相似三角形中的几何模型（3大题型5难点题型清单）原卷版-2026年中考数学一轮复习

专题11相似三角形中的几何模型（3大题型5难点，题型清单）

01题型盘点•中考全景扫描

题型一：一线三等角模型题型三：手拉手模型

难点01：作垂线构造一线三垂直模型难点04：作共顶点三角形构造手拉手模型

难点02：作等线段构造一线三等角模型难点05：连接拉手线构造手拉手模型

题型二：飞鱼模型

难点03：题中隐藏一组线段关系

02题型突破•解题技巧攻坚

题型一：一线三等角模型

“一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似三角形,这个角

可以是直角，也可以是锐角或钝角.解题步骤如下：

・［惊_为特征1:是否存在两个三角形共顶点；

弟"特征2：是否存在一条直线上有三个等角

第二步在题图中抽离出两个相似三角形

第三步’麴，利用相似三角形的性质解题

常见基础模型如下：

注：异侧一线三等角中.为了方便统一.4用43表示.

【中考母题溯源-学方法】

2

【典例1]（2025•江苏镇江・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点4、8分别在反比例函数y=和

x

b

广£（%>（））的图像上，点A的横坐标为T,点4的横坐标为〃（〃〉3）,点C的坐标为（3,0）,AC±BC,

X

AC=2BC.

⑴求点从、》的坐标和反比例函数y=4（%>0）的表达式；

X

k7

⑵点。、E分别在反比例函数），=公（4>0）和y=的图像上，与点A、K构成以A8为边的平行四边形,

X<x

则点£>、E的坐标分别为、.

【变式1-1】难点01：作垂线构造一线三垂直模型

2

（25-26九年级上•山东青岛•月考）如图，已知第一象限内的点4在反比例函数），=士的图象上，第二象限内

x

的点B在反比例函数y=K的图象上，且QAJLO8,。4=2,08=4,则女的值为（）

X

A.一3B.—C.-4D.-8

【变式1-2］难点02：作等线段构造一线三等角模型

感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线。石上，且N8D4=NB4C=ZA£C=90。，像

这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型.

图4

(1)如图2,RtAABC中，ZACB=9(尸，CB=CAf直线ED经过点C,过A作AOJL石。于点。，过8作BEJLED

于点£求证：卫DA.

(2)如图3,在VA8C中，。是8C上一点，ZC4D=90°,AC=AD,

ZDBA=ZDAB,AB=2>j3,求点C到44边的距离.

⑶如图4,在oABCQ中，石为边AC上的一点，尸为边A4上的一点.若

EF

NDEF=ZB,AB=1(),BE=6,求一的值.

DE

【中考模拟闯关•练提分】

1.125-26九年级上•江苏苏州•月考）如图，平面直角坐标系中，矩形/WCO的边A8:AC=3:2,点A（3,0）,

8（0,6）分别在x轴，），轴上，反比例函数1y=£的图象经过点。，则％值为（）

2.125-26九年级上•上海•月考）如图，l、Zk，且4和4之间的距离是1，4和4之间的距离是2,YABC

的三个顶点分别在4、/?、4上，AC与4交于点。，如果8C_LAC,登=:，那么8。的长是—.

ACJ

3.（25-26九年级上•安徽池州•期口）如图，在正方形A8C。中，P是C。边上的中点，过点〃作/，F_LAP,

交AB的延长线于点尸，交于点E.

（1）求证：△APD^APEC；

⑵求g的值.

4.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线OE上，且N8D4=N8AC=N4EC=90。,

像这种•条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为"一线三等角"模型.

应用:

⑴如图2,Rt/^ABC中，NACB=90。,CB=C4,直线上。经过点C,过A作AO_LEO于点。，过8作BE_LED

于点£求证：卫DA.

(2)如图3,在oABCO中，E为边BC上的一点，尸为边上的一点.若ZDEF=/B,AB=10,BE=6,求

FF

历的值.

