概率压轴的常见的新情境汇编-2026高考数学一轮常考题

105.概率压轴的常见的新情境汇编

概率压轴的四大类型

复杂事件的概率计算2020年全国1卷

纯粹新情境综合其他板块2021年新高考2卷

★类型1.概率递推与马尔科夫链

一.真题回溯

1.（2023・新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人

继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为

0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、

乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）己知：若随机变量％服从两点分布，且P（X=1）=1-0（凡=0）=%/=1,2产.,〃，则

后住记前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为八求£&）•

解析：（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件g,

所以，/与）二夕（44）+〃4与）=凡4）尺员|力+《因R为向

=0.5x（l-0.6）+0.5x0.8=0.6.

（2）设尸（4）=P,,依题可知,尸（用）=1-P,,则

P（4.J=P（4&J+P（84）=P0PMKypST%⑸）,

7

即〃j“=0・6p,+(l—0.8)、(|一〃,)=0.4〃,+0.2,构造等比数列｛〃,+力，设化*+4=学2+/1),

解得2=4则P,+「：=,P=]，又PL.W，所以是首项为J，公比

Jj\5)L36[刀6

为1的等比数列，即化一J=；p,==J.

>3o\2)/o\jy3

(3)因为pj=：*(|)+1,i=l,2,…,〃，所以当”GN.时，

E(y)=p+p+…+p=1x―^^-+-=-1-f-l+->故夙丫)=2I-11]+?・

'，M〃2^62318[5)318)

5

二.热门模考题展示

2.(24届东北三省四市联考T19)入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”.南方

小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食，东北人的热情，

还有东北的洗浴中心，南方游客直接拉着行李箱进入，拥挤程度堪比春运.东北某城市洗

浴中心花式宠“且％为给顾客更好的体验，推出了4和笈两个套餐服务，顾客可自由选择

4和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台

10天销售优惠券情况.

日期，12345678910

销售量y(千张)1.901.982.202.362.432.592.682.762.700.40

1101010

经计算可得：y=-Yyi=2.2,龙=118.73,2"=385.

1。/=1/=!日

(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠

券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求歹关于，的回归方程；(结果中的数值用分数表示)

(2)若购买优惠券的顾客中选择Z套餐的概率为,，选择5套餐的概率为《，并且选择Z

套餐需要用一张优惠券，选择B套餐需要用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为〃

张的概率为匕，求匕；

(3)记(2)中所得概率4的值构成数列｛匕｝(〃€1<).

①求数列｛匕｝的最值；

2

②数列收敛的定义：已知数列｛%｝,若对于任意给定的正数£，总存在正整数N。,使得当

〃〉N0时，何一&<£,（〃是一个确定的实数），则称数列｛叫收敛于根据数列收敛

’2«一可（必一歹）Zx.y.-^xy

的定义证明数列｛?,｝收敛.参考公式：/；=J-------------二号----------

2

一可2力:-衣

解析：（1）剔除第10天数据的

1白2.2x10-0.4c1+2+A+9=

⑺新=口匕=——9——=24«)新=-9—=3*5

io,A(10

ZoJ=118.73-10x0.4=114.73；=385-1()2=285

»=iJ新V*=11新

>%一〃亚

114.73-9x5x2.4673673「2207

所以3=与----------故。=2.4所

储；_疝285—9x5?60006000—1200

r=l

6732207

以尸-----------

60001200

23222319

（2）由题意可知修=三月一+三月_2（〃之3）,其中《=不，6=三'三+1二六,

JJ，JJJ乙D

（3、

将此式变形可得勺—％月T=（1—+|匕-2=[|-^]RT+/~吃2

\5）

3

令一4二三一，解得4=1或义=-£.

