2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷拔尖卷（苏科版）解析版

九年级数学上学期期末模拟卷拔尖卷（苏科版）

全解全析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）

1.（24-25九年级上•湖北随州•期末）关于x的一元二次方程依2-4丫+4=0有实数根，则〃的取值范围是

（）

A.左<1且女。0B./c<1C.k41且々HOD.々VI

【答案】C

【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到AN0,结合二次项的系数不为0,进行求解即可.

【详解】解：••・关于％的一元二次方程匕2一轨+4=0有实数根，

=（一4尸-4x4/c>0且A丰0,

:.k<1且k工0；

故选C

2.（2025♦广东深圳•三模）如图，中，。点为4B的中点，E点在A8上，F点在AC上，且EFIIBC,若

AF=7,FC=3,则下列叙述何者正确？（）

C.AD=5D.DE<EB,DF与EC不平行

【答案】D

【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用这些

知识是解题的关键.

由力"=7,FC=3,求得4?=10,假设4E=7,E8=3正确，则A8=10,所以AC=A8,与已知条件不

符,可判断4不符合题意：由呐8C,证明△AEF-△ABC,则竟二皆二卷转，故B不符合题意:假设AD=5

正确，由。为48的中点，得/18=10=AC,与己知条件不符，可判断C不符合题意；连接。F、EC,设

1/42

EB=3m,由臂=喋=（，得/4E==77几，则力8=l（hn,求得力£）=8D=5m,所以OE=2m,可知

CDrC50

DE<EB,由喘=标告，可知OF与EC不平行，可判断D符合题意，于是得到问题的答案.

L/C/rG

【详解】解："F=7,FC=3,

.-.AC=AF+FC=10,

假设AE=7,EB=3正确，\）\iAB=AE+EB=10,

.'.AC=AB,与已知条件不符，

故A不符合题意；

-EFIIBC,

•••△4EF〜△ABC,

•，EF"—AF7j3

'"BC-4C_107'

故B不符合题意；

假设力。=5正确，

•••。为48的中点,

./B=10=AC,与已知条件不符，

故C不符合题意；

连接。尸、EC,设E8=3m,

C

VEfi=m=?

：.AE=三EB=7m,

“8=AE+EB=10m,

.,.AD=BD=^AB=Sin,

.,.DE=BD—EB=2m,

.,■DE<EB,

2/42

AD5m5,AF

••—।।...-at——

'DE2m2FC，

•••DF与EC不平行，

故D符合题意，

故选：D.

3.（2025・陕西咸阳•二模）已知二次函数y=/-2bx+c（b、c为常数），当时，该函

数的最大值与最小值的差是一2匕则k的值为（）

A.-1B.—1C.—2D.—!

【答案】C

2

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关健.先求出顶点坐标为（btc-b）,可

得当8—14工工匕+2时，该函数的最小值为c一炉，再由二次函数的性质可得当％=匕+2时，函数取得最

大值，即可求解.

【详解】解：=2bx+c=（x—b）2—〃+c,

二顶点坐标为（b.c-b2）,

vl>0,即抛物线开口向上，

二最小值为C-b2,

当力-1WxWb+2时，该函数的最小值为c一炉，

vb-（b-1）<b+2-b,

...当％=b+2时，函数取得最大值，为y=（匕+2尸-2b（b+2）+c=一/+4+c,

•.•当b-1WxW匕+2时，该函数的最大值与最小值的差是一2k,

一板+4+c—（c—b2）=—2k,

解得：k=-2.

故选：C.

4.（2025•湖南长沙•模拟预测）某校数学活动小组用20米长的围栏，在学校劳动基地围成一边靠墙（墙足

够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，大家提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠堵），半圆形，正

)

C.方案3D.方案4

3/42

【答案】c

【分析】本题考查了二次函数的应用，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点

是解题关键.方案1：设矩形的宽为X米，表示出s=-2(x-5)2+50(0<XV10)，求出最值：方案2：设

等腰三角形的底边长为2d米，高为"米，表示日设2=-(-50)2+2500求出最值：方案3：求出半径丁二

手,计算面积；方案4：

求出正五边形的边长为5米，正五边形可以分成5个全等的等腰二角形，作其中一个等腰△A8C的高80,

利用等腰三角形的性质和角的正切值求面积.

