中考数学分类汇编 解答中档题型：圆的性质与计算综合题（解析版）

专题解答中档题型：圆的性质与计算综合题

1.（2023•安徽）已知四边形/WC7）内接于OO，对角线4。是0O的直径.

（1）如图1,连接04,CA,若OAA.BD,求证：CA平分NBC/）：

（2）如图2,E为内一点,满足A£_L3C,CELAB.若BD=36,A£=3,求弦3c的长.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：•.・OA_L8£>,

AB=AD,

：.ZACB=ZACD,

即CA平分ZBCD；

（2）延长■交8C于M,延长C£交ABTN，

AE_LBC»CE_LAB,

:.ZAMB=/CNB=%。，

•.♦8。是0。的直径，

NBAD=4BCD=W，

:.ZBAD=/CNB,ZBCD=ZAMB,

：.AD//NC,CD//AM,

.•・四边形AEQ是平行四边形，

AE=CD=3,

/.BC=[BD2-CD?=7（3X/3）2-32=3夜.

2.（2022•安徽）已知根为OO的直径，C为上一点，。为84的延长线上一点，连接CD.

（1）如图1,若COJ.A8,ND=30。,OA=\,求4）的长；

（2）如图2,若DC与00相切，E为04上一点，且NAC£>=ZAC£.求证：CE±AB.

【答案】见解析

【详解】（1）•••01=1=",CO上AB,ZD=30°.

：.OD=y/3OC=y/3,

AD=OD-OA=>/3-l；

⑵・・・DC与00相切,

:.OC±CD,

即ZACD+ZOC4=90°,

•.•OA=OC，

/.ZOCA=ZOAC，

ZACD=ZACE,

NOAC+ZACE=90。,

ZA£C=90°,

^CE±AB.

3.（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点、E.

（1）M是8的中点，。"=3,8=12,求圆。的半径长；

（2）点尸在C£>上，且CE=EF：求证：AF±BD.

【答案】见解析

【详解】（1）连接OD,如图:

是8的中点，8=12,

:.DM=-CD=6,OM工CD,/OMD=90°,

2

RtAOMD中，OD=dOM2+DM：且OM=3,

：.OD=J”&=3亚,即圆O的半径长为3石;

（2）连接AC,延长AF交于G,如图：

•/AB1CD,CE=EF，

.•.AB是b的垂直平分线，

AF=AC,即A4CF是等腰三角形，

♦.,CE=EF,

ZFAE=ZCAE,

•/BC=BC,

:"CAE=NCDB,

:.ZFAE=ZCDB,

RtABDE中，NCO8+N8=90。，

.,.ZME+ZB=90°,

.•.Z4G8=90°,

/.AG1BD,即

4.（2020•安徽）如图，AB是半俱I。的直径，C，。是半圆O上不同于A,4的两点，AD=BC,47与

刖相交于点F.砥是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

（1）求证：&CBA三&DAB、

(2)若BE=BF,求证：AC平分NmB.

E

1O

【答案】见解析

【详解】（1）证明：・.・9是半圆。的直径,

.\ZACB=ZADB=90%

BC=AD

在RtACBA与RtADAB中，

BA=AB

RtACBA三RtADAB(HL)：

(2)解：・.BE=BF,由(1)知AC_LEF,

:.ZE=ZBFE,

•二8石是半圆O所在圆的切线，

.­.ZABE=90°，

ZE+ZBAE=90°^

由(1)知NO=90。，

:,ZDAF+ZAFD=90°，

,;ZAFD=ABFE,

:.ZAFD=Z.E，

vZDAF=9(f-ZAFD,ZBAF=9()0-ZE,

:.ZDAF=ZBAF,

二.AC平分NZM8.

5.(2023•瑶海区一模)如图，AA8C是G)O内接三角形，AC是G)O的直径，点石是弦08上一点，连接CE,

CD.

(1)若ZDCA=NECB,求证：CEA.DB；

(2)在(1)的条件下，若AB=6,DE=5,求sinNDBC.

c

【答案】见解析

【详解】(1)证明：连接4),

•.,AC是馆的直径，

：.ZADC=9(r,

ZmC4-ZACD=90°，

・.・ZDC4=NECB，ZCAD=ZCBD,

NBCE+NCM=90°,

.•.々EC=900,

:.CEO

(2)解：•/AC是G)O的直径，

/.ZABC=90°,

•;CEA.BD，

.•.NCED=90°，

:"CED=ZABC，

♦.ND=NA,

:2BCsM)EC、

DECE

——=——,

ABBC

AB=6，DE=5，

6.（2023•合肥一模）如图I,4?为。。的宜径，BC为弦,过圆心。作O/1_L4C于。，点E为AA延长线

上一点，CE是0O的切线.

