湖南省长沙市某中学2025届高三年级下册第二次模拟考试数学试题（含答案）

湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合A={x|X2-3X>0},B={-1,04,2,3,4,5},则ACB=（）

A.{5}B.{4,5}C.{-1,4,5)D.{-1,0,4,5)

2.若复数z满足4z=(1+i)4,则后|=()

A.1B.-1C.1D.2

3.已知向量五与石的夹角为60°,a=（1,0）b|=V3,若五1（府+今,则实数;I=（)

A.2B.1C.号D.一亨

4.设Q=10gMosb=cos*，c=2sin^贝U()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

c

5.已知△48C的面积为6b，4=60。，AB=3,8的内角平分线交边AC丁点。，则产如的值为（）

bhCBD

A-7B-7C-2D-\

6.已知两个不同的平面a,。和两条不同的直线m,n满足m_La,九u£,则m〃n是a_L夕的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.在信道内传输（），1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接

收为1或0.已知发送。时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为（）和1的概率分别为0.1

和0.9.若接收信号为1的概率为0.76,则发送信号为1的概率为（）

A.0.2B.0.5C.0.8D,0.9

22

8.已知尸1、尸2分别为椭圆出+方=1（。>6>0）的左、右焦点，过点尸1向圆。：（x-。）2+（7-匕）2=/?2引

切线交椭圆于点P（在X轴上方），若△P&F2的面积为则椭圆的离心率。=（）

,r

A.彳«6R-v12C「•亏5Dn.—v3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（）

A.己知数据53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,则这组数据的下四分位数为53；

B.已知随机变量X服从二项分布8（?i,p）,若E（X）=40,D（X）=30,则p=*

C.若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排

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法;

D.一个样本（数据不全为5）的平•均数为5,若在样本中添加一个数据：5,则该样本的平均数不变，方

差变小.

10.己知/（%）=（X+1）3+QX+Q,Q£R,则F列说法中正确的是（）

A.当。二一3时，函数/（%）的极大值点为1;

B.当。=一3时，过点（一1,0）可作一条直线与曲线y=/•（%）相切：

C.对VQWR,点（一1,八-1））是？=/（%）的对称中心；

D.若直线y=kx+k+2Q+2与/（x）有三个交点打、外、%3，则与十右十M=-3.

11.已知双曲线E:当一与=1（。>0/>0）的左右焦点分别为片、尸2,过其右焦点尸2（5,0）的直线，与它的右

支交于P、Q两点，P&与y轴相交于点44PAFz的内切圆与边412相切于点8,设［48|=3则下列说法正确

的是（）

A.若t=4,则||P%|-|PF2ll=8；

B.记得PF?=6,贝必尸止尸2的面积S=b2tan］

C.若亡=3,过点（2,0）且斜率为k的直线［与E有2个交点，则（一塔,塔）；

D.若t=3,则的内切圆与△Q&&的内切圆的面积之和的最小值为87r.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知角a终边上一点P（2,l）,则由盥；

13.（1+2%-3y）5的展开式中含炉？的项的系数为；

14.已知五是平面内的任意一个向量,向量石、2满足了々=0，且同=4,|c|=4,则问五一可+|4—矶+

\a+c|的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛时｝的首项%=1,｛%｝的前几项和为工且满足72s7H.i—（几+1»九=吗四.

（1）证明：数列倍｝是等差数歹L；

2

（2）若以=笔不，求数列｛，J的前几项和R”

2

16.在平面四边形48co中，AB=BC=CD=BD=2,AB1BD,BPD,其中尸为动

点.

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c

(1)若4P=力。，证明：ABlYffi5PD；

(2)求直线AP与平面480所成角的正弦值的最大值.

17.已知函数/(X)=-Qmx(Q€R).

(1)若曲线y=fCr)在％=1处的切线与x+3y=0垂直，求实数Q的值；

(2)当。二4,八幻在区间区-1,k+1］上不单调，求实数k的取值范围；

⑶若a=-2,对任意%1，%2E(0,2］且H如不等式17(%1)-/(M)l工m■一^■成立，求m的最小值.

18.已知抛物线子:y=4%的焦点为F,过点尸的直线匕交抛物线厂于A、8两点，过点尸的直线打交抛物线丁于

C、0两点，且2i_L，2.