【详解】解：方案1：设矩形的宽为%米，则长为(20—2%)米，

.­•S=%(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50(0<x<10),

・•・当戈=5时，S有最大值，

即当矩形的宽为5米，长为10米时，菜园面积最大为50平方米；

方案2：设等腰三角形的底边长为2d米，高为h米，

方案2

是等腰三角形，

AD=^AB=d米，AC=BC=20=10米，

vAD24-CD2=AC2,

d2+h2=102,

解得h2二100—十，

S=1x2dh.=dh,

AS2=d2/i2=d2(100-d2),

令£=42,则S2=t(100-t)=-t2+100t=-(t-50)2+2500,

当t=50时,S2有最大值,最大值为2500,

・・.当d=5加时，S有最大值，最大值为50,

即当等腰三角形的底边长为10立米时，菜园面积最大为50平方米;

方案3：设半圆的半径为r米，

4/42

则〈x27rr=20,解得r=型，

Z7F

此时S=mrx（B）=竽y64平方米，

即当半圆的半径为§米时，菜园面积最大约为64平方米;

方案4：设正五边形的边长为Q米，

则4a=20,解得a=5,即正五边形的边长为5米，

正五边形可以分成5个全等的等腰三角形，作其中一个等腰△4BC的高BD,

；正五边形,

•••AB=BC,Z.ABC==72°,

LABD=乙CBD=36°,AD=CD=\AC=2.5米,

-0_2.5

在中,BD=

tan^.ABDtan360,

tan36°«0.73,

•••BD«3.42米，

S=5S^ABC=Sx^AC-BD43平方米，

即当正五边形的边长为5米时，菜园面积最大约为43平方米；

综上可知，半圆形菜地面积最大，即方案3是最佳方案，

故透:C.

5.（2025•湖北武汉•模拟预测）如图，力口为。。直径，点。在丽上，LBAC=60°,。为47的中点，。。的

延长线与。。交于点E,CE和4B交于点F,则£的值为（）

7

BD.

-I2

5/42

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算.连接。。，

作0G1CE于点G,证明△04C是等边三角形，4OFG是等腰直用三角形，设。。的半径为2r,利用勾股定

理求得CE=J8+4b7=（述+应）r,证明△EGO-2XEDC,求得。G=警务，.・.0F=（百一l）r,据此

求解即可.

【详解】解：连接0a作OG_LCE于点G,

•.284C=60°,0A=0C,

.•.△OAC是等边三角形，

山0C=60°,

••・D为AC的中点，

.'.0D1AC,Z.AOD=/.COD=1x60°=30°,AD=CD,

；/E+Z-OCE=乙COD=30°,

vOC=OE,

=Z,OCE=15°,

“BOE=Z.AOD=30°,

.•ZOFG=ZE+乙BOE=45°,

••.△OFG是等腰直角三角形，

设。。的半径为2r,

.'.AD=CD=r,

...OD=yJoC2-CD2=V3r,

••.DE=(V3+2)r,

：£E="Z)2+D«2=V8+4V3r=(e+V2)r,

-OD1AC,OGICE,

:.Z.EGO=乙EDC=90°,

6/42

△EGO〜△EDC,

OCOEMG2r

:F=G即T=(遥+向/

••，UObC.-....V...6-+V-2-----瓜32'

.'.OF=y[2OG=(V3-l)r,

：.BF=2r—OF=(3—V3)r,

OF_(6一Dr_N/3

•.丽-(3-V3)r-7'

故选：A.

6.(2025•安徽合肥•三模)如图，△ABC中，4B4C=90。，点。是BC边上的中点，连接4D/E14。交CB

的延长线于点£G是4C上一点，连接EG交4。于点巴若tan4?=J,则下列说法正确的个数为()

①△A8EY&4E；@CE=2AE；③若保=热则竟=5;④若器=、则偏=2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由直角三角形的性质可得4n4B="BA/DAC=NC,由直角三角形的性质可得

^BAE=LDAC=LC,可证△ABE-△〃£1；故①正确；由相似三角形的性质可得警=第=需可得

JADDDAD

CE=2AE,AE=2BE；故②正确；由勾股定理可求BC的长，可求8E的长，可求AE=哈,CE=竽%,通过

证明△，尸G〜△DFE,即可求得二5,故③正确：若竟二|，同理可求监=2,故④正确；即可求解.