(1)求证：NBCE=/BOD；

(2)如图2,取弧AC的中点尸，连接OP,AP,若八4=13,BC=5,求弦力的长.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：连接OC,如图1,

•.•CE是G)O的切线，

.-.OC1.CE,

NOCE=90°,

即NOC3+ZBC£=90°,

•;OC=OB，

；.NOCB=NOBC，

-/0D1BC,

:.NBOD+NOBD=900，

：.NBOD+NOCB=90。,

:.ABCE=NBOD；

(2)解：连接AC交OP于尸，如图2,

•.•AB是直径，

/.Z4CB=90°,

:.AC=JAB2-BC2=V132-52=12,

•・•/为AC弧的中点,

:.OF1AC,

AF=CF=6,

：.OF=-BC=-

22

135

■pOP-OF=—--=4,

F=22

在RtAAPF中，AP=>1AF2+FP2=yj62+42=2x/13,

即弦PA的长为2g.

ArOyBEA\~opE

图1图2

7.(2023•庐阳区校级一模)如图，已知是RlAABC的外接圆，点。是RtAABC的内心，8。的延长线

与0。相交于点石，过石作直线〃/AC.

(1)求证：/是0。的切线：

(2)连接CE,若AB=3,AC=4,求C石的长.

,W

【答案】见解析

【详解】(I)证明：连接OE,

•.•点D是RtAABC的内心，

/.ZABE=/CBE,

,/OB=OE，

:.ZEBC=ZOEB,

：.ZABE=ZOEB,

；.AB//OE,

...ZBAC=NOGC=90°，

v//MC»

：.OEll,

「.0石为半径，

.•・/是的切线;

（2）解：在RtAABC中，由勾股定理得,

fiC=V32+42=5,

oc=-，

2

•/OG±AC,

113

:XG=-AC=2,OG=-AB=-,

222

.\EG=---=\,

22

在Rt^CEG中，由勾股定理得，

CE=y/EG2+CG2=Vl2+22=x/5.

8.（2023•合肥三模）如图，AB是的直径，点。为半圆的中点，四边形A8CD为平行四边形.

（1）请用无刻度直尺画出圆心O的位置，并说明理由；

（2）点E为BD中点,EH上AB于,交0。于点F,求/刻尸的度数.

【答案】见解析

【详解】（1）解：如图，点O即为所求.

理由：•.•AB为直径,

.•.408=90°,

•.•44CO为平行四边形,

/.ZDBG=90°,

/.OG为直径，

:.AB.DG交点为圆心O；

(2)设AO=2四.

•・•。为半圆的中点,

:.AD=BD,

.•.44=4,NDAB=NDBA=450.

・・・E为应)中点，

BE=DE=6,

'.'EHLAB,

，EH=BH=1,

AH=3.

连接班则ZB以=90°,

:.gFHs附AF,

.BH_HF

~HF=~AH'

1HF

二——=---，

HF3

/.HF=6,

/…FHx/3

/.tanZ.FAH=----=——，

AH3

ZMH=30°.

9.（2023•庐阳区一模）如图，0O的直径AB垂直于弦CZ）,垂足为石，AE=2,CD=8.

（1）求OO的半径长；

（2）连接AC,作O/_LBC于点F,求。尸的长.

AB

-----/

【答案】见解析

【详解】(1)连接8,如图，设QO的半径长为，

•••A8_LCO.

.,.NOEO=90。，D^=CE=-CD=-x8=4.

22

在RtAODE中，,;OE=r-2,OD=r,DE=4,

：.(r-2)2+42=r2,

解得r=5,

即0。的半径长为5；

(2)在RtABCE中，:CE=4,BE=AB-AE=8,

...fiC=V42+82=4X/5,

.•.BF=CF='BC=24,ZOFB=90°,

2

在RtAOBF中，OF々OB?-BF?=芳一(2后》=布,

即OF的长为6.

1().(2023•合肥模拟)如图，在△钻C中，AB=AC,以AB为直径作0。交8C于点。.过点。作OE_LAC,

垂足为E,延长C4交0O于点尸.

(1)求证：DE是0O的切线；

(2)若tanB=g,的半径为5,求线段CF的长.

【详解】(1)证明：・.・O3=or>,

:.ZABC=〃)DB，

48=AC,

：.ZABC=ZACB,

;.NODB=ZACB，

:.OD//AC,

'.'DELAC,(»>是半径，

：.DE±OD,

.•.OE是0O的切线；

(2)解：连接A。，BF,

•••AB为0O的直径，

.-.ZBZM=90°,

・.・AB=10,

AC=AB=10.

4=NC,

AH]

在RtAADC中，tan«=tanC=—=-

DC2

/.心+(240)2=10。

AD=2y[5,

CD=4>[5,

ripi

在RtACED中，tanC=——二一，

CE2

/.DE2+(2DE)2=(4>j5)2,

:.DE=4,

.♦.CE=8,

•/AB=ACrADLBC,

:.BD=DC,

•.♦AB为OO的直径,

:,ZBFA=9(r,

­.DELAC,

:.DE//BF,

；.EF=CE=8,

CF=16.

