以gQ)在(—8,0)单调递减，以-3)=g(3)=3/(3)=6,

当》>0时，不等式/(%)>：o%/(%)>6<=>g(%)>g(3),所以％>3;

当x<。时，不等式/(%)>：0x/(x)<6<=>g(x)<g(—3),所以一3<%<0;

综上所述，不等式/(%)>:的解集为(一3,0)U(3,+QO),

故答案为:(-3,0)U(3,+00).

练1-1.

解：A选项：函数y=/(%),若/(I+2x)=/(I-2x),

则的图象关于直线％=1+2x^-2x=1对称，故A正确；

B选项：若/(2-％)+/(2+£)=2,

则/(%)的图象关于点(2,1)对称，故3正确；

C选项:由于函数/(%)为偶函数，故/(-X+2)=-/(r)=-/㈤=/(x+2),

故函数关于、=生手=2对称，故。正确；

。选项：若/。)+/。+2)=0时，则/Q)是周期函数，周期为4,故。错误.

故选ABC.

练12

解：对于4/(为="旦+侬卢2,xWR,

令gQ)=/⑶?(一”)，九(0=/(”)](-?%G/?,

则g(-x)==9(%),九。)="一个"乃=S

且g(%)和九(%)的定义域关于原点对称，则g(x)是偶函数，九(%)是奇函数，

而/(%)=。(%)+九(%)，因此/(%)可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确;

对于8,f(%)是奇函数,则/(_%)=_/(%),f2(-x)=[-/(%)]2=y2(x),

月/2(乃的定义域关于原点对称，故尸(乃是偶函数，8正确；

33

对于C,—是偶函数,则/(—》)=/Q),(-x)/(-x)=-xf(x)f

且//。)的定义域关于原点对称，故//(x)是奇函数，C错误；

对于D,/'(%)是奇函数，贝行(一%)=-/(x),/[(-x)3]=f(-x3)=-f(x3),

且的定义域关于原点对称，故是奇函数，。正确.

故选：ABD.

练1-3.

解：因为函数y=/(工一1)的图象关于直线％=1对称，

所以函数y=〃%)的图象关于直线％=0对称，所以函数/(%)是偶函数.

又修,％26(-8,0］且与H不时，"")一""1)V0成立，

x2-xl

所以函数/(X)在(-8,0］上单调递减，在［0,+8)上是单调递增,

月/(2QX)</(2x2+1)对任意％eR恒成立，

所以|2QX|<\2x2+1|对任意%6R恒成立，

当x=0时，0V1恒成立；

当无学。时，同〈喧干=K+勺=1%1+1勺，

又因为闭+1/1之2、1|x|.|^-|=<2,当且仅当|x|=?时，等号成立,

/人yl

所以|Q|VC,因此一，至vqvC.

故选BC.

例4.

解：根据题意，依次分析选项：

对于4选项，其定义域为R,则有/(一口=言9=-/(力，故A是奇函数；

对于8选项，其定义域为R,则有/(-X)=In(-x+V炉+1),

/(-%)+/(x)=ln(-x+Vx24-1)+ln(x+Vx2+1)=0,故8是奇函数；

对于C选项，其定义域为U},则有/(-%)=白+；=三+、

L人—71z1—2人Z

/(-%)+/(%)=-^+|4--^-4-|=0,故。是奇函数；

对于D选项，^>0^-1<%<1,定义域不关于原点对称，故。不是奇函数.

1+X

故选：ABC.

例工

解：由/(x)是定义域为H的奇函数，则/'(())=0,

又•・"(％)+f(2-x)=0,得/(2-%)=/(-%),

B|J/(2+%)=/(%),得f(x)是周期为2的周期函数，

在f(%)+/(2-％)=。中，令％=1，得/(1)=0：

g(x)=/(x)-1他%|的零点个数即为y=/(%)与y=|ig%|交点个数,

画出y=/(X)与y=|lgx|的图象，如图所示，

y

由图可得交点有6个，故函数g(x)的零点共有6个.

