2025-2026学年人教A版高中数学必修第二册课时达标：第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例

6.4.3余弦定理、正弦定理

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

选择题

1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得4c的长度为4m,Z

A=30°,则其跨度A8的长为（）

——

A.12mB.8m

C.3V3mD.4V3m

2.一艘船自西向东匀速航行，上午1（）时到达一座灯塔尸的南偏西75°距塔

68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这艘船的航行速度

为（）

nmile/hB.34Vsnmile/h

C.竽nmile/hD.34或nmile/h

3.若某人在A点测得金字塔顶端仰角为30°,此人往金字塔方向走了80米到

达B点，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身

高）（）

A.110米B.112米

C.220米D.224米

4.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两

端的两点到点。的距离，已知AC=BC=1km,且NACB=120°,则两点诃的

距离为（）

A.V3kmB.V2km

C.1.5kmD.2km

5.如图，从气球A处测得其正前下方的河流两岸民C的俯角分别为75°,3（）。，

此时气球的高度AD是60m,则河流的宽度BC是（）

A.240(V3-l)m

B.180(V2-l)m

C.120(73-l)m

D.30(V3+1)m

6.起重机装置示意图如图所示，已知支杆BC=\0m,吊杆AC=15m,吊索

AB=5V19m,起吊的货物与岸的距离4。为()

A.3°mB萼m

C.15\/3mD.45m

7.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站4发现其北偏东45°,与观测站A距

离20>/2nmile的B处有一货船正匀速直线行驶泮小时后,又测得该货船位于观

测站A东偏北0(0°3<45°)的。处，且cos〃弓已知4c两处的距离为1()nmile,

则该货船的船速为()

A.4V85n

C.2V7nmilc/hD.4x/6nmilc/h

二.填空题

8.坡度为45°的斜坡长为100m,现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长—

m.

9.如图，两座相距60m的建筑物ABCD的高度分别为20m,50为水平

线，则从建筑物AB的顶端A处看建筑物CD的张带为.

10.（探究点一）一架飞机在海拔8000机的高度飞行，在空中测出前下方海岛

两侧海岸的俯角分别是30。和45。,则这个海岛的宽度为九（精确到01

11.（探究点三（角度2））已知甲船在岛B的正南方A处＜3=1（）n疝及,甲船以4n

mile/h的速度向正北方向的岛区航行，同时乙船自岛B出发以6ninilelh的速度向

北偏东6（）。的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.

12.（探究点二.2025市庆高一期中）某同学为测量一座大楼的高度CD在该大

楼的正西方向找到一座建筑物A&高为15也在地面上点E处（4CE三点共线）测

得建筑物顶部B、该大楼顶部D的仰角分别为30。和45。,在B处测得该大楼顶部

D的仰角为15。,则该大楼的高CD为m.

三.解答题

13.岛4观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以10nmilc/h的速度向

东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前

往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东750方向且相距10nmile

的C处,随即以10V3nmile/h的速度前往拦截.

⑴海监船接到通知时，距离岛A多少海里？

（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.

14.如图，游客从景点A下山至。有两种路径:一种是从A沿直线步行到C,另

一种是先从A乘缆车到£然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下

山.甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从4乘缆车到民在B

处停留1min后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到8要8min,AC长为1260m,

若cosA],sin.为使两位游客在。处互相等待的时间不超过3min,求乙步行

1365

的速度y（单位:m/min）的取值范围.

15.在某次地震时，震中4（产生震动的中心位置）的南面有三座城市BCD,三

座城市在同一直线上.已知B,C两市相距20km,C,D两市相距34km,C市在B,D

两市之间，如图所示.某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20s后D

市感到地表震动.已知震波在地表传播的速度为1.5km/s,求震中A到BCD三市

的距离.

A[北

(O

BD

6.4.3余弦定理、正弦定理

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

选择题

1.D

由题意知,NA=NB=30°,

所以NC=180°-30°-30°=120°,

由正弦定理，得第=当，

sinCsinB

即AB二"陋=4sin120=4V3(m).

sinBsin3O°'7

2.A

如图所示，在△EWV中，由正弦定理，得=_整

sin45sinl20

:.MN=34巫nmile,

・,•航行速度v=—=nmilc/h.