(1)求证：为定值，并求出该定值；

(2)如图，点从C在x轴的同侧，/＞玄，直线AC与直线BD的交点为E,i^EFC,△ACF的面积分别

为Si，S2,求电勺取值范围.

19.“你好！我是DeepSeek,很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任

务交给我吧“，DeepSeek从横空出IL到与我们IT常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI人模型

正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得

到如下数据：

单位：人

使用情况

学历合计

经常使用不经常使用

本科及以上6535100

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本科以下5050100

合计1158520()

（1）依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为DeepSsk的使用情况与学历有关？

（2）某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了X、八Z三组进行，其规则：竞赛发

起权在哪•组，该组都可向另外两纣发起竞赛，则下•次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由X组先发起

竞赛，x组挑战丫组、z组的概率均为义，若x组挑战y组，则下次竞赛发起权在丫组，若x组挑战z组，则下次

竞赛发起权在z组：若竞赛发起权在V组，则挑战X组、Z组的概塞分别为/和/若竞赛发起权在Z组，则挑战

x组、y组的概率分别为。和1

①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在丫组的次数M的分布列与数学期望；

②定义：已知数列｛斯｝,若对于任意给定的正数£（不论它多么小），总存在正整数No,使得当

时，|斯-4V£（4是一个确定的实数），则称数列｛Q»为“聚点数列”，4称为数列｛Qn｝的聚点.经过ri次竞赛

后，竞赛发起权在X组的概率为时,证明数列｛册｝为“聚点数列”，并求出聚点人的值.

2

附,：/_(a+H)舞曲+d)，…+b+c+%

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

xa

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得4={xI%(%-3)>0}=(-8,0)u(3,+8),An8={-1,4,5},

故答案为：C.

【分析】通过求解不等式确定集合A的范围，再根据交集的定义(取两个集合中共同元素组成新集合)，找

出集合A与集合B的公共元素，从而得到4nB.

2.【答案】A

【解析】【解答】解法一：因4z=(1+i)4=(2i)2=—4,故z=-l,则2=—1,即历|=1.

解法二：由题意知4|z|=|1+if=(旬4=4，所以|z|=l,即团=|z|=1.

故答案为：A.

【分析】

解法一：先通过复数的乘方、乘法运算，将(l+i)4逐步化简，求出z的具体值；再根据共机复数定义得到

最后用复数模的定义算出|5|.

解法二：利用复数模的运算性质(荚积的模等于模的乘积、事的模等于模的累)，对等式4z=(1+t)4两边

取模,快速建立关于|z|的方程,求出|z|；再依据“共粕复数的模相等"(团=|z|),直接得到虐I.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因为五1(/1五+“，同=1,

所以AG?+6.b=0,所以4+1xxi=0-

故入=-挈

故答案为：D.

【分析】利用向量垂直的性质(若两向量垂直，则它们的数量积为0),结合向量数量积的运算公式，来建

立关于/I的方程，进而求解；I的值.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得，b=cos1G(0,1)>所以Q=log、，5cos；v，ogal=。，

又sin2G(0,1)所以c=2sin^>0,所以Q最小；

而由三角函数的基本性质，当％€(0,另时，0<sinx<x<tanx,

rJ-1*T*1

所以下—---9—2tcmQ>2X5=1,则c>b；所以c>b>Q,

°cos专4L

故答案为：D.

【分析】先利用对数函数、三角函数的性质判断a、b、c的正负，再通过作商法以及三角函数的重要不等式

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（当xE（O,刍时，0vsiTixVx<tcmx）比较b与c的大小，从而确定a、b、c的大小关系.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：因为△4BC的面积为6e，A=60°,AB=3,

所以=£x34Csin60°=6后解得AC=8.

在△ABC中，由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB•ACcosA=9+64-2x3x8cos60°=49,

解得BC=7.

,一,-一SAADrt^ABBDsinZ-ABDADQ

因为皿平分所以熠=岸前诵=第"

故答案为：A.

【分析】利用“三角形面积公式S=2absinC'',代入已知面积、角和边，直接解出4C,然后用“余弦定理

,2=层+房一2abcosC“，结合48、AC和“，算出8C,最后依据“角平分线分角相等”，结合三角形面积公

式，发现面积比可转化为邻边长度比.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：因为两个不同的平面a,0和两条不同的直线m,n满足mJLa,nu/7,

所以若m〃几，mla时，则/_La,又几u夕，所以al/7,即充分性成立；

若a16,m1a,nuk则m〃夕或mu。，

则m〃几或m与n相交或异面，即必要性不成立，

所以“讥〃""是"a1''的充分不必要条件.

