湖南省2025-2026学年高二年级上册期末数学试题（A卷）

湖南省2025-2026学年高二上学期期末数学试题（A卷）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=｛x|0«x42｝,B=｛业刽,则4nB=（）

A.（0,1）B.[0,2]C.[0,1]D.(0,2)

2.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若%=4,则、9=（）

A.32B.16C.72D.36

3.已知双曲线方程为：--^-=1,则其渐近线方程为（）

416

A.y=±2xB.y=±^xC.y=±4xD.y=±-x

4

4.已知向量满足”=2，W=1,且£石=1，则工与坂的夹角为（)

A兀D71「2”

A.zB,-C.5

5.若数列｛%｝的通项公式为q=cos（当）则｛g｝的前10项和为（）

A.-1B.0C.ID.2

6.若定义[-2025,2025]上的函数f（x）：对任意％,x?,玉+x?e[-2025,2025]的石,与有

/（2+/）=/（网）+/（0）-12,若/（x）的最大值和最小值分别为％N,则历+N的值为（）

A.12B.24C.-12D.-24

7.如图，平面加。J.平面48c。，△4。是正三角形，四边形48CO是正方形，点M是

平面为8c。内（不包含边界）的一个动点，且满足A/P_LA/C,则点M在正方形45。。内的

轨迹是（）

试卷第1页，共4页

8.设点M是抛物线/=16p的焦点，点/是双曲线「：/-4=1的左焦点，点。是「上第一

象限内的一动点，则下列结论正确的是（）

A.|。「|-|。必的最大值是2后B.|。回|+0M的最小值是2石

C.|。6-|。必的最大值是20+2D.|。目+QM的最小值是2石+2

二、多选题

9.已知椭圆C：片+广=1点?在椭圆。上，斗鸟为其左、右焦点，则下列说法正确的是

94

（）

A.椭圆C的离心率为好

4

B.椭圆C的长轴长为6

C.归用忖闾的最大值为9

D.点P到月距离的最大值为3+石

10.甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行3场，先累计获胜两场者赢得本次

对抗赛.每场比赛仅分胜负，无平局，甲每场获胜的概率为：，乙每场获胜的概率为:，且

各场比赛结果相互独立.下列说法正确的是（）

A.本次对抗赛恰好进行2场就结束的概率为3

20

B.甲最终嬴得本次对抗赛的概率为不

试卷第2页，共4页

C.若事件力为“对抗赛恰好进行2场结束“，事件8为“甲赢得对抗赛”，则事件4与事

件〃是相互独立事件

Q

D.本次对抗赛恰好进行3场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为百

11.已知数列｛为｝的首项4=|,且满足则下列说法正确的是（）

A.加eNZ使得4之】

B.数列，"是等比数列

b=、1

C.设n--+-1--则数列也｝的前八项和景>〃一、

D.若'+'+…<2025,则满足条件的最大整数〃的值为2024

%。24

三、填空题

12.曲线歹=1n（2x）+2x+3的一条切线的斜率为4,则该切点的横坐标为.

13.欧拉公式/=cos0+isin0是由数学家欧拉发现的，该公式建立了三角函数与指数函数

的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若z.e争，则z?=.

14.一个高为8cm直三棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计）静置在水平的桌面上，底面色48C

完全贴合桌面.容器内盛有定量清水.已知底面出力8c中，分别是内角4瓜。的对边,

满足关系式bcosC+ccos8=〃sin4,且c,A。构成公差为2的等差数列.现将一个可容纳

于容器内的最大铁质小球放入其中，液面恰好和小球相切；若不放入小球，将容器密封后横

向放置（使直三棱柱的某一侧面贴合桌面），则此时液面的最低高度为cm.

四、解答题

15.在cfe/BC中，内角48,C的对边分别为小瓦c,且满足2sin4cosc=2sinB-sinC.

（1）求角力的大小；

（2）若。=百，求出。周长的最大值.

16.设等比数列｛/｝的前〃项和为邑，已知S.=2"+c,/i€N・,ceR.

试卷第3页，共4页

⑴求C的值及｛%｝的通项公式；

a5

（2）令八所蒜亩加,数列｛4｝的前八项和为小证明：Tn<\.