故答案为0:6.

例6.

解：•・"(l+x)+/(l-x)=0,

对于选项4,若/'(X)周期为2,贝疗(1一%)=/(1-％-2),而/(1+X)+/(1-X)=0,所以

/(1+x)+/(-]—%)=0,

进而可得/(1+%)=-/[-(1+切,说明/(%)=—/(-刈，〃%)为奇函数,故A正确；

对于8,f(%)为奇函数,又/(1+工)=一/(1一%)=-/[一(％-1)]=/(%-1),即f(l+©=

f(x-1),/(I+x+1)=/(x+1-1)=/(x),即/(%+2)=/-(%),故函数为以2为周期的周

期函数，故B正确；

对于C,若/(%)周期为4,贝”(x+4)=f(x),无法说明/(%)为偶函数，选项。不正确；

对于0,/(I4-x)=-/(I-x)=-/[-(x-1)]=-/ix-1),/(l+x+l)=-/(l-x-

1)=-/(-x)=一/。)，即/。+2)=-/(%),/(%+4)=/。+2+2)=-/(%+2)=/(X),

故4为/(%)的周期，故。正确.

故选入RD.

例7.

解：因为f(%+l)是定义在R上的奇函数，所以y=f(%)图象的对称中心为点(1,0),且

"1)=0，

因为+4)=/(2-%),所以y=/(%)图象的对称轴为直线％=3,

f(x+3)=/(3-x),

又f(%+1)二一f(1一%),可得：f(%+3)二一f(一刀一1),

所以f(3-x)=-/(-%-1),即f(3+%)=-f(x-1),

即/(4+x)=-f(x),所以/(8+x)=-f(x+4)=/(%),

所以/(x)的周期7=8,

因为/(0)=1,/(1)=0，/(2)=-/(0)=-l,/(3)=-f(-l)=p/(4)=/(2)=-1,/(5)=

/(I)=0,/(6)=/(0)=1,/(7)=/(-I)=-p/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+•••+/(7)=0,

所以f(0)+/(I)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=/(0)+/(l)=1.

故答案为：0；1.

练2・1.

解：解:由f(2x-3)的图像关于点(2,1)对称，

得f(2x-3)4-/(2(4-x)-3)=2,

即?(2%-3)+/(5-2%)=2,

因为2工―3+5-2%=2,

所以f(x)的图像关于点(1,1)对称，故4正确；

由/*(2+X)—/(2-%)=4%»可得/(2+%)-2(2+%)=f(2—%)—2(2一%).

令。(%)=/(%)-2%,则/(%)=g(x)+2%,g(2+%)=g(2-x),

所以g(x)的图像关于直线x=2对称.

由/Xx)的图像关于点(1,1)对称，

可得g(x)+2x+g(2-x)+2(2-%)=2,

即9(%)+g(2-%)=-2,

所以g(x)的图像关于点对称，

所以g(x)的周期为4,即g(x+4)=g(x),

则+4)-2(%+4)=/(%)-2x,

所以f(x+4)=f(x)+8,故B错误；

由/*(2+x)-f(2—x)=4xt可得尸(2+%)+/(2—x)=4»

所以((2)=2.

由/'(%+4)=/(X)+8,可得尸(X+4)=f(x),

所广(1026)=r(2)=2,故C正确；

由g(x)=f(x)-2%,f(o)=o,

可得f(x)=g(x)+2x,g(0)=0,g⑴=-1,g(2)=-2,g(3)=-1,

所以E凿f(i)=£出9(i)+E以2t

(2+100)x50

=g(l)+g(2)+12x(0-1—2-1)+----早——

乙

=2499,故。正确.

故选ACD.

