高考数学复习-空间点、直线、平面之间的位置关系（附答案）

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、单项选择题

1.（2024.天津滨海高三期末）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.四边形确定一个平面

C.三角形确定一个平面

D.一条直线和一个点确定一个平面

2.若乙408=NA，06；0A〃。山，且OA与的方向相同，则OB与OB（）

A.一定平行且方向相同

B.一定平行且方向相反

C.一定不平行

D.不一定平行

3.如图，平面aCl平面glABGa,CG0,C虹直线ABC/=。（点D不同于A,B,C）,过

4方C三点确定的平面为人则平面了/的交线必过（）

A.点A

B.点B

C.点C,但不过点D

D.点C和点。

4.在三棱锥A-BCD的边AB.BQCD.DA上分别取E,F,G,H四点，如果EFCHG二P,

则点P（）

A.一定在直线BQ上

B.一定在直线AC上

C.在直线AC或上

D.不在直线AC上，也不在直线BD上

5.如图所示，在正方体ABCD-A\B\C\D\中，点P为逅A\C\上的动点，则下列直线中,

始终与直线8P异面的是（）

A.DDiB.AC

CADiD.BiC

6.（2024•江苏无锡高三期中）在正方体出GA中,P为6Q的中点，则直

线OP与直线8c所成角为（）

A：B.W

36

C.-D.-

62

7.1四边形A8CO是矩形,AB=3AZ）,点£F分别是A8,C。的中点，将四边形AEFZ）

绕E/旋转至与四边形BEbC重合,则直线ED,BF所成角a在旋转过程中（）

A.逐步变大

B.逐步变小

C.先变小后变大

D.先变大后变小

8.在正四棱锥P-ABCD中,A6=2,E,EG分别为AB.PCAD的中点，直线BF与EG

所成角的余弦值为F，则三棱锥P-EFG的体积为（）

A这B.它

124

C.—D.—

36

二、多项选择题

9.下列说法正确的有（）

A.Ae/4ea,Be[,Be«=>/c«

B.AEa,AeB，Bea,BeS=anp=AB

C.HaA£

D.A£/,/ua=A£a

10.如图，在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB.BC.CDADAC的中点，则下列

说法中正确的有（）

A

A.M,N,P,Q四点共面

B.ZQME=ZCBD

C.ABCDS^MEQ

D.四边形MNP。为梯形

11.（2024•北京朝阳模拟）在三棱锥A-BCD中=CQ=&4Q=8C=AC=8D=通，

则（）

A.AB1CD

B.三棱锥A-BCD的体积为］

C.三棱锥A-BCD外接球的半径为历

D.异面直线4。与BC所成角的余弦值为:

三、填空题

12.已知在直三棱柱AHCAiBCi中,NABC=12（）°.AB=2/C=CG=1,则异面直线

AB\与8G所成角的余弦值为.

13.（2024・山东济宁模拟）在棱长为2的正方体ABCO-AIICQI中。为底面

4与。。|的中心,E为BC的中点，则异面直线AOi与CiE所成角的余弦值

是.

四、解答题

14.（13分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2,沿其中位线。£将平面

4DE折起,使平面AOE_L平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE;设CD,BE,AE,AD的中

点分别为M,N,P,Q.

⑴求证:MMRQ四点共面；

（2）求异面直线BE与MQ所成的角.

15.(15分)如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,尸分别是BCAD的中点.

(1)求证:直线E尸与8。是异面直线;

⑵若AC_L8O,AC=8D求£1尸与8。所成的角.

答案:

1.C三个不共线的点确定一个平面,故选项A错误;四边形存在空间四边形，故选

项B错误;三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面,故选项C正确;当点在

直线上时无法确定一个平面，故选项D错误.

2.D如图，

若乙4。8=/4。》,04〃。为；且与。山的方向相同,08与0B不一定平行.

3.D对于A项和B项，假设A£夕,因为A£火则4£加四又如或=/，所以A3,又

所以4WA8C/,与ABC仁D矛盾，则AC△即平面y，的交线不过点A,故A

错误，同理,B错误：

对于C项和D项，因为。£及。£〃。£/（=40£/183,所以。£阳），,。£阳了,即点

C,D在0与y的交线上，故C错误,D正确.

4.B如图所示，因为EFu平面48C,"Gu平面ACDE7TIHG二P,所以尸金平面

ABC/W平面ACD又因为平面ABCTI平面ACO=AC,所以P&AC故选B.

5.B对于A项，当P是4a的中点时,8P与是相交直线;对于B项,根据异

面直线的定义知，。尸与AC是异面直线;对于C,当点P与CT重合时与AD\是

平行直线;对于D,当点尸与Ci重合时与BC是相交直线.

6.C如图.设Q为底面中心、P为上底面中心，易得OP〃QB,

所以异面直线。。与所成的角就是NQ5C或其补角，设正方体的棱长为2,

Q酹+CB，QC2_

可得用。二2迎,。。二迎,。5产遥，由余弦定理，得cosNQBC=

2QB1CB1

寿为=言二手,所以/Q8C=£,异面直线DP与BC所成的角是?

