2025-2026学年浙教版九年级数学上册期末检测培优卷（含答案）

2025-2026学年浙教版数学九年级上册期末检测培优卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.已知3Q—=0,则押值是（）

1

A.3B.—3C.D.

3~3

2.已知00的半径为5,04=6,则点4在（)

A.。。内B.O0上C.。。外D.无法确定

3.如臭两个相似三角形的面积比为1：4,那么它们的相似比为（)

A.1：16B.1：8C.1：4D.1：2

4.如图，四边形ABCD内接于。O,若ZC=140°,则NBOD的度数为（)

A.40°B.80C.140D.160

5.已知y=x（x-2）,0<x<4,下列说法正确的是（)

A.当x=0时，y有最小值B.当x=0时，y有取大值

C.当x=1时，y有最小值D.当x=1时，y有最大值

6.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有.2

个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下:

试验次数100300500100016002000

“有2个人同月过生FT的次数8022939277912511562

“有2个人同月过生口”的频率0.80.7630.7840.7790.7820.781

通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（）

A.0.80B.0.79C.0.78D.0.77

7.如图，。4是。0的半径，弦8c，04E是。0上一点，AE交BC于点D,AD=1,ED=2,贝的长是

)

第1页

B.V3C.V2D-1

8.如图，在的4B、AC边上分别取点E、尸使得△4BC与以4、E、尸为顶点的三角形相似，则下列三种

尺规作图确定E、F的方法，正确的有（).

D.全部错误

9.如图，△4BC中，AB=AC=8tBC=473，以为直径的00分别交AC,BC于点D,E,连接ED,贝呢。

的长为（）

C.4D.5

10.等腰Z.BAC=90°,AB=AC=5,^BPC=^APC=135°,则CP=()

A.3B.yflQC.2^3D.4

二、填空题（每题3分，共18分）

11.抛物线y=ax2+x+1的开口向下，则a的值可以取.（写出一个即可）

12.在20件样品中，有一等品1（）件，二等品7件，三等品3件，从中任取1件，结果为三等品的概率

为■

13.如图，地面C。上的点E处放置平面镜，光线从4点射出经平面镜（点E处）反射后照射到8点.己知4cl

第2页

CD,BD1CD,垂足分别为C、0,4C=0.2米，80=0.5米，CO=1.4米，则CE长为米.

14.在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事.如图，在国旗上的任意一个五

角星中，若40=2,则力N的长为.

15.如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为y=-；/+2,现要对这座古桥进行加固，须临

时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为0.3m,但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距

离可以不大于0.3m,即图中4P40.3m,BQ<0.3m,则最多可安装支撑杆

条.

闻,

Po\Qx

16.已知：如图，二次函数、二产+4的图像与、釉交于点A,与x釉正半轴交于点8,点、P在以力点为圆

心，2个单位长度为半径的圆上,Q点是BP的中点,连接。Q,则0Q的最小值为________.

//6、t

三、解答题（共8题，共72分）

17.已知Q=26,求下列各式的值.

⑵露

18.如图，在AA8C中，BD为△ABC的一条角平分线,在BC上取点E,UBE=DE.

第3页

A

D

E

（1）求证：△COE〜△C48.

（2）若4B=6,BE=4,求CE的长.

19.如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动

转盘n次，下表是小明记录”指针落在黑色区域”的频数、频率统计表.

自由转动转盘n次10030050015003000・・・

指针落在黑色区域的频数m2378125375750・・・

指针落在黑色区域的频率p0.230.260.250.250.25・・・

（1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数.

（2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域：小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小

礼物的概率.

20.尺规作图（注：在答题纸上作图，并保留作图痕迹）

己知A,B足圆上两点，用直尺和圆规作圆的内接等腰二角形43C.

雯雯：如图1,以点A为圆心，48长为半径作弧，交圆于点C,可以画出△力8c.

周周：以点B为圆心，B力为半径作弧，交圆于点C,也可以画出△4BC.

©0

图1图2

（1）请按照周周的说法，在图2中画出等腰三角形718c.

（2）雯雯思考后认为，她和周周的作法都不严谨，请说明理由.

21.已知二次函数y=a/一（Q-2）%+6过点（3,0）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）当0工工工5时，求二次函数的最小值；

（3）当£4x4£+1时，二次函数的最大值与最小值的和为6,求£的值.

22.某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯28,CD之间行走，£44。为光源，影子PE和P/在线段BD

第4页

上，图①，图②为示意图.已知48=Q?=8m,小静的身高OP=1.6m,OP上BD于点、P,BD=14.4m.

