几何初步压轴汇编（四大高频题型）原卷版-2025-2026学年七年级数学上学期（人教版）

几何初步压轴(四大高频题型)

题型归纳

【题型1:线段中点有关计算-分类讨论】...................................................1

【题型2：双角平分线模型-分类讨论】.....................................................3

【题型3：角的折叠综合问题】.............................................................7

【题型4：钟表问题】.....................................................................14

题型训练

【题型1:线段中点有关计算-分类讨论】

1.如图所示，点C在线段上，AB=15,4C£B=2:3,点M,N分别是48,CB的中点.

ACMNB

⑴求CN的长度；

(2)求MN的长度.

2.如图，已知线段=8cm,。是AB的中点，C、。分别是线段H4、PB上的点，且AC=2尸C,

PD=2BD,求线段C。的长.

11II

ACPDB

1

3.如图，线段/IB=18cm,AC-.BD=7A3,4。一OC=3cm,点M、N分别是线段OC和线段EC的中点，求

线段MN的长.

4.已知线段力B,点。为线段力B上的一个动点(点C不与4、£重合)，点。、E分别是4c和8C的中点

(1)若0E=5cm,求48的长：

(2)若点。恰好是48的中点,且4。=6cm,求DE的长.

5.如图，已知4B,C是数轴上的三点，点C表示的数是6,BC=4,AB=12.

―i---------------------------A~~I--------i_>

AOBC

(1)写出数轴上点4点4表示的数：

(2)点M为线段4B的中点，CN=3,求MN的长；

(3)动点P,。分别从儿。同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数釉向右匀速运动，点。以每

秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求,为何值时，原点。恰好为线段PQ的中点.

2

6.aB两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为一4,且48=10.动点P从点A出

发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为/秒(/>0).

AOB

(1)当t=l时，4P的长为点夕表示的有理数为」

⑵当尸8=2时，求£的值;

⑶必为线段力尸的中点，N为线段尸3的中点.在点尸运动的过程中，线段MN的K度是否发生变化？

若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段MN的长.

【题型2：双角平分线模型-分类讨论】

7.已知忆408=60。，其角平分线为OM,乙BOC=2。。,其角平分线为ON,则4MON的大小为()

A.20°B.40°C.20。或40。D.30。或10。

8.已知乙408=120。，0C为4力。8的角平分线，过点O作射线0。，若匕力。。=343。0,则4COO的角度是

()

A.30°B.120°C.30。或120。D.60。或90°

9.已知乙408=120。，OC为41CB的角平分线，过点O作射线0D,若乙A0D=3乙BOD,则的角度

是.

10.已知NAOB=70°,ZBOC=50°,OD是乙AOB的角平分线，OE是NBOC的角平分线，则NDOE=.

3

11.点。为直线上一点，在直线4B同侧任作射线OE,OF,使得乙EOF=70°.

图1

⑴如图1，过。点作射线。。使得。。为N40E的角平分线，且乙4。。=15。，求480/的度数.

⑵如图2,过。点作射线0C使得0C为4A0Z7的角平分线，过。点作射线。D使得。D为400F的角平分线,

求a0D的度数.

4

12.如图1,直线DE上有一一点。，过点。在直线0E上方作射线。C.将一直角三角板/0/?(N04E=30。)的直

角顶点放在点。处，•条直角边。4在射线。0上，另一边。8在直线OE上方将直角三角板绕点。按每秒10。

的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为£秒.

⑴当直角三角板旋转到如图2的位置时,OA恰好平分乙COD,此时，4BOC与乙80E之间的数量关系,

并说明理由;

(2)未旋转时,Z-COE=140°.

①则当旋转时间/为6秒，求立力。。的度数；

②在旋转的过程中，若0C绕点O按每秒1。的速度逆时针旋转，当。8旋转--周后0C也同时停止旋转,

旋转时是否存在某个时刻，使得射线040C与。。中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？

若存在，请求出所有满足题意的，的取值，若不存在，请说明理由.

5

13.已知点。为直线上一点，过点。作射线。C,使乙BOC=65°,将一直角三角板的直角顶点放在点。处.

(1)如图1,将三角板MON的一边ON与射线。8重合时，则乙WOC=.

