过关检测4 统计与概率-2026新高考数学二轮复习突破训练

专题过关检测四统计与概率

（分值.150分）

一'选择题:本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1.（2025上海普陀二模）某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相

同,只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后,要判断自己能否进入决赛,

则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（）

人平均数8.众数

C.中位数D方差

2.（2025湖北黄冈模拟）已知随机变量X~N（5,/）,且P（3<X<7）=肛P（4<X<6）=〃,则P（3<X<6）的值为（）

3.（2025安徽黄山二模）为了解某市居民用水情况.通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：1）.招

该数据按照[124.2）,[427.2）,…,[252.28.2],分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要对节约用水的用户予

以表弦制定了一个用水量标准尤使表彰的居民不超过15.4%,则以下比较适合作为标准K的为（）

A.3.21*5t

05041D.15.7t

4.（2025江苏南通二模）有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为

（）

4.18及36

C.72D.I44

5.（2025辽宁模拟）某校团委对“是否喜欢冰雪运动叮学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相

同，男牛•中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的I女生中喜欢冰雪运动的人数占女牛.人数的;，若根据小概率值。=0.1的

独立性检验，可以认为是否喜欢冰史运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（）

附六号篇篇

a0.10.050.01).0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

4.54848C.420.36

6.(2025湖北黄冈模拟)根据变量Ki和x的成对样本数据,由一元线性回归模型:%'2得到经验回归

(E®)=0,D(ej)=d，

模型y=b"+ai,对及的残差如图(1)所示.根据变量匕和x的成对样本数据，由一元线性回归模型②

［靠)誓花2；为得到经验回归模型y=叱+。2,对应的残差如图⑵所示，则()

f残差

-2•一•：・・]

~00.51.01.52.02.53.0x

(1)

t残差

3

2

-31~~-―-~~■~~■~~■—■~►

00.51.01.52.02.53.0x

(2)

4模型①的误差满足一元线性回归模型的E⑶)=0的假设，不满足。(臼)=於的假设

8.模型①的误差不满足一元线性回归模型的EM=0的假设，满足。3)=布的假设

C.模型②的误差满足一元线性回归模型的E(G)=0的假设,不满足5/)=布的假设

。.模型②fi勺误差不满足•元线性回归模型的£(/)=()的假设，满足。3)=布的假设

7.(2025江西愚潭一模)已知(1+2¥)"=。0+0*+白42+川3+...随机变量dNI,：L若/=£(,£)©,则

。］+。2+。3+…+小的值为()

4.818.242

C.243D.80

8.(2025江苏南京模拟)为备战乒乓球赛，某体校甲、乙两名主力进行训练，规则如下:两人每轮分别与老师打2局，当两

人获胜局数不少于3局时,则认为此轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为pig,且满足

小+0=/每局之间相互独立.记甲、乙在〃轮训练中训练过关的轮数为X,若£(X)=16.则从期望的角度来看.甲、乙两

人训练的轮数至少为()

4.284.24

C.327).27

二'选择题:本大题共3小题.每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得

6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9.(2025江苏南通二模)每年4月23日为“世界读书日”，某学校为鼓励学生进行课外阅读，拓宽学生眼界,对热爱课外阅

读的班级进行表彰，规定从班级中随机抽取5位同学，统计他们一学年内阅读课外书籍的本数，若抽取的5位同学在一

学年内阅读课外书籍的本数都不低于10,则该班级被评选为“优阅班级”.以下是4个班级抽取的5位同学的统计数据:

六⑴班:中位数为11,众数为10

六(2)班:众数为12,极差为3

2

六(3)班:平均数为12.极差为3

六(4)班:平均数为12,方差为2

根据以上信息，一定被评为“优阅班城''的是()

A.六(1)班

8.六⑵班

。.六(3)班

。.六(4)班

10.(2025沏南常德一模)设样本空间。={5,678},且每个样本点是等可能的，己知事件4={5,6},B=(5,7},C={5,8},则下

列结论正确的是()

A.事件人与8为互斥事件

8.事件A.8C两两独立

C.P(ABC)=P(A)P{B)P(C)

D.P(A\C)=P(C\A)

11.(2025浙江杭州二模)如图,多面体P/tBC'。由正四面体/M8C和正四面体QM8C拼接而成，一只蚂蚁从顶点P出

发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记n次爬行后,该蚂蚁落在点P的概率为p”,落

在点。的概率为％，则()

4*

B.p3>qs

C.pn=qn

O./>2n+l<7

D

三、填空题:本大题共3小题.每小题5分，共计15分.

12.(2025沏南长沙模拟)从编号1-15的15张卡片中依次不放回地抽出两张,记事件A="第一次抽到数字为5的倍数”,

事件8="第二次抽到的数字小于第一次“，则P(8|A)=.