故答案为：B.

【分析】依据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直、面面垂直的判定与性质，分别判断“m||心能否推

出“a1父（充分性）以及“a1优能否推出“mII九”（必要性）.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意，设事件儿为“发送信号0"，事件，％为“发送信号1”，事件即为“接收信号为

0"，事件Bi为“接收信号为1”，

则P（80Mo）=0.8,P（8iIA。）=0.2,P（8°I&）=0.1,P（AI&）=0.9.

设发送信号为1的概率为x,

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则接收信号为1的概率P=P(4))P(B1|Ao)+P(A1收(%I4)

砥1-x)x0.2+xx0.9=0.76,

解得x=0.8,即发送信号为1的概率为08

故选：C

【分析】用全概率公式关联“发送信号''与“接收信号”的概率关系.定义事件：设治为“发送信号0”,必为“发送信

号T',当为“接收信号「.接收信号1的概率，需通过发送信号0或1时接收1的条件概率，结合发送信号1的概率

x(设未知数),用全概率公式列方程求解.“分解复杂事件(接收1)为互斥子事件(发送0后接收1、发送1后

接收1〕，再用概率加法与乘法规则联立计算”.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：如下图所示，

设圆C与不轴切于点4与切于点8,设椭圆与y轴正半轴交于点Q,

下面证明P,Q重合，

设乙。及4=a,

•••tana=—

a+c

rb

nn4xc2tana^a+c2b(a+c)2b(a+c)2b(a+c)b

tanZ-BFrA=tan2a=------丁2=——22--------->2—=21F=一

l-tana1_()ja+c+2ac-b2c+2ac2c(a+c)c，

而£cm/QFiA=-»

•••QFi与P&重合，即点P是短轴的端点，

••••2c=；占2,b2c,

22

则Q=x/b+c=V5c»所以e=-=项，

a5

故答案为：C.

【分析】先通过几何关系证明点P是椭圆短轴的端点(上顶点)，再利用三角形面积公式结合椭圆的基本量

关系，建立关于离心率。的方程，进而求解离心率.

9.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：4、下四分位数指的是25%分位数，即数据由小到大的第3个数据，为53,4正确；

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B、由E(X)=40,D(X)=30,可得1np(2/130,解得P=彳，B错误；

C、先排2名女同学并当成一个整体，与其余3名男同学排列，共度力：=48种，C正确；

D、一个样本(数据不全为5)的平均数为5,设这个样本中有m个数据，则4=红号二t包=5,

若添加一个新数据5组成一个新样本，则新样本的平均数E=/+肛募厂"什5=*?=5,

根据方差公式，设原方差『⑶一幻J(%2-元产+…+口小一靖],

Sm-m

22221

则新方差为"_悴1一5)+如-5)+…+(心-5)+(5-5)]_/可知方差变小，D正确.

“1+1_m+1~布Imm

故答案为：ACD.

【分析】A：根据下四分位数(25%分位数)的定义，对数据排序后确定对应位置数值.

B：利用二项分布的期望与方差公式，列方程求解p.

C：运用捆绑法，先将相邻女生视为整体与男生排列，再考虑女生内部排列.

D：依据平均数和方差的定义，分析添加数据前后的变化.

10【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、当Q=-3时，则r(x)=/+3/-2,得/■'(%)=3/+6%=34+2)，