C

11.（2023•蜀山区二模）如图，A4为0。的直径，。为0O上一点，A力和过点。的切线互相垂直，垂足

为D,AD交OO于点E,连接8C,CE.

（1）求证：BC=CE；

（2）若AC=2CE=4,求AE的长.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：连接OC,

•.•CZ）是G）。的切线，

：.OC±CD.

'：AD±CD,

:.OC//AD,

Z1=Z3.

又。4=OC,

.♦・N2=Z3,

.-.ZI=Z2,

CE=CB；

(2)解：•.•4B是直径，

ZACB=90°,

・.・4C=4,CB=CE=2,

AB=7AC2+CB2=&+22=26.

vZAZX?=ZACB=90%N1=N2,

..AADC^MCB,

ADACDCAD4CD

---==,即Hn=—==

ACABCB42石2

8x/5__4行

..AD=-----,DC.=-------・

55

2百

在直角ADCE'M4,DEEC2-DC2

=>I~5~

：.AE=AD-ED=—

5

12.（2023•蜀山区校级一模）已知等腰AA3C,A4=AC,且KC=8,连接AQ交3c于点E,以DE为

直径的0。上有一点尸，使得切=。“，连接CF交于点G，若/BAD=900.

（1）判断AC与QO的关系，并说明理由;

（2）若CE=1,求/的值.

【答案】见解析

【详解】（1）AC与相切，理由:

连接OC,如图，

•：OE=OC,

:.£OEC=4OCE.

48=AC,

7.ZACB=ZB.

・.・NM石=90°，

十/AEB=9CT.

•;ZAEB=4)EC,

：.ZAC3+NOCE=90。，

.-.ZOC4=90°.

:.OCrAC,

・.・OC为G>O的半径，

「.AC与GX7相切：

(2)连接8。，交OO于点、H,连接£1“，EF,如图,

•.•£)£为OO的直径，

.".ZECD=90°,

•.•么4D=90°,

；.ABAD=/ECD=W，

.••点A,C,D,8四点共圆，

•・•AB=AC.

:.ZADC=ZADB,

EC=EH,

:.EC=EH=\.

•.•£)£为。。的直径,

•;BC=CD,NBCD=90°,

NCBD=45。,

.•.AE8”为等腰直角三角形，

:.BE=CEH=e,

二BC=BE+EC=y/2+\,

.-.CD=BC=x/2+l,

/.DE=\lEC2+CD2=〃+2&.

EF=DF,

:.EF=DF.

・「OE为G〉O的直径，

：.ZEFD=9(r,

为等腰直角三角形，

:.EF=—DE=\l2+>/2.

2

­/EF=DF,

Z.ECF=/DCF=-/BCD=45°,

2

/.NFED=NECF=45。,

•;NEFC=/CFE,

:.^EFG^^CFE,

EFFG

——=----,

CFEF

:.CFGF=EF2=2+^.

13.(2023•瑶海区二模)A3是。。的直径，AC是QO的切线，连接交于点。，连接4).

(1)如图1,若4/3=AC=2,求AD的长：

（2）如图2,作乙的角平分线。尸交。。于点尸，交AB于点E,若AB=4,AC=3,求y的值.

【答案】见解析

【详解】（1）如图1,

•.•4C是0。的切线，

AC1AB,

.•./B4C=90°,

•,•AB=AC=2,

BC=yf2AB=2y/2,

•「A8是0O的直径，

.•.Z4£>B=90°,

即AO_L8C,

1

-8C-

-BD=CD2-X/2

（2）过。点作”点，连接O尸，如图2,

在RtAABC中，BC=yjAC2+Alf=732+42=5,

ADLBC^

:.-ADBC=-ABAC,

22

小。=史上

55

/.BD=s/AB2-AD2=

55

7-DHAB=-ADBD,

22

1216

—X—

DH=148

425

DF平分NADB,

ZADF=-ZADB=45°,

2

ZAOF=2ZADF=90°,

:.DH//OF,

48

DE_PH=25=24

~EF~~OF~~2~25

14.(2023•包河区二模)已知：如图1,AA为0。的宜径，点C为G)O外一点，AC=AB,连接8c交

于D.

(1)若AC为的切线，求证：ODJ.AB；

(2)如图2,若NBAC>90°时，请用尺规作图在AA8C内部选一点尸，使NAA8=45。，以下是部分作图

步骤：

第一步：过点O作A6的垂线，交G)O于点E；

第二步：连接AE\BE：

问题:

①清完成接下来的作图，并保留作图痕迹;

②在操作中得到NAP4=45。的依据是

图1

【答案】见解析

【详解】(1)证明：如图1,连接4)，

A

BD

图1

・「AC为QO切线,

)

：.ZBAC=9(yf

•「AB为直径,

.-.Z4£>B=90°，

AB=AC^

:.BD=CD,

♦.・OB=OA,

:.0D/1AC,

:.OD±AB；

(2)解：①如图2:

第一步：过点O作AB的垂线，交0O卜点E；

第二步：连接他、BE；

第二步：以E为圆心，以AE'为半径作OE.在OE上且在43。的内部取一点夕连接”，BP・则N4产区

即为所求:

②在问圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

故答案为：在同圆或等圆中，同孤所对•的圆周角等于圆心角的一半.

