四川省达州市通川区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（试卷+解析）

四川省达州市通川区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.下列实数中，最大的数是（）

A.TVB.y/2C.|-2|D.3

2.下列标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

3.下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（）

4.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总最折合粮食约499.5亿T•克，这个数用科学

记数法应表示为（）

A.4.995X10"B.49.95XIO10

C.0.4995X1011D.4.995XI010

5.下列计算正确的是（）

22

A.(a-b)(-a-b)=a-bB.24+3/=5〃6

C.6x3y2+3x=2x2y2D.(-2/『=_6f

6.将抛物线y=（x+2）2-3,先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式

为（）

A.y=(x+5)2-1B.y=(x+5)2-5C.y=(x-\)2-\D.y=(x-l)2-5

7.有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5,6,7,8,9,把它仅的正面向

下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）

8.设a,〃是方程/一2%一2025=0的两个实数根，则"十从的值为（）

A.4050B.4054C.-4054D.-4046

9.如图，已知正方形ABC。的面积为4,它的两个顶点8,。是反比例函数），=々％>0,1>0）的图象.上

X

两点,若点。的坐标是（凡〃），则。一〃的值为（）

叔

AB

A.；B.--C.2D.-2

24

10.二次函数）=如2+以+°（存0）的图象如图，给出下列四个结论：®4ac-Z>2<0；②3/?+2cV0；③〃?

Cam+b）+也匕④（a+c）2Vb2；其中正确结论的个数有（）个.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11若上=工，则生二2二—.

x4x

12.已知小是关于x的方程炉+4x-4=0的一个根，则3〃於+12，〃=—.

13.如图，在自△A8C中，ZACB=90°,8c=2AC=4,分别以点C,4为圆心，大于18c的长为

半径作弧，两弧交于点P、Q,作直线P。交A3、BC于点M、N,连接CM,则CM=_

14.如图，在矩形A8CO中，AB=4,4>3,矩形内部有一动点P满足S△以产,S矩形A8m则点P到A、B

3

两点的距离之和必+PB的最小值为

15.如图，已知反比例函数)，=—图象经过点C,四边形A8C。为菱形，且A(0,3),6(-4,0).点尸是

x

该反比例函数图象上的一点，以P,O,A为顶点的三角形面积与△CQQ的面积相等，则点P的坐标为

三、解答题(本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过

程)

16.(1)计算：(g)-2sin60c+11-tan60°|4-(2025-it)°：

(2)解方程:(X+4)2=5(X+4)

17.化简分式，并从-10x03中选一个你认为合适的整数x代入求值.

(x-1-X2-!):X二2-2x+-l

18.疫情期间，我区积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我

评价调查(学习效果分为：A.效果良好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果不理想)并根据调查结

果绘制了如下两幅不完整的统计图:

90

80

70

6()

50

40

30

20

10

ABCD学习效果

（1）此次调查中，共抽查了________名学生；

（2）补全条形统计图，扇形统计图中“效果不理想”对应的圆心角为

（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果较好，丙认为效果良好，丁认为效果一般.从该学习小组中

随机抽取2人，则”1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求列表或画树状图求概

率）

19.已知VA8C三个顶点的坐标分别为4（-1,-1）,5（-4,-2）,C（0,-3）.

（1）画出VA3C绕原点顺时针旋转90。后得到的44与C，请直接写出点B的对应点⑸的坐标

为

（2）以点。为位似中心，将VABC放大为原来的2倍得到△4^G，请在网格中画出△&qC2并求其面

积.

20.2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如

图，桥墩刚好在坡角为30。的河床斜坡边，斜坡8C长为48米，在点。处测得桥墩最高点A的仰角为

35\CD平行于水平线8M,。。长为16G米，求桥墩45的高（结果保留1位小

数).(sin35。b0.57,cos350ao.82,tan35°«0.70,6。1.73)

21.由丫NO得，a2+b2>2ab^如果两个正数a,b,即a>0,b>0,则有下面的不等式

a+bN2&，当且仅当。=。时取到等号.

4

例如：已知x>0,求式子x+-的最小值.