EPFEPFD

图①图②

（1）如图①，当点P为BD中点时，分别求线段PE,PF的长.

（2）如图②，当点P不是BD中点时，设PE=a,求线段PF的长.（用含有a的代数式表示）

（3）由此，你觉得PE与PF存在怎样的数量关系？

23.某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供200人同时游玩，当游玩票价为50元时，该项目每

场均为满员状态.市场调查显示当游玩票价在50元到80元之间（含50元和80元）浮动时，每提高2

元，每场人数会减少4人.

（I）设票价为x元，请写出每场人数y关于票价x的函数关系式.

（2）已知该游乐项目某场营业收入为10800元，根据"营业收入=票价x每场人数”这一关系，求

此时的票价.

（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？

24.如图1,四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC与BD交于点E，点F在AE上，DF=

AE,ZDFC=ZBDC.

C

图1

(1)求证：CF=AB.

（2）如图2,若点B为R的中点，求证：BE2=CE-CB.

（3）在（2）的条件下，AF=1,△DEF的面积为2,求CE的长.

第5页

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：-b=0,

.*.3a=b,

.aa1

••5=布=可

故选：c.

【分析】

由题意知3a=b,再根据比例的性质化等积式为比例式即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：・••。4=6>5,

・・•点4与0。的位置关系是点在圆外，

故选：C.

【分析】

设点到圆心的距离为d,半径为r,若点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d<r.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：•.•两个相似三角形面积的比为1：4,

•••它们的相似比=4.

故答案为：D.

【分析】据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：:四边形ABCD是。O的内接四边形,

•••Z.A+Z.C=180°,

vZC=140°,

乙A=40°,

由圆周角定理得，乙BOD=244=80°,

故答案为：B.

【分析】根据圆内接四边形的性质求出乙4的度数，根据圆周角定理解答.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：y=x(x-2)=x2-2x=(x-I)2-1,

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A.,当％=11时,y有最小值，A选项不正确;

B「・•当x=4时，y有最大值，・・・B选项不正确;

C「・•当》=1时，y有最小值，・,・C选项正确；

D.,・,当％=4时，y有最大值，・・・D选项不正确.

故答案为：C.

【分析】配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐

一判断即得.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是0.78；

故选C.

【分析】根据频率稳定性定理：用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.据

此进行求解即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：连结4C,

•••OA是。。的半径，弦BC1OA,

:.AB=AC,

ZARD=zC,

v乙E—Z-C，

第7页

:*Z.ABD=乙E,

v乙DAB=乙BAE,

DABBAE,

AB_AD

'•AE=ABf

-AD=1,ED=2,

AE=AD+ED=1+2=3,

/.AB2=AD-AE=1x3=3,

或AB=-6（不符合题意，舍去），

故答案为：B.

【分析】连结AC,由题意，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧

”可得端=加，则乙48D="=乙E,根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△DAB1ME,由相似

三角形的对应边的比相等可得比例式组=组求解.

C/ID

8.【答案】A

【解析】【解答】解：第一种情况：

•・•四边形BCFE是圆内接四边形，

:•乙BEC+乙C=180°,

,：Z-BEC+Z.AEF=180°,

：,^AEF=ZC,

;乙4=乙4,

△AEFACB；

第二种情况：

由作图知：Z-AEF=Z-B,

,：Z-EAF=ABAC,

△AEFsxABC；

笫三种情况：

山作图知：8尸平分々ABC,E在8r的垂直平分线上，

-^Z-ABF=乙CBF,EB=EF,

：.^ABF=乙EFB,

:.乙CBF=乙EFB,

：.EF||BC,

・•・使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的三种方法都正确.

第8页

故选：A.

【分析】

第一种情况，由圆内接四边形的性质可得4AEF=ZC,而已知乙4=可利用AA判定△AEFfACB-,

第二种情况：由基本尺规作图知作乙4£T=上氏又已知乙1=4/，可利用AA判定△AEF八ABC；

第三种情况：由基本尺规作图知作：8F平分乙4BC,又作8尸的垂直平分线交AB于点E,则由角平分线的概

念结合垂直平分线的性质可得乙C8F=乙EFB,即有£7」|BC,同第二种情况可判定△4"fABC.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：连接AE，

•ZB为。。的直径,

:•乙AEB=90°,

a：AB=AC=8,

=CE=3BC=2近,

•・•四边形ABED是。。的内接四边形,

乙B=乙EDC,

VzC=zC,

△CDECBA>

.CD_CE

^CB=CAf

・・.co=£^=3,

故选:B.

