二次根式的乘法与除法（六大题型）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题02二次根式的乘法与除法

(六大题型)

•题型梳理

【题型1二次根式的乘法运算】...................................................1

【题型2二次根式的除法运算】...................................................2

【题型3二次根式的乘除法运算】................................................3

【题型4最简二次根式的判定】..................................................4

【题型5化为最简的二次根式】..................................................4

【题型6已知最简二次根式求参数】..............................................4

diC题训练

【题型1二次根式的乘法运算】

1.计算下列各式：

小V3xV2e博V20xV50

(1):(2):IJJ

2.计算：

回)

⑴加>/24x(3)2bx(-3xR

(2)

3.计算:

：痴义(-45)乂(-#53)

⑴(2)

(-局(a>i0,b>0)

【题型2二次根式的除法运算】

1.计算：

(1)加工V804-V27155+36

(4)隔我

⑸g“2(6)

4百+卜5月

2.计算

⑴E月3加丁岳

(2)«3.

3.计算：

d一“

⑴您.(2)6⑶%

(4)

【题型3二次根式的乘除法运算】

1.计算:

(1)A耐(2),-22口

叫我⑶砺

a+2

2V'G+：

2.计算：

3、宓

-yrV5m⑶河⑷

(1)、；(2)44-2

2-+4片号石

3.计算：

4.计算:

(-8V35)x^-i-Jl^

a>0

⑴⑵

^75x7324-^12

⑶(4)

5.计算：

⑴后+后居⑵4“+2网-调8>0）

【题型4最简二次根式的判定】

1.下列根式中，是最简二次根式的是（)

A优B1

一V21V27

2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.师B,乐"C.yjmn(a2+b2)(m手九)口

x\/14—Xx

3.若整数能使二次根式,为最简二次根式，则的值可以是（

A.2B.5C.6D.8

4.在二次根式施，4，8,WT,"手中，是最简二次根式的（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【题型5化为最简的二次根式】

y/2Sab2(a>0,b

1.化简:

2.将E化为最简二次根式为

3.化简:

居=

4.将二次根式技化为最简二次根式，结吴是.

【题型6已知最简二次根式求参数】

1.若4=gxa,其口述为最简二次根式，'为有理数，"=.

2.若旧与最简二次根式V2t-,可以合并,贝/的值为.

3.若熊是正整数，衣是最简二次根式，则n可以是（写出一种情况即可）.

4,若最简二次根式-T与+1可以合并,则〃的值为.

5.若巧为整数，则x的最小正整数值为.

易错提醒

1.下列各式是最简二次根式的是（

2.下列运算正确的是（）

J(-6)2=-6侬=±5(口)2=-4

A.B♦C♦

(-V3)2=3

D.

i720x(-715)x(-1V4B)

3.计算：

2+2i

4.计算2V33的结果为

5.计算：

-5身居乂3岛(2):跖,(4硒)+邸

⑴

6.计算：5''

7.计算：

（原一26+闻）+273

⑵

(4V3-372)(4^+3@-6a(&时

专题02二次根式的乘法与除法

（六大题型）

•题"梳理

【题型1二次根式的乘法运算】...................................................

【题型2二次根式的除法运算】..................................................：

【题型3二次根式的乘除法运算】.................................................7

【题型4最简二次根式的判定】...................................................12

【题型5化为最简的二次根式】...................................................13

【题型6已知最简二次根式求参数】..............................................15

端专题训练

【题型1二次根式的乘法运算】

1.计算下列各式：

V3xV2V8xV32V20xV50

(1)；(2);(3)

【答案】⑴遥

16

(2)

⑶

【分析】本题考查了二次根式的乘法运算.

(1)根据二次根式的乘法法则计算即可；

(2)先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可；

(3)先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可.

的.\/3xV2=\/6

L洋解】(1)解：

V8XV32

(2)解:

=272x472

=16

⑶解：而X商

=2V5x5>/2

=10vl0

2.计算:

V24X⑶26x(—3gxR

⑴9强(2)

【答案】⑴

8V3

(2)v

-18

⑶

【分析】本撅考杳了二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法法则

履历=盾<02是解题的关键.