5.(2025•青海西宁•一模)阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，"一线三等角〃是其中体现几何逻辑推

理的典例，已知AE,4三点共线，且4=/DEC=N8的情况就称之为“一线三等角〃；让我们一起来探究它

具有哪些几何图形的性质呢？

⑴【特例探究】如图，已知4旦8三点在同一条直线上，乙公/B=NDEC=90,求证:R^ADE^R^BEC

(2)【规律总结】如果Z4=N3=/OEC,你还能证明这两个三角形相似吗？求证：^ADE^BEC

(3)【实例应用】如果NA=N3=/DEC,若点E是AB的中点，求证：DE?=ADDC

6.(2025•江西•模拟预测)如图，将反比例函数y=§(x>0)的图象沿直线)，=3向下翻折，翻折后的图象与

x轴交于点A,点4在该反比例函数图象上，以A8为边在AB上方作正方形A8C。，点。恰好落在》轴上，

已知点B的纵坐标为2,AB=2、区

⑴求攵的值.

⑵设边CO与反比例函数)，=§(.v>0)的图象的交点为石，求点E的坐标.

7.（1）【感知】如图①，在四边形ABC。中，点P在边48上（点P不与点A、8合），ZA=ZB=ZDPC=90°.iiE

明：△DAP^NBC.

（2）【探究】如图②，在四边形A8CO中，点〃在边A8上（点?不与点A、8重合），ZA=/B=/DPC.若

PD=4,PC=8,BC=6,求AP的长.

⑶【拓展】如图③，在V/1BC中，AC=8C=8,A8=12,点P在边43上（点P不与点48重合），连

结CP,作NCPE=N4,PE与边BC交于点、E,当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长.

8.（2023•吉林长春•一模）【基础问题】

如图①，矩形A3c。中，点E为A8边上一点，连接OE,作E尸_LOE交8c于点八且DE=FE，求证:

△AED^^BFE.

【拓展延伸】

（1）如图②，点E为平行四边形48C。内部一点，EA=EB,DA±AE,作/卯_L创交B4延长线于点F,

若D4=2E4,AB=5,则平行四边形4BC。的面积为.

（2）如图③，在正方形/WCO中，AD=6,在C。边上取一点E,使EC=2DE,将△A£D沿△AEO翻折

到△AEO位置，作QPJ.4A于点凡在Z/F右侧作/尸G/7=90。，则面积的最大值为.

9.（2025•山东济南•一模）（一）模型呈现（1）如图1,点A在直线/上，ZBAD=90°,AB=AD,过点8作

BC口于点C,过点D作DE工/于点E,由/1+/2=/2+/£>=90°,得/1=/。，又NAC3=ZDE4=90。，

可以推理得到△A8（*D4E,进而得到4C=,BC=.我们把这个数学模型称为"K字"模型

或“一线三等角〃模型；

（二）模型体验（2）如图2,在V/1BC中，点。为A8上一点，DE=DF=3仆=4EDF=4B,四边形CEQF

的周长为10,VA3c的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到进而得到

AE=BD.AD=BF,那么48=AE+3E,再根据题目中周长信息就可得48=;

（三）模型拓展（3）如图3,在VA8C中，ZAC3=90。,AC=2BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于点

D,8E_LMN于点E.请猜想线段。旦4。,/祖之间的数量关系，并写出证明过程：

（四）模型应用（4）如图4,已知在矩形48co中，A8=14,8C=7,点E在C。边上，KDE=4.尸是对

角线AC上一动点，Q是边A。上一动点，且满足sin/EQQ=£不，当。在AC上运动时，请求线段AQ的

最大值，并求出此时线段的长度.

图1图2图3图4

10.(2024•甘肃天水•二模)综合与实践

感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且ZABM=ZAMN=4JCM=a(。可

以是直角、锐角或者钝角)，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三

等角"模型.

应用:

图1图2图3

(1)如图1,在矩形人4c。中，M,N分别为BC,8边上的点，4MN=90°，且AW=MN,则八8CN,BC

的数量关系是;

(2)如图2,在VA3C中，BC=6,ZC=60°,M是AC上的点(AC>8C),且48M=60。，AM=1,求

的长；

⑶如图3,在四边形A8MC中，NB4C=ZA8M=9()。，ZAMC=45°,A8=3,AC=4,求tan/CAM的

值.

