2026年七年级数学下册 实数及其简单运算 第1课时 实数的概念及意义（核心素养教案及反思）

8.3实数及其简单运算

第1课时实数的概念及意义

------------/教学设计士------------

教学目标

课题第1课时实数的概念授课人

1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.

素养目2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.

标3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.

4.了解实数的大小比较的方法.

教学重1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.

点2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.

教学难

理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.

点

教学活动

教学步

师生活动

骤

活动一：

复习回【回顾导入】

顾，问题

引入请同学们回顾下面这两个问题：

什么是有理数？有理数怎样分类？

设计意（正整教

【教学建

图件数0

整数和分数统称有理数.有理数J［负整数议】

学生回

1分数用数教师指

忆有理

1（负分数定学生代表

数及无

作答.

限不循什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪

环小数些形式？

的概念，小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫作无限

为学习不循环小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环

实数做小数.

铺垫.

活动二：探究点1实数的概念及分类【教学建

问题引议】

（教材P52探究）把下列有理数写成小数的形式，

入,探究

你发现了什么？学生先

新知

自主探究，

.5327119然后交流讨

设计意4，~,，——，—，—，—.

论，教师再

图254911

可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无订正、归纳.

通过探先通过复习

限循环小数的形式，即4=4.0,-=2.5,--=-0.6,

究有理25有理数的概

数的形2711•9念，再经过

—=6.75,—=1.2,—=0.81.

式引入4911类比学习的

无理数方法引入无

的概念，理数的概

将数系念，体会两

扩充者

教学步

师生活动

骤

至实数，问题1之间的区

达到整(1)任何一个有理数都可以写成有限小数或无限别，最后给

体认识，循环小数的形式吗？出实数的概

形成知(2)任何有限小数或无限循环小数都是有理数念，层层设

识迁移.吗？问，发展学

(1)是的.(2)是的.生的探究意

问题2我们学过的所有数都可以写成有限小数或识.注意强

无限循环小数的形式吗？如果不是，你能举例说明吗？调：无限小

不是.很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，数既可能是

例如，V2,-&,i/2,看等，开=3.14159265…也有理数，也

是无限不循环小数.可能是无理

数，因为无

概念引入：无限不循环小数都不是有理数.无限不

限小数有无

循环小数又叫作无理数.

限循环小数

无理教是不能写尬曲个修教之比(分教)的教，它和有

理教一样，都是现实世界中客见存在的量的反失和无限不循

像有理数一样，无理数也有正负之分.例如环小数两种

血，正，开是正无理数，-夜，-6，-不是负无理数.形式.

拓展：常见的无理数的形式有:①开方开不尽的数,

如庭,-3等；②万及含万的式子，如力，2+万等；

③结构特殊且不循环的小数,如1.01001000100001-

(相邻的两个1之间依次多一个0)隼.

概念引入：

I有理数和无理数统称实数.I

面飞一确看瓦薮的芬灵一「篦筱薮画手芬灵

吗？

按悔念分类：按性质分类：

心理数『理飞限小数或产峨鬻

无限循环小数正无理数

实数］1〔负存理J数』实数卜1

.无理数无限不循环小数［负实数负不■理数

1【教学建

1负无理数/史头因负无理数

实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏.议】

【对应训练】对实数

分类时，可

1.教材P54练习第1(1)(2)(3),2题.让学生类比

2.下列说法正确的是(D)有理数的分

A.正实数和负实数统称实数类，并进一

B.正数、。和负数统称有理数步体会无理

C.带根号的数和分数统称实数数的特征.

D.无理数和有理数统称实数在自主探究

3.把下列各数填在相应的集合内：的过程中，

发展学生的

-3.1415,炳，—,0.2i,0,4,

74类比思想和

-V12T,0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个分类思想.

0）.分类原则是

不重不漏，

注意有时分

类的教会同

时属于多个

集合，要特

别注意不要

漏写.

教学步

师生活动

骤

有理数集合：｛；.1>/T2T.-|.

无理数集合:｛展，〒./一♦0.2020020002#-(相邻的网个2之间依次多一

止实数集合:二.()出.02)2,川2…(相邻的两个2之间依

次多-个()).•

负实效集合:｛-3.1415,户鼠一7l2T.-h

设计意探究点2实数与数轴上的点的对应关系【教学建

议】

图我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表

示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？学生在

通过具

讨论合作的

体实例，(1)(教材P53思考)以单位长度为直径画一个圆，

它的周长等于万.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴基础上动手

让学生

操作，教师

直现感向右滚动一周，圆上的一点由原点0到达点。，，点0,

利用多媒体

受无理

课件进行动

数可用

态演示，并

数轴上

对学生讨论

的点表

交流的结果

示，从而

进行总结.

深化扩

以点0,对应的数是冗.注意使学生

展到实

(2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以感受当数的

数与数

原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴范围从有理

轴上的

的交点就表示血，与负半轴的交点就表示-3.为什数扩充到实

点的

么？数后，实数

对应

与数轴上的

关系.