(1)本题需要计算当,屉根据二次根式乘法法则，将两个二次根式相乘后再化简

求值.

V24X4M

(2)本题要计算<2,利用二次根式乘法法则，先将系数与根式分别相乘,

再化简.

2百X(-3«5)XE

(3)本题计算依据二次根式乘法法则，把系数和根式部分分

别相乘后化简求值.

=^?X2N/2

【详解】(1)原式2

=yx2xV2x2

=2

=2Vax4Ji

(2)原式

=8V3

=-6x(3x15x1

(3)原式V5

=—6x3

=-18

3.计算:

7>/20x(-VI5)x(-^-V4S)

(2)

•㈠同(a>0,b>0)

60

【答案】⑴

--9a^Vab

⑵

【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键.

（1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可;

（2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可.

=襄(-1)x(-9x,20x15x48

2V37

【详解】（1）解:原式

1

=^-xl20

=60

（2）解：原式

—-Ja5b3

o

=-9a2\fab

【题型2二次根式的除法运算】

1.计算：

V80+y/2V1084-3\/6

(2)(3)

(6)

⑸

4

⑹3

【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关

键；

（1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解：

（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；

（3）化为7Tss,图，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解;

（4）化为6丁4,再根据二次根式的除法法贝!进行计算即可求解：

（5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；

（6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解.

>/75+VT5=V5

【详解】（1）解:

廊+夜=V40=2V10

（2）解:

v顿+3n

（3）解:

=V108+V54

4z一

(6)解:

“5

4V5

75

45

5X3

4

——

3

2.计算

3加丁岳

(1)（2）«々

2-

【答案】⑴3

⑵原

【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键.

（1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式;

（2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式.

y/12+

【详解】（1）解：

1?.27

12丁彳

2衣

3V20-J-

(2)解:

=2X—

=V55

3.计^•:

~O5VL6卮

⑴⑵^⑶v.

(4),(5)一/士后(6)假第.

【答案】⑴4

⑵

V42c

⑶年

V6

(4)4

_3V3

⑸4

沏

(6)

【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

(1)进行二次根式的除法运算即可；

（2）先将小数化为分数，然后将二次根式化为最简即可；

（3）进行二次根式的除法运算即可；

（4）直接进行二次根式的除法运算，然后将二次根式化为最简即可；

（5）将带分数化为假分数，然后进行二次根式的除法运算，继而化简二次根式可得出答

案；

（6）直接进行二次根式的除法运算，将所得二次根式化为最简.

/32

解：在=x/16=4

【详解】（1）

解:

雨

v宙

解:

V3o_(3a_/S_V3_V6

福一\]Ea~\J8~2Vl-T

(4)解:

(5)解:

坐1只=2而=2向

(6)解:7a&\«ayabaa

4.计算:

【题型3二次根式的乘除法运算】

1.计算：

3(2)叫22师

⑴“52

⑶⑷

二一二

2后E

【答案】⑴

5,3xy

(2)

26

3）3

Va+2

4）~

【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可;

（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可；

（3）利用二次根式的性质化简即可；

（4）利用二次根式的性质化简即可.

=2任x制

（2）原式

=2任卓亨

_5匹

y.

2愿

_2xy/y

2%

3y/x

a+2

2Va+2

(4)

(后钝2

24aT2

>[a¥2

2

【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解

题关键.

2.计算:

/ns3而

⑴西;(2)4&"⑶2后⑷

7

2而+4用非

【答案】⑴5

⑵媚

3”

(3)2

近

(4)6〃

【分析】(1)根据二次根式的性质直接化简即可；

(2)根据二次根式的除法运算法则直接化简即可；

(3)根据二次根式的性质直接化简即可；

(4)根据二次根式的除法运算法则直接化简即可.