15.(2023•庐阳区二模)如图，在0O中，AB是直径，点。在圆上，AD、分别平分NB4c和NABC,

4)的延长线交于点E,连接BE.

(1)求证：BE=DE；

(2)若43=10,BC=6,求鹿的长.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：・.・A。、8。分别平分N8AC和NA8C,

/.ZCAE=ZBAD^ZCBD=ZDBA,

•・・NCBE=NCAE,

在BD=NCBE+/DBC=NCAE+NCBD=/BAD+乙DBA，

•••ZEDB=^BAD+/DBA，

:.NEBD=/EDB,

BE=DE；

(2)解：AE与4c相交于点/，如图，

•.•A3为直径，

/.ZACB=90°,

在RtAABC中，AC=\IAB2-BC2=VlO2-62=8,

・.・人产平分NB4C，

.•.点F到AC和AB的距离相等,

1'•SgCF•SSBF=AC：f

SUCF•S^BF=CF:BF,

CFAC_S_4

48510

:.CF=-BC=-,BF=-BC=一,

9393

屋所呼

在RtAACF中，AF=JCF2+AC

ZCAF=ZEBF,NC=NE,

;.AACFSMEF,

sVioio

:.AC\BE=AF\BF,即8:8E=：---：一,

33

解得8E=Ji6,

即监的长为风.

16.（2023•庐阳区校级二模）如图，AACD内接于QO,8为直径，射线OE_LAC于点E,交QO于点产，

过点A作Q）O的切线交射线O七于点8.

（1）当/8=25。时，求ND的度数：

（2）当4）=2,丝=，时，求防的长.

【答案】见解析

【详解】（1）连接。4,如图,

•.•CD为直径，

:.ZDAC=9（r.

.,.NO+NC=90。，

•.•44为0。的切线，

：.OA±AI3,

：.Z4O3+N3=90°,

•.”=25。，

ZAOB=65°.

•;OE上AC,

:.ZOAC+ZAOB=90°，

:.ZOAC=25°.

•.•OA=OC，

...ZC=ZOAC=25°.

.0=9O°-NC=65。；

.,.设。石=a,则瓦'=2z,

:.OF=OE+EF=3a.

•.•()E±AC,

AE=EC.

二.OF为△CA4的中位线,

/.AD=2OE=2a>

•.•AD=2,

:.OE=\,OA=OF=3.

•/OALAH,AE工OB,

..AOAE^AOBA,

OAOB

~OE~~OA，

3OB

13

.•.08=9.

:.BF=OB-OF=9-3=6.

AB

17.（2023•庐江县模拟）如图，朋是0O的直径，C是4。的中点，CE_LAB于点石，BD交CE于点、F.

（1）求证：CF=BF；

（2）若BE=OE=2,求弧AD的长度.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：=。是弧切的中点,

.•.NDAC=44C，

在丛3c中，ZAO?=90°,CE1AH,

ZBCE+ZECA=ZBAC+ZECA=90°，

:.ZBCE=ZBAC,

乂C是弧8。的中点，

：.ZDBC=ZCDB,

:.4CE=/DBC，

:.CF=BF.

(2)解：连接。D,”，

：BE=OE=2,

:.OB=BE+OE=2+2=4,

♦；OB=OC,

2“OE1

cos/COE==—，

OC2

:.NCOE=S。,

•・・C是8。的中点，

NDOC=4COE=60°，

...ZAOD=180-/DOC-Z.COE=60°,

18.（2023•合肥二模）如图，以M为直径的0。经过AABC的顶点C,AE,的分别平分NB4C和NABC,

AE的延长线交G）O于点。，连接30.

（1）判断的形状，并证明你的结论；

（2）若AA=10,BE=2屈,求5。的长.

【答案】见解析

【详解】(1)ABDE为等腰直角三角形，理由如下：

•.♦AE平分N8AC,8E平分NA8C,

ZBAE=ZC4D=ZCBD,ZABE=/EBC.

•/ZBED=^BAE+ZABE,ZDBE=ZDBC+NCBE，

:.ZBED=^DBE，

:.BD=ED,

•.•43为直径，

/.ZADB=90°.

.•.MOE为等腰直角三角形；

(2)如图：连接OC,CD,OD,OD交BC于点、F.

ZDBC=ZCAD=/BAD=/BCD，

：.BD=DC.

•：OB=OC,

.•.8垂直平分3c.

应是等腰直角三角形，BE=2回，

3。=2G

VAB=10，

OB=OD=5.

设。产=f,则。尸=5一1.