【详解】解：・.2BAC=90。，点。是边BC上的中点,

•••AD=BD=CD,

:•乙DAB=乙DBA,乙DAC=乙C,

AE1AD,

•♦./ZME=90°=4B4C,

ALBAE=Z.DAC=(C,

5L'：Z.AEC=Z-AEBy

•〜△&4E,故①正确;

7/42

CEAEAC

AEBEABf

Vt3nZC〒而，

CEAEACc

"AE~BE~AB~

.-.CE=2AE,AE=2BE,故②正确;

设W5=x,AC=2%,

•••BC=y/AB^4-AC2=国，

BD=CD=争，

vCE=BC+BE=2AE=4BE,

BE=警,

：.AF.=举丫4/?=警x,

如图，作HGIDC,交AD于H,

AG1

"AC=3,

-HGWDC,

AGHG1

二版=CD=?

；.HG=然

•••HGIIDC,

△HFG-△DFE,

•r喘G=需=EC；：，=工3二=5,故③正确;

nunu-X6

至EF5

若雨=2,

v△HFGDFE,

EFDES

**FG='HG=2f

8/42

二设。E=5y,HG=2y,

•:CE=BC+BE=2AE=4BE,BD=CD,

.-.BE=2y,BD=CD=3y,

•••"GIIDC,

AGHG2

''~AC=~CD=V

嘿=2,故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，

灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）

7.（2025•河南驻马店•一模）为了解女生一分钟跳绳的情况，某校随机抽测了该校九年级某班女生，统计

她们一分钟跳绳的成绩，并将统计结果制成如图所示的折线统计图，则成绩的众数为.

【分析】本题考查了数据的分析•，众数，熟悉掌握众数的意义是解题的关键.

根据众数的意义结合图象寻找即可.

【详解】解：由图象可得：成绩为130分的人数最多，则成绩的众数为130.

故答案为：130.

8.（2025•浙江宁波•三模）已知二次函数y=/—2025与x轴的交点的横坐标为m、n,则《+彳的值为.

【答案】

2025

【分析】本题考查了二次函数与X轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题

的关键.将5+：变形为鬻，由一元二次方程根与系数的关系得到，m+n=-l,nm=—2025,代入即可

求解.

9/42

【详解】解：•••二次函数丫=必+%-2025与不轴的交点的横坐标为血、n,

m.n为方程/+x—2025=0的两个根，

•••m+n=-1,mn=-2025,

•---1--,1・?n+n・------1----------1---

••?nn-mn--2025—2025,

故答案为：

9.(2025・山东威海•中考真题)如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开

图.若正方形硬纸板的边长为12cm,则折成立方体的棱长为cm.

［答案］蔡仞苧

【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识:

如图，设8C=x,则48=力5=12—％,8/)=四％8£=4企%,根据勾股定理列出方程求解即可.

【详解】解：如图，设BC=x,^iAB=AE=12-x,BD=y/2x.BE=4y/2x,

则在直角三角形48E中，由勾股定理可得：AE2+AB2=BE2,

2

即(12-x)2+(12-x)2=(4V2x),

解得：%=昔或%=一4(舍去)，

・••正方体的棱长为BZ)=y/2x=拳2cm,

故答案为：募、笈.

10.(2025•山西朔州•二模)如图，在内△ABC中，zC=90。，点。是4B边上的中点，DE14B于点E,。是

。皿中点，连接力。并延长交BC于点F,已知sin8=：,AB=8,则。/的长为_____

3

10/42

.1

【答案】号/

【分析】本题考查了相似二角形判定与性质，勾股定埋，解直角二角形及平行线分线段成比例定埋，作

OH11CB交BD于点、H,先得出△D0H70EB,得出=8,=2,证明。。=去求出。4根据平行线分

线段成比例定理求出结论即可得到结论.