X

4>—4I~~44

解：令。=工，b=—，则由〃茄，得“+—221八一=4,当且仅当工=一时，即x=2时，式

XX\XX

子有最小值，最小值为4.

请根据上面材料回答下列问题：

（1）当x>0,式子x+一的最小值为：当x<0,则当x=时，式子取到最大值；

XX

（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个

长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

22.如图，在VA8C中，AB=AC,。是8C的中点，CE//AD,AEIAD^EFA.AC.

（1）求证：四边形A/X芯是矩形;

(2)若8C=4,CE=3,求所的长.

23.某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发

现，每天销售量），（依）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10<吐30）

（1）写出），与％之间的函数关系式及自变量的取值范围;

（2）当销售单价工为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元?

24.如图，抛物线＞，=-/+云+c经过点A（3,0）,8（0,3）,点尸是直线上的动点，过点P作工轴的

垂线交抛物线于点M.设点。的横坐标为/.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点尸在第一象限，连接AM,BM,当线段PM最长时，求△A8W的面积；

（3）是否存在这样的点P,使以点尸，M,B,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点尸的

坐标：若不存在，请说明理由.

25.将边长为4的正方形A3CD与边长为5的正方形AEFG按图1位置放置，AO与AE在同一条直线

上，48与AG在同一条直线上，将正方形48co绕点A逆时针旋转一周，直线与直线DG交于点

P.

图1图2备用图

（1）直接写出。G与鹿的关系；

（2）如图2,当点B在线段OG上时，求△AOG的面积；

（3）连接QF，当尸石=4&时，求PF值.

四川省达州市通川区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

L下列实数中，最大的数是（）

A.B.72C.|-2|D.3

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可.

【详解】解：4k3.14,&BI,414，卜［=2,

V2<|-2|<3<»

故选:A.

本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于6负实数都小于0,正实数大于一切负实数,

两个负实数绝对值大的反而小.

2.下列标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心史称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形就叫做轴对•称图形；中心对•称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐

一判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既轴对称图形又是中心对称图形，故C选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：A.

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在「能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的

定义.

3.下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查儿何体的三视图，具体为左视图（从几何体左面看得到的视图）和俯视图（从几何体上

面看得到的视图）的形状判断.解题关键在于准确把握从不同方向观察几何体时所呈现的形状，明确左视

图和俯视图的观察角度及对应的图形特征.分别分析每个选项中几何体的左视图和俯视图的形状，然后对

比它们是否相同，从而得出答案.

【详解】选项A：圆柱的左视图是•个矩形.圆柱的俯视图是一个圆.左视图和俯视图形状不同，不符合

题意.

选项B：球无论从哪个方向看，得到的视图都是圆.所以球的左视图是圆，俯视图也是圆.左视图和俯视

图形状相同，符合题意.

选项C：三棱柱的左视图是一个矩形（中间有一条竖直的虚线，用于表示三棱柱内部的棱）.从三棱柱的

左面看，看到的是三棱柱的一个侧面，其形状为矩形.俯视图为三角形，左视图和俯视图形状不同.不符

合题意.

选项D：四棱锥的左视图是一个三角形，四棱锥的俯视图是一个四边形（内部有顶点与各边口点相连的线

段，用于表示四棱锥的顶点和底面的连接关系）.不符合题意.

故选：B.

4.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学

记数法应表示为（）

A.4.995X10"B.49.95X1（）1°

C.0.4995X10”D.4.995X1O10

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N1时，n是非负数；当

原数的绝对值VI时，n是负数.

【详解】解：将499.5亿用科学记数法表示为:4.995x101°.

故选：D.

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

5.下列计算正确的是()

A.(a-b)(-a-b)=a2-h2B.2a3+3a3=5ab

C.6x3y2^3x=2x2y2D.(-2x2)3=-6x6

【答案】C

【解析】

【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及零的乘方和积的乘方法则分另!判断.

【详解】解：(。-〃)(-4而二从-。2,故选项人错误；

2〃+3〃3=5加,故选项B错误：

6回”3尸2/),2,故选项C正确：

(-〃2)3=_83故选项D错误；

故选：C.