11.（2024•广东佛山•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，0ABeO的顶点8、C在x轴上,

A在），轴上，OA=OC=2O4=4,直线y=x+/（—24Y4））分别与工轴，），轴，线段A。，直线AB交于点

⑵探究线段AP,PQ之间的数量关系，并说明理由.

⑶在x轴上是否存在点M,使得NPMQ=90。，且以点M、P、。为顶点的三角形与VAO8相似，若存在,

请直接写出点W的坐标；若不存在，请说明理由.

题型二：飞鱼模型

两个三角形存在公共角，公共向所对内西条边相交，且题中存在两组线4

段的比例关系，因其形似“鱼”，所以我们称其为“飞鱼”模型，如图，在△4COH/\

和△BCE中（（BCE与乙ACD是公共角），氤B在AC上，煎D在CE上,AD/Y

与BE交于点尸.}——

遇到“飞鱼”模型的作法就是构造平行，结合相似三角形性质求解，常见平行线的作法

已知已知AB：BC,DE：CD,已知尸:。尸，已知DE：CD,AF：DF,已知£F：加\AB：8C,

条件求4尸：0尸求DE：CD求\B：BC求0£：C0

过点4作CE的平行过点8作40的平过点C作4〃的平行过点尸作4c的平行

线，交FB的延长线行线，交CE于点C；线，交FB的延长线线，交CO于点G；

于点G；于点C；

GAAA

AAAAA

CDECODECDECGDE

作法过点A作BE的平行过点8作CE的平过点C作BE的平行过点广作CE的平

线，交CE的延长线行线，交4。于点G线，交力。的延长线行线，交8c于点G

于点G于点G

AAAAA

/k速

B/\B/\P

CDEGCDECDECDE

G

0口诀助记见飞鱼，作平行，横竖斜着均可行;知比例，旦两组，相似性质推着走.

【中考母题溯源•学方法】

【典例2](2025•河南•模拟预测)综合与实践

【问题初探】

⑴数学课上，李老师展示了这样一个问题：”如图1,在VABC中，A8=AC,点尸是边4c上一点，点E是

A/S延长线上的一点，连接E厂交BC于点D,若DE=DF,求证：BE=CF.”

①如图2,小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段C。上截取使连接,

利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明；

②如图3,小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM〃4C,交8的延长线于点M,

利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明.

请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程.

【类比分析】

⑵李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出

了新的问题，请你解答.

如图4,在VABC中，点E在边力4上，。是8c的中点，连接CK,AD,CE与4。相交于点N,若

ZMD+ZA7VC=I8O0,求证：AB=CN

【学以致用】

(3)如图5,在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,ZC=30°,A/平分/ZMC,点E在84的延长线上，过点E作

E0IAF,交AC于点N,交8C于点。,且BD=CD,若AB=1，请直接写出AE的长度.

AAAA

DDLDFDL

图1图2图3图4图5

【变式2-1]（24-25九年级上•江西景德镇•期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的

线段展开了如下探究：

如图①，V48C中，点。、E分别是边AB、AC的中点，连接BE、C。、线段破、C。交于点尸，已知VABC

的面积为12.

如图②，V48c中，点。为边A5上的动点，过点。作射线分别交边AC及边8C的延长线于点正、F,此

时，马超同学发现，线段。厂与VA8C的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段/站称为的V48C的

截线段;

深入探究：

（3）截线段上的三个交点。、E、/与VA8C的三个顶点A、B、C所组成的线段（特别是交点所在边所

形成的线段如A。、DB.B"、"C等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究；

根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得

到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意V48C,过点A作AG〃。产交线段BF的延长线于点G,

4DGFADRFCF

易得黑=£，通过多次对比，马超得出了M•芸•=•二1的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝

DBFBDBFCEA

试着证明该结论；

通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论M•芸•左=1，该结论从结构上看，作为分

DBFCEA

子的三条线段首字母为VA8C的三个顶点（A、B、C顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰

为上方三个字母的延续如（A8、BC、G4）,而如字母。、F、E恰为线段AB、BC、C4边上（或延长线上）

的点.