在RtABOF和RtABDF中，52-/2=(2x/5)2-(5-r)2,

解得，=3,

:.HF=4,

.•.BC=8.

19.(2023•庐阳区校级一模)如图，AA是的直径，C,。都是上的点，A。平分NC43,过点。

作AC的垂线交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.

(1)求证：是QO的切线；

(2)若45=10,AC=6,求CE的值.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：如图1,连接8,

・.,M＞平分NC4B,

:.ZOAD=ZEAD^

\'OD=OA,

：.NODA=ZOAD，

：.ZODA=ZEAD,

:.OD//AE,

/0£犷=44所=900且0在。。上,

.•.£F是0O的切线；

（2）连接BC,交。£＞于”，

♦.•A3是0O的直径,

ZACT=90°,

AC=6，

/.BC=ylAB1-AC2=7102-62=8,

ZE=ZACB=90°,

.\BCHEb\

：.NOHB=/ODF=90°,

:.OD1BC,

:.CH=-BC=4,

2

•;CH=BH,OA=OB,

:.0H=-AC=3,

2

:.DH=5-3=2,

ZE=ZHCE=ZEDH=90°,

四边形ECHD是矩形，

:.ED=CH=4,CE=DH=2.

2().(2023♦庐阳区校级一模)如图，在0。中，直径为MN,正方形45CZ)的四个顶点分别在半径QW、OP

以及上，并且NPOM=45。.

(1)若/W=2,求的长度；

(2)若半径是5,求正方形A8CD的边长.

'鼠

M

\Bco---------]N

【答案】见解析

【详解】(1)•.•四边形ABC。为正方形，

.\DC=BC=AB=2,ZDCO=ZABC=90°,

NPOM=45°,

:.CO=DC=2,

/.OD=0CO=2五，

连接AO,则AAAO为直角三角形，

/.AO=VAB2+BO2=V22+42=2V5,

.♦.即。。的半径为20，

PD=OP-OD=2y/5-2x/2；

(2)•・•四边形ABCD是正方形,

:.ZABC=ZBCD=90°>AB=BC=CD，

.•./DCO=90。，

ZPOM=45°,

NCW=45。，

:.CD=CO,

BO=BC+CO=BC+CD,

:.BO=2AB,

•.•MO=NO=5,

「.40=5,

在RtAABO中，AB1+BO2=AO2,

即AB2+(2AB)2=52,

解得：AB=\[5,

则正方形A3CD的边长为行.

21.（2023•合肥一模）如图，在0。中，AD为直径，点3、C在上，4c交4）于点七（伍＞£＞石）连接

C4,BD.

(1)求证：MECSMED；

(2)若BE=CE=2屈,AO=10,求DE的长.

A

D

【答案】见解析

【详解】(1)证明：・.・/4=/8,NC=N。，

：.MEC^^BEDt

(2)解：•.•MECSMED,

DE:CE=BE:AE，

:.DEAE=CEBE，

,：BE=CE=2\/6,AD=10»

/.DE(10-DE)=2x/6x26

整理得DE2-10DE+24=0,

解得DE=4或O£=6,

AE>DE，

:.DE=4.

22.(2023•庐阳区校级一模)RlAXBC中，ZC=90°,O为4?上一点，以。为0心，Q4为半经的0与

相切于点D.

(1)求证：AD平分NEAC；

(2)连接OE,若AB=2BD,求cosNCDE的值.

【答案】见解析

【详解】（1）连接OD,

•.•BC切OO于。，

;.OD工BC,

ZOZ）B=ZACfi=90°.

:.OD//AC，

:.ZODA=ZCAD,

-,-OA=OD,

ZOAD=ZODA,

/.NCAD=NBAD，

.•.AD平分N84C：

（2）设AB交。。干尸，

连接DF,

•••A厂为OO的直径，

...Z4DF=90°，

由（1）得NO/M=9（F，

AODA=4BDF=ZOAD,

•.0=ZB，

NBDF^NBAD,

ADBA.

——=——=2,

DFBD

「.tanZAFD=2，

•/四边形AED9内接于G）O，

NCED+ZAED=ZAED+ZAFD=\80°,

/.NCED=ZAFD,

：.tanZ.CED=tailZAFD=2，

ZA8=90°,

「0=2,

CE

设支=4,则CD=〃7,

/.DE=yJcE?+CD?=&i,

CD2a2x/5

cosZCDE——

~DE

旧a5

23.(2023•合肥模拟)如图，钻是O。的直径，。，。是0。上两点，过点C的切线垂直于4)的延长线,

垂足为点E,AC,8。相交于点尸.

(1)求证：点C是BD的中点；

(2)若BD=4,DC=&求AD的长.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：连接OC交友）于G,

•.•CE切圆于C,

•・半径OC_LCE.