本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、辕的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算

方法.

6.将抛物线)，=(1+2)2-3,先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式

为()

A.y=(x+5)2-1B.y=(x+5)2-5C.j=(x-l)2-1D.y=(x-l)2-5

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得：抛物线『="+2)2-3的顶点为(-2,-3),从而得到平移后的抛物线的顶点坐标

(1,-1),即可求解.

【详解】解：•・•抛物线y=(x+2)、3的顶点为(-2,-3),

・••将(-2,—3)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得点(1,-1),

・•・平移后抛物线的解析式为y=(x-l)2-l.

故选：C

本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的

关键.

7.有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5,6,7,8,9,把它『.的正面向

下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是()

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查概率公式的应用，解题的关键是准确识别奇数的个数，熟练运用概率公式进行计算.

先确定总情况数与抽出数字为奇数的情况数，再利用概率公式计算即可.

【详解】解：•・•总共有5张卡片，总情况数为5,

又1•正面数字是奇数的卡片有5、7、9,共3张，符合条件的情况数为3,

3

・•・根据概率公式“概率=所求情况数+总情况数”，可得抽出数字是奇数的概率为二，

5

故选：A.

8.设m〃是方程Y—2x—2025=0的两个实数根，则片十〃的值为()

A.4050B.4054C.-4054D.-4046

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到。+〃=2"活=一2025,整体代入法求值即叽

【详解】解：:。、是方程Y-2x-2025=0的两个实数根，

/.a+b=2,ab=-2025,

d2+/?2=(a+b)2-2ab=22-2x(-2025)=4054,

故选：B.

9.如图，已知正方形4BCO面积为4,它的两个顶点B,。是反比例函数)，=人(2>0,工>0)的图象上

两点，若点。的坐标是（。,〃），则。一人的值为（）

Ox

3

A.；B.--C.2D.-2

24

【答案】D

【解析】

【分析】利用正方形的性质求得点8坐标是（々+2,〃一2）,根据点。、点B在反比例函数y上，列

式计算即可求解.

【详解】解：•・•正方形ABCQ的面积等于4,

AAB=BC=CD=DA=2,

・・・AD〃3C〃y轴，CO〃A5〃x轴，又点。坐标是（〃,3,

・••点A坐标是（。，々―2）,点8坐标是（a+2,/?—2）,

•・•点。、点B在反比例函数y=A上，

x

'k=ab

・"（4+2）（人2），

/.ab=^a+2）［b-2）=ab-2a^-2b-4,

:.a—b=-2,故D正确.

故选：D.

本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

10.二次函数y=ad+队+c（。翔）的图象如图,给出下列四个结论：①4ac-〃vo：②3b+2cV0：③机

Cam+b）+$；④（a+c）2<〃2；其中正确结论的个数有（）个.

AV

A.I个B.2个C.3个D.4

【答案】D

【解析】

【分析】由图可知，二次函数开口向下，即〃V0：与)，轴交于正半轴，所以c>0：与x轴有两个交点，即

△>0；对称轴工二一1,且当x=-l时)，最大.根据这些性质结合题意逐个判断即可.

【详解】•・•抛物线与X轴有两个交点，

・•・/>(),即从一4改>0,

4ac—b2<0•

・■•①正确：

•・•把ml代入抛物线得：y=a+b+c<0,

/.2a+27?+2c<0,

•・•对称轴x=—l,

；・----=-1»即b=2cL.

2a

：・b+2b+2c〈0,即3b+2c<0,

・••②正确；

•・•抛物线的对称轴是直线x=—l,

・•・y=。一〃+c的值最大，

把工=，〃代入抛物线解析式得：)，=am2+加7+c,

am2+bm+c<a-b+c-

/.in(am+b)+b<a,

・••③正确；

Vtz4-Z?+c<0»a-b+c>0y

：.(a+c+b)(a+c-b)<0,

则伍+。2—〃2<0,即(々+0)2<〃

.••④正确；

综上①②③④都正确.