(2)如图2,将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时。C是NMOB的角平分线，求旋转角4NOB的

度数.

⑶将三角板MON绕点。逆时针旋转至图3所示的位置时，乙40M=44NOC,求/N08的度数.

6

14.点。为直线上一点，在直线48同侧任作射线OC,0D,使得4C00=90，

⑴如下图，过点。作射线。E,使OE为乙4。。的角平分线，当NCOE=25。时，4BOD的度数为

⑵如下图，过点。作射线。凡当。“恰好为乙4。。的角平分线射，另作射线。凡使得。『平分〃。八，求乙

的度数;

(3)过点0作射线0邑当0c恰好为乙A0E的角平分线时，另作射线0凡使得0/平分/C00,当,E0F=10。

时，求48。。的度数.

7

15.点O为直线ABI二一点，过点。作射线。C,使Z/?OC=66。.将一直角三角板MON的直角顶点放在点。

处.

(1)如图①，将三角板MON的边ON与射线06重合时，则乙MOC的度数为」

(2)如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时0C是NM08的角平分线，求乙BON和乙NOC

的度数.

⑶将三角板MON绕点。逆时针旋转至图③时，乙NOC=g4AoM,你还能求出480N的度数吗？

8

16.如图1,点0为直线48上一点，过点。作射线。COM,ON,ON始终在0M的右侧,NBOC=112°,^MON=a.

善用图

⑴如图1,当a=70。，0M平分480C时，求ZN08的度数;

（2）如图2,当0M与。8边重合，ON在。8的下方时，a=80S将乙MON绕。点按每秒4。的速度沿逆时针

方向旋转"（0。〈九V180。），使射线ON与匕8。。的角平分线形成夹角为30。，求此时旋转一共用了多少

秒;

⑶当4MON在直线4B上方时，若a=90。，点尸在射线OB上，射线。尸绕点。顺时针旋转几度

（0。〈71<18。3）,恰好使得/尸04=244。“，。”平分ZNOC,AFOH=124°,请直接写出此时n的值.

17.点。为直线4?上一点，在直线48同侧任作射线。。，OD,使得“。。=90。.

9

⑴如图1,过点。作射线。E,使0E为41。。的角平分线，当NCOE=25°时，NBOO的度数为；

⑵如图2,过点。作射线0E,当0E恰好为的角平分线时，另作射线。匕使得。/平分N80D,求乙EOF

的度数；

⑶过点。作射线。E,当0C恰好为乙40E的角平分线时，另作射线。凡使得。/平分NCOD,当"OF=10。

时，求/BOD的度数.

【题型3：角的折叠综合问题】

10

18.数学活动：折纸中的数学

【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线.如

图是教材第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时NPQM与NRQM重合，所以

乙PQM=乙RQM,射线QM是乙PQR的平分线.

【知识初探】

（1）如图（1），点尸，。分别是长方形纸片力夙?。的对边48,上的点，连结PQ,将乙4PQ和48PQ

分别对折，使点44都分另！落在PQ上的4和⑶处，点。落在。处，分别得折痕PN,PM,则匕NPM的

度数是：

【类比再探】

（2）如图（2）,将长方形力BCD纸片分别沿直线PN,PM折叠，使点48分别落在点A,所处，，

PA和P所不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.

①若乙A0斤=20°,乙APN=30°,求NNPM的度数：

②若44P/二戊（0。工。＜180。），求ZJVPM的度数（用含a的式子表示）；

A三

殳D\-------------

一丁f

AP'BA-----------------p------------B

图⑴图⑵

19.如图，长方形纸片A8C。中，E为边AD上一点,产为边CD上一点.沿8E折叠得84,BC沿BF折叠得BC'

11

（BA，、BC'都在N/1BC的内部），

^ABE=a,乙CBF=0,Z,A'BC'=y.

⑴直接写出a=10°,夕=20,时，y=；a=30。，0=25。时，y=

⑵求y=10。时，的值；

⑶当8小平分NE8尸时，若y=ga,My=.（直接写出结果）

20.阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线.

12

(1)如图1,若立“。8=58。，则48。。=_；

⑵折叠长方形纸片，。配。。均是折痕，折叠后，点力落在点4,点B落在点连接。A.