【详解】解：作。H11CB交BD于点H,

:ADOH〜ADEB,

・•,0是的中点，

CDDH1

:.—==—,

DEBD2

•・•。是48边上的中点,48=8,

:.AD=BD=4,

：.DH=BH=2,

"DE1AB,sinB=

.„DE3

.••sinB=—=7,

oc5

3

:.DE=渺，

-BE2-DE2=^BE2=BD2=16.

••・BE=5（负值舍去），

...DE=渺=3,

11/42

•••0是DE的中点,

3

0D=

:•0A=J(l)+42=当'

•••0B||CB,

ACAH.叵4+2

・通=而，=—

：.0F=%

6

故答案为：空.

o

o

11.如图，在中，LBAC=90°,AB=3,cosB=将△48C绕着点力旋转得到△/1OE,点8

的对应点。落在边BC上，连接CE,则CE的长为.

【答案】孩

【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形.解直角三角形求得8c=5,AC=4,由旋转的性质求得

CQSLACE=CQSB=I，过点4作AHJ.CE于点H,在Rt△力CH中，解直角三角形即可求解.

【详解】解：•.NB4C=90。，AB=3,cosB=7,

:.BC=5,

：.AC=V52-32=4,

•••△ABC绕着点J旋转得到△月。5,点B的对应点D落在边8c上,

：.AB=AD,AC=AEfLBAD=LCAEy

•ZB=1(180o-乙BAD),4ACE=:(180。-Z.CAE),

.•.Z.ACE=乙B,

3

.,.ccsz.ACE=cosB=7o,

如图，过点/作/〃，CE于点”,

12/42

E

则EH=CH,在中，

“〃CH3

•：ccs^ACH=-=-,

••・CH=14c=y,

24

：.CE=2CH=g

D

故答案为：T-

12.(2025•江苏泰州•二模)设一次函数y=2x+2的图象为匕，二次函数y=(尤一2)2图象的对称轴为/,

则，I关于/对称的图形，2对应的函数关系式为♦

【答案】y=-2x+10

【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形变化一轴对

称，熟练掌握相关知识点是解题的关键.根据一次函数的性质可得，1经过点(0,2)和(一1,0),根据二次函数

的性质得到/为直线％=2,求出点(0,2)和(一1,0)关于/对称的点坐标分别为(4,2)和(5,0),由对称性可得G

是一次函数，再利用待定系数法艮］可求出a对应的函数关系式.

【详解】解：对于y=2x+2,

当x=0时，y=2-当y=0时，则2x+2=0,解得x=-1；

M经过点(0,2)和(一1,0),

•••二次函数y=(%—2尸图象的对称轴为/,

•••/为直线％=2,

・••点(0,2)和(一1,0)关于I对称的点坐标分别为(4,2)和(5,0),

,”2是关于/对称的图形，

••」2是一次函数，且经过点(4,2)和⑸0),

设，2的函数关系式为丫=1％+比

-2

代入点(4,2)和(5,0),得仁屋-O

13/42

解瞰：禧

••42的函数关系式为y=-2x+10,

故答案为：y=-2x+10.

13.（2025・四川南充•二模）体育课上，分组训练6名男生引体句上成绩（个）的中位数与平均数恰好相

等.已知其中5人成绩为6,6,8,10,11,则另一人成绩为个.

【答案】1或13/13或1

【分析】本题主要考查了平均数以及中位数.设另一人成绩为x个，可求出平均数为昔，然后分三种情况

结合中位数的定义解答，即可求解.

【详解】解：设另一人成绩为x个，则

平均数为*6+6+8+10+11+%）=等，

若《工6,此时中位数为等=7,

•••中位数与平均数恰好相等，

解得：x=1；

若6<xW10,

此时中位数为等,

•••中位数与平均数恰好相等,

41+x8+x

解得：x—（舍去），

若/>10,此时中位数为用=9,

•••中位数与平均数恰好相等,

解得：x=13；

综上所述，另一人成绩为1或13个.

故答案为：1或13

14.（2025•江西抚州二模〉如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则tak/IBC的值为

14/42

【答案】g/0.5

【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，二角函数.

在图1中连接GH，证明四边形HEFG是正方形，得到匕HGF=90。，HG=EF,在图2中可得ZADB=90。,

BI=DI=AD,根据三角函数计算即可.