故选:D.

本题主:要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键..

二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

若上=3,则在二工=.

x4x

【答案】4

4

【解析】

【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答.

【详解】解：・・・上=3,

x4

xx

5

——，

4

故答案为：—.

4

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

12.已知ni是关于工的方程x2+4x-4=0的一个根，则3加+12加=_.

【答案】12

【解析】

【分析】根据方程的解得定义得m2+4m-4=0,即m2+4m=4,将其代入到原式=3(m2+4m)可得答案.

【详解】解：是关于x的方程/+4.14=0的一个根，

，〃尸+4”？-4=0,即m2+4m=4,

A3m2+\2m=3(m2+4m)=3x4=12.

故答案为：12.

本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是

解题的关键.

13.如图，在自△ABC中，NAC8=90。，BC=2AC=4,分别以点C,8为圆心，大于的长为

半径作弧，两弧交于点P、Q,作直线PQ交A8、BC于点M、N,连接CM,则CM=_.

【解析】

【分析】由作法得MV垂直平分BC,则CN=BN=2,MV±BC,所以MN为V44C的中位线,

MN=gAC,根据勾股定理求出CM的长.

本题考查的是垂直平分线的尺规径图，解题的关键是根据题意推断线段之间的关系.

【详解】解：由作法得MN垂直平分8C,

:・CN=BN=2,MNIBC,

•・•乙4c4=90。，

:.MN//AC，

・・・MN为VA3c的中位线，

:.MN=—AC=1,

2

：•dcM+MN?=#>.

故答案为：\[5•

14.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足5△阴产,S矩形A8m贝U点P到A、B

【答案】

4A/2

【解析】

【分析】首先由S△布产gs矩形人阮如得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线/上，作A关于直

线〕的对称点E,连接A£,连接BE,则8E的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形A8E中，由勾

股定理求得6E的值，即PA+PB的最小值.

【详解】解：设中/W边上的高是人

S△出8二一S处形A8C0，

3

11

：.^AB>h=-AB>AD,

23

2

：.h=-AD=2,

3

・•・动点尸在与AB平行且与A8的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,连接

则"的长就是所求的最短距离.

在R5BE中，\'AB=4,AE=2+2=4,

・•・BE=NAB?+AE?742+42=4夜，

即承+PB的最小值为4夜.

故答案为：45/2•

本题考查了轴对称一一最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定理和两点之间线段最短的性

质，其中得出动点P所在的位置是解题的关键.

2()

15.如图，已知反比例函数)』一图象经过点G四边形A8CD为菱形，且4(0,3),3«0).点P是

该反比例函数图象上的一点，以P,。，A为顶点的三角形面积与△(%>£)的面积相等，则点P的坐标为

【解析】

【分析】综合考查反比例函数及菱形的性质，注意：根据菱形的性质得到点。的坐标；点户的横坐标的有

两种情况.

设出点户的坐标，根据题意得。4和OB、AB,结合菱形的性质得AO=A4,即可得△COD的面积，利

用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，即可求得了点P的坐标.

【详解】解：设尸（为,），）,

•・・A（0,3）,8（T,0）,

・・・QA=3,08=4,

:・AB=5，

•・•四边形ABC。为菱形,

***AD=AB=5，

••OD=2，S^COD=-OD.BO=-x2x4=4

22f

•・•以P,O,4为顶点的三角形面积与△COD的面积相等,

・・・；。4阵|二4,

・•・k/g

.・.”±g

Q15

当上=一时,

3尸T

当工号15

y=-----

2

815或厚

:,点、P的坐标为~

2[32

故答案为：(M)或卜卜?

三、解答题(本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过

程)

16.(1)计算：(；)-2sin60c+11-tan60°|4-(2025-it)°：

⑵解方程：(x+4)2=5(x+4)

【答案】(1)2；

(2)X=-4,9=1

【解析】

【分析】(1)根据负整数指数基的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数昂的性质进行计算

即可；

(2)先把方程化成一元二次方程的一般形式，利用因式分解法解一元二次方程即可.

