湖南省九校联盟2026届高三第二次联考（3月）数学试题（学生版+解析版）

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2.全集U={1,2,3,4},2∈B,且B≌U,则满足条件的集合B的个数为()3.在平行四边形ABCD中，,BE与AC交于点R,若AR=mAC,则m的值为()4.已知圆C₁:(x-1)²+y²=1与圆C₂:(x+2)²+(A4B.6C.4或6D.16或36A.√21C8.在平面直角坐标系中，曲线y=√4-x²绕着y轴旋转一周A.√3B.√3-1C.√2二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列说法正确的是()10.已知数列{an}的首项a₁=3,且满足,下列说法正确的有()A.a₂=2C.数列{(an-1)(a+1-1)}的前nD.设AB的中点的横坐标为s,三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)14.如图，要用2n个元件组成一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为,在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为Xn,则E(X₄)=.,nnB四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a₂+a₃=0,5a₂+a₄+2=0.(1)求数列{a,}的前n项和Sₙ;(2)记bₙ=2“,数列{b}的前n项积为Tₙ,求T+Sn的最小值.16.我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费x;(单位：百万元)和年销售量y;(单位：百万辆)关.现有①y=bx+a和②y=nlnx+m两种模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a,b,m,n均为常数.(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?A省购买一辆该新能源汽车的概率分别为p²,3p-1,两人补贴总金额的期望值的取值范围.参考数据：√403≈20.1,√64.9636=8.06.相关系数(1)求抛物线T的标准方程；(2)若线段AB中点的纵坐标始终为1,求|AF|+|BF|的取值范围；(3)已知直线x=m与T相交于P,Q两点，直线X=n与T相交于C,D两点(点P,C在x轴的上方),若|CD|=4|PQ,四边形PQDCAB=2AD=4,AD⊥BD,二面角P-AD-B(1)设平面QPCn平面PAD=l,求直线l与直线AD的夹角大小；(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值的最大值；(3)设N为侧棱PC上一点，四边形AENF是过A,N两点的截面，分别交PD,PB于E,F两点，其中19.设函数f(x)=x³-ax-b,x∈R,a,b∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当a=2,b=0时，函数f(x)的图象上有且仅有2个点到原点距离为d,求d的取值范围；(3)函数f(x)的图象上是否存在唯一的一组点A₁,A₂,…,A,构成正n多边形，n∈N且n≥3?若存在，请求出所有满足条件的n以及对应a的值；若不存在，请说明理由.湖南省九校联盟2026届高三第二次联考(3月)数学试题一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z满足z(1+i)=2+i,则z在复平面上对应的点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限【答案】D【解析】【分析】先由复数的除法运算法则求得复数z,再由复数的几何意义求解即可【详解】因为z(1+i)=2+i,所以z在复平面上对应的点所在的象限是第四象限，2.全集U={1,2,3,4},2∈B,且B≌U,则满足条件的集合B的个数为()A.8【解析】【详解】因为全集U={1,2,3,4},2∈B,且B≌U,所以B可能为{2},{1,2},{2,3},{2,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,2,3,4即集合B的个数为8.3.在平行四边形ABCD中，,BE与AC交于点R,若AR=mAC,则m的值为()【解析】【分析】根据向量共线定理和向量的平行四边形定则求解即可.【详解】因为B,R,E三点共m+3m=1,解得4.已知圆C₁:(x-1)²+y²=1与圆C₂:(x+2)²+(y-4)²=a²(a>0)相切，则a=()A.4B.6C.4或6D.16或36【答案】C【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解.【详解】圆C₁:(x-1)²+y²=1的圆心为(1,0),半径r=1,圆C₂:(x+2)²+(y-4)²=a²(a>0)的圆心为(-2,4),半径r₂=a(a>0),综上，则a=4或6.5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=4,且f(0)=0,则f(2026)=()A.0【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出f(x)的周期，结合函数周期性求值即可.