2026年高考数学函数性质解题技巧考试及答案

2026年高考数学函数性质解题技巧考试及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-22.若函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)3.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）A.0B.1C.2D.34.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π5.若函数f(x)=x²-2ax+3在区间[-1,2]上的最小值为1，则a的取值范围是（）A.[-1,3]B.[-2,4]C.(-∞,-2]∪[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)6.函数f(x)=e^x-x在R上的零点个数是（）A.0B.1C.2D.无数7.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点（1,0）对称，则f(-1)的值为（）A.-2B.2C.-1D.18.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|在区间[1,3]上的最大值是（）A.1B.2C.3D.49.函数f(x)=sin(x)cos(x)+cos²(x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π10.若函数f(x)=x²-ax+b在x=1和x=3时取得相同的最小值，则f(2)的值为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.函数f(x)=2cos²(x)-sin(2x)的值域是_________。12.函数f(x)=x³-3x+2的极小值点是_________。13.若函数f(x)=logₐ(x+1)在x→-1时极限存在，则a的取值范围是_________。14.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值点是_________。15.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是_________。16.若函数f(x)=x²-2ax+1在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是_________。17.函数f(x)=e^x-x的零点近似值（保留一位小数）是_________。18.函数f(x)=x³-3x+1的图象对称中心是_________。19.函数f(x)=|x-1|+|x-3|在区间[0,4]上的最大值是_________。20.若函数f(x)=sin²(x)-cos(x)在[0,π]上的最大值是_________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）22.函数f(x)=|x|在R上处处可导。（）23.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π。（）24.函数f(x)=e^x-x在R上有且仅有一个零点。（）25.函数f(x)=x²-2x+1在区间[0,3]上的最小值是0。（）26.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是0。（）27.函数f(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期是π。（）28.函数f(x)=logₐ(x)在a>1时单调递增。（）29.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于原点对称。（）30.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1,2]上单调递减。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.求函数f(x)=x³-3x+2的极值点及对应的极值。32.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期，并说明理由。33.若函数f(x)=logₐ(x+1)在x→-1时极限存在，求a的取值范围。34.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值是多少？在哪个点取得？五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间[-1,2]上的最小值为1，求a的取值范围。36.求函数f(x)=e^x-x的零点个数，并说明理由。37.函数f(x)=sin²(x)-cos(x)在[0,π]上的最大值是多少？在哪个点取得？38.函数f(x)=|x-1|+|x-3|在区间[0,4]上的最大值是多少？在哪个点取得？【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：f'(x)=3x²-a，f'(1)=3-a=0，解得a=3。2.B解析：f(x)=logₐ((x-1)²+2)，(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，需a>1。3.C解析：f(x)=|x-1|+|x+1|表示数轴上x到1和-1的距离和，最小值为2。4.A解析：sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小正周期为π。5.D解析：f(x)=(x-a)²+3-a²，对称轴x=a，分情况讨论：-a∈[-1,1]，最小值在x=1或x=2，f(1)=4-2a，f(2)=1-2a，需最小值为1，解得a=3（舍）。-a∈[1,2]，最小值在x=1，f(1)=1-2a=1，解得a=0（舍）。-a∈[2,+∞)，最小值在x=2，f(2)=1-2a=1，解得a=0（舍）。综上，a∈(-∞,-1]∪[3,+∞)。6.B解析：f'(x)=e^x-1，f'(x)=0得x=0，f(0)=1，f(x)在(-∞,0)递减，(0,+∞)递增，唯一零点x=0。7.A解析：f(x)关于(1,0)对称，则f(1+x)=-f(1-x)，代入f(x)得f(2)=-f(0)=0，f(x)=-x³+3x-2，f(-1)=-(-1)³+3(-1)-2=-2。8.C解析：f(x)在[1,3]上单调递增，最大值在x=3，f(3)=|3-1|+|3-2|+|3-3|=3。9.A解析：f(x)=sin(2x)+1/2，周期为π。10.A解析：f(x)=(x-1)²+b-1，对称轴x=1，f(1)=b-1，需f(1)=f(3)，解得b=3，f(2)=1+3-1=0。二、填空题11.[-1,3]解析：f(x)=1-sin²(x)-sin(2x)=1-sin(2x)+cos²(x)，周期为π。12.x=1解析：f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，f''(1)=6>0，极小值点x=1。13.(0,+∞)解析：logₐ(x+1)需x+1>0且a>0,a≠1，极限存在需定义域为实数，a>1。14.x=1.5解析：f(x)在x=1.5处取得拐点，且f(1.5)=1。15.2π解析：sin(x)和cos(x)周期均为2π。16.a≤1解析：f'(x)=2x-2a，需f'(x)≥0对x∈[1,2]成立，解得a≤1。17.0.6解析：f'(x)=e^x-1=0得x=0，f(0)=0，零点在(0,1)区间，f(0.5)>0，f(0.6)<0，零点在(0.5,0.6)。18.(1,0)解析：f(x)=-x³+3x-2，对称中心为(1,0)。19.4解析：f(x)在x=2处取得最小值1，在x=0和x=4处取得最大值4。20.3/4解析：f(x)=1/2-cos(2x)/2-cos(x)，f'(x)=sin(2x)/2+sin(x)，最大值在x=π/2，f(π/2)=3/4。三、判断题21.√22.×解析：x=0处不可导。23.×解析：周期为2π。24.√25.√26.√27.√28.√29.×解析：f(x)=-x³+3x-2，图象不对称。30.√解析：f(x)在[1,2]上单调递减。四、简答题31.解：f'(x)=3x²-3，f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，极小值点x=-1，f(-1)=5；f''(1)=6>0，极大值点x=1，f(1)=0。32.解：f(x)=sin(x)+cos(2x)=sin(x)+1-2sin²(x)=-2sin²(x)+sin(x)+1，周期为2π。33.解：logₐ(x+1)需a>1，极限存在需定义域为实数，a>1。34.解：f(x)在x=1.5处取得最小值1，在x=0和x=4处取得最大值4。五、应用题35.解：f(x)=(x-a)²+3-a²，对称轴x=a，-a∈[-1,1]，最小值在x=1或x=2，f(1)=4-2a，f(2)=1-2a，需最小值为1，解得a=3（舍）。-a∈[1,2]，最小值在x=1，f(1)=1-2a=1，解得a=0（舍）。-a∈[2,+∞)，最小值在x=2，f(2)=1-2a=1，解得a=0（舍）。综上，a∈(-∞,-1]∪[3,+∞