13.(2025江西南昌二模)某次庆典后,墙壁上的装饰品需耍取下来，如图，由于材料特性,每次能取一个，且所取的装饰品

只能々I个或。个相邻的装饰品，贝!不问的取法数杓种.

14.(2025江苏南通二模)某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选F代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定

对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮,直至最后产生冠军，其中各场比赛皓果相互独立.根据以往羟验，高三(1)班选手甲

和高三(2)班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为*除甲、乙外的其

3

他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率

为.

四、解答题:本大题共5小题,共计？7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2025湖南常德一模）某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位:千人）如下：

3月3月3月3，13月

日期

5□6口7口8口9口

第*天12345

参观人数

2.22.63.15.26.9

Y/千人

（1）建立y关于x的经验回归方程,预测第10天进入该景区参观的人数：

（2）该景区只开放东门、西门供游客出入，游客从东门、西门进入该景区的概率分别为;且出景区与进入景区选择相

44

同的门的概率为泉出景区与进入景区选择不同的门的概率为点假设游客从东门、西门出入景区互不影响、求甲、乙两

名游客都从西门出景区的概率.

55

附参考数据：£wy尸72,三*=55,歹=4.

i=li=l

n

A

AA△£xtycnxyA"

参考公式:经验回归方程y=bx+a,其中b=裳----LT，。=y-bx.

£xj-nx

t=i

16.（15分）（2025八省联考,15）为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行/动物（单位:只）试验，得到如下列联表:

疾病

药物合计

未患病患病

未服用10080S

服用15070220

合计250t400

⑴求s,t\

（2）记未服用药物A的动物患疾病B的概率为给出p的估计值；

（3）根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效?

n(ad-bc)2

附

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.050().0100.001

Xa3.8416.63510.828

17.（15分）（2025浙江台州二模）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环

保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万,且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调

查结果为

了解情况非常了解一般了解不了解

人数/人58032010()

（1）从该市成年人口中随机抽取I人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；

（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%

转变为“•般/解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后,从该市成年人口中随机抽取3人，记X为

其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.

4

18.（17分）（2025陕西宝鸡二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,

分别对应如下五组质量指标值:[45,55）,[55,65）,|65,75）,[75,85）,[85,95].根据长期检测结果.发现芯片的质量指标值X服

从正态分布N（/,d）,现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

频率/组距

455565758595质量指标值

⑴根据检测结果,样本中心片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数X作为4的近似值,用样本标准差s

作为。的估计值河得到X服从正态分布M〃d）,求a和/，的值；

（2）从样本中质量指标值在[45、55）和[85,95]的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85.95]的芯片件数为〃、求//的

分布列和数学期望；

（3）将指标值大于K的芯片称为A等品，通过对芯片长期检测发现，在生产线上任意抽取一件芯片-，它为A等品的概率

为0.16,用第（1）问结果试估计K的值.

（附:丽一组中的数据用该组区间的中点代表;曾渗考数据:若随机变量e服从正态分布M/4标）,则

户06827,夕（〃3★£〃+2。户0.9545/依3。60,+3。户0.9973.）

19.（17分）（2025山东潍坊一模）“维空间中点的坐标可以表示为其中Mi=123,…川为该点的第i个坐

标.定义n维空间中任意两点人（用用田,……词之间的平均离差二乘距离d（A,B）=-£（即-刈?.设n维空间

n

点集M={(XI/24…*%)|H=0或I,其中i=l,2,3,…,〃}(〃22).

⑴若〃=3A3UM,且点40,l,0）d（as）W，写出所有的点I）的坐标;

3

（2）任取n维空间中的不同两点P.QWM

(1)若〃=4.求d(P、Q)=#Xj概率;

（方）记随机变量X=d（P,。）,求氐玲的取值范围.

5

答案：

1.C解析因为19位同学的积分，中位数是第10名,所以知道中位数即可判断是否在前10•故选C.

2.A解析因为随机变量X~M5,/),P(3VX<7)="[,P(4<XV6)=〃,所以

P(3vX<6)=P(3vXW5)+P(5<X<6)=1P(3<Xv7)+；P(4<X<6)=用故选A.

3.A解析由题意及0.077x3=0.231>0.154.则0.077x(41.2)=0.154,可得x=3.21.故选A.

4.B解析设5个位置依次为1,2,345特殊元素优先考虑，女生甲不在两端,则只能在中间3个位置，两女生不相邻，则

①甲在位置2,另一个女生只能在4或5,有2种选择；

②甲在位置3,另一个女生只能在1或5,有2种选择；

③甲在位置4.另一个女生只能在I或2,有2种选择.