【详解】解：如图1,连接GH,

图1

由七巧板可知，HE=FG=EF,HEWFG,/-HEF=90°,

训边形HEFG是平行四边形，

“HEF=90°,

二平行四边形HEFG是矩形，

•:FG=EF,

矩形，EFG是正方形，

.•/HGF=90°,HG=EF,

如图2,连接力8、AD,则44。。=90。，

图2

.ZCB=90°,

由七巧板可知,BI=DI,

则B/=DI=AD,

15/42

AHi

••.tan〃8C=^7=2-

故答案为：

15.（2025•广东深圳•模拟预测）如图,在△48C中,^ACB=90°,AC=2BC,。是BC的中点，连接4D,

将绕点力逆时针旋转90。至AR连结BE,BE交力。于点G,交于点E则tan"=.

【答案】,

【分析】过点E作£H_LAC于点儿过点力作力T1BE于点兀可证△力。。三△EH4可得RH=；£H,再

证aEHF〜△BCF,可得Hr=|CH=：•夕C=/C,设b=AH=%,则HF=2x,EH=4C=4%,

AF=3xfCD=x,在RtAACD中，运用勾股定理可得AE的长，根据等面积法=/小所=•47,

可求出力丁的值，在中，可求出ET的值，再根据正切值的计算方法即可求解.

【详解】解：如图，过点石作EH_L4C于点，，过点力作4TJL6E于点7,

•••将4。绕点A逆时针旋转90。至力£,

.'.AD=AE.LDAE=90°,

.•.乙C=Z-DAE=乙AHE=900,

：.Z-AEH+^EAH=Z.EAH+^CAD=90°,

"EH=LCAD,

:.△力CDRt空△£7L4(AAS),

.'.AH=CD,EH=AC=2BC,

•.•点。是8C中点，

16/42

.-.CD=押，

“H=CD=泗=\AC,

.-.AH=^EH,CH=\AC,

•：EHLAC,即4c=90。，

.-.EHWBC,

:.AEHF~ABCF,

：,~CF一诟-2，

:.HF=2CF,

.-.HF=ICH=l^AC=^AC,CF=^AC=AH,

.•.设CF=AH=x,则，尸=2x,EH=AC=4x,

.,.AF=3x,CD=x,

在Rt△ACD^,AD=y/AC2+CD2=J(4x)2+力=6x,

"E=V17x,

在Rt△EHF中，EF=VEH?+F"2=7(4x)2+(2x)2=2后，

,:S^AEF=•EH=|EFMT,

“T=等=懿=嗜，

在Rt△力ET中，ET=y/AE2-AT2=](旧炉一(噜丫=噜

6瓜x

：.tanz.AET=k=盅=,.

5

故答案为：]

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计

算方法，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形全等和相似是解题的关键.

16.如图，力B是。。的直径，M、N是丽(异于4、B)上两点，C是标上一动点，〃CB的角平分线交。。

于点D,NBAC的平分线交CD于点艮当点C从点M运动到点N时，则。、E两点的运动路径长的比是.

17/42

【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定

理等等，如图，连接EB,连接。M交AE于G,连接DN交BE于月设0A=r.求出心力C8=90。，证明8E平

分，求出乙4EB=135。；再证明2408=90。，AD=BD,^\\AD=V2OA=>/2r,得到点正在以。为

圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是赤，点。的运动轨迹是丽，据此根据弧长公式求解即可.

【详解】解：如图，连接EB,连接DM交力E于G,连接ON交8E于产

设04=r.

是直径，

••ZACB=90°,

•.•乙亿8的角平分线交。。于点。，"AC的平分线交CD于点E,

.•.8E平分乙48C,

.-.Z.EAB=^Z-CAB,Z.EBA=^Z.CBA,

•;“AB+Z-CBA=180°-Z-ACB=90°,

：.Z-EAB+/-EBA=45°,

."EB=135°；

SBD=£ACD=\LACB=45°,^BAD=乙BCD=\LACB=45°.