本题主要考查实数的混合运算及特殊角的三角函数值的计算，解一元二次方程，熟练掌握各个运算法则是

解题关键.

【详解】解：⑴原式=2-2x3+卜闽+1

=2-6+6-1+1

=2；

(2)(X+4『=5(R+4),

x~+8x+16=5x+20»

f+8_r-5/+16-20=0，

x2+3x-4=0»

(x+4)(^-i)=0,

x+4=0或1一1二0,

X]=-4,x2=1.

17.化简分式(上；--+;二*,,并从・1WXW3中选一个你认为合适的整数x代入求值.

(X-1X-1)-2x+l

V9

【答案】——;x=2时，原式==.

X+13

【解析】

【分析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算.最后在-1WXW3中

取一个使分式分母和除式不为0的数代入求值.

x(x+l)X1x(x-l)X2(X-1)2X

【详解】解：原式=/、/—n—/二1F—N

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)J(x-1)~(x+l)(x-l)x(x-l)x+1

•••・l£x£3的整数有一1,0,1,2,3,

当K=-1或x=l时，分式的分母为0,当x=0时，除式为0,

取x的值时，不可取x=-1或x=l或x=0.

22

不妨取x=2,此时原式=广=；.

2+13

18.疫情期间，我区积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我

评价的调查(学习效果分为：A.效果良好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果不理想)并根据调查结

果绘制了如下两幅不完整的统计图：

90

80

70

6()

50

40

30

20

10

(1)此次调查中，共抽查了名学生；

(2)补全条形统计图，扇形统计图中“效果不理想”对应的圆心角为；

(3)某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果较好，丙认为效果良好，丁认为效果一般.从该学习小组中

随机抽取2人，则”1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是多少？(要求列表或画树状图求概

率)

【答案】(1)200(2)36°

(3)表见解析，“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是?

3

【解析】

【分析】(1)由B组有80人，占比40%,从而可得总人数：

(2)先求解A组的人数，再补全统计图即可，由。组的占比乘以360。可得扇形统计图中“效果不理想”

对应的圆心角；

（3）用列表法表示所有可能出现的结果以及符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可.

【小问1详解】

解：80・40%=200（人），

比次调查中，共抽查了200名学生.

故答案为：200.

【小问2详解】

故答案为：36°.

【小问3详解】

用列表法表示所有可能出现的结果如卜.:

甲（4）乙（A）丙（B）T（C）

甲（A）AAABAC

乙（4）AAABAC

丙（8）BABABC

T（C）CACACB

共有12种等可能结果，其中“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的有4种，记为事件人

...P（A）=±二L

v7123

本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形图中某部分所对应的圆心角，补全条形统计图，利

用列表或画树状图求解随机事件的概率，掌握以上统计与概率的基础知识是解本题的关键.

19.已知VABC三个顶点的坐标分别为A（Y,-2）,C（0,-3）.

（I）画出VA8C绕原点顺时针旋转90。后得到的△AMG，请直接写出点4的对应点片的坐标

为；

（2）以点。为位似中心，将VA6c放大为原来的2倍得到△&纥G，请在网格中画出△44G并求其面

积.

【答案】（1）图见解析，点用的坐标（一2,4）

（2）图见解析，14

【解析】

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出4R.C的对应点A「G即可：

（2）利用位似变换的性质分别作出A,B,。的对应点4,B2,a即可.

本题考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键.

【小问1详解】

如图，△AMG即为所求，点4的坐标（一2,4）.

故答案为；（一2,4）；

I-，」_l_I_=-」_1一「，」-I-L」

III

rT「

nriiri

H+T

L1H--H+-i-一i

!.L」一一i-」

—1I

一

r一

—

—

【小问2详解】

r-rTn-一「i

二T-/rI

!__!_」_144-^-」__L_L」_一i_」

rTn-l严=n--rT1-rri

44T-I-i-T-I-1-4-1-I-I-T

L±J-I-L_J」_l_l__L」」_L」

如图，△4用。2即为所求，

△A^G面积:四边形DEFC2的面积_S.Ag-SzBiS皿FQ

=4X8--X2X4--X6X2--X8X2=14

222

厂

「

L丁n

L1LJ

L4_」_l_」_l_4.