根据分类加法计数原理,两个女生的排法共有2+2+2=6种，剩余3个男生为全排列有A^=6种排法，根据分步乘法计数

原理，不同排法总数为6x6=36.故选B.

5.D解析零假设为是否喜欢冰雪运动与学生性别无关.

设男生人数为6〃(〃£N)因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为6〃(〃£N)根据题意列出列联表：

是否喜欢冰雪运动男生女生合计

喜欢冰雪运动5〃4〃9n

不喜欢冰雪运动n2”3〃

合计6〃6〃⑵

则六】2吃2：丁=等=:.因为根据小概率值a=0.1,可以判断M不成立，即认为是否喜欢冰雪运动与学生性别

人6n-6n-9n-3n972nd9

有关，所以/22.706,即装22.706,解得6〃》36.531,又〃EN：所以A,B,C项正确,D项错误.故选D.

6.A解析对于残差图(I)对应的散点,随机误差满足凤4)=0的假设，但是方差后1随着x的变化而变化，不满足

。(臼)="的假设；

对图(2)对应的散点，均匀分布在水平带状区域内,随机误差满足风及)=0的假设，方差布不陵式的变化而变化，满足

/)(。2)=母的假设.故选A.

7.B解析因为随机变量式则二

44

因为(1+2r)"=4o+，“K+a2r2+au?+…+〃,炉,则at=C}-2=2n,a2=Cj-22=2n(n-1),

所以色=々="解得〃=5,

a22n(n-l)n-14

令/(1)=(1+2^)5=ao+a\x+a2X246/xV4+(i5X5,

所以火0)=。0=1J(l)=(1+2)5=〃0+〃|+〃2+〃3+〃4+。5,

故a।+«2+«3+a4+as=35-1=242.故选B.

8.D解析由题可得，甲、乙两人通过训练的概率为p=C^/?!(l-pi)P2+1+P\P2--^P1P2+斯〃2,因为

〃32>00+0=*所以由基本不等式，得pgW如科=

当且仅当〃1=P24时,取等号，则-3p弼+驯/=-3(p朝-如龙+串+黑-3(〃中2』2+杯<号

又注意到甲、乙在"轮训练中训练过关的轮数X满足二项分布，则E(X)=〃〃=16,结合可得”216X^=27,故D

2716

正确.故选D.

9.ACD解析对于A,设六(1)班的这5位同学的阅读课外书籍的本数为片工用足用(自左向右按照从小到大顺序)，因

为中位数为11,则X3=ll,又众数为10,则M=X2=10,所以该班级一定被评为“优阅班级''，故A正确;

6

对于B,举反例，如六(2)班这5位同学的阅读课外书籍的本数为9,10,11,12,12,满足众数为12,极差为3,故B锌误;

对于C,设六(3)班的这5位同学的阅读课外书籍的本数为x02用内心(自左向右按照从小到大顺序)，由平均数元=12,极

差为3,即xs-xi=3.若xiW9,则xs-3W9,解得xsW12,这与三=12矛盾，故3仔10,故C正确;

对于D.设六(4)班的这5位同学的阅读课外书籍的本数为TK2K3K4K5(自左向右按照从小到大顺序)，设平均数元=12,方

差$2=2,则2=3(为-12)2+3-12-+(»12)2+(A-4-12):+(.V5-12)2],

所以(xi-12)2+(.112)2+g12)2+(X4-l2)2+(心12)2=10.

若巾这8,则(川-12)2》16>10,与上式不符，不符合题意，若x19,由歹=12,则心>12,上式不成立，不符合题意，所以制210,故

D正确.故选ACD.

10.BD解析对于选项A,因为人08=|5｝,所以事件人与8不互斥，故A借误；

对于选项B,P(AC)=P(8C)=P(AB)=：,P(A)=P(8)=P(C)=；,P(48)=P(A)P(B),P(AC)=P(4)P(C),P(8C)=P(B)P(C),故B正确;

对于选项CABC交集为｛5｝、则P(ABC)=^P(A)P(B)-P(C)=^C错误；

对于选项D,P(A|C)=*=；/(。W=瞥=占故D正确.故选BD.

Pn+l=：G，

11.ACD解析设记〃次爬行后,该蚂蚁落在点A或8或C的概率为%,则，rn+1=p”+%,其中

Qn+l=：%，

pi=0，i=l,qi=0,

计算易得〃2=；q=；,碓4〃3=缄=23=，4=9,故A,C正确,B错误；

444o4oio

由原方程组可得为+2=，力+|+],则%+2+/”+1=为+1+，",所以为常数列，且%+]+%=1.①

同理r—+1=-如+1"”),且止n=1,所以小+・广”=(一)",②

由。^笏T知,”=9一：(3)",所以pu+i=；hr=D4<；,故D正确.故选ACD.