18/42

：.Z.ADB=90°,AD=BD,ffl/lD=y/2OA=\[2r

.•.点七在以。为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是正，点。的运动轨迹是标,

"MON=2Z.GDF,

.•.设NG。/7=a,则4MON=2a,

丽的长：肝的长=与箸：生陪:=鱼，

故答案为：V2.

三、解答题（本大题共11小题，满分88分）

17.（7分）（2025•上海•模拟预测）如图，在△48D中，4C为BD边上的高.过点C作4。的垂线，垂足为

点E.若力8=17,80=28,4B的余弦值为*

（1）求CE的长.

（2）连接8E交边AC于点片求BA/E的值.

【答案】⑴12

【分析】本题考查了解三角形和相似三角形的判定和性质，解题关键是根据结合图形，利用相似三角形或

三角函数转化线段比.

（1）根据夙?=4B-cos8求出BC=8,进而由勾股定理求出4c=7AB2-BC2=15,AD=>/AC^+CD2

=25,再由面积法求出CE,

⑵过点E作EH1AC于点〃，由相似三角形的判定和性质先求出HE=7.2,进而由笔=当=与得出结论.

rnrift7

【详解】（1）解：•MB=17,cosB=*AC1BD,

o

:.BC=ABcosB=17x—=8,

AC=7AB2一BC?=V172-82=15,

又•；BD=28,

CD=BD-BC=20

AD=y/AC2+CD2=s/152+202=25

19/42

•:SAADC=-EC=-AC-CD

ACCD15x20

••-C£=-=-=12

（2）过点E作EH_L4C于点儿

:.EHIICD,

△AHEACD

•嘴若①

♦.在Rt△AEC中，AE-yjAC2-CE2-V152-122-9

代人①得：箸=£,

:.HE=7.2

•••EH||BC,

：.AHEFMCBF,

BF_BC_8_10

''FF=HE=7?2=V

18.（7分）（2025•江苏苏州•一模）为了推进“优秀传统文化进校园〃活动.宁范县某校准备在七年级成立

四个课外活动小组，分别是：A.民族舞蹈组：B.经典诵读组；C.民族乐器组；D.民族歌曲组.为了解

学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且

只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.

学生最喜欢的课外活动小组学生最喜欢的课外活动小组

条形统计图条形统计图

20/42

⑴本次调查的学生共有人，。组占扇形统计图中圆心角度数为度.

(2)在重阳节来临之际，学校计划红织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小

组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C,。小组的概率.

【答案】(1)100,126

成

【分析】本题考查了列表法求概率以及扇形与条形统计图的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先根据条形统计图和扇形统计图的信息求出总人数，进而艰据圆心角的计算公式即可求解；

(2)根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中选中C,。小组的结果有(D,C),(C,D)共2

种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解.

【详解】(1)由题意得本次调查的学生共有急7=100，

•50/O

•••C组占扇形统计图中圆心角度数为360°X35%=126°,

故答案为：100,126

(2)依题意用列表法表示所有可能出现的结果如下：

第一次第

ABCD

二次

A(M)(&4)(。⑷

B(/I4)(C,8)@,B)

C(AC)(B,C)(D,C)

D(4D)(B,D)(CD)

由以上，可得共有12种等可能的结果，其中选中C,。小组的结果有(D,C),(C,D)共2种，

21

•••P(选中G。小组)=12=6,

19.(7分)(2025•江苏•二模)如图，C,。为线段A8上两点，且力。=10,CD=2,BC=3,过点。作

48的垂线，与以4。为直径的。。交于点区作射线

21/42

(1)求证：8后为0。的切线；

(2)F为。。上一点，弦EF与直径AC交于点G,当尸为前中点时，求4G的长.

【答案】⑴见解析

⑵AG的长为15-3再，

【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，止确

地添加辅助线是解题的关键.

(1)连接。£则41EC=90。，根据线段的和差关系求出AC,BD的长，进而可求出。C,。。的长，解直角

三角形求出E。的长，进而证明△OOE〜ZiEOB,推出乙OEO=/B,则可证明乙。E8=90。，据此可证明结

论；

(2)可证明410F=90。，则可证明AOGF〜△OGE,由相似三角形的性质求出0G的长即可得到答案.