I|II—

IIIIiQxII

I

-

-LH

L

—

」

卜

L

20.2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如

图，桥墩刚好在坡角为30。的河床斜坡边，斜坡3c长为48米，在点。处测得桥墩最高点4的仰角为

35%CD平行于水平线AM,CO长为16g米，求桥墩A8的高(结果保留1位小

数).(sin35°»0.57,cos350弋0.82,tan35°a0.70,6*1.73)

【答案】桥墩AB的高约为72.4米.

【解析】

【分析】延长。C交AB于点E,利用直角三角形BCE计算出8E,利用直角三角形4DE计算出AE,从而

AB可求.

【详解】解：如图所示，延长QC交A3于点E,则£。〃4M.

AZ/1ED=Z/\W=9O°,NECB=NCBM=30°.

在RlABCE中,

VZECT=30°,BC=48米，

A5f=-BC=-x48=24（米）.

22

CE=JCB2-BE2=A/482-242=2473（米）.

ADE=CD+CE=16>/3+24V3=40>/3（米）.

在RhADE中，

•・•lanNAOE二一，

DE

・•・AE=OEtan35°«40x1.73x0.70=48.44（米）.

・•・A3=AE+3E=48.44+24。72.4（米）.

答：桥墩46高约为72.4米.

本题考查了百角二角形的性质、锐角二角函数、解自角二角形等知识点，熟知解直角二角形的方法和步骤

是解题的关键.

21.由（。—〃了之。得，a2+b2>2ah^如果两个正数a,h,即。>0,力〉0,则有下面的不等式

a+bN2岚,当且仅当时取到等号.

例如：已知x>0,求式子x+上的最小值.

X

4—4I~44

解：令。=x,/?=-,则由4+）22，z石，得1+—221十一二4,当且仅当％=一时，即x=2时，式

xxVxx

子有最小值，最小值为4.

请根据上面材料回答卜.列问题：

I

（1）当x>0,式子x+一的最小值为：当x<0,则当工=时，式子4x+一取到最大值；

XX

（2）用篱笆围一个面枳为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个

长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

【答案】（1）2,-3

（2）长为8,宽为4时・，所用篱笆最短，最短篱琶为16米

【解析】

【分析】（1）当x>。时，按照公式〃+〃之2而（当且仅当。=力时取到等号）来计算即可；当x<0

时，-4x>0,-—>0,则也可以按公式〃+人N2J茄（当且仅当a=〃时取到等号）来计算；

（2）设长为x,宽为了，则冷，=32,再照公式〃+茄（当且仅当a二分时取到等号）来计算求出

刘）,的值，即可得到答案.

【小问1详解】

解：当x>0时，x=2,x+—的最小值为2,

（当。>0,〃>0时，a-\-b>2ab»当且仅当々=〃时取到等号）

当上<0时，-4x>0,--->0,

(-4力+W—2j(~4x)x=-2x12=—24,

I44

当且仅当-4x=-迎时，/=一3时取到等号,

即当工二一3时，式子4工+生取得最大值,

故答案为：2>—3；

【小问2详解】

解：设长为》，宽为）'，

则D二32,欲使x+2y最小，

x>0,y>0,

x+2y>2y]x-2y=2y]2xy^=2x>/2x32=2x8=16,

当且仅当x=2y时取得等号，

\x=2y

x=8

解得

y=4

即长为8,宽为4时，所用篱笆最短，最短篱琶为16米.

本题主要考查基本不等式的应用，解题的关键是运用题中4>0,b>0,则有下面的不等式

a+b之2版,当且仅当。=〃时取到等号.

22.如图，在VA3c中，AB=AC,。是5c的中点，CE//AD,AELAD,EF1AC.

（1）求证：四边形4XE是矩形;

(2)若3c=4,CE=3,求放的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵噜

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性

质是解题的关键.