练22

解：对于力，由/(c+%)+f(c-X)=2d两边求导得/'(c+%)-/'(c一％)=0,即/'(%)关

于x=c对称，A正确;

对于8,由/(a+x)为偶函数，知/(x)关于x=Q对称，又/'(c+x)+/(c-％)=2d,则/(x)关

于(c,d)对称，

所以/0)的一个周期为4|c一a|,/(2%)的一个周期为2|c-a|,所以9正确；

对于C,当c=d时，由f(c+x)+f(c—x)=2c,得f(f(c+x))+f(f(c—x))=/(/(c+%))+

/(2c—f(c+x))=2c,

/(f(x))关于(Gd)对称，

当CHd时，/(/(x)不关于(c,d)对称，所以C不对;

对于D,由/(a+x)为偶函数，知/(x)关于x=Q对称，即/'(a+x)=f(a-x),则/'(/'(a+%)=

f(f(a-x)),

即f(f(%))关于％=Q对称，所以。正确.

故选ABD.

练23

解：因为当％W(0,1］时，f(x)=xlnx；当-W(l,+8)时,/(x)=2f(x—1)>

所以当为G(1,2］Bt,f(x)=2(x-l)ln(x-1).

因为/'(x)是定义在R上的奇函数，

所以当xE［―2,—1)时，/(%)=—/(—%)=2(%+l)ln(—%—1),故B正确；

由解析式可得，/(-|)=2(-1+l)ln(1-l)=仇2,

而/(-|+2)=筋)=沙扛仇2,故4错误；

因为i=l,2,n(n£N>-+i>1,此时/(x)=2/(x-1),

e

所以£匕f©+i)=2/(；)+22/(;)+…+2V(;)=(21+22+…+2^)/(1)

=等爬)=-2”-1)，

所以［一久2?：l)］maxWL

令g(n)=-;(2n-1)，贝叼5)在nGN*上单调递减，

所以g(7l)max=9(1)=—：，所以4N—故C错误；

若方程〃%)=依-按［0,2］上恰有三个根，即/⑺的图象与直线y=依-按［0,2］上有三个交

点，

直线y=—：过定点（0,-》，画图如图所示:

由图可得右〈2<公，其中心为点(0,-)(1,0)连线的斜率，则七=3

«为直线y=kx与曲线y=/(x)(0<%<1)相切时的斜率.

设切点为Qo，%)，则%=x0\nxQt

因为尸(%)=Inx4-1,所以&=lnx0+1,

切线方程为y-x0\nx0=(lnx0+1)(%一%o)，

将点(0,—｝的坐标代入，得—1―&lnxo=(lnx04-1)(0—x0),

即q=三，则的=In2+1=1一加2,所以kW(1—也2二)，故。正确.

222

故选：BD.

例8.

解：因为奇函数的=侪建黄，2.

所以当-1<%<0,即0<-%<1时，/(-%)=-x,则/(%)=-/(-%)=x,

当一2WxV—1,即1V%W2时，/(—x)=2+x,K1J/(x)=—/(-X)=—2—x,

因为gQ)=/(%)+f(x+1),f(%)的周期为4,

则gQ+4)=f(x+4)+/(%4-4+1)=f(x)+f(x+1)=g(x)，

即函数y=g(X)为周期函数，且周期为4,故A正确；

所以当0<x<1时，1与x+142,则g(x)=x+2-(％+1)=1,

当1V%W2时，2<%+143,—2〈％—34一1,则g(x)=2-%+[-2-(x-3)]=3-2%,

当一1<x<。时，0W%+141,则g(x)=%+(x4-1)=2%+1,

当一2WxV-l时，-lWx+lvO,贝ijg(x)=-2—x+(x+1)=—1,

作出函数y=g(x)的图象如图所示：

由图可知，函数y=g(x)的最大值为1,故“错误；

函数y=g(x)的图象既有对称轴又有对称中心，故D正确；

由函数y=g(x)在区间(-10)上单调递增，

可知函数'=9。)在区间(7,8)上单调递增，故C正确.

故选：ACD.

例9.