方法应用：

（4）如图③，VAAC中，。、E、H为边AB、AC.8C上的点，/=?，卷=3,若点以为BC的中

AC；

点，连接A4交线段OE于点G,请直接写出二二的值.

【变式2-2】难点03：题中隐藏一组线段关系

13.(2023・江苏盐城•二模)【回归课本】我们曾学习过•个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的

对应线段成比例.

【初步体验】

(1)如图1,在V48c中，点D在上，E在AC上，DE〃BC.若AD=1,AE=2,。8=1.5,则EC=_,

-A-E=•

AC

(2)已知，如图1,在VA8C中，点短、E分别在AB、4C上，且DE〃BC.求证：aADEs4ABe.

证明：过点E作A8的平行线交4c于点F

请依据相似三角形的定义(如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似)

和上面的基本事实，补充上面的证明过程;

【深入探究】

AFRDCF

(3)如图2,如果一条直线与V48c的三边A4、BC、6或其延长线交于D、F、E点，那么笑・能•二

ECDAFB

是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由;

(4)如图3,在VA8C中，。为8c的中点,AE:EF:FD=4:3:1.则AG:GH:AB=_.

图2

【中考模拟闯关•练提分】

1.(2025・山东济南•三模)【问题初探】

(1)如图1，人。是V4BC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=用，求证：AC=BF.

请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考.

思路1：延长EO至点G,使£>6=。F，连接CG,构造△ZX7C空△。砧……

思路2：过点B作8H〃AC交AO延长线于点，，构造……

【迁移应用】

(2)如图2,已知等边VA3C中，。为8c边上一动点，连接4。，将AO绕若。顺时针旋转120。得到OE,

连接的取班:中点尸，连接OF,猜想CO与。尸的数量关系，并证明你的猜想；

【能力提升】

(3)如图3,已知VABC中，AB=AC,NBAC=90。，点。是斜边BC上的一点，且BDcCD,连接4。,

将线段人。绕。点顺时针旋转90。，得到线段QE,连接线段鸵，点〃为线段班的中点，连接。尸.若

NCDE=15°,DF=A，求线段C。的长度.

2.（2025•广西梧州•一模）如图1,在VA8C中，点。、£分别是A8与AC的中点，可得。£〃8C,且

DE=-BC.

2

［初步感知］（1）如图2,在RtAABC中，Z4BC=90°,AB=BC=2,AD、CE是Rt4ABC的中线，并

相交于点G,M、N分别是AO和CE上的点，且罢=萼=4,求用N的长；

EGDG2

［尝试应用］（2）如图3,在RtA48C中，。、E分别是A3、AC的中点，连接。£,将VADE绕点A逆

…1BBD&…

时针旋转一定角度a（00<a<N84C）,连接“。、CE,右证=于求证的作

［拓展运用］（3）如图4,在等边三角形A8C中,。是射线5c上一动点（点。在点C的右侧），连接A。,

尸是的中点，连接。尸、若；

把线段C。绕点。逆时针旋转120c得到线段DE,BECF.A8=8,CF=CD,

3.（24-25九年级上•江苏淮安•月考）综合与实践

【问题初探】

（1）如图1，4。是V4BC的中线，BE交AC于点E,交AO于点F,且AE=EF，

则下面是小明、小红的部分思路和方法，

小明的思路和方法：如图2,延长FD到点G,使0G/，连接CG,构造ADGC....

图2

小红的思路和方法：如图3,过点4作4G〃AC交AO延长线于点G,于是得到ABOG...；

根据小明或小红的方法，可以得到线段AC与跖的数量关系是.