点才是---

对应的，而

有理数不

在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面

是.

积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这

个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此图中

正方形的对角线长是2.所以以原点为圆心，以小正方

形的对角线长为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示

数也，-0.

事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表

示出来.

总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个

实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上

的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点

是----对应的.

【对应训练】

1.教材P54练习第1(4)(5)

题.

2.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数

轴上，且点4表示的数为1.若点E在数轴上（点E在

点A左侧），且4ZX4E,则点E所表示的数为（D）

A.亚B.-45C.-y/5-1D.-石+1

教学步

师生活动

骤

设计意探究点3实数的大小比较【教学建

图议】

（1）回想一下，在数轴上如何比较两个有埋数的

大小？教师引

通过有

导学生自主

理数的左边的数小于右边的数.

学习，通过

大小比（2）猜想一下,友和-及谁比较大？为什么？

实数的大小

较，类比V2大.因为血在数轴上对应的点在原点的右边，

比较，学生

学习实而-夜在数轴上对应的点在原点的左边.

会自然类比

数的大

（3）你能总结出两个实数比较大小的方法吗？联想到有理

小比较.

与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个数的运笄法

点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.则及运算性

用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），质在实数范

实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：围内是否适

（1）正数大于0,负数小于0,正数大于负数；（2）两个用，从而为

正数，绝对值大的较大；（3）两个负数，绝对值大的反后面的学习

而小.做好铺垫.

（4）请结合教材P54练习第3题，将这4个实数在比较实数

用“<”连接起来.的大小时，

除了利用数

2轴和法则,

【对应训练】还可以利用

估算法、平

比较大小:（填或）

L“="（立）方法、

作差法等.

（1）>-；（2）-Vio<-3.1.

2——2

2.将-2,1,0,73,-〃与图中数轴上标有字母的各

点对应起来，并用连接这些数.

ABCDE

-4-3-2-1012

解：-2对应点B,i对应点D,0对应点C,V3对应

3

点E,一刀对应点A.由图可知-^<-2<0<-<8.

3

活动三：例力图，数轴上A,8।R【教学建

两点表示的数分别为应和才一方---------打一

重点突议】

破,综合5.1,则A,B两点之间表示

学生分

探究整数的点共有（C）

组交流，讨

A.6个8.5个C.4个O.3个

论作答.鼓

设计意

【对应训练】励学生动手

图

如图，在数轴上点A表示数。，点区表示数江且操作，画图

强化巩a,b满足|。+31+彷-6）2=0.描点，有助

固对于（1）点一表示的数为-3,点8表示的数为21；于厘清思

实数与路.此类题

（2）若点。到原点的距离为近,求点C到点B

数轴上目较好地将

的距离.

的点的知识进行了

一一对A0H综合，并有

应关系一定的拓

的理展，能培养

学生大胆

教学步

师生活动

骤

解，并能解：当点C在原点的右边时，点C表示的数为及，尝试、勇于

在实践此时点。到点8的距离为6-五；探索的精

中灵活当点C在原点的左边时，点。表示的数为-夜，神，提高学

运用，解此时点C到点8的距离为6+a.生的思维能

决综合力.

类型题

目.

【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子（或“随堂作业”册

子）相应课

时随堂训练.

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下

问题：

活动四：1.什么是无理数？什么是实数？实数怎么分类？

随堂训2.数轴上的点与实数有怎样的对应关系？

练，课堂【知识结构】

总结

1有理数：有限小数或无限循环小数

实数的分类］0•

［无理效：无限不循环小数

实数与数轴：实数与数铀上的点一一对应

、实数的大小比较

【作业布置】

教材P57习题8.3第1,2,6,9题.

第1课时实数的概念及意义

1.无理数的概念：无限不循环小数又叫作无理数.

2.实数的概,念：有理数和无理数统称实数.

3.实数的分类：

按•椀公分美：排住而全美：

有理最］（正柯更致

板书设，有理聂o、有限小薮技无限桶坏小聂（正实数;正在理薮

计

实效.、负有实及0

无理到无限不楣坏"I"小负有"

［负无理及J贝决『负无理教

4.实数与数轴上的点是对应的.

5.实数的大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表

示的实数大.

本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过1勺数

在有理数的基础上扩充到实数，在此基础上，明确了实数与数轴上的

点的一一对应的关系.学习中要求学生结合有理数理解实数的有关概

教学反

22

思念，同时要注意两个地方：一是所有的分数都是有理数，如三；二

7

是形如£,£等之类的含有〃的数不是分数，而是无理数.

23

‘:备课素材/

解题大招

解题大招一实数的分类及判断

（1）有的数应先将其化简，然后根据最后的结果进行分类.例如，对于JX,由于

725=5,所以它不是无理数而是有理数，如果进一步细分，它还是整数，也是自然数.

（2）分数都可以化为有限小数或无限不循环小数，有