17.已知椭圆£:二+/=],设0入分别为椭圆的左、右焦点.

4

（1）点力在椭圆E上，若曰・不=0,求6的面积；

（2）过点耳的直线/（斜率不为0）交£于。，。两点，在x轴上是否存在定点0,使得

为定值？若存在，求出点。的坐标及定值：若不存在，请说明理由.

18.已知平面直角坐标系中，点力（。,0）,8（0力）（其中。力为常数，且MHO）,点0为坐标

原点.

一1一3一

（I）若点P满足条件0月=；。力+[。4,试证明4P,8三点共线，并求P点相对点48的位

44

置；

（2）线段AB的〃等分点按与A的距离由近到远分别记为RRP',…,P…其中〃cN\W>2.

（i）当“=2025时，求|百+丽+砧+…+西十砺|的值（用含。力的式子表示）；

（ii）当a=b=l,〃=8时，求斯•（斯+西）（1金工〃-1,1〃一l"；/wN）的最小值.

19.如图，在四棱锥尸-48C。中，△"/）和△84。均为正三角形，AD上DC,DC=®AB=2,

M为PC上一点,设平面口。与平面PBC的交线为/.

⑴求证：〃/平面44CQ；

（2）当四棱锥P-48CQ的体积最大时，E为/上的点，求尸C与平面EC。所成角的正弦值的

最大值；

⑶当P4/平面0M8时，平面040与P8交于。，求约2的值.

“PYBCD

试卷第4页，共4页

《湖南省2025-2026学年高二上学期期末数学试题（A卷）》参考答案

题号12345678910

答案CDABABCDBCDABD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】求出集合凡再由交集的概念求解即可.

【详解】由力=[0,2],4=卜1,1]得408=[0,1],

故选：C.

2.D

【分析】由等差数列前〃项和公式以及等差中项性质求$9=9%即可求解.

【详解】等差数列｛6,｝中，仆=4,所以SQ=94=36.

故选：D.

3.A

【分析】根据渐近线方程公式直接求解即可.

【详解】由双曲线方程为二-仁=1,

得/=4,〃=16,则a=2,8=4,

416

则其渐近线方程为N=±2X.

故选：A.

4.B

【分析】由数量积公式求出[与B的夹角的余弦值，再求出夹角即可.

【详解】因为同=2,同=

而依坂》[0,兀],则£与3的夹角为三,

故选：B.

5.A

【分析】根据三角函数周期性求得｛叫的周期，再求｛4｝的前10项和即可.

【详解】根据三角函数周期性可知｛/｝的周期为4,

答案第1页，共14页

cos=a

4[=cos]=0,d2=COS7C=-1,Oy=~»4=cos27t=1,

所以前4项的和为0,故$0=SK+%+《o=0+6+。2=0+0+(-1)=-1,

故选：A.

6.B

【分析】令gW=/")-12,证明g(X)是奇函数,利用g(x)a+g(x)mm=0来求"+N的

值.

【详解】令g(X)=/(X)-12,则原条件转化为g(X]+X2)=g(xJ+g(x2)，

令,="0,可得g(0)=0,

令X[=F=x，可得g(x)+g(-x)=0，则g(x)是奇函数，

则g(x)的最大值g(x)a与最小值g(x)min之和为。・

由/a)=g(x)+】2,得/(x)的最大值"=g(x)z+12,/(》)的最小值汽=8(%)1111n+12,

因此M+N=g(x)a+12+gaL+】2=24.

故选：B.

7.C

[分析】方法一：取AD中点O,由MP_LMC推得A4c'OM,得M在平面,4月。。内轨迹

为以OC为直径的圆弧.

方法二：建立空间直角坐标系，设M坐标，由而.荻=0化简得出M的轨迹方程即可判断.

【详解】方法一：如图：取/。中点O,连接。W，由归/|=|「必可得PO_L4),

因为平面PZO_L平面48CQ,平面H£)c平面/我?。=力。，。。匚平面尸力£),故尸。，平

面力8CQ,所以PO_LMC,又因为MP_LMC,MPnPO=〃，

所以MCJ_平面尸OM,所以MdOM,M在平面力4CQ内帆迹为以OC为直径的圆弧.