【详解】(1)证明：如图所示，连接0E,

••FC是。。的直径，

••ZEC=90。，

•••DEIAB,AD=10,CD=2,BC=3,

LADE=Z.EDC=90°,AC=AD+CD=12,BD=CD+BC=5,

A£DAE=乙DEC=900-LAED,OC=^AC=6,

啜=tanZ.DAE=tanzDFC=黑，OD=OC-CD=4,

ADfcu

ED-\/AD-CD-V10x2-2V5,

22/42

CD42V5ED_2V5

'ED~2>/5--5~fBDF'

••黑=黑，且乙ODE=乙EDB=90。，

bubu

SODEs&EDB,

Z.OED=乙B,

••/OEB=Z.OED+乙BED=Z.B+乙BED=90°,

••0£是。。的半径，UBELOE,

•.BE为。。的切线.

(2)解；连接。乩则OF=04=。。=6,

・•旺为标的中点，

AF=CFf

“C是直径，

ALAOF=Z-COF=1X180°=90°,

-AGOF=Z.GDE=90°t乙OGF=LDGE,

OGFDGE,

GG__OF_

"''DG~ED,

OG___6

••4-OG-2V5,

解得。G=9-3通，

­.AG=OA+OG=6+9-3y/5=15-3后

二/G的长为15—3遍，

20.（8分）（2025•江西模拟预测）如图1,滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐

朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句"落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色〃而流芳后世.数学实践小组要测量滕

王阁的高度，如图2,小组成员甲在点4处测得滕王阁最高点C的仰角4c4E=45。，再沿正对滕王阁方

23/42

向前进至B处测得最高点。的仰角乙。8/=58。/8=21.601,小组成员乙在点6处竖立标杆N7,点。、

标杆顶尸、最高点C在一条直线上，FG=1.6m,GD=2m.

ffll

⑴求滕王阁的高度CE；(结果精确到lm,参考数据：sin58°«0.85,cos58°«0.53,tan58°«1.60)

⑵求乙同学与滕王阁之间的距离EG.

【答案】⑴滕王阁的高度CE约为58m

(2)乙同学与滕王阁之间的距离EG约为70.5m

【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函

数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解.

(1)在RtZXGlE中，因为NC4E=45。，根据等腰直角三角形的性质，可得CE=4E.已知=21.6m,

所以BE=AE-AB=CE-21.6.在Rt△CBE中，利用正切函数tan“8E=tan58°=喘，将BE=CE-21.6

DC

代入，得到关于CE的方程，进而求解出CE的长度.

(2)由题意可知NCED=90°=/rGD,RAFDG=^CDEf所以可判定△尸GDCE。.根据相似三角形

的性质，对应边成比例，即蜉=黑，将已知的FG=1.6m,GD=2m,58m代入，求出ED的长度，最

后用E。一GD即可得到EG的长度.

【详解】(1)解：・・•在Rt△&4E中,Z.CAE=45°,

CE=AE,

AB=21.6m,

•••BE=AE-AB=CE-AB=CE-21.6.

在Rt△CEB中，tanzCFE=tan58°=^=—

DCCc-Z1.0

CE

/.1.60

CE-21.6

解得：CE=57.6«58m

答：滕王阁的高度CE约为58m；

(2)由题意知，ACED=90°=LFGD,乙FDG=CCDE,

24/42

△FGDCED,

FG_GD

'''CE='ED

1.62

H即n而=而，

解得ED=72.5m.

:.EG=ED-GD=72.5-2=70.5m,

答：乙同学与滕王阁之间的距离EG约为70.5m.

21.（8分）（2025,广东•模拟预测）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级

中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析.（成绩得分用x表示，共分成4组:

A.60<x<70,B.70<x<80,C.80<x<90,D.90<x<100）

卜而给出部分信息：

七年级学生的数学成绩在。组中的数据为：83,84,89.

八年级抽取的学生数学成绩：68,77,76,100,81,100,82,86,98,90,100,86,84,93,87.

七年级抽取的学生的竞赛成绩频数分布直方图

t人数A

6----------工…

ABCD成绩

1年级平均数中位数众数方差

七87a9899.6

八87.286b88.4

（1）填空：a=,b=.