--25

5

3333

当4=一时，则Pii+-Pti^=k+与匕_2(〃>3),所以P,t+-PflA为常数列

首项为鸟+］3［=*19+］3乂a1=1,故匕+］3匕7=1(〃22),将匕+］3月_=1(〃22)变形

53,5、51<?59

可得月一不=_三勺7_3（〃之2）,所以是以首项为勺一^二士一6二一启，公

o\o^o4U

359W-I2J明

比为一二的等比数列，故e-2=-=，即心

5"8404015)8

3

19

(3)①当〃为偶数时,^=rO=rO)>0单调递减，最大值为乙二石

当〃为奇数时，<0单调递增，最小值为"g

综上：数列｛勺｝的最大值为1吴Q，最小值为7

乙D，

fQ'\

②证明：对任意£>0总存在正整数No=log3|-£+1,(其中卜］表示取整函数)

当"log^-^j+1时,

3.(24届深圳中学高三二检)某不透明箱子中有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个

白球，3个红球和3个黄球.

(1)若把所有小球拿出来按腕序排成一排，求所有不同排列方法的种数；

(2)若采取不放回的方式每次从箱子中随机取走一个球,直至取到红球为止，在这过程中记

取到的白球数为X,求>的分布列；

(3)若一开始先把箱子旦的黄球全部取出来，然后按以下规则每次取一个球；若取到红球,

则把红球拿走并重新放入一个白球；若取到白球，则把白球拿走并重新放入一个红球,重复

这个操作〃次后；记箱子里红球个数为匕，求，的数学期望.

解析：(1)8个位置选3个位置放红球共C；种选法，剩余5个位置选3个位置放黄球共C；种

选法.剩余2个位置放白球因此，共有C；C；=560种排列方式

(2)X的可能取值为0,1,2X=0时，相当于8个小球按顺序排成排，红球前面没有白球

的概率2个白球，3个红球和3个黄球排成一排共有种排列方式，红球前面没有白

CC=3

球共有C：种排列方式因此P(X=0)=同理

金•《5

4.所以X的分布列为

cfc[=10

4

(3)设丫内的分布列为

%012345

PPoPiPiPAPs

Po+Pl++，3+〃+Ps=2+4(y°T)

贝|J化1且巧+2。3P3+4P+5p5=E

22

P化=1)=P(30)+P(工T=2)♦w=Po+”2，同理

,、43*34

。(匕=2)=10+1,3，。(4=3)=^〃2+1〃4

,、21

P(y”=4)=?p?+P5，P(y“=5)=?P4

七(17)=Po+[PI+-P2+£“3+*/%+?Ps=1+(E亿-J

由题意得，E化)=3

乙J乙

亿)子电,(E㈤-£|4侍，.•.%.)3

★类型2.极大似然估计

一.基本原理

(1)当夕给定时，可得到函数/(左)=。,"£(1—夕)〃力女二0，1，2「〃，这个是数列的最值

问题.

Pk=C；p，(l-p)T=(〃一斤+1)1=k(l-p)+O?+Dp-k=t|(n+l)p-k

二一尊冷(1-〃尸一S-P)-Ml-p)-k(\-p)•

分析：当〃<(〃+1)〃时，Pk>Pk_y,“A随〃值的增加而增加；当〃+时，

Pk<Pk-\»PA.随％值的增加而减少•如果(〃+1)〃为正整数，当"=5+1)〃时，/人=Pi，

此时这两项概率均为最大值.如果(〃+l)p为非整数，而攵取(〃+1)〃的整数部分，则“是

唯一的最大值.

注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量4等于期望时，概率最大.

(2)当攵给定时，可得到函数/(p)=C：p"l-p)E,pc(O,l),这个是函数的最值问题,

这可以用导数求函数最值与最值点.

5

分析：r(p)=仁麻1(1-p)n-k-pk(n-k)(\-p)E]

=Cpi(1-p)"g似1-p)-(〃-％)p]=C；pi。-p)〃-i(k-np).

当左=1,2,…，〃一1时，由于当时，/''(p)>0,/'(p)单调递增，当时，

nn

/'(P)<0,/'(P)单调递减，故当，二一时，/(P)取得最大值，/'(P)ma、=/(一).又当

nn

pfOJ(p)f1,当p-0时，j\p)->0,从而/(p)无最小值.