【变式拓展】

（2）如图4,在V/WC中，DC=2BD,BE交AC于点、E,交A。于点凡且AE=EF,判断线段AC与

的数量关系，请说明理由

图4

【迁移应用】

（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段EF上作一点P,使EP=2FP.（要求:

不写作法，保留作图痕迹）

EF

图5

【综合提升】

（4）如图，平面直角坐标系中，ZBAC=90°,A（-3,0）,D（04）,过B、C点分别作AD平行线，交4轴

于以尸两点，若CD=28D,直线跖、C尸之间距离的最大值为.

4.（2025•贵州铜仁•三模）【问题解决】（1）如图，在正方形ABC。中，点E为8c边上的一点，过点。作

少于点G,交回于点尸，求正的值；

【灵活运用】（2）如图2,在矩形48C。中，点£是边。C上一点，连接4E,过点。作。产_L4E于点G,

交BC于点、F,若AB=6,8C=8,求空的值;

AE

【知识迁移】（3）如图3,在RW1BC中，NR4C=9O。，点。是边人。的中点，连接50,过点A作A£_L3£>

于点瓦交BC于点F,若修:，求器的值.

图1图2图3

5.(2024・湖北荆州•二模)【教材呈现】

人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1,ABC。是一个正方形花园，旦尸是它的两个门，

且DE=CF,要修建两条路BE和"，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？(此问题不需要

作答)

九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题

乂进行了拓展探索，内容如下：

【类比分析】

(1)如图2,在矩形A8c。中，点E是A。上一点，连接压，过点A作班:的垂线交C。于点R垂足为点

G,若448=3AO,BE=6,求4,的长.

【迁移探究】

(2)如图3,在RlZ\ABC中，ZMC=90°,A8=AC,点。是AC上一点，连接B。，作AEJ.8。交BC于

占„中ARRE

点E,求证：—.

【拓展应用】

(3)如图4,在RtZ\A8C中，ZMC=90°,AB=2,AC=4,作点4关于4C的对称点。，点石为A8上

一点，连接CE,过点。作CE的垂线，交AC于忆垂足为G,若E为AB中点,则。.

6.【阅读材料】

如图，AB.CO相交于点。，。是A8中点，AC//BD,求证：。是C。中

2

教材习c

瓦一

题

AD

问题分

由条件易证△49%△30。，从而得到OC=OD,即点。是C。的中点

圻

方法提

构造“平行8字型"全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

取

图1图2图3

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.

【基础应用】已知中，2R90?,点七在边人“上，点F在边的延长线上，违接EF交A。于点。.

(1)如图1,若AB=BC,AE=CF,求证：点。是E厂的中点；

(2)如图2,若AB=2BC,AE=2CF,探究C。与跖之间的数量关系；

【灵活应用】如图3,A8是半圆。的直径，点。是半圆上一点，点E是AB上一点，点尸在8C延长线上,

AB=8,AE=2,坐=段，当点。从点3运动到点A,点。运动的路径长为,CF扫过的面积为

7.（2025•广东深圳•二模）综合与探究

【课本回顾】如图1,在VABC中，中线4。，BE,C尸于点P,点P叫做VABC的重心.

图1图2

【知识探究】

（1）如图2,数学兴趣小组发现，当V48C的中线A。，%:交于点，，时,不管VA8C的边长如何变化，线

段”与P。存在固定的数量关系，并经过讨论得到如卜两种解决思路：

思路一思路二

如图3,取A。中点连接EM,证明如图4,作AN平行4c交跖延长线于点N,先

第一步

证明ABCEgAMM：,再证明△BDP-JVAP；

利用相似三角形的性质及中位线的性质，利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得

第二步

得到线段AP与PO之间的数量关系。到线段AP与PD之间的数量关系•

AA

一

图形表

达BK

BDCBDC

图3图4

在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种）

【问题解决】

（2）在OO中，A4为直径，点C是00上一点（不与点4,8重合）.

OF

①如图跖若点”是弦的中点，AM交OC于点E,则石/的值为；

②如图团，在①的条件下，若4MJ_0C,求sin"的值；

③如图W,若48=10,BC=8,D为弦8c上一动点,过。作O"_LOC,交OC于点、H,交AB于点尸.设

BD=x,FO=y,直接写出），与x的函数关系式.