•/AE±CE,

:.OC//AE,

ZOCA=ZEAC,

\'OA=OC,

ZOCA=ZOAC,

ZE4C=Zme,

:.CD=BC,

.•.c是8。的中点；

（2）解：设圆的半径是r,

♦.•OCLBD,

DG=-BD=2,

2

•••DC=5

:.CG=>ICD2-DG2=1,

:.OG=r-\,

\OB2=OG2+BG2,

：.r=(r-l)2+22,

：.r=2.5,

:.OG=OC-CG=2.5-\=\.5,

•.•AO=OB，

「.OG是M4Z)的中位线，

:.AD=2OG=3.

24.（2023♦包河区一模）如图，AB是0。的直径，CD是0。的一条弦，A8_L8于点连接。D.

（1）若NODB=54。,求/B4C的度数；

（2）AC,£出的延长线相交于点尸，CE是0。的切线，交BF于点E,若CE上DF,求证：AC=CD.

【答案】见解析

【详解】（1）解：・・・8=O5,

..NODB=NOBD=540,

NDOB=180°-NOBD-ZODB=72°,

•.•4△是G)O的直径，A131CD,

...BC=BD,

ZBAC=-ZBOD=36°,

2

故。的度数为36。；

(2)证明：连接OC,BC,

•・・C£是的切线，

：.(X：±CE,

•・・CE_LO尸，

:.OC//DF,

ZACO=4，

\-OA=OC，

:.ZA=ZACO,

：.ZA=ZF,

：.AB=BF,

•.•45是0。的直径,

BCVAF,

AC=CF,

•.•ZA=/CD8，

;.NCDB=/F,

:.CD=CF,

..AC=CD.

25.(2023•合肥模拟)如图，四边形ABC。内接于0O,AB=BC对角线AC为0O的直径，£为0。外

一点，4?平分NZME,AD=AE,连接BE.

(1)求NAEA的度数；

(2)连接CE,求证：28^2+4炉=。炉.

B

【答案】见解析

【详解】(1)解：连接的，

・.・AB平分NZME，

：.AEAB=ZBAD,

•.•AE=4),AB=AB^

:.MBE^^ABD(SAS),

:.ZAEB=ZADB,

•・•ZADB=ZACB,

:.ZAEB=ZACB,

♦.•4C为0。的直径，

/.ZABC=90°,

•・・A8=8C，

/.Z4CB=45°,

ZAEB=NACB=45。；

(2)证明：延长£4交0。于尸，连接A/LCF,

•••/1C是圆的直径，

/.ZAFC=90°,

:.EF2+CF2=CE2,

th(I)知/尸£3=45。，

-.•ZBfE=ZACB=45°,

.•.M/E是等腰直角三角形，

:.EF2=2BE2,

•;RD=BE,

:.BD=BF,

，BD=BF,

AF=CD,

二.AD=CFf

CF=AD=AE,

\2BE2+AE2=CE2

26.（2023•庐阳区校级三模）如图，A4是o。的直径，点C是切的中点，过点C的切线与4）的延长线

交于E,连接CD,AC.

（1）求证：CE±AE；

（2）若CD//AB,DE=1,求OO的面积.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：如图，连接X,

•.•CE是0。的切线，

:.OC±CE,

•.•点C是8。的中点，

BC=CD,

:.ZCAB=ZCAD,

\'OA=OC，

:.^OAC=^OCA,

:.ZOCA=ZCAD

:.OC//AE,

:.CE±AE；

（2）解：如图，连接OD,

•;CD//AB,OC//AE,

二四边形HOCE是平行四边形,

又•,•Q4=OC，

二四边形AOCD是菱形，

AD=CD=OA，

OA=AD=OD»

二.AA。力是等边三角形，

ZOAD=a）n,

\'CDf/AB,

N8£=N6t4D=60°,

:.ZDCE=30P,

:.CD=2DE=2,

,,OA=CD=2.

.•・0。的面积=2万x2?=8乃.

即CX）的面枳为87r.

27.（2023•庐阳区模拟）如图，点8为圆O外一点，过点8作圆O的切线，切点为A,点P为03上一点,

连接"并延长交圆O于点C,连接OC,若03与OC垂直.

（1）求证：BP=AB；

（2）若OB=IO,圆O的半径为8,求AP的长.

C

B

【答案】见解析

【详解】(1)证明：・.・O3_LOC,

ZPOC=90°，

ZC+ZCPO=90°,

•.•OC=QA,

/.ZC=ZO4C,

NQ4C+NCPO=90°，

­.•乙BPA=Z.CPO，

/.ZOAC+ZBPA=90°,

,.•如!与圆切于A,

半径O4_LAB,

/.ZGWC+ZBAP=90°,

：,ZBAP=ABPA.

:.AB=PB；

(2)解：作A//JLAP于”，

♦;AB=PB,

.\AP=2PH,

•.•03=10,圆O的半径为8,

/.AB=\l0B2-OA2=V102-82=6,

.•.BP=AB=6,

.•.0尸=08—尸8=10—6=4,

/.PC=J。尸+CO?=742+82=4后,

•.・NBHP=NCOP，/BPH=NCPO,

:.AHPHSACP。，

:.PH:PO=BP:CP，

.•・尸，：4=6:4石，

28.(2023•合肥二模)如图，？O为A49c的外接圆，直线与相切于点C，弦BD//MN,AC与BD

相交于点E.