33Z4664”6

124解析由题意，在1~15这15个数字中,5的倍数有5,10,15.共3个，所以事件A发生的概率P(A)=="记事件

A8表示"第一次抽到数字为5的倍数且第二次抽到的数字小于第一次”

若第一次抽到5,那么第二次从剩下14张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法；

若第一次抽到10,那么第二次从剩r14张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法；

若第一次抽到15,那么第二次从剩二14张卡片中抽小于15的卡片，有14种抽法.

所以/")=把沪=券

A1570

根据条件概率公式,P(B|4)=鬻=幸=2

故答案为

13.216解析将这7个小球编号如下图所示：

分以下两种情况讨论:

7

第一种，第一步，先取1,5,7号球,笫二步，再取2,4,6号球,依次取2个球，最后一步,从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法

种数为A：A扒专=72种；

第二种，将(1,2),(4,5),(6,7)视为三个整体，前三个球从其中一个整体和每支不与3号球相邻的小球中依次摸取，有6种，以

1.2.5为例，可依次为(125),(152),(5,1,2),共3种，剩余346,7号球，先从4,7号球中摸一个，有2种情况，比如先取7号

球,剩余三个相邻的小球.接下来从4.6号球中取一个，有2种情况,最后剩余两球摸取的先后顺序任意，此时不同的取法

种数为6x3x2x2x2=144.

综上所述，不同的取法种数为72+k4=216种.故答案为216.

144芸解析甲在首轮遇到乙的概率为去此时甲获胜的概率为:，甲遇到其他6名选手的概率为*此时不获胜的概

14567727

率为*所以甲获胜的概率为。=";+卜：=白+:=2

3727314714

第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为尸产"(|)2=会进入第二轮的4人中,甲和乙不相遇的概率为右且两

人均击败对手的概率为(。2,故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为上=9(。2=2所以甲、乙在第三轮

争夺冠军的概率为P=P/

Z1Z/5o/

故答案为书瑞

5

15.解⑴依题意五=±笠±2=3,而£5=72,f：x-55,歹=4,则b=号=’言X]?,a=412x3=0.4,因此

5i=li=lSx1-nx255-5x3

W・1

y=12什0.4,当x=IO时.y=1.2xl0+0.4=12.4,所以y关于x的经验回归方程为y=12t+0.4,第10天进入该景区参观的人

数约为12400人.

(2)记“甲从西门进入景区”为事件A“甲从西门山景区”为事件8:乙从西门出景区”为事件C

P(A)=：,P(万=：,P(8|A)4P(8|彳)$

4455

由全概率公式得P(B)=P(B\A)P(A)-iP(B\A)P(A)=^x；+1x^=焉同理？©=焉所以甲、乙两名游客都从西门出景区

54452020

的概率P(80=P(8)P(C)=黑.

400

16.解(】)由列联表知s=IO()+8O=18Dj=8O+7O=15O.

(2)由列联表知，未服用药物A的动物有180只，

未服用药物A且患疾病B的动物存80只，

所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为黑=9，

所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为〃=，

(3)零假设为H):药物A对预防疾病B无效，

由列联表得至U*％”*7丝5。缈z=咨W.734>6.635,

z180X220X250X150297'

根据小概率值〃=0.01的独立性检验，推断”0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效,该推断犯错误的概率不超过

0.01.

17.解⑴已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中“不了解”的人数为100名，

根据古典概型概率公式可得P啮=0.1,

所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识“不了解”的概率0=0.1.

⑵原来“不了解”的市民占比为0.1非常了解”的市民占比为福=058；一般了解”的市民占比为篇=0.32,

8

经过重点宣传后，"不了解'’的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变,所以重点宣传

后“非常了解”的概率为0.58+0.1x20%=0.58+0.02=0.6.

从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，因为每次抽取是相互独立的,且抽取

到“非常了解'’的概率都为0.6,所以X~8(3O6)、根据二项分布的概率公式%X=k)=C§0.6”(l-0.6W=0,l,23

P(X=0)=C§0.6°(l-0.6)3-0=Ix)x0.43=0.064.

P(X=l)=CjO.6'(1-0.6产=3x0.6x0.42=0.288,

P(X=2)=C10.62(l-0.6)J-2=3x0.36x0.4=0.432,

P(X=3)=C10.63=0.63=0.216.

所以X的分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因为X~4(3,0.6),根据二项分布的数学期望公式可得E(X)=3x0.6=1.8.

18.解(1)由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为1.

由题可知(0.010+H+0.040+0.015+0.010)x10=|.解得«=0.025.

所以估计从该品牌芯片的生产