解：-y=/(》)为定义域为R的奇函数，

F(x)=好(x)为R上的偶函数，〃(%)=/(X)+xf(x)

•・•当工。0时，/'(%)+—>0,

•••当x>0时，x•/'(X)+/(%)>0,

当XV0时，x-f(x)+/(x)<0,

即F(x)在(0,+8)单调递增，在(-8,0)单调递减，

。=1G)=F(9=FQnO,b=-2/(-2)=F(—2)=F(2),

c=(ln1)/(ln1)=F(ln1)=F(Zn2),

•・•0<XnyTe<ln2<2,<F(Zn2)<F(2),

即QVc<b,

故选C.

例10.

解：由题意可知，函数y=八>)为R上的奇函数，即函数y=八>)关于点(0,0)对称;

所以函数y=f(x-1)关于点(1,0)对称；

由于易得函数y=g(x4-1)=:也为奇函数，即函数y=g(x+1)关于点(0,0)对称；

所以函数y=g(x)关于点(1,0)对称；

设y=/W与y=g(x+1)=三的交点横坐标为由,a…限

X2

则Q1+&+…+=°，。帆=-1，

•­gT)+⑸T)+•••+("-1)=。，

作出函数y=f(x-1)与y=g(x)的图像，由图像得m=6,

•••.q+乃+…+%6=6.

故选〃.

练3・1.

解：•・"(％_2)=_f(r),・・・/(工―2)+f(T)=0,

・•.f(%)关于点(-1,0)中心对称，故A错误；

令F(x)=f(x-1),

：•F(r)=f(fT)，又/(—T)=T)，

F(x)=-F(-x),故函数f—1)为奇函数，故B正确；

•."(-%)=/(%),即f(%)为偶函数,/(x-2)+/(-x)=0,

・・•/'(%-2)=-/(%),Af(x+4)=-f(x+2)=/(%),

・・・f(x)是周期为4的偶函数，

令x=l,得/(-1)=/(1)=0,

令％=3,得/'(1)+〃3)=0,

令工=4,得f(2)+f(4)=0,

・・・f(n)=506x[/(I)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(I)=0+/(I)=0,故C正确；

"093e=f(log34-4)=〃。%旬，

血。%4-在如=姐_鲂=(3)2-，”磔>初炉-(智”产=(3)2_°gE)2

"3e3lg4Ig3lg4lg3lg4lg3lg4

故1Vlog45Vlog34V2,又,当工€[0,1]时，f(%)单调递减，且T=4,

•••/(%+2)+/(—%)=0,

・•・f(%)关于点(1,0)中心对称,/(%)在区间(1,2)上单调递减,/(log34)</(log45),

故。错误.

故选：BC.

练32

解：函数/。)定义域为上

又因为(一%)=L一靖=一(靖-eT)=-/(%),故f(x)为奇函数，

又易知/(%)是增函数，

则由f(cos26-7)4-/(4m-2mcos0)>0,得/(cos2J-7)>/(-4m+2mcos0).

即得cos28—7>—4m+2mcos0,即cos26—7>—2m(2—cos。),

乂66则2—cos0>0,

于是筌?2—2m,

2cos20-8、c

即Hn，

即吟鬻”之一2一亦即cos。+2工6,

要使关于。的不等式/(cos29-7)+/(4m-2mcos0)>0对任意的。G[一泉§恒成立,

则只要对任意的。G[4时机>(COS。+2)max

又当&W[―时,可得26cosG+2<3>

因此，实数6的取值范围为[3,+8).

练3-3.

sinx

解：对于B,+x)=e^+e-^sinX=x),

则〃%)的对称轴方程为％=%故8正确;

对于C,/(x+yr)=esin(x+rr)-cos(x+7r)+ecos(x+7r)-sin(x+n)

_Q-sinx+cosx+^-cosx+sinx_/(1),

则/'(%)的一个周期为TT,故。正确；

对于D