【详解】(1)解：年

=V25

=5

(2)“5+2何

_W5

-2Vio

=2J5

=V2

3b&l

2M

(3)原式

3a

=2x4|x

(4)原式

=J36a3

【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

3.计算:

⑴V324-V4-V2“2x孚奇

(2)

【答案】⑴

8贝

(2)

而+后=l|(a>0,b>0)

【分析】(1)可利用二次根式的除法运算法则,逐步

化简计算；

(2)结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算.

【详解】(1)解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算：

=732^44-72

原式

=v,S+V2

=

=V4

=2

=gx孚x；

(2)解：原式3"

=74712

=V128

=86

【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用m,好=国

而+后=lf(a>0,b>0)

的性质，将式子统一化简后计算.

4.计算：

⑴(-8国、卜:同⑵：质.(-泗)(<1>0

b>Q

)•

⑶V75x原+E(4)。厮+啸Y

【答案】⑴1°迎

~~2

(2)

ioa

⑶

【分析】（i）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简;

（2）结合暴的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算；

（3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算；

（4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简.

=(-8)x(-i)xj35xd

【详解】(1)解:原式

=2x5a

=1072

=-xxVab3xab

(2)解：原式3'”

=—iafr2

⑶解：原式=5仔4A26

=(5x4+2)x(0x&+收

=(5x4+2)x&

=10及

(4)解：先化简各根式：

=2a\[2(a>0)M2a2a

=23唔=

原式

=2V2a2--^==.—

Q2岳a

=.学.生

a2a

=4&

【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关健是熟练掌握二次根式的乘除法则,

并结合最简二次根式的化简方法进行计算.

5.计算:

舟舟R4•目（Q>0）

【答案】（1）1

【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序

和根式的约分是解题的关键.

（1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化筒；

（2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可.

解：（1）原式

VSV3V7

___16

【题型4最简二次根式的判定】

1.下列根式中，是最简二次根式的是（

【答案】C

【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可.

【详解】解：选项A、v，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次

根式：

选项B、、2,被开方数含分母，不是最简二次根式；

选项c、因，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式；

选项D、仞=65口，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式；

故选：C.

2.下列二次根式中，属干最简二次根式的是（）

V0.12V132—12^yjmn（a2+b2）（m*n）Jz

A.B.C.D.▼

【答案】c

【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开

得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

根据最简二次根式的条件进行判断即可.

厢=启=电

【详解】解：A、^255,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B、v一：不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、5皿+〃乂朋丰兀）是最简二次根式，故本选项符合题意；

D、'2-2,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：C

xJ14—xx

3.若整数.能使二次根式为最简二次根式，则的值可以是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】D

【分析】本题考查最简二次根式.将各个选项x的值代入二次根式验证即可.

【详解】解：A：当”=2时，VI4r=<0=2吟不符合题意;

B：当'=5时，V14-x=V9=3不符合题意；

C：当、=6时，衍与=伤=2区不符合题意；

%=8V14—x=>/6

D：当时，vv,符合题意；

故选：D.

4.在二次根式回，点圾尺1VT5中，是最简二次根式的()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

根据最简二次根式的概念：(1)被升方数小含分母；(2)被升方数中小含能开得尽方的

因数或因式，进而分别判断得出答案.

V45=3V53

【详解】解:，不是最简二次根式;♦,不是最简二次根式;

1G+1

“是最简二次根式；内是最简二次根式;通三一丁，不是最简二次根

式；422,不是最简二次根式.

(3是最简二次根式的有2个，

故选：A.

【题型5化为最简的二次根式】

“V25aF(a>0,b>0)=

1.化简：').

【…答案…】5b6

【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各

b>Q

因数的算术平方根的乘积，并根据条件简化表达式.

【详解】解：因为b>Q，所以g=°b,

U25ab2=y/25x口x=5x

\/axb=5b6

①Sb^a

故答案为.