【分析】

由于直径所对的圆周角是直角，则连接4E可得乙4EB=90。，再曰等腰三角形的三线合一性质可得8E=CE=

2百，再由圆的内接四边形的性质可得乙EDC=4,又乙C是公共角相等，则可证△COEs/iCBA,再利用相似

比计算即可.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：如图.将线段4P绕点｛逆时针旋转90。得到线段力庆连接

第9页

-AE=APfAPAE=90°,

.../.APE=/-AEP=45°,

^^BAC=90°,AB=AC=5,

.••LBAC-/.CAP=LPAE-/.CAP,

乙ABC=^ACB=45°,

:.乙BAP=Z-CAE,

•••乙BPC=Z-APC=135°,

乙APB=360°-Z-BPC-(APC=90°,

AE=AP

AEC^\L4P8中乙CAE=4BAP,

AC=AB

:.〉AEC三△4P8(SAS),

:.AAEC=乙APB=90°,

...iPEC=^AEC-Z.AEP=90°-45。=45°,

•••乙4PC=135°,

•••乙EPC=乙APC-乙APE=135°-45°=90°,

•••乙PCE=90°-乙PEC=90°-45°=45°,

PE=PC,

CE2=PE2+PC2=2PC2,

vPC2=PE2=AE2+AP2=2AE2.

：.AE2=^PC2,

vAE2+CE2=AC2,

^PC2-2PC2=52,

:.PC=同或PC=-V10(不符合题意，舍去)，

故答案为：B.

【分析】将线段AP绕点A逆时针旋转90。得到线段AE,连接PE、CE,由旋转的性质得AE=4P,4PAE=

90°,由等腰直角三角形性质得到乙APE=乙45。=45。，LABC=Z-ACB=45°,由周角求出/4PB=90。，由

同角的余角相等得N84P=，CAE,从而利用SAS证明△CAEwaB/lP,由全等三角形的对应角相等得到

^AEC=Z-APB=90°,由角的构成可证明乙CPE=90。，LPCE=Z.PEC=45°,由等角对等这得PE=PC,

第10页

由勾股定理得出=2PC2,AE2=^PC2^则。C?+2PC2=52,求出PC=同，即可得到结论.

11.【答案】-I

【解析】【解答】解：•・•抛物线y=a/+x+l的开口向下，

a<0,

・・・a的值可以为-1.

故答案为：—1.

【分析】二次函数的开口方向由二次项系数a决定，当a>0时，开口向上，当Q<0时，开口向下.

12.【答案】4

【解析】【解答】解：•・•共20件样品，三等品有3件，

，从中任取1件，结果为三等品的概率为治，

故答案为：东

【分析】用三等品的件数除以所有样品的总数即可求得答案.

13.【答案】0.4

【解析】【解答】

解：设CE=x米，=1.4米，

:.DE=(1.4—x)米，

由物理性质可得入射角等于反射角，EFLCD,

:.乙BEF=4AEF,

.*.90°-乙BEF=90°-^AEF,

即乙8E0=/AEC,

：.Z-ACE=乙BDE=90°

△ACEs&BDE,

.CE_AC

••说=前'

即日n诉无与二_有。2‘

解得x=0.4,即CE=0.4米.

第11页

故答案为:0.4.

【分析】镜面相似相对简单，山于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两二角形相

似。

14.【答案】3-V5

【解析】【解答】解：由题意知：N是4。的黄金分割点，

•••DN=^^AD=与32=遥-1，

:•AN=AD-DN=2-函-1)=3-信

故答案为：3-近.

【分析】根据黄金分割点可得0可=与匚力。，然后由线段的和差AN=AD-DN可求解.

15.【答案】解：令y=0,则一2/+2=0,解得％=2或%=-2,・・・4B=4,•・•相邻支撑杆之间的距离为

0.3m,AP<0.3m,BQ<0.3m,・••在y轴右侧x=0.15,0.45,0.75,1.05,1.35,1.65,1.95,共7条，同

理在y轴左侧最多安装7条，.••最多可安装支撑杆14条，故答案为：14.

【解析】【分析】由抛物线上点的坐标特征可令y=0,则可求出工的值为±2,则AB=4,再由抛物线的轴对

称性质可先在y轴右侧0.15米处开始安装支撑杆，则剩余距离L85米可安装6根撑杆，且第6根撑杆距离

点B0.05米，即右侧可安装7根撑杆，同理左侧也可安装7根撑杆，即最多可安装14根撑杆.