【详解】因为f(x+2)+f(x)=4,所以f(x+4)+f(x+2)=4,所以f(x+4)+f(x+2)=f(x+2)+f(x),即f(x+4)=所以f(x)是周期为4的周期函数.所以f(2026)=f(506×4+2)=f(2).f(x+2)+f(x)=4中，令x=0,则f(2)+f(0)=4,所以f(2)=4.因此f(2026)=4.6.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,则VABC一定为()A.直角三角形B.等腰三角形【解析】所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状.【详解】在VABC中，即asinC=bcosA+acosB,AcosB=sin(A+B),即得sinAsinC=sinC,A=1,结合A∈(0,π),可得7.设0为坐标原点，F₁,F₂是的左、右焦点，若在双曲线上存在点P,满足三角形F₁PF₂的面积为√3b²,|OP|=√5a,,则该双曲线的离心率为()A.√21C.√5【答案】B【解析】【分析】利用已知|OPI=√5a,双曲线定义和△F₁PF₂的面率.【详解】设P(x,y),双曲线焦点F₁(-c,0),F₂(c,0),又因为△F₁PF₂的面积S=√3b²,所以因为P在双曲线上，满足所以化简得代入a²+b²=c²,约去得4a²=3b²,因此离心率： 8.在平面直角坐标系中，曲线y=√4-x²绕着y轴旋转一周得到一个旋转体Ω,在Ω中放入4个半径为r的小球，四个小球均与旋转体Ω的表面以及开口平面相切，则小球半径r的最大值为()【解析】【详解】将y=√4-x²两边同时平方，得y²=4-x²,即x²+y²=4(y≥0),所以曲线y=√4-x²表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分，该曲线绕着y轴旋转一周得到一个旋转体Ω是一个半径为2的半球，四个小球均与旋转体Ω的表面及开口平面相切，且四个小球两两相切，此时四个小球的球心构成一个小正方形。设四个小球的球心分别为0,O₂,O₃,O₄,小正方形的中心为0,半球的球心为0₀,连接0₀0,0₁0,0₀0₁,则0₀0垂直于小正方形所在平面，O₁0为小正方形的对角线的一半，0₀O₁为半球的半径减去小球的半径，即2-r,因为r>0,所以r=-1+√3.二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列说法正确的是()【解析】【分析】根据众数以及百分位数的概念可判断AB;根据二项分布的期望以及性质即可判断C;根据独立性检验的原理可判断D.【详解】对于A,数据1,2,2,2,3,3,3,4,5中，2出现3次，3也出现3次，因此众数是2和3,A错误；由于25%×8=2,故数据-3,-1,3,7,8,9,11,15的第25百分位数是,B正确；对于D,由于x²=9.850>xoo₁=6.635,故依据α=0.01的独立性检验，拒绝原假设(原假设为X与Y独立),可判断变量X与Y不独立，D正确.10.已知数列{an}的首项a₁=3,且满足,下列说法正确的有()A.a₂=2C.数列{(aₙ-1)(a+1-1)【解析】【分析】代入计算可判断A;根据等差数列定义计算可判断B;根据裂项相消法计算可判断C;根据作商法计算可判断D.对于A,由题意可得2a₂-a₁=1,对于C,由B可知，naₙ=3+(n-1)则Sₙ=(a-1)(a-1)+(a₂-1)(a₃-1)+(a₃-1)(a₄-1)+…+(aₙ-斜率为k₁,直线NB的斜率为k₂,则下列说法正确的是()【解析】所以椭圆的短轴长为2b=4√2,故A正确；由上分析知，椭圆E的方程因为点A、F、N能构成三角形，所以直线AB的斜率不为0,可设直线AB:x=ty+1,代入椭圆E:8x²+9y²=72,得：8(ty+1)²+9y²=72,整理得：(8t²+9)y²+16ty-64=0.设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),所以M(9,y₁),故直线MB的方程为：因为Y₁≠y₂,令y=0可得，,即N(5,0).设四边形AOBN的面积为S,三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)【解析】【分析】令f(x)=0可得tanwx=-2,结合正切函数周期性可得@=±2,代入求解即可.【详解】令f(x)=2sinwx+4cosox=0,可得tanwx=-2,【答案】【解析】【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值.【详解】由3.9ᵇ=3,得34·3²b=3a+2b=3¹,即a+2b=1(b>0),再结合a+2b=1,的最小值为√2.14.如图，要用2n个元件组成一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正每个元件正常工作的概率为,在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为Xn,则E(X₄)=.BBn【答案】【解析】【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统M;,其损坏的元件个数为Y,i=1,2,…,n,可得【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统M,其损坏的元件个数为Y,i=1,2…,n,,可得则Y∈{0,1},可得四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1)求数列{a,}的前n项和Sn;(2)记bₙ=2”,数列{b}的前n项积为Tₙ,求Tn+Sn的最小值.