二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题（3大题型）原卷版-2026学年九年级数学下册（苏科版）

二次函数的综合题专训之等腰三角形.

直角三角形存在性问题（3大题型）

目录

A题型建模•专项突破

题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题...........................................1

题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题...........................................7

题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题......................................13

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题

1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两

腰为已知边、一动-一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。

2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类,

结合图形范围验根防漏解。

3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位

可能点，最后结合函数定义域确定有效解。

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数），=/+八+。的图象与x轴交于48两点，/点在原点的左侧,

8点的坐标为（3,0）,与y轴交于。（0,-3）点;.

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵在直线4c上找一点。，使得A。。。为等腰三角形，写出。点坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=瓜+。与X轴交于点力，B两点,与＞，轴交于点。（0,-4卜

且dOC的面积为8,。是AC中点.

⑴求该抛物线的函数表达式；

⑵若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△8。。面积的最大值.

⑶若点G是该抛物线对称轴上的一点，且△G8。是等腰三角形，请直接写出点G的坐标

3.如图，抛物线y=瓜+。与X轴交于4B两点,与y轴交于点E.过点8的直线与y轴交于点C,

⑵求AOB。的面积.

⑶抛物线对称轴上是否存在一点P,使以尸，A,E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点尸

的坐标；若不存在，请说明理由.

题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题

1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如力、B）,设抛物线上动点P（x,y）,分乙4=90。、Z

8=90°、ZP=90°三类讨论直角顶点。

2.解题技巧：用勾股定理（P4+p32”82等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消乃结合x

范围验根。

3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过力、4作垂线交抛物线得尸），结合图形验证直

角合理性C

4.如图，抛物线y=/+6x+c交x轴于4（-2,0）,4（5,0）两点，交N轴于点C,连接8C,AC.

⑴求该抛物线的函数表达式；

⑵点尸为抛物线对称轴上一点，是否存在点尸，使"CP为直角三角形?若存在，请直接写出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

5.如图，抛物线经过点力(-3,0),4(1,0),C(0-3).

⑴求抛物线的解析式；

⑵设点尸为对称轴上的一点，若使P8+尸C最小，求出此时点尸的坐标：

⑶设抛物线的顶点为。，轴于点E,在歹轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请

直接写出点例的坐标；若不存在，请说明理由

6.如图，抛物线y=—2与x轴交于4B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点Q,

已知4—1,0).

⑴求抛物线的表达式；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCQ是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果

不存在，请说明理由；

⑶点M是线段8c上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点M当点M移动到什么位置时,

使MBN的面积最大？求出△C8N的最大面积及此时M点的坐标.

题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题

1.解题思路：确定抛物线定点（如力、B）,设动点P,分NdNB、NP为直角顶点三类，每类需满足“直

角”+“两直角边相等”。

2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率

（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。

3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解：几何法构造全等（如过Q作横纵垂线，使直角边等长），验

讦交点合理性.

7.如图，将抛物线歹=.一向右平移。（。＞0）个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为A,与7轴交于点8,

且△水加为等腰直角三角形.

（1）求。的值；

⑵在新抛物线上是否存在一点C,使△48C为等腰直角三角形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在,

请说明理由.

8.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与，轴交于点C,作直线8C,其中点力（-L。），点

C（0,-4）.

⑴求该抛物线的解析式：

⑵若点尸在线段8C上运动（点尸不与点8,C重合），过点尸作x轴的垂线，交抛物线于点£，交》轴于点

F,是否存在点尸使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图，抛物线卜=。/+6+。与x轴交于力(-2,0),46,0)两点，与y轴交于点。(0,-6),连接BC.若点产

在线段8C上运动(点尸不与点8c重合)，过点尸作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点〃.设点P

的横坐标为“.

⑴求抛物线的函数表达式.

(2)若弘=3PE,求〃?的值.

⑶在点P的运动过程中，是否存在“使得△CQE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出机的值；若不存

在请说明理由.

B综合攻坚•能力跃升

一、解答题

1.：24-25九年级上•上海崇明•阶段练习)已知：抛物线y=ad_4ax+44开口向上，顶点为人与y轴交于8

点，08=204.

⑴求点力、点8的坐标.

(2)在抛物线上是否存在一点C使△力〃「是以/A为直角边的直侑三角形？若存在.求出r点坐标：若不存

在，请说明理由.

2.(25-26九年级上•全国•课后作业)如图，在平面直角坐标系、。歹中，已知抛物线ox,+c经过点

。(4,-3),与y轴交于点40,1),直线＞二区(々/0)与抛物线交于4,。两点.