2.将E化为最简二次根式为

V3C

【答案】—

【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含

能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式.

i.2=lm=2

【详解】解：先把1'化为分数:5,则小

根据二次根式的性质，将分母有理化:

V6_v^xVS_y^3C

道一西―T

V3C

故答案为V

【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母

有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式.

3.化简:

(1)

(2)禹

居=

(3)

3/33S

【答案】T27

【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次

根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因

数或因式.正确化简二次根式是解题的关键.

E>0/b>0）

（1）根据二次根式的性质7"❶，将其转化为分数形式的二次根

式，即可化简；

t=嚏（aN0，b>0）

（2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质V"小,

将其转化为分数形式的二次根式，即可化简；

^=^（a>0,b>0）

（3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质❶，

将其转化为分数形式的二次根式，即可化简.

丫偌6/.：4n=79x3=3V3V49=7

【详解】解：（1）田丫=，而，，

3V3

团原式=7.

3^3

故答案为：

••-144144

'-64*64

(2)

1-144_1144_

•%I=1=

«-64yj64

3

故答案为：2

8

故答案为：乙

4.将二次根式-3,一5X（~5）化为最简:次根式，结昊是

-2yfl3

【答案】

【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键.直

接利用二次根式的性质化简求出答案.

，33-5x(-5)=V52=2V13

【详解】解:

2V13

故答案为:

【题型6已知最简二次根式求参数】

A=J12x瓜5An=

1.若",其口v为最简二次根式，为有理数，.

3

【答案】

【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简

712=2V3

等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案.熟记最

简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键.

【详解】解："反=2圾

・.・若z4=VOx后其中疝为最简二次根式，”为有理数，则n=3

3

故答案为：

2.若用与最简二次根式%以合并,则£的值为.

7

【答案】2

【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把内化简成

最简的二次根式，即可得到关于，的一元一次方程，求出，即可.

V24=2V6

【详解】解：化简：VV，

0◎与最简二次根式迎E可以合并，

2t—1=6

0,

解得:

3.若“是正整数，'而是最简二次根式，则”可以是（写出一种情况即可）.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开

得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

根据最简二次根式的概念解答即可.

n=1

【详解】解：当时，Y=>/2

"是最简二次根式，符合题意,

故答案为：1（答案不唯一）.

4.若最简二次根式\/V7n—1与,46a+1可以合并，则〃的值为.

【答案】2

【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关

键.根据题意得出最简二次根式与"Q+1是同类二次根式,由此得

7a—1=6a+1a

出，即可求出的值.

7Q.-1—6a+1

【详解】解：依题意，，

a=2

解得：，

7x2-1=13>06x2+l=13>0

且，符合题意，

2

故答案为：.

5.若质为整数，则x的最小正整数值为.

【答案】2

【分析】对被开方数进行分解，得8一=4x2=22x2，要使v%/Qv为整，则x最

小要保证被开方式能开尽，得出答案.

8=4x2=22*2

【详解】解:

、密=02x2x

的最小正整数值是2.

故答案为2.

【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键.

易错握醒

1.下列各式是最简二次根式的是（）

匹B.瓜.小

A.C.D

【答案】B

【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的

因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可.

【详解】解：A.7”,被开方数含分母，不是最简二次根式;

B."是最简二次根式；

C.N22,被开方数含分母，不是最简二次程式:

D.v…，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式.

故选:B.

2.下列运算正确的是（）

^^6?=-6V25=±5g）」4

A.丫B.C.

（一V3）~=3

D.

【答案】D

【分析】本题考查求一个数的算术平方根，二次根式的乘方.

根据运算性质，对各选项进行分析判断即可.

J（-6）2=x/36=6*—6

【详解】解：A.V,不符合题意;

、/25=5工+5

B.一，不符合题意；

c.在实数范围内，I无意义，不符合题意；

(―\/^3)-=(―1)~x(\/3)2=1x3=3

D.符合题意.

故选：D.

：何X(-S3)X(-:网

3.计算：

【答案】60

【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

根据二次根式乘法法则，先确定符号为正，再计算数值部分.