【解析】【小问1详解】由5a₂+a₄+2=0得：5(a+d)【小问2详解】因为函数y=2′+t是关于t的单调递增函数，因此t最小时，y取得最小值，因为t的最小值在n=2时取得，即tmin=-4,16.我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费x;(单位：百万元)和年销售量y;(单位：百万辆)关.现有①y=bx+a和②y=nlnx+m两种模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a,b,m,n均为常数.(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?(2)为刺激消费，A省出台了以下补贴政策：每购买两人补贴总金额的期望值的取值范围.参考数据：√403≈20.1,√64.9636=8.06.相关系数【答案】(1)模型②的拟合程度更好【解析】【分析】(1)利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度(2)根据已知得该省对甲、乙两人补贴总金额的期望值为6000(p²+3p-1),结合二次函数的性质求范围.【小问1详解】设模型①和②的相关系数分别为r₁,r₂,由题意可得：所以|r|<|r2|,由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.【小问2详解】由题意，甲乙买车的总数量X可能值为0,1,2,P(X=0)=(1-p²)[1-(3p-1)]=2-3p-2pP(X=1)=p²[1-(3p-1]+(1-p²)(3p-1)=-6p³+3P(X=2)=p²(3p-1)=3p³-p²,该省对甲、乙两人买车数量期望值为E(X)=0×(2-3p-2p²+3p³)+1×(-6p³+3p²+3p-1)+2×(3p³-p所以两人补贴总金额期望值为6000(p²+3p-1),上单调递增，17.在抛物线I:y²=2px(p>0)中，直线l与T交于A,B两点，F为T的焦点.当直线l为y=x-4时，(1)求抛物线T的标准方程；(2)若线段AB中点的纵坐标始终为1,求A|F|+|BF|的取值范围；(3)已知直线x=m与T相交于P,Q两点，直线X=n与T相交于C,D两点(点P,C在x轴的上方),若|CD|=4|PQ,四边形PQDC的外接圆圆心坐标为(s,t),求证：S+t>2.【答案】(1)y²=4x(3)证明见解析【解析】【分析】(1)联立直线与抛物线的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解，(2)联立方程可得韦达定理，根据中点坐标公式可求解,进而根据焦半径公式，结合判别式即可得(3)写出P,Q,C,D的坐标，根据|CD|=4|PQ得n=16m,根据对称性判断圆心位于x,即可根据两点距离公式代入化简求解.【小问1详解】由题意可知联立直线y=x-4与I:y²=2px(p>0)的方程可得(x-4)²=2px→x²-(8+2p)x+16=0,设A(x,y₁),B(x₂,y₂),则x+x₂=8+2p,x₁x₂=16,化简可得p²+8p-20=0,由于p>0,故p=2,(负值舍去).故抛物线的方程为y²=4x.【小问2详解】设直线l:x=my+t,A(x,y₁),B(x₂,y₂),直线l:x=my+t,与抛物线y²=4x联立可得【小问3详解】抛物线y²=4x与直线x=m相交于P(m,2√m),Q(m,-2√m),故|PQI=4√m,由于PQ//CD//y轴，根据对称性可知四边形PQDC的外接圆圆心M(s,t)在x轴上，故t=0,进而S+t>2.AB=2AD=4,AD⊥BD,二面角P-AD-B的平面角大小为日,2为AB的中点,(1)设平面QPCn平面PAD=1,求直线l与直线AD的夹角大小；(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值的最大值；(3)设N为侧棱PC上一点，四边形AENF是过A,N两点的截面，分别交PD,PB于E,F两点，其中【答案】(1)【解析】【分析】(1)作出合理辅助线，再找到两直线夹角即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出线面角的表达式，利用换元法并求导即可求出其最大值；(3)首先计算得再计算体积表达式，最后根据θ范围即可得到答案.【小问1详解】延长CQ交DA的延长线于点S,则PS为交线l,因为Q为AB的中点，AD//CB,所以A为SD的中点，所以SA=AD,因为侧面PAD是等边三角形，所以所以SA=PA,,所以所以所求角为【小问2详解】取AD的中点0,连接Q0,由AD⊥BD,则0Q⊥AD,以过0垂直于底面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，A(1,0,0),B(-1,2√3,0),C(-3,2√3,0),D(-1,0,0),P(0,√3cosθ,√3sinθ),则OA=(1,0,0),OP=(0,√3cosθ,√3sinθ),CP=(3,√3cosθ-2√3,√3sinθ设平面ADP的法向量为n=(x,y,z),设直线PC与平面PAD所成角为α,令f'(t)=0,结合t的取值范围可知t=2-√3,C【小问3详解】,解得因为,所以(1)讨论函数f(x)的单调区间；【解析】进而利用换元法，根据方程有解，结合基本不等式以及对勾函数性质可得【小问1详解】恒成立，此时f(x)在(-∞,+)单调递增，故单调递增区间为(-∞,+),无单调和和【小问2详解】则a²=x²+y²=x²+(x³-2x)²令t=x²,则g(t)=t³