ZXVOXZVZzOO

7.D由题可知初始时刻EQ与B尸所成的角为0,如图1,故B,C错误；

在四边形AEFD绕E/旋转过程中,EF_LDFyEFLFCQFClFC=F,DF,FCu平面

DFC,所以M_L平面DFC,EFu平面EFCB,所以平面DEC_L平面EFCB,故D在

平面8CTE内的投影「一直落在直线。尸上，如图2,

所以一定存在某一时刻EPLBF,而力PJ_平面EFCBQP1.BF,又

DPCPE二P,DP,PEu平面DPE,所以上平面QPE,此时DE与8户所成的角为*

然后a开始变小,故直线ED,BF所成角a在旋转过程中先变大后变小，故A错

误,D正确.

8.B连接&)Q£AC,CG,CE,如图,

设BF=DF=x,由BD〃EG濡NFBD即为所与EG所成的角，

在△F8Q中，易知8O=2&,cosNFBO=片”=理解得x=V3.

4y/2x3

设PB=PC=y，在APFB+,(-)2+3-2V3•^cosZPFB=y\®

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因为NP必+N3/C=18（）°，故cosNBR>cos（18（『-NPM）=-cosNP尸史则在

△BCF中，（铲+3-2百•上osNBR>4,即（3+3+2而•*osNP氏8=4,②

①+②得?+6=）2+4,因为k0,解得产2.

因为f为PC的中点，故V=.^P-EFG=VC-EFG=VF-ECG,

因为PA2+PC2=AC2,PA=PC.

所以△/MC为等腰直角三角形，

则在等腰直角三角形PAC中，易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离、为

联=修

故点尸到平面CEG的距离为争

SAECG=SaABCD-S^AEG-S^CDGS^CEfi=2x2x1x1x2x1-|X1x2=4-1-l-1二|,故所求三

棱锥的体积为;x|x?=W

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9.ABD由A£/,Aea,Be//Ea,根据基本事实1可得/ua,故A选项正确；

由工£人3£%8£以根据基本事实2可得〃（6/伉故B选项正确；

由/Ca,A£/可得A0”或故C选项错误；

由A£/,/ua根据基本事实1可得故D选项正确.

10.ABC由题图可知，在^ABC中,MN分别是AB.BC的中点，所以MN〃4C,且

MN=14C,同理在△AOC中,QP〃AC,且QP=，C,所以“乂〃。2,加％二。尸,所以四边

形MNPQ为平行四边形，所以M,N,P,Q四点共面，所以A正确；

在aABC中，由中位线定理得ME〃BC,同理在△A8O中，由中位线定理得MQ/7

8D,所以由等角定理知,NQME=N33C,所以B正确；

在△AQC中，由中位线定理得QE〃DC,所以用£〃3（7,加。〃/）,。£1〃。。,所以由

等角定理可知,NQME=ZDBC,ZQEM=ZDCB、NMQE=ZBDC,所以ABCDS

△MEQ,所以C正确；

由上述分析得四边形MNPQ为平行四边形，所以D错误.

11.ABD将三棱锥补形为长方体，如图所示.

E

其中BE=BN=1,BF=2,斫以AB=CD=a、AD=BC=AC=BD=6连接/凡则AM//

BEAM”匕所以四边形AMFB为平行四边形，所以48〃MF,又四边形MCFD为

正方形，所以MELCD所以AB_LC£＞，故A正确；

长方体的体积Vi=lx1x2=2,三棱锥E-ABC的体积V?=V=^A-BEC=^X

1x2x1=：,同理,三棱锥N-A8。,三棱锥广5C。,三棱锥M-ACO的体积也为"所

以三棱锥A-BCD的体双V=2-4x工=之故B正确；

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长方体的外接球的直径为VM+M+22=倔所以长方体的外接球的半径为当

长方体的外接球也是三棱锥A-8C。的外接球，所以三棱锥48C。外接球的半径

为白，故C错误；

连接MN,交A。于点0,因为MN〃BC,所以NAOM（或其补角）为异面直线A。与

8c所成的角，由已知QA=U。=匹。M—MN二匹,AM=2,所以cosZ

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的抬举二与所以异面直线AQ与BC所成角的余弦值为，故D正确.

12.言如图,补成直四棱柱A8CQ-48QG,

则ABi〃GD,所以与BC\

所成角为N8GQ或其补角.

易得BC\=y[2,BD=y/22+12-2x2x1xcos60°=6,C\D=AB\M,

易得CID2=BD?+BC3

即BCilBD,

因此cosNBCQ啮/=半・

.等在棱长为2的正方体中，取4。,4。|中点EM,连接

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EEOiEAMOM如图，因为E为8c的中点，有£7”。。〃。。1,切=。。=。。,则

四边形GQLE是平行四边形，于是OF〃。瓦又A/WO1MAF=DM,即有四边形

人加。尸是平行四边形，因此AM〃OiF〃。瓦则N0MM是异面直线AOi与GE

所成的角或补角，而O］为底面AIHIGOI的中心，则O|M〃G。，又GO|_L平面

AODIAI,从而OiM_L平面AOQ14,而AMu平面4DA4,则在△OiMA

中,OiM=1HM=J)唐+&M=遥/01=伤,于是cos/OiAM=黑=