(1)求证：/CAB=/CBD；

(2)若3C=5,BD=8,求的半径.

【答案】见解析

【详解】证明：(1)连接OC，交BD于H,连接30,

•/直线MN与0O相切于点C,

:.OC1MN,

：RDIIMN，

.'.OC1.BD,

：.BC=CD,

NBAC=NCBD；

(2)・.,OC工BD,

:.BH=HD=LBD=4,

2

CH=yjBC2-BH2=x/25-16=3,

OB2=OH2+BH2,

/.OB2=(08-3)2+16,

?5

:.0B=—

6

.•.0。的半径为”.

6

29.(2023•瑶海区三模)如图，在RtAABC中，ZZi4C=90°,O是4?边上的一点，以04为半径的。。与

边3C相切于点E.

(1)若A8=8,的半径为3,求AC的长.

(2)过点E作弦EF_LA8于G,连接AF,若NAFE=2NA8C.求证：四边形ACE厂是菱形.

【详解】(1)解：连接OE,

•.•43=8,0。的半径为3,

0B=8—3=5,

VOO与边5c相切于点E,

..0E工BC,

/.BE=\/OB2-OE2=V52-32=4,

•.•NK4C=90°,

.•.C4是0O的切线,

.\CA=CE，

在RtAABC中,AC2+AB2=BC2,BPAC2+82=(4+AC)2,

解得：AC=6；

(2)证明：由圆周角定理得：ZAOE=2ZAFE,

•・•ZAFE=2^ABC,

：.ZAOE=4ZABC,

•・•ZAOF=90°+ZABC,

/.ZABC=30°,

/.Z4fE=60°,

•;EFLAB,

zre^=60°,

:.ZAFE=AFEB,

AF//BC，

VzJ3^C=9O°,EF±AB.

/.AC//EF,

.•・四边形AC律为平行四边形，

•:CA=CE，

.••立行四边形ACEF为菱形.

30.(2023•庐江县二模)如图，点。是直径延长线上一点，BC=OB,点，是上一个动点(不

与点A,8重合)，点石为半径03的中点.

(1)如图1,若PE=6，求PC的长；

(2)如图2,当庄'JLQB时，求证：b是的切线.

p

p

c~~cC

图1图2

【答案】见解析

【详解】(1)解：如图I,连接0P.

•;OP=OB=BC=2OE,

.OEOP_\

••==—,

OP0C2

又・.,NCOP=NR7E,

:AOEPSAOPC,

.PE_OEOP

~PC~~OP~~OC~2'

•.♦P£=G,

PC=26

•.•点E为半径04的中点,

:.()E=OB=-OP.

2

•;PE工OB，

:.ZPEO=^.

OF1

/.cosZEOP=—=-,

OP2

/.Z£Z7P=60°.

又・,,OP=OB,

.•.△0/77是等边三角形,

:"OBP=/BPO=(^,OB=PB,

BC=OB,

BC=PB,

ZC=NBPC=-NOBP=30°,

2

/.NOPC=NBPO+4BPC=90°，

・.・O尸是0。的半径，

・•.CP是G)O的切线.

31.(2023•蜀山区校级一模)如图，为。。的直径，点C是。。上一点，过点。的直线交的延长线

于点作AO_LMC,垂足为点。，已知AC平分

(1)求证：MC是0。的切线；

(2)若舫=8W,MC=4,求0。的半径.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：•.•A£>_LMC，

/.ZD=90°,

•・・Q4=OC，

/.ZOG4=Z(74Ct

•••AC平分NMAZ),

:.ZDAC=ZOAC，

.•.N6>G4=N"C,

;.0C/IDA，

:.ZD=NOCM=90°，

•••oc是0O的半径，

「.MC是GX>的切线；

(2)解：设OA=OB=OC=r.

\-BM=AB=2r,

：.OM=3r,

•.•ZMCO=90。，

:.CM2+OC2=OM2,

/.16+r2=9r2>

:」=叵(负根已经舍去)，

.•.0。的半径为0.

32.（2023•芜湖模拟）如图1,已知为0O的直径，C为。。上一点，CEJLA6于£,。为弧8c的中

点，连接4），分别交CE、CB于点厂和点G.

（1）求证：CF=CG；

(2)如图2,若AF=DG,连接OG,求证：OG±A13.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）连接AC，

AEOB

图1

・.・M为G)O的直径，

.-.ZACB=90°,

.-.ZC4G+ZAGC=90°.