（1）由等腰三角形三线合一的性质得出/AZ）C=90。，有平行线的性质得出/ECO=90。，结合已知条件

可得出/£4。=90。，即可证明四边形ADCE是矩形.

（2）由（1）可知四边形AQCE是矩形.由矩形的性质得出AE=QC,CE=AD=3,N4£C=90。,

由已知条件可得出力C=AE=lBC=2,由勾股定理求出AC,最后根据等面积法可得出

2

-EFAC=-AECE,即可求出瓦\

22

【小问1详解】

证明：・・・A3=AC,。是8c的中点,

AAD1BC,

・・.ZADC=90°,

•・•CE//AD,

・•・ZECD=180°-ZADC=90°,

又「AEIAD^

・•・NEW=90。,

・•・四边形人以无是矩形.

【小问2详解】

由（1）可知四边形AOCE1是矩形.

:・AE=DC，CE=AD=3,ZAEC=90。，

是8c的中点，3c=4

・•.DC=AE=-BC=2

2t

在zMOC中，ZADC=90°,

：•AC=VAD2+DC2=>/32+22=屈，

EF-LAC.

：.-EFAC=-AECE

22

即，田尸•汨=^x2x3.

22

•时6屈

••DF=------

13

23.某乡镇贸易公司开设了一家取店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发

现，每天销售量.V（总）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10<r<30）

（1）写出），与x之间函数关系式及自变量的取值范围；

（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

y=640（10<JV<14）

【答案】（I）v=W

>[y=-20x+920（14<x<30）

（2）当销售单价工为28元时，每天的销售利润最大，最大利淮是6480元

【解析】

【分析】（1）由图像可知，当10〈烂14时，尸640；当14<烂30时，设产心+小将（14,640）,（30,

320）代入得到解方程组求解即可；

（2）分10OW14和14V在30两种情况，分别求出函数最值,然后比较即可解答.

【小问1详解】

解：(1)由图像知，当10<臼4时，)=640；

当14V吆30时，设产依+4

[14^4-/7=640k=-20

将(14,640),(30,320)代入得,…，解得〈

[30攵+/?=320/?=92()'

J：与x之间的函数关系式为>=-20x4-920；

综上所述'《—V=64+0(91200<(JV1<4145)3。)；

【小问2详解】

解：设每天的销售利润为卬元，

当I0OW14时M=640X(x-iO)=640A-6400,

•・•后640>0,

・•・”随着x的增大而增大，

当x=14时，vv=4x640=2560元；

当14y30时，”=(x-10)(-20.V-920)=-20(x-28)2+6480,

V-20<0,14y30,

・•・当尸28时，也有最大值，最大值为6480,

V2560<6480,

・•・当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元.

本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意得到每天的销售利淮的关系式是

解答本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法.

24.如图，抛物线丁=一/+瓜+。经过点/4(3,0),3(0,3),点p是直线上的动点，过点。作工轴的

垂线交抛物线于点M.设点。的横坐标为1.

(1)求抛物线的解析式;

（2）若点尸在第一象限，连接AM,BM,当线段AW最长时，求AAAM的面积；

（3）是否存在这样的点尸，使以点P,M,B,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=-^+2x+3

3927

⑵当f时，PM最长为“此时S„w=不

（3）存在点尸，使以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形，坐标为3+尸一一尸卜

3-V213+后,

2―，2

\/

【解析】

【分析】（1）用待定系数法即可求解：

（2）根据题意求出45的解析式，设。（/,一£+3乂0</<3）,则知（人—*+2，+3）,根据点加在抛物线上，

可用含/的式子表示出PM的长，根据二次函数的特点即可求解；

（3）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解.

【小问1详解】

解:将点A（3,0）,8（0,3）,RAy=-x2+bx+c,

[-9+3Z?+c=0\b=2

・•・C，解得1c，

c=3c=3

:.y=-x~+2x+3.

【小问2详解】

解：如图所示，

设直线AB的解析式为y=kx+bf

:b=3k=-\

,解得

L\3k+b=0b=3

/.y=-x+3,

•・•P(r,-r+3)(O<z<3),则知卜,一『+