方法二：由方法一，PO1平面/8CO,作。N14。，

故可以O为坐标原点，分别以石，而，而的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,

答案第2页，共14页

不妨取陷=2,则|op|吟网=5则。(0,()，现C(-l,2,0).

由点〃在平面力AC。内，可设M(xJ,0),因为MPJ.MC,所以赤•流=0,

A/尸=(_x,_j，,V5),MC=(-l-x,2-j,0),

即化简得：x+x2_2y+J=0得：++(.y-l)2=1.

所以，必在平面48CQ内一个以(-最1,0)为圆心，当为半径的圆弧上,

所以点A/在正方形力3C。内(不包含边界)的轨迹为苏，

8.D

【分析】苜先求出抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标及渐近线方程，可判断直线FM与

双曲线第一象限部分无交点，即可判断A、C,再由双曲线的定义判断B、D.

【详解】如图，由点〃是抛物线的V=16p焦点，故“(0,4),

由双曲线「：/-[•=]知a=l,/,=百，则0=J/+/=2,故产(-2,0),右焦点、F'(2,0),

4-01-

所以原“=口=2,又双曲线的渐近线方程为j，=±gx,

所以直线EW与双曲线第一象限部分无交点，故|QF|-|0M|<，M|=2石，故A,C错误；

由双曲线的定义，|Q同=2a+|Q尸|=2+|QF|.

所以|明+10Ml=2+例+\QM\>2+|MF|=2+275,

即点。运动到线段M尸与双曲线的交点N时，|。尸|+|0M有最小值2+2石，故B错误，D

正确.

故选：D.

答案第3页，共14页

【分析】由椭圆方程求出离心率、长轴长，由定义结合基本不等式求出|户附・|尸局的最大值，

由Q+c得出点。到片距离的最大值，即可判断每个选项.

【详解】。=3,。=2,c=，5,离心率e=[~,故A错误；

4=3,椭圆的长轴长为6,故B正确；

由均值不等式，|尸7讣|尸囚，殴业务]=9,故C正确；

点。到片的距离最大值为q+c=3+石，故D正确.

故选：BCD.

10.ABD

【分析】利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论、互斥事件概率加法，来计算判断即可.

【详解】对于A,对抗赛恰好两场结束，需满足“甲或乙连续赢两场”，则概率为

22115

TXT+TXT=T»故A正确；

33339

224

对于B,甲赢得对抗赛，包含两种情况：一种是两场结束后甲获胜，概率为=

7171??R

另一种是甲在前两场比赛输了一场，第3场比赛胜，则概率为+=概

率之和为2琮0，故B与D正确；

对于C,P⑷=.（8）=,,P（M=S，.（48）.P（/）P（3）,不满足独立条件，故C错

误.

故选：ABD.

11.BCD

答案第4页，共14页

【分析】根据定义证明数列1^—1,为等比数列，进而求出通项公式即可判断AB选项；根

据一~7<!进行放缩证明C；D求出的和，通过数列的增减性可求.

3+13&JI3

一12a+111211rli

【详解】对于AB,由题意可得——=-r^=-—+-,则——1=---1,

%3A3%3gJ

[2—-1

因为所以，—1=”=|■工0,所以牛」=1,

5q33J__i3

121

所以数列一-1是首项为:，公比为:的等比数列.

凡33

所以4"（1|=2旧），所吟=2.国十1>1

所以。<%<1,

故A错误，B正确;

公223"

b=-------------=---------=----1

对于C,因为.(3-心(3»)告3"+1K

所以数列也｝的前〃项和为S.=〃-£Q,

m3+1

If,n

3A+iyt-y+it-y,_i21y)2

3

故故C正确；

ii

对于D,由，=1+2，得其前〃项和为£，=〃+2£：=〃+2乂^―="+1一占,

3

令〃+1--!-<2025,HP/?--<2024,

3"3"

因为数列［〃-为递增数列，且当"=2024时2024<2024,

3J3

当〃:2025时2025-击〉2024,

故满足条件的最大整数〃=2024,D正确.

答案第5页，共14页

故选：BCD

12.-/0.5

2

【分析】对函数求导，设出切点，根据斜率，即可求得横坐标.