①如图2,当点E在04上时，求乙C0D的大小；

②如图3,当点⑶在NC04的内部时，连接0所，若/如0C=44。,Z.BOD=61°,求44。£的度数.

21.折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线.如

13

图是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，所以

乙PQM=乙RQM,a&QM^PQR^^.

【知识初探】

如图(1),四边形48。。是一张正方形纸片，将正方形纸片48。。沿3。对折，把正方形展平，再将44

和“分别沿BE和BF折直，使点A落在BD上的点4处，使点C落在BD上的点。处，4与。重合，则

Z-ABE=度；乙EBF=度.

IM(I)

【类比再探】

如图(2),将正方形纸片SECO的乙力沿折叠，使点4落在点A处，将，。沿旦尸折叠，使点。落在点。

处，点，与点4重合.猜想NEBF的度数，并说明理由.

小官同学：猜想乙E8尸=45。.

理由如下：•••△A沿BE折叠，=^A'BE=^A,BA,

•••心制台8F折叠，

：•_9

VZ-A'BA+LC'BC=,

LEBF=LA'BE+Z.CBE=+乙CBC)=.

【拓展探究】

如图(3),在图(2)的基础.上将正方形纸片力BCD展平,然后将乙4和“分别沿BG和8〃再折叠，使

点力落在BE上的点A"处，点C落在BF上的点处.猜想乙48G和4的数量关系，并说明理由.

22.如图1,已知长方形的纸片A8CD.

14

D'

图1图2图3图4

操作1：如图2,把纸片沿8M折置，使力8落在边8C上，则乙M84=:

操作2：如图3,把纸片沿8M、8N折叠，使48、BC的对应边BA、80重合，求，M8N的度数:

操作3：如图4,把纸片沿PM、PN折叠，使PB、PC的对应边P夕、PC，重合，求48PM+/NPC的度数.

23.综合与探究

15

阅读材料•：如图是七年级上班课本135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时NPQM

与4RQM重合，所以NPQM=zJ?QM,射线QM是NPQR的平分线.

⑴知识初探：如图1，已知。。是锐知4力。E内部的一条射线，将40E折叠，使射线。。和射线。E重合,

。。为折痕，将乙力。。折叠，使射线0C和射线。4重合，。8为折痕，若乙AOB=40°,乙DOE=30。，求48。。

的度数.

图1

⑵类比探究：如图2,在长方形纸片48C。中，点尸分别在边48,/IDE,连接EG将々4EF折叠,

使点力落在点G处，EH平分4尸EB,若乙GEH=a,求乙/EG的度数（用含a的式子表示）.

24.综合与探究

16

阅读材料•：如图是七年级上班课本135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时NPQM

与4RQM重合，所以NPQM=zJ?QM,射线QM是NPQR的平分线.

知识初探:

⑴如图1,已知。C是锐角乙40E内部的一条射线,将4COE折叠，使射线0C和射线0E重合,。。为折痕,

将4/10C折置，使射线0C和射线0A重合，0B为折痕，若4/1。8=40。，^DOE=30°,求/8。。的度数.

类比探究：

(2)如图2,在长方形纸片A8CD中，点E,尸分别在边AB,4D上，连接EF,将〃1折叠，使点4落在

点G处,EH平分乙FE8,若乙GEH=a,求“EG的度数(用含a的式子表示).

25.综合与探究

17

问题情境

已知长方形纸片4BCD,点E在边48上，点N在边AD上，将乙NAE沿EN翻折至IJNN4E,射线E4与CD交

于点F.点M在边BC上,将乙M8E沿用W翻折到乙M8E,射线E所与CD交于点G.

初步探究

（1）现将长方形纸片按照图1所示的方式折叠，此时点产与点G重合，直接写出以上为顶点的两对

相等的角，并求乙MEN的度数；

深入探究

（2）若将长方形纸片按照图2所示的方式折叠，此时点/在点G的左侧,且N4EN=4FEG+15。，

/-BEM=（FEG+20°,请你分别求与4MEN的度数.