3.2超几何分布的概率最值

将从m+人)件产品中取出几件产品的可能组合全体作为样本点，总数为其中，次品出

现k次的可能为CG*令N=。+6,则所求概率为4(N)=C：CE

Qv

4(N)CJN2-aN-nN+an.令二九则当如>kN时，

即----------=—;—:~;—=—;--------------------4(N)

IMN-l)C：CTLN2-aN-nN+kN4(N—1)

jc-nl

2>1；当。〃<kN时，/l<1,即当N<匚时，/(N)是关于N的增函数；当N>之时,

kk

4(N)是关于N的减函数.所以当乂=:时，4(N)达到最大值.

K

二.热门试题展示

4.(24届杭州市高三二模T19)在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个

红球和白球，有放回地随机摸球〃次，红球出现，"次.假设每次摸出红球的概率为〃，根

二m

据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率P的估计值为P=—.

n

(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取

3个球，设摸出的球为红球的次数为丫，则丫〜8(3,p).

注：？(丫=攵)表示当每次摸出红球的概率为夕时，摸出红球次数为力的概率)

(1)完成下表；

k0123

Pi(Y=k)271

46464

6

与(y“)927

46464

(ii)在统计理论中，把使得Pp(Y=%)的取值达到最大时的P,作为P的估计值，记为p,

请写出方的值.

(2)把(1)中“使得与任=攵)的取值达到最大时的。作为〃的估计值的思想称为最

大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.

具体步骤：先对参数。构建对数似然函数/(。)，再对其关于参数。求导，得到似然方程

/'(o)=o,最后求解参数。的估计值.己知丫〜B(〃,P)的参数P的对数似然函数为

他第歆摸出白球.卷静〃的仕

/(p)=Zxjnp+Z(1—X,)ln(l—夕)，其中X=•1,第歆摸出红球.求参数P的估

计值，并且说明频率估计概率的合理性.

13

解(1)因为y〜8(3,〃)，所以2的值为*或\.

(i)表格如下

k0123

尸仆左)272791

464646464

A(…)192727

464646464

(H)由题知Q,(y=%)=c；p£(i_p)z.

当八0或附参数p]的概率最尢当八2或3时，参数的概率最大.

=0」.

4

所以〃二«

=2,3.

14

]〃1n

(2)对对数似然函数进行求导，l\p)=-yX---因此似然方程为

P/=!1~Pi=l

]〃I〃1n

-X^--;—X。一%)=0,解上面的方程，得力=—Zx，

P/=11-P«=1〃/=1

因此，用最大似然估计的参数方与频率估计概率的方是一致的，故用频率估计概率是合理

的.

★类型3.概率公式与复杂事件概率计算

1.常见赛制

赛制1.〃局〃?胜制.

这种规则的特点为一旦某方获得〃7次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最

后一次比赛中某方达到〃7胜.

赛制2.连胜制.

规定某方连胜〃?场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后机场连胜且之前没有达到加

场连胜.

赛制3.比分差距制

规定某方比对方多〃7分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注

意使两方的分差小于〃7.

赛制4.“通关制”（淘汰赛制）

在比赛的过程中，如果在某一场失败，则被淘汰，此类问题要注意若达到第，〃阶段，则意

味着前（〃7-1）个阶段均能通关.这种类似于足球比赛中的淘汰赛.

赛制5.联赛制

一共有〃7局比赛，每位选手都参加小局比赛，每局比赛相互独立，最终计算全部比赛的得

分分布列，这种就类似与足球比赛中的联赛制，必须要打满一定的场次.

5.（2020全国1卷）.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者

被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下

一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛,

直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空,设每

场比赛双方获胜的概率都为

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

解析：（1）记事件甲连胜四场，则=';

（2）记事件/为甲输，事件8为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为

8

Pr=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4x所以，需要进行

3

第五场比赛的概率为P=l—P'=]

4

(3)①四场比赛丙获胜，丙在前四场获胜的概率为g)3=：

②由下表可知：五场比赛丙获胜，P(B)=-xlx-!-x-=—,P(C)=-xlxlxl=>,

2222162228

P(D)=-x\x-x-=-

2228f

丙五场比赛丙获胜的概率为P(B)+P(C)+p(Z))=—+-+-=—

由于①©互斥，.•.丙最终获胜的概率为±I+±5='7.