A

AA

。儿

M-ZeB\~D

图II图山图IV

2

8.（2026•湖北•模拟预测）如图1,在中，AB=AC,。是3。延长线上一点，CD=nBC（n>-）,

连接A。，E是胡延长线上一点，4E=/DAC.

AD

问胭提出：当〃=1时，探究"的值.

CE

（1）先将问题特殊化.如图2,当NA8C=60。时，直接写出空的值;

CE

（2）再将问题一般化.如图1,证明（1）中的结论仍成立;

问题拓展:

ApQRM

（3）如图3,过点C作CMLBE于点M,若花=5,直接写出正的值（用含〃的式子表示）・

图2图3

题型三：手拉手模型

拉O包❹0比

特征1:是否存在共顶点的两个三角形；

第一步

特征2：共顶点的两个三角形是否相似或者能够判断其相似

第二步得到另外两个共顶点的三角形相似

第三步利用相似三角形的性质解题

常见基础模型如下:

40在内且拉手线AD在△48。外且拉手线AD在外且拉手线

无交点无交点有交点

条件在△A8C'中,点〃上分别在边,4从“：〃弘，将△4）E绕点4旋转a

1L△ADE—ZUBC,△AD8S△?1£/

-2两条拉手线80,CE交于点匕贝iJ（l）Z.i?FC=TB4C；（2）4,8,C,尸四点共圆

【中考母题溯源,学方法】

【典例3】1（2025•四川•中考真逊）RtZ\A8C和■△。反7中，ZACB=ZDCE=90°,—=—=y.

ACCDb

【初步感知】

（1）如图1，若£=1,连接AD4E,则AO与能之间的数量关系是一,位置关系是____：（直接写出

b

结论，不写推理过程）

图1

【深入探究】

（2）如图2,若f",将绕点C旋转，设直线g与AC交于点M,与A。交于点N,:式确定AO与

南之间的数量关系和位置关系，并说明理由;

A

【迁移应用】

(3)如图3,当点。在RlZSABC内部，且NACO=ZA8C时，若，=之，BC=75,CE=35,连接AD8E,

b4

作Cr_L3E于点入交4。于点G,求R7的长.

图3

【变式3-1】难点04：作共顶点三角形构造手拉手模型

(2024・山东聊城•模拟预测)综合与实践

将正方形ABC。的边绕点/I逆时针旋转至A9,记旋转角为Q.连接88'，过点。作DE垂直于直线88'，

垂足为点E，连接。房,CE,

图1图2

(1)如图1,当。=60。时,△DE9的形状为.,连接3£>,

⑵当0。＜。＜360。且。。90。时.

①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由;

②当以点*,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，求黑的值，若AB=2后,请直接写出此时点

E到CQ的距离.

【变式3-2】难点05：连接拉手线构造手拉手模型

（2025•河南濮阳•一模）在矩形A5CO中，E是边AB上一点，以的为边在矩形ABCO内部构造矩形E8/P,

使得"二毁”,

连接3G.

ADEG

图1图2图3

【特例发现】

AE

（1）如图1,当）=1时,~DG

【类比探究】

（2）如图2,将矩形EMG绕点B顺时针旋转。（0。＜。＜30。），连接AE,当心立时，求痣的值;

3DG

【拓展运用】

3

（3）如图3'矩形.G在旋转的过程中，当点G落在BC边上山D,G,尸三点共线.若人“BE=3,

请直接写出AE的长.

【中考模拟闯关•练提分】

1.(2025•江苏连云港•一模)综合与实践：

【新知定义】如图1，若/BAC=/DAE,煞=当，则4cs△4£)£.小明称图1中的和VAOE

ACAE

互为“手拉手等形三角形

E

图3图4

【新知探究】

(1)如图2,若N84C=90。，NB=30°,BC=4,。为BC的中点.以AD为一边在A。右侧作VAOE,

且VA8C和VAOE互为“手拉手等形三角形"，连接CE,则CE的长为.