16.【答案】1.5

【解析】【解答】解：连接48,取4B的中点C,连接CQ,AP,

4(0,4),

4

2+4O解得3

X=X-一

当y=0时,有一9-3,

8(3,0),

:.AB=V32+42=5，

•••OC=BC=AC=2.5,

•••Q点是8P的中点，

第12页

••・CQ为三角形B4Q的中位线，即有CQ=^AP=1,

/.0Q>OC-CQ,当。、C、Q三点共线等号成立，即OQN1.5,

故0Q的最小值为1.5,

故答案为：1.5.

【分析】求出小B两点的坐标，连接48,取AB的中点C,连接CQ,AP,利用勾股定理得到48=，可得

0C长，利用中位线定理得出CQ的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到0Q的最小值即可.

17.【答案】(1)解：•••Q=2b,

.•.人-一7/

(2)解：；a=2b,

a—b_2b—b_b_1

Aa+b=2M)=35=3,

【解析】【分析】(1)根据比例性质解题即可；

(2)把a=2b代入密化简解题即可.

a+b

(1)W：a=2d»

.£-7

(2)解：；a=2b,

a—b_2b—b_b_1

Aa+b=2b+b=3b=3'

18.【答案】(1)证明：如图,

,:BD为A48c的一条角平分线,

/.Z.1=Z.2,

•:BE=DE,

.*.z2=z3»

Azi=z3»

：.DEIIAB,

△CDECAB：

(2)解：V△CDE-ACAB

,DE_CE

••丽一甫

第13页

.4_CE

*-6=CF+4，

解得：CE=8.

【解析】【分析】（1）由角平分线的定义及等边对等角推出Nl=/3,由内错角相等，两直线平行推出

DE〃AB,进而根据平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似可得结论；

（2）由相似三角形对应边成比例建立方程，即可求解.

（1）证明：如图，

YBD为△ABC的一条角平分线，

AZ1=42,

•:BE=DE,

Az2=z3,

zl=z3»

：.DE||AB,

△CDECAB；

（2）解：V△CDECAB

.DE_CE

••加西

.4_CE

**6=CF+41

解得：CE=8.

19.【答案】（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为5

1

:.360°xi=90%

答：黑色扇形图心角为90。；

（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为芥

所以小明获赠小礼物的概率是上,

答：小明获赠小礼物的概率是家

【解析】【分析】（1）利用表格得出指针落在黑色区域的频率为上，然后求出圆心角即可;

（2）利用频率估计概率即可解题.

（1）«?：由表可推出指针落在黑色区域的频率为上,

第14页

•••360°x1=90%

答：黑色扇形图心角为90。；

(2)解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为京

所以小明获赠小礼物的概率是!，

答：小明获赠小礼物的概率是］

4

20•【答案】(1)解：按照周周的说法，画出等腰三角形ABC；

(2)解：当边48过圆心时，以点B为圆心，以边ZM长为半径的弧不能交圆于另一点，此方法作不出圆内接

等腰三角形.

【解析】【分析】

(1)以点B为圆心，以边长为半径画弧交圆于另一点C,连接力C,BC即可；

(2)当AB是直径时，无论以A还是以B圆心，以AB长为半径作的弧都无法与圆产生第三个交点，则无法

作出三角形.

(1)解：按照周周的说法，画出等腰三角形48C；

(2)解：当边A8过圆心时，以点B为圆心，以边84长为半径的弧不能交圆于另一点，此方法作不出圆内接

21.【答案】(1)解：把(3,0)代入y=ax2—(a-2)x4-6得9a—3(Q—2)+6=0,解得a=-2,

第15页

・••二次函数的解析式为y=-2x2+4x+6；

(2)解：•・•二次函数为y=-2/十4x十6二一2(%一1尸+8,

・•・抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，

•••5-1>1-0

・••在0WXW5中，且当x=5时，二次函数有的最小值，

最小值为：y=-2(5—1)2+8=-24；

(3)解：当对称轴％=1在£W%W亡+1范围内时，t<1<t4-1,WO<t<1»由(2)得，当无=1时，

y最大二8，

;当£SxW£+1时，二次函数的最大值与最小值的和为6,

/.当％=£或%=£+1时，，有最小值为y=—2,即y=—2(x—I)24-8=—2,

解得x=1±通，

当x=t=1±遍时，不满足0<t<1；

当％=t+1=1土通时，£=±V5,不满足0<t<1;

.••当对称轴％=1在t工工工t+1范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6,

，范围£<X<t+1在直线为=1的一边，

・,•当％=£、%=£+1时，函数有最大值或最小值，

：.-2t2+4t+6—2Q+I)2+4(£+1)+6=6,

解得£1=2,t2=-1.