42

3.A

如图,CO为金字塔，

设CD=h米，

文NDBC=NBDC=45°，古攵BC=/z米.

在中,A8=80米,/。4。=30°,

则由已知，得ACtanZDAC=DC,

即(80+〃z勺=力,解得〃=40(75+1)=109.选项A最接近.故选A.

3

4.A

*艮据余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSC,

：.AB=y/AC24-BC2-2ACBCcosl200=J1+14-2x1x1x1=V3(km).

5.C

由题意知，在RtAADC中,NC=30°^4D=60m,

，AC=120m.

在△ABC中,NB4C=75°-30°=45°,Z4BC=180°-45°-30°=105°,

由正弦定理，得8C=喘费=塞二120(屏l)m.

4

6.B

在△ABC中,AC=15m,BC=10m,

由余弦定理得

AC2+BC2-AB2152+l()2-(5g)21

cosZACB=

2ACBC2x15x10P

：.sinZACB=—.

2

又NACB+/ACO=180°,

sinNACO=sinZACB=—.

2

在RIAADC中左。=4Csin/AC£)=15x曰=早m.

7.A

因为cos9=±,()°<0v45°,所以sinO=0,cos(450-9)=—x-+—x-=—.

55252510

在△ABC中IC2=Q()&)2+1()2-2X2()V2X10X^=340,

所以8C=2屉，该货船的船速为幸二4俄nmile/h.

二填空题2

8.50(V6-V2)

画出示意图，如图所示.

BD=100m,ZBZ)A=45o,ZBCA=30°,

设CZ)=xm,则Q+£M>tan30°=DAtan45°,

又因为£>A=3Ocos450=100x^=50V2(m),

所以尸处eJ"二史学-50&50(遍-伪.

tan30v3

9.45°

依题意可得A/>=2OVT5,AC=3OV5,RCO=50,所以在AACO中,

4c2+AM-CD2(30百)2+(20函)2-5。2

由余弦定理的推论得cosZCAD=

2ACAD2x30>/5x20x<10

6000_y/2

6000>/2-2'

又0°<NC4O<180°，所以NCAO=45°,

所以从顶端4处看建筑物的张角为45°.

10.5856.4海岛的宽度为黑;-鬻浮856.4(m).

11—如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为/h,距离为snmile,此时甲

14

船到达C处,则甲船距离B岛(104)nmile,乙船距离B岛6fnmile,所以由余弦定

222

理，得cos]20。=⑹;二常;与化简，得$2=28人20什100,所以当片瑞=亮时

取最小值，即当甲、乙两船距离最近时，它们所航行的时间是三h.

1230在中乃仁焉二3。;在RtZV)CE中,四二部=四8

由题图可知180°-30°-45°=105°,易知NEBD=45°,在ABED中,N

E£)^=180o-105o-45o=30°,

根据正弦定理可得*-=所以OE二型网竺.

sin30°sin45Q,sin300'

所以CQ二任竺•义二30.

sin30°y/2

三.解答题

13.

⑴根据题意得NBAC=45°,NA8C=75°J?C=1(),

所以NAC8=180°・75°-45°=60°.

在△ABC中，由。一=—,

sin£ACBsinz.fi/lC

„BCsinz.ACB10sin60010xT仁F7,t\

仔AB=-............=————=-^-=5V6(nmile).

sin£BACsin45匹

所以海监船接到通知时,距离岛A5V§nmile.

⑵设海监船航行时间为rh,

贝IBD=10x/3rnmile.CD=10rnmile.

又因为N8CD=1800-ZACB=180°-60°=120°,

所以BD2=BC2+CDcos120°,

所以300尸=100+100尸-2xl0xl0，x(-m，所以2^-1=0,

解得/=1或/=9(舍去).

所以CD=10,BC=CD,

所以NC5Z)=S(180°-120°)=30°,

ZABD=150+30°=105°.

所以海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1h.

14.

在〉ABC中，:cosA=||,sinB=^|,

AsinA=Vl-cos2/l=Jl-(1|)2=高

由正弦定理，

1260x^

ACsinA

得BC==500(m),

sinB63

65

乙从B出发时，甲已经走了50x(2+8+l)=550(m),