⑵根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；

⑶该校七、八年级共3000人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学

生约有多少人？

【答案】（1）84,100,

⑵八年级学生计算能力较好.理由见解析

（3）1200人

25/42

【分析】本题考杳频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用

数形结合的思想解答.

（1）根据中位数、众数的定义，可以得到。、力的值：

（2）根据题目中的数据，可以从中位数、最高分、众数来说明理由，注意本题答案不唯一，符合实际即可;

（3）利用样本估计总体，川3000乘以样本中测试成绩达到90分及以上的所占的百分比即可.

【详解】（1）解：由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C

组的第二个，

•••七年级的数学成绩在C组中的数据为：83,84,89,

二中位数a=84,

•••八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多，

•••众数匕=100；

故答案为：84；100；

（2）解：根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好.

理由：从平均分的角度，八年级的平均数87.2高于七年级的平均分87,

•••从平均分的角度八年级学生计算能力较好：

从中位数的角度看，八年级的中位数86高于七年级的中位数84,

二从中位数的角度八年级学生计算能力较好；

从众数的角度看，八年级的众数100高于七年级的众数98,

,从众数的角度八年级学生计算能力较好；

从方差的角度看，八年级的平均数高于七年级的平均数，且同时方差小于七年级，所以从方差的角度八年

级学生计算能力较好.

（3）解：3000x-^=1200（名），

答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1200人.

22.（8分）（2025•四川•中考真题）如图，AB为。。的直径，C为。0上的一点，AD和过点C的切线互

相垂直，垂足为。.延长DC交4B的延长线于点£

26/42

⑴求证：AC平分ZZZ4E；

(2)若tanf=2CE=12,求。。的半径和CO的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)。。的半径长为5,CD的长为瑞

【分析】(1)连接0C,由等边对等角得到4氏4。=乙0以1,由切线的性质得CD_LOC,I^ADICD,则

AD\\0C,再由平行线的性质以及等量代换即可证明4c平分乙ZME.

(2)作。尸〉。于点心因为tanE="CE=12,所以第=2=tanE=亮，则。4=0C=5,求得

1ZCc1Z1Z

E0=VOC2+CE2=13△OAFEOC,可证明，得努=案=［求得尸。=白"=多则"二尸。=

L匕E>1*51X*3

器，即可求解半径和CD.

•LO

【详解】(1)证明：连接。C,则。。二。4

••・CD与O。相切于点C,

:.CD10C,

AD工CD,

AAD||OC,

/.DAC=Z.OCA,

•••LDAC=Z.EAC,

•••"平分4DAE；

(2)解：作OF14。于点F,Z/1F0=zOCE=90°,

27/42

•••-=TT=tanE=—,

CE1212

OA=OC=5,

：0C1CD,

EO=7OC2+CE2=V52+122=13,

v4D||OC,

•••LOAF=LEOC,

•••△OAFEOC,

FOOA5

—=—=—,

CEEO13

号'二步12=作

vLOFD=ZD="CD=90°,

•••四边形OC。?是次巨形，

...DC=FO=篙

••・o。的半径长为5,DC的长为黑

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形

的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

23.（8分）（2025•浙江•模拟预测）己知y关于x的二次函数y=a/一管。十2,一1。是常数，。工o）.

⑴若函数图象经过点（3,0）,求该函数图象的对称轴及顶点坐标.

（2）在⑴的条件下，当x满足时，y的取值范围为一等WyW0,求〃?的取值范围.

（3）若力弓,力）,8仁+彳,g）是该函数图象上的两点‘试比较力,的大小.

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线%=$顶点为：&，一专）

（3）当a>0时，丫2>力；当a<0卜寸，yz<y\

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线表达式，即可求解；

（2）根据y的取值范围为一幕Wy40,即在x轴下方部分，可得“在无=一：和顶点之间，因可求解；

JJ

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线％=；+：,则点力、8和对称轴的距离分别为：

OU

28/42

抖;AH，进而求解.

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到不等式，熟悉函数的图象和性质以及分类求解是解题的关健.

【详解】(1)解：将(3,0)代入抛物线表达式得：

9a—a+2)x3—1=0,

解得：a=l,

・•・抛物线的表达式为:y=x2-1x-l,