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)若△月4,是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标.

3

3.(2025九年级上•浙江•专题练习)如图I,在平面直角坐标系中，直线y=+l分别与x轴，j，轴交于点

(1)求抛物线的解析式：

(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得为直角三角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不

存在，请说明理由.

4.(24-25九年级上•黑龙江•阶段练习)如图，二次函数)，=-/+及+’的图象与x轴交于点A、点B,与V

轴交于点C,其中/(3,0)，C(O,3).

(1)求二次函数的解析式：

(2)若点尸在二次函数图象上，且&的「二6,求点尸的坐标；

(3)若M是抛物线对称轴上一点，△彳CM是等腰三角形，直接写出点"的坐标.

5.(24-25九年级下•贵州贵阳•阶段练习)如图,已知抛物线”尔+限+人工0)经过4-1,0),例3,0)。0,-3)

三点，直线/是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的表达式：

(2)设点尸是直线/上的一个动点，当点。到点力，8的距离之和最短时，求点P的坐标；

(3)点M也是直线/上的一个动点，且△M/C为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点〃的坐标.

6.（24-25九年级上•新疆伊犁•期末）如图，已知抛物线云+3（。/（））经过/已（））*（-3,0）两点

（1）求。、b的值.

（2）若点。为抛物线上一动点，△,48。的面积为10时，求点。的坐标.

（3）设点。为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△4PC为直角三角形的点尸的坐标.

7.(2025九年级上•浙江•专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=如2+c与x轴交于

力(-1,0)、B两点,其顶点为(L-4),直线y=x-2与彳轴交于点O,与y轴交于点C,点尸是x轴下方的

抛物线上一动点，过P点作轴于点尸，交直线C。于点E,设点。的横坐标为用.

⑴请直接写出抛物线的解析式：

⑵若PE=3EF,求用的值；

(3)连接PC,是否存在点尸，使aPCE是以P£*为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出”的值；若不存

在，请说明理由.

8.(24-23九年级上•青海海东・期木)如图，二次函数的图象和K轴交点力(1,0),8(3,0),和),轴交点

C(0,3).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求这个二次函数的顶点D的坐标；

(3)该二次函数图象对称轴上是否存在点尸，使△P/1C是以/。为斜边的直角三角形，若存在，求出尸的坐标,

若不存在，请说明理由.

9.(2025九年级上•浙江•专题练习)如图，抛物线经过点力(TO),8(3,0)和。(2,3),顶点为江

(1)求抛物线的解析式和直线4C的解析式；

(2)连接4),C。，判断A/CO的形状；

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E,使得ACDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点

月的坐标；若不存在，请说明理由.

10.(2025九年级上•浙江•专题练习)已知如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数及+C的

(2)如图1,点E是抛物线上的第一象限的点，求工/原的最大值，并求S/c£取得最大值时x的值；

(3)如图2,在抛物线上是否存在•点P,使△4C尸是以4C为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点夕的坐

标，若不存在请说明理由.

11.(24-25九年级上•江西南昌・期中)如图，抛物线y=与x轴交于人，B两点(点A在点4左

边)，与旷轴交于点C.直线歹=K-3经过8,C两点，点尸是抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

⑵当点P在BC卜.方运动时，求ABCP面积的最大值；

(3)若点/为直线8。上一点，作点A关于J轴的对称点H,连接4C,4尸，当△尸HC是直角三角形时，直接

写出点少的坐标.

12.(2025九年级上・浙江・专题练习)如图①，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于4，B两点,抛物线

丁=--一版+。与y轴交于点。(0.4),与x轴正半轴交于点。(40),设M是点C,。间抛物线上的一点(包

(2)当机为何值时，面枳S取得最大值？请说明理由：

(3)如图②，连接CQ,抛物线上是否存在点0,使得其’。。是以CO为底的等腰三角形，如果存在，请求出

点0的坐标，不存在，请说明理由.

13.(24-25九年级下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)综合与探究：

如图，直线N=x+3与x轴交于点儿与y轴交于点&抛物线1，=-、2+加+。经过点/,B,与x轴的另一

个交点为点C.

备用图

(I)求抛物线的解析式；

(2)点P是第二象限内抛物线上•动点，连接求四边形力OBP面积的最大值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△力8G是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存

在，请说明理由.

14.（24-25九年级下•广东惠州•开学考试）如图，已知抛物线尸加+历一。（”工。）的顶点坐标为。（2,-1）,

且与y轴交于