令八防V0=-2<xV0，/(%)>0=>%<-2或%>0,

所以函数/'(X)在(一2,0)上单调递减，在(-8,-2),(0,+8)上单调递增，

所以％=-2是/(%)的极大值点，A错误；

32

B、由A知，当Q=-3时，/(x)=x+3x—2,

设过点(1,0)的切线方程为y=k(x+1),设切点为(%。,就+3扉一2),则左=3密+6项)，

攵=哽溶二，得3诏+6%=哽理二，整理得就+3郎+3.5+1=0,即(々+1)3=0,

x0+1配十

解得%0=-1,此时切点为(-1,0),

所以过点(一1,0)只能作一条直线与曲线y=f(x)相切，B正确；

C、因/(%)=(%++Q(%+1),/1(%)由g(幻=/左移一个单位，

又。(0=炉+”为奇函数,关于原点对称，所以，⑺关于(-1,0)对称,而/(-1)=0,

所以对Va€R,点(一1,/(一1))是y=/(》)的对称中心，C正确，

D、由直线y=Zx+k+2Q+2与/(x)有三个交点勺，x?、x3,

则kx4-/c+2a+2=x3+3x2+3%+ax+a+1,

x

即炉+3/+(3+0—k)x-Q-k-1=0有三个实数根,%2，3>

2

则%3+3x+(3+a-k)x—a-k-l=(x-%i)(x-x2)(x-x3),

232

所以炉+3%+(3+Q-幻无-a-/c-1=x-(xj+x2+x3)x+(xyx2+x2x3+xxx-^x-/冷冷，

所以3=-(/+X2+%3)，所以必+*2+%3=-3,D正确.

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故答案为：BCD.

【分析】A、通过代入a值化简函数，求导确定单调性区间，依据单调性与极值点的关系（导数山正变负为

极大值点，由负变正为极小值点）判断极值点.

B、设出切线方程与切点，利用“切线斜率=函数在切点处导数=两点连线斜率”建立等式，求解切点，

根据切点情况判断切线数量.

C、根据奇函数的性质，结合函数平移的性质即可判断.

D、联立直线与函数方程，通过换元转化为三次方程，利用三次方程韦达定理（三根和与二次项系数的关

系），结合换元式还原出原交点横坐标的和.

11.【答案】A,D

【解析】【解答】解：A、因为△PA/?2的内切圆与边力尸2相切于点B,如图，M,N为另外两个切点，

由切线长定理可知|PM|=|PN|,\F2B\=|F2N|,\AM\=\AB\f因为4在y轴上,所以|力%|=⑷引,

所以|PQ|-|PQI=IPMI+14Ml+|AFi|一（\PN\+\F2N\）

=\AM\+\AFr\-|F2M=\AB\+\AF2\-\F2B\=2\AB\=23

若t=4,则Q=4,所以||P4|一|P『2ll=2a=8,A正确;

2

B、因为△F1PF2的面积S=扁，B错误；

C、若t=3,则Q=3,c=5,b2=16»双曲线的方程为舁*=1，

y=k(x—2)

直线，的方程为y=k(x—2),联立,式,消y得(16-9A2*+36匹”36/一36x4=0,

~9~16=1

16-9/

则1,八2,、,八，

(△=(36F)-4(-36公7-36x4)(16-9k2)>0

解得—%VkV塔且々工土寺C错误；

JJU

D、若u=3,则a=3,c=5,b2=16，双曲线的方程为「一石=「

916

如图，设两内切圆圆心分别为。1，02,半径分别为丁1，7*2，设PF］、PF2.F1F2与圆。1分别相切于点R，S,

第9页

T,

由切线长定理得|P?|-IP尸2l=IPRI十1^11-（IP5I十|5F2|）

=\PR\+|TFi|-（|PR|+|TF2|）=\TF1\-\TF2\=2a,

而|TFil+IT&I=2c,两式相加得|TTil=Q+C,所以T是双曲线的右顶点（a,0）,

O/lx轴，所以。1的横坐标为a,

同理可求得。2的横坐标为a，贝1JITF2I=。一。=5-3=2,

设直线PQ的倾斜角为仇贝i"P&Fi二九一仇

{\-.Rt△O^TF2»△。27F2中有

r】=2tan（尹如2X段招=磊=治，.ata得

8

设n2-所以并+日=热+4tm21=4m+-=4（7n+i）＞2,

mta2

O

艮

一7T即。=3取得最小值8,

显然，当m=1,24一

记^。广/2的内切圆面积为Si，△QF]F2的内切圆面积为Sz，

故4P//2的内切圆与△Q&F2的内切圆的面积之和的最小值为8冗，D正确.

故答案为：BD.

【分析】A、利用双曲线定义（双曲线上任意一点到两焦点距离差的绝对值为2a）,结合三角形内切圆切线

长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等）,建立[4B|与Q的关系，进而判断.

2

B、依据双曲线焦点三角形面积公式小=h象，。为两焦点与双曲线上点形成角），通过推导或公式记忆判

断.

C、先由选项A的关系求出双曲线方程，再联立过定点的直线与双曲线方程，根据直线与双曲线右支有两个

交点的条件（判别式、韦达定理结合），确定斜率k的范围.