【详解】设切线的切点坐标为(如为)，

x0=1,所以切点横坐标为g.

故答案为：y.

13.-1-

22

【分析】根据欧拉公式即可求解z,进而根据复数的乘法运算即可求解.

【详解】由欧拉公式得z=eJ=cos女■+isin—=-L造i，故z?=1x/3.

----------1•

3322422

故答案为T号

71

14.+一

18

【分析】先由正弦定理求出力-90。，再由勾股定理以及三边成等差数列求出边长，由等面

积法求得最大小球的半径，再求出不放球时水的体积，最后分析横向放置的液面高度规律,

利用相似三角形求最低液面高度即可.

【详解】已知在dM8c中6cosC+ccos5=Qsin力，由正弦定理知

sinBcosC+sinCcosZ?=sin2A,所以sin（4+C）=sin"力，所以sin力=sin?力.

因为力£(0,兀)，所以sin4>0,所以sin/l=l,月=90。，所以出力AC为直角三角形，因为。也。

成公差为2的等差数列，所以C=〃-2,Q=/)+2,

因为〃+。2=/，可以解得。=10,6=84=6.

所以出力友7三边长分别为6,8,10.

假设出48c的内切圆的半径为，,.则由等面积法;bcsin.4=g(a+Z)+c)・.

解得〃=2,三棱柱内能容纳的最大球的半径为2,此时液面的高度为4.

答案第6页，共14页

所以直三楂柱容器内的水的体积为P=；x6x8x4-gjr23=96-等.

当直三棱柱横向放置（即使得直棱柱的一个侧面贴合在桌面），容器里面的水的形状变成一

个高为8cm的直三棱柱.

所以此时容器里的水形成的直三棱柱的底面面积为S=12-与.

若把某一个侧面贴合桌面，此时液面与水平桌面平行，从棱柱的两个底面看可以得到如下三

种情况.

因为液面高与三角形高的比值相同，所以如图3所示时液面高度最低.

此时由相似三角形性质可知，假设液面高度为力，可以算得图3所示的情况下满足

「24

W"-2"S

2424.

I5>

ugg』24ffiJT、

故答案为：T-

DVZ1o

\/

71

15.=-

⑵3百

【分析】（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，结合两角和的正弦公式、特殊角的三角函

数值进行求解即可；

（2）利用余弦定理，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】（1）在电14C中，/+/?+C=%故sin8=sin（"C）,

将其代入等式得2sinJcosC=2sin（J+C）-sinC,即

2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC»

答案第7页，共14页

整理得sinC（2cos/l_1）=0,

由Ce（O,兀），得sinCwO,解得cosZ=；,

又4<0,%），故力=1.

1T1

（2）由余弦定理/=〃+C2—2ACOS4代入/=§,。=，3可得3=〃+c2-bc，则

（HC）2-3

be=--------，

3

由基本不等式AW（审J,可得[+?”—3《等卜

则e+c『412,由〃>0,，>。可得b+cK2G，当且仅当匕=c时等号成立，

所以a+b+c<2Q+x/5=3G，

则出力8c周长的最大值为3道.

16.（l）c=-l,a„=2Z,-'

（2）证明见解析

【分析】（1）根据凡=:c、。求出通项公式，再根据等比数列通项公式的唯一性求

出；

（2）先化简“，再根据裂项相消求出北，再求出范围即司;

【详解】（1）〃=1时,q=S]=2+c：

〃之2时，%=S“_\..=（2"+c）-（2~+c）=2"T,

丁｛。“｝是等比数列，则〃=1时的项也满足%=2"，即2+c=2°=1,得。=-1.

故数列｛%｝的通项公式为4=2小.

（2）由（1）可知S.=2"-l,a"=2"T,

二2"一（2T）二1J]

人"（n+l）log2（2"）«（w+l）n〃+1，

答案第8页，共14页

V«eN*,贝A1-----成立，即骞<1.

17.（1）1

⑵在工轴上存在定点。[-雌,o],使得M诙为定值

I8）64

【分析】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可；

（2）设直线/与椭圆联上，设定点。，由韦达定理化简数量积丁•弧，让含〃，的项系数为

0,即可求出定点。的坐标.