\'CE1AB，

ZCK4=90°，

/.ZFAE+ZAFE=9(r，

・・・D为弧BC的中点,

:.DC=DR,

ZCAG=ZFAE，

：.ZAGC=ZAFE，

•.•ZAFE=4CFG,

/.ZAGC=NWG,

:.CF=CG；

(2)连接AC，CD,

耳

A\EOIB

•・•NCFG=/CGF,

.-.180°-2CFG=180°-ZCGF,

ZAFC=NCGD,

;CF=CG，AF=CD,

.­.MFC^ADGC(S45),

AC—CD，

...AC=CD,

CD=DB,

AC—DB，

:.ZABC=ZDAB,

:.GA=GB，

•.•04=03,

：.GOLAB.

33.（2023•包河区校级一模）如图，四边形ABC。为的内接四边形，且AC为的直径，ADCD,

延长8C到石，使得BE=/W,连接OE.

（1）求证：AD=DE；

（2）若OE为0。的切线，且DE=2应,求BC的长度.

【详解】（1）证明：连接班＞，

;.ZABD=ZDBE,

,;AB=BE,BD=BD,

:2BD"EBD(SAS),

:.AD=DE；

（2）解：连接。/）,

口D

B----CE

•・,AD=CD,

AD=CD，

\AD=DE，

CD=DE，

•.•AC为0O的直径，

/.Z5=ZAOC=90°,

VAD=CD,O为47的中点，

NODC=-ZADC=45°，

2

•・・£）£为00的切线，

NODE=90°,

/.ZCDE=45°,

/.ZADE=900+45。=135°,

•:CD=DE,

NDCE=/DEC=67.5°,

/劭0=67.5。，

VAD=CD,ZADC=90°,

/.Z£HC=45°,

ABAC=22.5°,

/.AD=CD=20,

..AC=4,

:.OC=2,

8c的长度是竺吐=2.

1802

34.（2023•瑶海区模拟）如图，是。。的直径，点。是BO的中点，过点C的切线与的延长线交于

E,连接8,AC.

(1)求证：CE_LAE；

⑵若CD"AB,DE=\,求OO的半径.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：如图，连接纥，

•.•CE是0。的切线，

J.OCLCE,

•・•点C是即的中点,

BC=CD,

ZC4B=ZC4£>,

\'OA=OC.

：.ZOAC=ZOCA,

:.ZOCA=ZCAD，

:.OC//AE>

:.CE±AEt

(2)解：如图，连接。。，

\'CDf/AB,OC//AE,

四边形/UX芯是平行四边形,

又•.•OA=OC,

.•・四边形4OCD是菱形，

AD=CD—OA，

OA=AD=OD,

」.MOD是等边三角形，

ZCMD=60°.

NCDE=乙QAD二60°，

.-.ZZ）CE=30o,

:.CD=2DE=2,

：.OA=CD=2,

即0O的半径为2.

35.(2023•庐阳区校级一模)如图I,已知AABC是0O的内接三角形，是G〉O的直径，CZ)是0。的

弦，连接4Q，交AC于点E.

(1)求证：NCEB=ZABD+NCDB;

(2)如图2,连接。仁、AD,若OE//AD,且人6=10,或＞=8,求6c的长.

Z.CEB=ZABD+ZBAC,

/.NCEB=ZABD+Z.CDB；

（2）解：方法一：

・.・OE〃AD,点。为的中点,

.•.OE为的中位线，

:.DE=BE=LBD=A,

2

・.・AB为直径，

.­.Z47)B=90°,ZACB=90°,

AD=y/AB2-BD1=V102-82=6,

：.AE=+/»2=«2+42=2后,

设BC=x,EC=y,

在RtAABC和RtABCE中，

十AB-=AC2+BC2

有，

BE2=BC2+CE2

22

,：1|10=(2x/13+y)+x

x2+y2+4x/13y-48=0

整埋得：＜

x2+y2=16

16+4Vi3y-48=(),

8

解得:产肃

064

=—>

13

.2

・・j+—64=1-6,

13

解得：工=超叵或一喑（舍去）,

13

...”C的长为吆”；

13

方法二：:OE/AA。，点O为45的中点,

.♦.0E为AAO8的中位线,

:.DE=BE=、BD=4,

2

•••AB为直径，

:.ZADB=^,ZACB=90°,

ZAED=^BEC,

:ZCEsMDE,

BEBC

・\-----=------,

AEAD

•/AD=>JAB2-BD2=V102-82=6,

,AE=VAD2+DE2=V62+42=2yf\3,

4BC

2x/136

「g晅

13

36.（2U23•安庆一模）如图，在AA3C中，以A48C的边为直径作，交AC于点。，「也是0。的

切线，且OE_L8C,垂足为点石.

（1）求证：AB=BC；

【答案】见解析

【详解】（1）连接OD,

•.•£>£是。0的切线，

..OD±DE,

•.•DE工BC,

：.OD//BC,

：.ZODA=ZC,

又・.・OD=Q4,

ZODA=ZOAD,

：.NOAD=/C，

AB=BCx

(2)连接30,

C

A

AB为直径,

/.ZBZM=90°,

「"