类比拓展

（3）若将长方形纸片按照图3所示的方式折叠，此时点尸在点G的右侧,且N/EG=a,请你直接写

出/MEN的度数（用含a的代数式表示）.

/，A'A1

“

1................_JAEBAEB

AEB」

图1图2图3

【题型4：钟表问题】

18

26.【问题提出】

(1)如图1,数轴上点4表示的数为a,点8表示的数为比已知不+1。产与％2丈是同类项，点c是线段AB

的中点.

①a=,b=，点C表示的数是,

②若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q从点8出发，以每秒7个

单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点Q追上点P'?

【拓展运用】

(2)一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整(如图2,时针指向3,分针指向12),经过多少

分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成30。.

AB

I

a0b

图1

27.根据以下素材，探索完成任务

19

探究钟面上的数学

钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.如图，乙4。8即为某时刻的钟面角，

通常0<Z-AOB<180°.

素材1

时针和分针在绕点。一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是

素材230°,分针每小时转动一周，角度为360。，由此可知：时针每分钟转动05。，

分针每分钟转动6。.

问题解决

由时刻算角钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面

任务1

度角的度数；

由角度算时在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直

任务2

刻线上，且方向相反，求此时对应的时刻；

趣算钟面角大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在

这个位置如果把长针和短针对调•下，它们所指示的位置还是

合理的.但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对

调，否则会出现时针指12时，而分针指6,这种情况是不可

任务3能的.据此某校“数学兴趣分组''操作钟表盘发现：在下午2点

詈分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，

使得新位置仍能指示某一实际上的时刻.请你帮助该小组求出

此时具体的时刻.

28.【材料阅读】

如图1,数轴上有三个点48,C,表示的数分别是一7,-1,1.

(1)若要使48两点的距离与C,8两点距离相等，则可将点B向左移动个单位长度.

(2)若动点P,Q分别从点A、点3出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动,

20

动点R从点。出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点P,Q,R同时出发，设运动时间为£秒.

①t秒后，点P,Q,R表示的数分别为,,(用含珀勺代数式表示)；

②记点P与点Q之间的距离为d,点Q与点R之间的距离为则4d—(7九的值是否有变化？若无变化，

«5

请求出这个值；若有变化，请说明理由.

【方法迁移】

(3)如图2,乙4。。=150。，OC平分4100.现有射线OP、0Q分别从0C、。，同时出发，以每秒15。和

每秒10。的速度绕点。顺时针旋转，当0P旋转一周时，这两条射线都停止旋转.问经过几秒后，射线

OP、0Q的夹角为20。?

【生活运用】

(4)周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为90。，经过分钟后,

分针与时针的夹角首次变成45。

29.【基本概念】

钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.如图1,乙1。8即为某一时刻的钟面角，一般地,

0°<LAOB<180°.

21

【简单认识】

时针和分针在绕点o一直沿着顺时针方向旋转,时针每小时转动的角度是30。，分针每小时转动一周,

角度为360。.由此可知:

(1)时针每分钟转动_。，分针每分钟转动_。，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角4/1。8二

【类比探究】

(2)①如图2,甲，乙两人分别从相距30km的4，8两地同时出发，若甲的速度为60km/h,乙的速

度为40km/h,甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为%h,则可列方程为二

印

图2备用图

②12:00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？

【深入思考】

(3)如图3,记钟面上刻度为3的点为C,在某天的1:00点到2:00点之间，当钟面角的两条边时针。小

分针。B所在射线与射线。C中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻.

30.某校举办创意钟面设计大赛，七(1)班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面.如图

①，点。为钟面的圆心，乙4=乙。二90。,乙4。3=45。/。00=60。，且点力、O、C在同一直线上，边

22

04指向12点方向，边。。指向6点方向，记时针为线段。M,分针为线段ON,时钟运行正常.

【简单认识】

⑴时针每分钟转动度，分针每分钟转动度；

当时针0M与边。8重合时，钟面显示的时间为.

【初步研究】

⑵爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：

如图②，延长8。交。C于点£,某一时刻时针0M恰好平分，AOD.

①此时时针0M与分针ON的夹角为度.（小于平角的角）

②求此时乙MOE的度数.

【深入思考】

⑶若时针0M与分针ON同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针0