81616

丙的12345事件

参赛轮空胜胜败胜B

情况轮空胜败轮空胜C

轮空败轮空胜胜D

注：第二问在处理时直接列举情况较复杂，此时可以采取正难则反的技巧.第三问则可直接

枚举出各种可能结果，这是我们在计算复杂事件时一个重要的技巧.

6.(24届广州一模T19)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团

队由，7(〃23,〃£N*)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某

成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力

去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯

关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，

该团队接力闯关活动结束.

31

已知力团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为二和不，且每位成员闯关是否成功

互不影响，每关结果也互不影响.

(1)若〃=3,用X表示片团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；

(2)记彳团队第位成员上场且阊过第二关的概率为外，集合

AN*p,<—中元素的最小值为％0,规定团队人数〃=匈+1,求〃.

k128

9

解析：（1）X的所有可能取值为1,2,3

△叱

p（X=\）=-3x—1=-3,Pn（/X=-2]=—1x3-+—3x—1x—1=——9

,428、74842232

3Q|I

P（X=3）=\--一一7二一，/.X的分布列如下

783632

X123

3911

P

83232

93363

£（%）=-4

v78163232

31

（2）P=*q=Q,若前（〃-1）位玩家都没有通过第一关测试，其概率为

ia]a

处二（l-〃）i〃q=C.2.1=_±_,若前（"I）位玩家中第，•（&whi）位玩家

才通过第一关测试，则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为第，位玩

家通过第一关测试，但没有通过第，+1位玩家到第左-1位玩家都没有通过第二关测试，其

概率为（1-q产I.所以前面住-1）位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：

k-\A-lf1_„

/二一p）''p。一夕xi-4一囱=夕夕。一夕）2・£--

1=11=1i1一

,“3/1、（1

•,第左位成员问过第二关的概率P*.=PA+p人.=不I—；——

<——=>k>6,.\k=6,「.〃二7

640a

★类型4.概率与其他板块综合

7.（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生

物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代

繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设¥表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,

10

P(X=i)=p,(i=0,123).

(1)已知Po=O.4,〃1=0.3,/4=0.2,〃3=0.1,求£(X)；

(2)设0表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

PO+PIX+P2/+P3/=X的一个最小正实根，求证：当E(X)K1时，p=l,当E(X)>1时，

"1;

(3)根据你的理解说明[2)问结论的实际含义.

解析：(2)设/(力=〃3丁+〃2/+(〃|一1)工+〃0，因为〃；+〃2+月+〃0=1，故

/(X)=A-V3+一(〃2+Po+%)x+Po，若E(X)«1,则+2P2+3/4K1,故出+2P34Po.

/'(x)=3P3/+2p2x-(p2+Po+P3),因为/'(0)=-(P2+4+P3)<°，

/'(1)=〃2+20Po^O,故/'(x)有两个不同零点玉,七，且玉〈0<1£电，

Hx€(-oo,Xj)U(x2,+oo)Bt,,r(x)>0；=«X,入2)时，/'(x)<。；故/(x)在(Y,XJ,(孙+<»)

上为增函数，在(再,％)上为减函数，若/=1,因为/(.丫)在(在+8)为增函数且/⑴=0,

而当X«0,%2)时,因为f(x)在(司,々)上为减函数，故”》)>/(马)=/⑴=0,故1为

夕0+2/+〃2/+〃/3=.丫的一个最小正实根,若々>],因为/(1)=。且在(0,工)上为减函数，

故1为〃0+〃3+〃2工2+〃/3=工的一个最小正实根,综上,若后(¥)41,则，=1.若以不)>1,

则Pl+2p?+3p3>1,故P2+2P3>丹.此时/'(0)=-(P2+Po+P3)<°，

/'(1)=P2+2P3-Po>。，故/'(X)有两个不同零点看，5，且且

f

x€(-co,x3)U(x4,+oo)0t,/(x)>0；X€(X3,X4)Bt，f\x)<0；故/(x)在(70,马)，((，内)

上为增函数，在为3,xj上为减函数,而/⑴=0,故/帽)<0,又/(O)=Po>O,故为X)