D、利用切线长定理得出内切圆与双曲线实轴的关系，设出两个内切圆半径，结合直线与双曲线相交时的性

质，通过均值不等式求面积和的最小值.

12.【答案】4

第10页

【解析】【解答】解：根据三角函数定义，可得tma另，则］:黑戊=2s然第=.a=.

故答案为:

【分析】先依据三角函数的定义，由角a终边上一点的坐标求出tana,再利用二倍角的三角函数公式对所求

式子进行化简，最后将tana的值代入化简后的式子计算结果.

13.【答案】-480

【解析】【解答】解：0(1+2x-3y户=(l+2x-3y)(l+2x-3y)(1+2x-3y)(1+2x-3y)(1+2x-

3y),

所以含/y的项为Cg(-3>)或(2%)3竭•1=-480%3中

故含%3y的项的系数为一480.

故答案为：-480.

【分析】依据二项式定理的本质(多项式展开是从每个括号中选一项相乘后合并同类项)，要得到含炉y的

项，需确定从5个(l+2x-3y)因子中，选几个因子取2x、几个取-3y、几个取1,通过组合数计算选取方式

的数量，再结合各项系数求出最终系数.

14.【答案】8V2

【解析】【解答】解：在如下图所示的平面直角坐标系%Oy中,设8(4,0)、Cx(0,4),C2(0,-4),

不妨设苍=就，b=~OB>c=由题意可得

V2|a-d|+|a-c|+|a+c|=y/2\AB\+14cl|+\AC2\>

将^ABC2绕点8逆时针旋转冷得到△A'BC^

则kd=v2i制Re]=|吹|,

其中点C'(8,-4)，故伺五一回+|五一4+同+矶=&|A8|+|AC1I+I"2l=M+IACil+pfc]>%'cj+

\AC'\>[C1。]=7(8-0)2+(-4-4)2=8V2,

当且仅当点4与点8重合时，此时，点/也与点8重合，等号成立，

故e|a-b|+|a-c|+|a+研的最小值为8口.

故答案为：8a.

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【分析】本题需将向量模长转化为平面直角坐标系中线段长度，通过图形变换（旋转），利用几何关系求最

小值，关键足合理建立坐标系，把向量模氏转化为点之间的距离，再借助旋转构造新线段，依据两点之间线

段最短求解.

15.【答案】（1）证明：因为几S?i+i—（n+l）Sn=^n（n+1）»所以

又即=1,所以数列｛当｝是以1为首项，以/为公差的等差数列.

（2）解：由（1）可得冬二鼻+'所以$“=基2+"，

n2Z"22

当?I之2时&一1=•y(H—I)2+,(?1-1)»

所以Qn=Sn-S〃_i=■九2+；几—l(九一］)2(几1)—Tlf

n2

当？I=1时的=九也成立，所以册=九，所以g=二万，

2

因R"喙+|r+|2+…+禹①

基"与+*+*+…+好'②

②-①得扔n=今+/+++£+…+笑^一品,③

.|l1,3,5,,2n-ln2小

则m科n=三+/+/+…+尸--齐FT④

③-④得我-1+1+打点+宗+…+册一关一审+禹

111n22n-1n2

=1+(1+k+2-n+…-I-n-----2-□)nri-------n--n-----,n+l

I222~22

1•(1—1)

2,t'n22n—1n2

jn呼严

2

1nz2n-1n2

=3—।।

2"-22n2n2n+1

，2九+3n2

=32n+l

所以&二12一第一小r

乙乙

【解析】【分析】（1）要证明｛粤｝是等差数列，需将已知等式变形为相邻两项的差为常数，结合首项，依据等

差数列定义证明.

（2）先由（1）得出金的通项，进而得到工，再求出时、时,最后用错位相减法求｛%｝的前几项和R”.

⑴证明：因为咻+i—（九+1断=前（九+1），所以至甘一卷=发

第12页

又臼=1,所以数列｛曾｝是以1为首项，以3为公差的等差数列.