即珀勺值为2或一1.

【解析】【分析】

(1)由抛物线上点的坐标特征把戈=3代入到解析式中得关于a的方程并求解即可；

(2)先化抛物线解析式的一般形式为顶点式，由于二次项系数为负，则抛物线开口向下，且物物线上的点距

离对称轴越大函数值越小，则当0<%<5时函数有最小值-24；

(3)由于I的值未知，因此应分类讨论，即当直线x=l在£+1范围内或在其范围外时，分别求出最

值，再利用二次函数的最大值与最小值的和为6列方程，求出【即可判断得解.

⑴解:把(3,0)代入y=ax2—(a—2)x+6得9a-3(a-2)+6=0,

解得a=-2,

・•・二次函数的解析式为y=-2x2+4x4-6：

(2)解：•・•二次函数为y=-2/+4X+6=-2(X-1)2+8,

・・・当％=1时，y取最大值为8,

当Y=。时，y=6,

当％=5时，y=-24,

第16页

・・・04》45时，当％=5时，二次函数的最小值一24；

(3)辉：当对称轴直线为=1在tWxWC+1范围内时，t<1<t+1,即OWtWl,

由(2)得，当无=1时，y最大=8,

•・•当tW%工£+1时，二次函数的最大值与最小值的和为6,

/.当％=t或x=t+1时，有最小值为y=-2,即y=-2(x-l)2+8=—2,

解得为=1±VS，

当％=t=1±%时，不满足o<t<1;

当％=t+1=1±而时，£=±V5»不满足0<t<1:

・•・当对称轴直线X=1在£WX工£+1范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6,

，范围£<%<t+1在直线％=1的一边，

六当％=£、x=t+l时，函数有最大值或最小值，

：.-2t2+4t+6-2(t+I)2+4(£+1)+6=6,

解得G=2,t2=-1.

即珀勺值为2或一1.

22.【答案】(I)BD=14.4m,点P是80中点，

BP=DP=7.2m,

由题可知。P〃A8〃C0,

PF__OP_PE_OP

‘而"宿~DE=CD"

PF_1.6PE_1.6

/，PF+7.2=~8~fPE+7.2=3'

解得PF=1.8m,PE=1.8m

(2)vOP//CD,

PE__OP_

•*DE=CDf

a1.6

DE=~8'f

•••DE=5Q,

:.PD=4a,

•••BD=14.4m,

BP=BD-DP=14.4-4a,

•••OP//AB,

PF_OP

,•丽二宿

PF=16=1

••14.4-4a+PF-T—宁

第17页

整理可得P/7=3.6-cz

(3)PE+PF=^BD;

.•则边形4BCD是平行四边形,

；.AC=BD,AC//BD,

•••△EOFs二COA,

EF_OE

'AC=OCf

OEOP1

反=而=引

OE1

:，0C=4f

EF1

而二4'

1i

EF=^AC=^BD,

44

•••PE+PF=EF,

1

，PE+PF=产

【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知需=黑，盖=黑，再代值求解即可;

(2)先由隽二黑，得至ljDE=5a,DP=4a,进而知道BP=BD-DP=14.4-4a,再利用黑=算求解即可;

U匕LUDr/io

(3)由(1)(2)可知PE+PF=E5=3.6=*8。，所以证明照=］即可，连接AC,证△EOFs/\COA,即可得

解.

23.【答案】(1)解：y=200-4x=200-2(x-50)

=200-2x+100=300-2x

(2)解：x-y=x(300-2x)=10800

2x2-300x+10800=0

x2-150x+5400=0,(x-90)(x-60)=0

解得Xi=60,x2=90

2

(3)解：w=-2x+300x=-2(x2_150x+S625)+11250

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=-2(x-75)2+11250

当票价为75时，当场营业收入最大为11250元.

【解析】【分析】（1）根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4

人列出y与x的函数解析式；

⑵根据“营业收入=票价x每场人数”这一关系列出方程，解方程跳可；

⑶根据“营业收入=票价x每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.

24.【答案】（1）证明：四边形ABCD为圆内接四边形，

Z.ABE=zFCD,Z.BAE=zBDC,

zDFC=zBDC,

Z.DFC=Z.BAE»

,:DF=AE,

ABE=△FCD(AAS).

•••CF=AB

(2)证明：解法一：

Z.BDC=々DFC,乙DCE=Z.FCD,

•••△DCEFCD,

CE_CD

ACD=CF'

CD2=CE