(2)在图1中，连接阴)，CE,求证：

【变式应用】

(3)如图3,在VA8C中，AI3=AC=5,BC=6,。为3C的中点，A。为一边在AD右侧作VAOE,

NBAC=/DAE,S“BC=S.、DE，连接CE，求CE的长；

【综合应用】

(4)如图4,若N84C=90。，NB=3O0,4C=I,若。点在线段8C_L运动(6。,旦点D不与点

B重合)，以AD为一边在A。右恻作VAOE,且VA8C和VAOE互为“手拉手等形三角形〃，连接CE.以

AD.A£1为边构造矩形人。户E,连接CF.直接写出AC上尸面积的最大值及此时8Q的长度.

2.(2026•陕西西安•一模)问题提出

(1)如图1,在VA8C与VADE中，AB=2AC,AD=2AE,N84C=ND4£,若80=7,则CE=

问题解决

(2)如图2,市政部门计划修建四边形绿地ABCD，要求AB=100米，ZBCD=90。,CB=CD,ZADC=135°,

在四边形绿地八AC。中修建直道/1C,将绿地分为两个三角形区域，△人CO区域铺设草坪作为宠物活动区,

E为A8中点，以跖为斜边在VA4C内部修建一个等腰直角△£7中用作放养锦鲤的水池，其它区域种植鲜

花，求鲜花区的最大面积.

图1

3.(2025•江苏徐州•中考真题)如图1,将RSAO3绕直角顶点。旋转至△COD,点A,8的对应点分别为

C,D.连接4DBC,AC,BD,直线AC与B。交于点E.

⑴△4)。与/OC的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；

(2)如图2,连接OE,若AB,CD,OE的中点分别为尸，Q,R.求证：P,Q,R三点共线：

(3)已知A8=5,随着。4,OB及旋转角的变化，若存在以A,B,C,。为顶点的四边形，其面积为S,则S

的最大值为.

4.（23-24九年级下•湖北黄冈•期口）某校数学活动小组探究了如下数学问题:

图1

⑴问题发现：如图1,VA4C中，ZBAC=9f）°,AB=AC.点P是底边8c上一点，连接以转为腰

作等腰RtA^PQ,且NB4Q=90。，连接C。、则8尸和的数量关系是.

⑵变式探究：如图2,VA8C中，ZfiAC=90°,AB=AC.点P是腰A8上一点，连接6,以CP为底边

作等腰RtzXCPQ,连接AQ,判断笈尸和AQ的数量关系，并说明理由;

⑶问题解决：如图3,在正方形A8CO中，点P是边8C上一点，以OP为边作正方形。呼，点。是正方形

。。防两条对角线的交点,连接C。.若正方形。/7孑■的妨长为2府，CQ=2正，请直接写出正方形A3CO

的边长.

5.（2025•河南南阳•二模）综合与实践

【问题呈现】

（1）如图①，△AOC和VADE都是等腰直角三角形，ZAOC=ZADE=90°,连接O。，CE,则OO,CE

之间的数量关系是,ZOCE=.

（2）如图②，在V48C中，A8=AC,NBAC=90。,D（不与点3,C重合）是直线C8上的一动点，将

线段4。绕点。按顺时针方向旋转90。得到。石，连接CE,AE.

【类比探究】

①如图②，点。在线段CB上时，求证：AC-CE=4IBD.

【拓展提升】

②如图③，AB=AC=4g，在点。运动的过程中，当NC4E=60。时，请直接写出CO的长.

6.（25-26九年级上•河南平顶山•期中）（1）如图1,在正方形A3CD中，点E在边CD上，点口在边5c上,

且点石不与C、。重合，点/不与3、C重合，ZE4F=45°,DE=1.5,BF=1.3,求E尸的长.小明利用

正方形的性质，通过把Rt"Z）E旋转到RIA48G的位置（如图2）,就计算出了所的长为

（2）如图3,E是正方形A8CO的边CO上的任意一点，过点4作AE的垂线交C8的延长线于点尸，连接

EF.求NA庄1的度数.

（3）如图4,正方形A8CO中/E4E=90,过点A再作AGJ.即，垂足为G,连接。G.求证：CF=®DG