(2)由(1)可得*=5所以Sn=47l2+/、

当">2时S,T=i(n-l)24-i(n-l)，

/1/)

22

所以Q葡=Sn-Sn_i=in+in-l(n-I)—i(n-1)=n,

当九=1时时=〃也成立，所以册="，所以以=下彳，

2

22Q22

囚呢=1外+9尹+岸+…++T①

112o2o22

2治=尹+/+/+…+声②

②•①般&=%+条+§+杂..+黔4,③

则加=亲+,+£+•••+穿一岛,④

③-④得加=1+1+如»*+…+泰一亲营+岛

111n22n—1n2

=1+(1+不+―5+…H--n+1

2222,~~2^-+2

(1-人2

1-2几-1)小2九一1n

=1+一+严

in/一_F

12

22

-13---n------2-n--—---1-----n--H-------

nnn+1

02九—2222

2n+3n2

-3nn0n+1

乙z

所以R,=12-揩-品-

16.【答案】(1)证明：在△AB。中，AB=BD=2,AB1BD,所以4。=2企.

因为/IP=AD=2VLAB=PB=2,所以/IB?+PB2=/IP2,

所以1BP.

又因为4B18D,BP,BOu平面BPO,BPCBD=B,

所以481平面8P0.

(2)解：如图，建立以8为原点的空间直角坐标系，设二面角P—8。一A的平面角为仇则4(2,0,0),

8(0,0,0),D(0,2,0),P(V3cos6»,l,V3sin6>)

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ZAP

所以而=（百cos。-2,1,平面ABO的法向量为诃=（0,0,1）.

设直线AP与平面480所成角为a,则

\y/3sin6\JSsinO

sina=\cos（AP,n）|===.

J（限os。-2『+1+（总讥。『J8-473COS0

-n.（百sin。\3（1-cos2j）

设薪I

设8-4\/3cos0=t（8-4\/3<t<8+4百），

所以丫二1一、与另，（当且仅当t=4,即cosJ=*时取等号），即冬

I*JL。4J/

直线4P与平面48。所成角的正弦值的最大值为4.

【解析】【分析】（1）通过勾股定理及其逆定理，结合线面垂直判定定理证明，进而得出481平面BPD.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示线面角正弦值，再通过换元、基本不等式求最大值.

(1)在△48。中，AB=BD=2,AB1BDf所以40=2企.

因为AP=AD=2VLAB=PB=2,所以AB?+pS2=4P2,

所以WB1BP.

又因为4B_LBD,BP,BDu平面BPO,BPCBD=B,

所以AB1平面8尸0.

（2）如图，建立以8为原点的空间直角坐标系，设二面角尸一8。一A的平面角为仇则4（2,0,0）,8（0,0,0）,

0(0,2,0),P^y/ScosO,1,y/SsinO)

所以而=（百cos。-2,1,平面48。的法向量为诃=（o,o,D.

设直线AP与平面480所成角为a,则

卜"si砌43sin9

sina=\cos{AP,n)|=

22

(J3cos0—2)+1+(V3sin0)8—4y/3cos0

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设I—/Rstn。1_3(1_皿2°)

y'\^coso)一^Q，

设8-4V3cos0=t(8-4V3<t<8+473),

所以y=1—J—收工］(当旦仅当£=4,即《os。=浮时取等号)，即sinaW

vAOZiJ，

直线抑与平面ABD所成角的正弦值的最大值为冬

乙

17.【答案】(1)解：因为/(%)=2上2一。仇eR),所以/(%)=

因为曲线y=f(%)在x=1处的切线的与直线x+3y=0,则/'(I］=1一Q=3，解得a=-2

(2)解：因为a=4,所以/(x)=3工2一46》,定义域为(0,+8),

求导可得/'(%)=%_(=学，

令/(x〕>0，得到：x>2或％V-2(舍去)，得/(%)在(2,+8)上单调递增，

令fa)v0,得到：0Vx<2,故/(x)在(0,2)上单调递减，

要使得f(外在区间内-l,k+1］上不单调，则0<%-1<2V%+1n1<女v3

即：1<kV3.

(3)解：因为Q=-2,所以/(x)=*/+2仇》,所以函数/(%)在(0,2］上单调递增，

因为与工租不妨设0<%V%242,则/

因为IfOi)-/(翼2)1工771套一意,所以/(必)一/Qi)式"1/

即/(%2)十詈$f(小)十要恒成立，

X2X1

设h(x)=/(%)+—=ix2+2lnx+—,

人■4yV

若人犯)+9=&1)+詈，则九⑺是(0,2］上的常函数，显然不成立,

人2人1

若f(%2)+/V/(xi)+詈，则h(x)是(0,2］上的减函数，

人2人1

所以应为=x+|一重40在(0,2］上恒成立，即m+2x在(0,2］上恒成立，

又函数y=/+2%在(0,2］上是增函数，所以炉+2%412(当且仅当％=2时等号成立).

