小学数学《方阵问题》基础知识讲解+专项练习题及参考答案

小学数学《方阵问题》基础知识讲解+专项

练习题及参考答案

一、《方阵问题》基础知识讲解

方阵问题是小学数学几何与计数结合的典型应用题，核心围绕实

心方阵和空心方阵的边长、层数、忌人数、每层人数的关系展开，

解题需掌握核心公式与规律，关键知识点如下：

（一）核心概念

1.实心方阵：整个方阵被元素填满，无空心部分，是最基础的方

阵类型。

2.空心方阵：方阵中间为空，由多层正方形组成，分为单层空心

方阵和多层空心方阵。

3.边长：方阵每边的元素数量（如每边站几人、每边摆几盆花）。

4.层数：空心方阵中，从外到内的正方形圈数，相邻两层边长相

差2,每层人数相差8（实心方阵无层数）。

（二）核心公式

1.实心方阵

-总人数二每边人数X每边人数（边长2）

-每边人数=总人数的算术平方根

-最外层人数=每边人数X4-4（四个角的元素重复计算，

需减去）

2.空心方阵

-单层空心方阵总人数二每边人数X4-4（同实心方阵最外

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层）

-多层空心方阵总人数二（最外层每边人数一层数）X层数X4

-空心方阵每层人数二该层每边人数X4-4

-相邻两层每边人数相差2,相邻两层总人数相差8（偶数层）/8

（奇数层，最内层除外）

（三）解题关键

1.区分实心与空心方阵，明确题目所求（总人数、每边人数、层

数、最外层人数等）。

2.注意“每边人数”与“每层人数”的区别，避免重复计算角上

的元素。

3.多层空心方阵需利用“相邻两层相差8”的规律，简化计算。

二、专项练习题

（一）实心方阵专项练习（10小题）

1.学校运动会开幕式，同学们排成一个实心方阵，每边站12人，

这个方阵一共有多少人？

2.一个实心方阵的总人数是196人，这个方阵每边站多少人？

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3.用棋子摆成一个实心方阵，最外层每边摆15颗棋子，最外层

一共有多少颗棋子？

4.三年级同学排成实心方阵做操，最外层有44人，这个方阵每

边有多少人？

5.一个实心方阵，每边增加2人，总人数增加36人，原来的方

阵每边有多少人？

6.用鲜花摆成一个实心方阵，最外层摆了60盆鲜花，这个方阵

一共有多少盆鲜花？

7.士兵排成实心方阵训练，总人数是225人，最外层每边有多少

名士兵？

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8.一个实心方阵，去掉一行一列，共去掉21人，原来的方阵每

边有多少人？

9.同学们用小棒摆实心方阵，每边摆8根，摆成的方阵一共有多

少根小棒？

10.一个实心方阵的最外层有52人，这个方阵的总人数是多少？

（二）空心方阵专项练习（10小题）

1.用棋子摆成一个单层空心方阵，每边摆10颗棋子，这个方阵

一共有多少颗棋子？

2.一个双层空心方阵，最外层每边摆14颗棋子，这个方阵一共

有多少颗棋子？

3.同学们排成一个三层空心方阵，最外层每边站16人，这个方

阵一共有多少人？

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4.一个单层空心方阵的总人数是60人，这个方阵每边站多少人？

5.一个四层空心方阵，最内层每边摆8颗棋子，这个方阵一共有

多少颗棋子？

6.用鲜花摆成一个双层空心方阵，最外层摆了52盆鲜花，这个

方阵一共有多少盆鲜花？

7,士兵排成一个三层空心方阵，总人数是144人，最外层每边有

多少名士兵？

8.一个单层空心方阵，每边增加3人，总人数增加24人，原来

的方阵每边有多少人？

9.一个五层空心方阵，最外层每边摆20颗棋子，这个方阵一共

有多少颗棋子？

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10.用小棒摆成一个双层空心方阵，总共有80根小棒，最外层每

边摆多少根小棒？

（三）方阵综合问题专项练习（10小题）

1.一个实心方阵和一个单层空心方阵的每边人数都是12人，两

个方阵的总人数相差多少？

2.把一个每边10人的实心方阵，改排成一个三层空心方阵，这

个空心方阵最外层每边有多少人？

3.一个双层空心方阵，最外层每边摆18颗棋子，最内层每边摆

多少颗棋子？两层相差多少颗棋子？

4.同学们排成实心方阵，每边15人，若改成四层空心方阵，最

外层每边有多少人？

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5.一个实心方阵的总人数是121人，若改成单层空心方阵，每边

可以站多少人？

6.一个三层空心方阵，最外层每边站15人，最内层有多少人？

7.用棋子摆方阵，先摆成每边8颗的实心方阵，再改成双层空心

方阵，最外层每边摆多少颗棋子？

8.一个四层空心方阵，总人数是224人，最内层每边有多少人？

9.实心方阵每边增加3人，总人数增加45人，原来的实心方阵

总人数是多少？

10.一个单层空心方阵和一个双层空心方阵的总人数都是72人,

单层空心方阵每边人数比双层空心方阵最外层每边人数少多少？

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三、参考答案

（一）实心方阵专项练习答案

1.总人数：12X12=144（人）

2.每边人数：7196=14（人）

3.最外层人数：15X4-4=56（颗）

4.每边人数：（44+4）4-4=12（人）

5.设原来每边x人，（x+2）2-x2=36,解得x=8（人）

6.每边人数：（60+4）:4=16（人），总人数：16X16=256（盆）

7.每边人数：7225=15（名）

8.每边人数：（21+1）4-2=11（人）

9.总小棒数：8X8=64（根）

10.每边人数：（52+4）:4=14（人），总人数：14*14=196（人）

（二）空心方阵专项练习答案

1.总棋子数：10X4-4=36（颗）

2.最外层人数：14X4-4二52（颗），内层人数：52-8=44（颗），

总人数：52+44=96（颗）

3.总人数：（16-3）X3X4=156（人）

4.每边人数：（60+4）-4-4=16（人）

5.最内层人数：8X4-4二28（颗），四层总人数：28+36+44+52=160（颗）

6.最外层人数：52盆，内层人数：52-8二44（盆），总人数：52+44=96

（盆）

7.设最外层每边x人，（x-3）X3X4=144,解得x=15（名）

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8.设原来每边x人，（x+3）X4-4-（xX4-4）=24,解得x=5（人）

9.总棋子数：（20-5）X5X4=300（颗）

10.设最外层每边x根，（x-2）X2X4=80,解得"12（根）

（三）方阵综合问题专项练习答案

1.实心方阵：12X12=144（人），空心方阵：12X4-4=44（人），

相差：144-44=100（人）

2.实心方阵总人数：10X10=100（人），设空心方阵最外层每边x

人，（x-3）X3X4=100,解得x=11（人）

3.最内层每边：18-2X2=14（颗），两层相差：8X2=16（颗）

4.实心方阵总人数：15X15=225（人），设最外层每边x人，（x-4）

X4X4=225,解得x=18（人）

5.实心方阵每边：7121=11（人），设空心方阵每边x人，xX

4-4=121,解得x=31.25（人）（取整31人，总人数120人）

6.最内层每边：15-2X2=11（人），最内层人数：11义4-4=40（人）

7.实心方阵总棋子数：8X8=64（颗），设最外层每边x颗，（x-2）

X2X4=64,解得"10（颗）

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