综上，m>12,即m的最小值为12.

【解析】【分析】本题围绕函数/•(幻=：/-。1位展开，涉及导数的几何意义、函数单调性以及不等式恒成

立问题：

(1)利用导数的几何意义，结合两直线垂直斜率关系求a.

(2)先求导数确定单调区间，冉根据区间小单调的条件列小等式求k.

(3)通过构造函数，利用单调性将不等式恒成立问题转化为求函数最值，进而确定m的最小值.

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(l)因为/'(%)=聂2一Qmx(QWR)，所以-

L八

因为曲线y=f(x)在x=1处的切线的与直线x+3y=0,则/(1)=1-Q=3，解得a=-2；

(2)因为Q=4,所以/■(%)=一4仇工,定义域为(0,+8),

求导可得/(%)=%_(=学，

令f(x)>0,得到：x>2或％V-2(舍去)，得/(x)在(2,+8)上单调递增，

令/(x)<0，得到：0cxV2,故f(x)在(0,2)上单调递减，

要使得f。)在区间区—l,k十1］上不单调，则0<k-1V2VZ+1=1<k<3,

(3)因为。=一2,所以/(%)=#+2抽，所以函数/⑺在(0,2］上单调递增，

因为“1工工2，不妨设0V<%2W2,则;>；

12

因为1/(打)一/(犯)14相专一事所以/(%2)-)(X1)式加偿一套｝

即，(&)+9工f(%i)+景恒成立,

x2X1

设九(x)=/(x)+—=ix2+2lnx4--»

X乙X

若人0)+*=/(/)+9则九(%)是(0,2］上的常函数,显然不成立,

入2A1

若/(%2)+*Vf(工1)+77»则九(%)是(0,2］上的减函数,

人2A1

所以九(x)=x+1-技工0在(0,2］上恒成立，即m>x34-2%在(0,2］上恒成立，

又函数y=%3+2》在(0,2］上是增函数，所以炉+2工工12(当且仅当％=2时等号成立).

综上，m>12,即m的最小值为12

18.【答案】(1)证明：如图所示

由已知可知直线匕，L的斜率均存在且不等于。，

因，1，%过点”1,0)，可设，1的方程为y=k(x-l)(kH0),则，2的斜率为一巳

K

设4与C相交于4(%1，%),3(%2，%)，

22

由｛。展合1)，得「/一(27+4卜+5=0,则M+肛=当於，曲%2=1，

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iADI-I-o_2k2+4_4k2+4

\AB\=X\+冷+2=---2---H2=--2—，

kk

4/—

同理可得|CD|=l切？=4k2+4,

(4)

所以高+由=&+念=*

即表1+册/

⑵解:设4隹力。传yj喂'-劫'。僚V)'

k_yc一"_4

因为何一举孑一丫4+上

46-野pn—41匕4.。

所以直线4。:丫一以=虾v一勿+丫。+y/iW

办+yc

4

同理：直线8D:y=-.ZziZcY-------

力+、c'力+，c.

4x+Wc

力+%勿+y。

解得独=-1.

3cx4

力+y。办+、c

设直线AC的方程为：x=my+3由对称性不妨设m>0,力（久1，）1），。（%3，丫3），

联立降?：：八叱-4”。

因为△>（）,解得771?+£>0,yx+y3=4m,yxy3=-4t,所以tv0,

因为C7_LA尸，

所以瓦?•FC=(xi-1)(x3-1)+yAy3=xi%3-Ui+X3)+1+yty3

22

(%、3)(乃+、3)-2yly3

+1+y/3

=逑_16m2+81+I_4t=0，化简得：4m2=产一61+1.

164

所以&=S&ECF_四_1%>一无£~1_%+1|_1nly3+"」_卜3+等

，2~S^ACF~\AC\~\xA-xc\一1勺一工3I一|7nyi+t-zny3Tl一|力一乃|

因为丫3=i产6t=2w_2中7

22

bi-y3\=JQi+-4yly3=V16m+16t=4>/m+t»

所嗯2m-29+计导2m2+£+11

4m^?n2+t2

4jm2+t

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2mz+t+l1_#-2t+|_______1

J4m2（4m2+4t）之J（产-6t+1）（产-21+1）之

t2-4t+3）2

11,8理—16£+81

-1

=