【详解】（1）设片彳=P，外力=心又c=G，则片鸟=2百，

__[n+c/=4,16-12

由耳儿£彳=0得6/_L^.4,・•・，2一解得P•夕==一=2,

p\q=12,2

故SM福=母=1.

（2）由（1）知，左焦点片卜右,0）.

因为直线/斜率不为0,可设直线I的方程为x=my-G，

联立直线/的方程与椭圆方程.d+4/=4,得（丁+4）72_2百叩-1=0.

设。（工“1）,。（工2，8），则必+y2=,yiy2-—r——»

m+4w+4

-8^12-4w2

再+%=—~4=7.­

m+4"?+4

设定点0（[7,0），则0c•0D=（再-w）（w-〃）+/必=X|%N+@+日+另为

21+n2

代入得：QCQD=^+n-4,

"广+4

令此式与〃?无关，贝l」27+8G/?=0,则〃=一名巨，

8

----------,）4313

此时℃3=-4+〃2=-4+==一2，

6464

因此，在轴上存在定点。（-苧

x使得0c为定值-二■.

I64

答案第9页，共14页

18.（1）证明见解析，P在线段川？上靠近8点的四等分点上.

⑵⑴1013，1+b2；（ii）77.

io

【分析】（1）通过向量减法将而的表达式转化为万与荏的关系，利用“共线向量+公共

点''证明三点共线；

再通过向量长度的比例关系确定点P的位置，利用向量的加减法则得出结果，

（2）（i）先写出n等分点的向量通式（利用“分点的向量=对应线段比例x起点向量+剩

余比例x终点向量”），再对所有向量求和，分别合并力与砺的系数，最后利用向量模长公

式计算结果,

（ii）先根据等分点的向量公式写出《的坐标，再将数量积展开为坐标运算的表达式，通过

分析表达式对的单调性，分情况讨论./的取值（利用一次函数的系数正负判断最值方向）,

最终代入验证得到最小值，

—1—3—

【详解】（1）证明：已知=二08,

44

则万=而一方二；刀+；砺_方=_；刀+（而=1（砺—叫=；而，

;万与而共线，且两向量有公共点力，・•・4尸,8三点共线，

由/P=1可得P在线段AB上靠近B点的四等分点上.

4

—2024—1一

（2）（i）由题意得，。6=^^7。/+二705,

20252025

___2023-2一_____1-2024一

OP、=-^-OA+-----OB,…,ORg=-------OA+-^—OB,

220252025202420252025

：.O^+Oi^=OA+OB,

对任意正整数叫〃,且用+〃=2025,

—=2025-^—+^——=2025-«—+

'2025202520252025

有函+函=厉+砺，

答案第10页，共14页

+西+硒+-.+。/黄+砺=1（）13俾+而）,

・,・河+函+诙+・..+^>/=1013你+西=1013V?7P\

(ii)当。=方=1,〃=8时,

羽=以刀+」函西=口刀+」/,

'88'88

.・.西+西=16-("力为412OB,

，788

工两廨+对=（等加洒）［安叨见?丽

(8-/)[16-(/+；)]+/(/+j)(Z-4)j+z2-12Z+64

-,—19

6432

令〃⑺二代也产丝，

当好1,2,3时，当⑺之M(7)=(、4)x7[；-⑵+64=”,+36.

当i=2或3时,上式有最小值为与

42-12X4+64

当i=4时,〃(/)=1,

32

当i=5,6,7时2小/1)=-一]日+60,当i=5或6时，上式有最小值为与

16

综上，可・（可+更）的最小值为*

19.（1）证明见解析

⑵手

(3)Vp~AQMD-16

乙皿一27

【分析】（1）根据已知结合余弦定理可得出OC_LBC,进而得出4Q//BC,然后根据线面平

行的判定定理，得出6。〃平面尸/ID,再由线面平行的性质得出SC〃/,最后证得〃/平面

ABCDx

（2）先得出当四楂锥P-48CQ的体积最大时，平面以。_1,平面48CZ）,再建立空间直角

坐标系，设出点E坐标，由线面角的向量求法表示出正弦值，配方求得最大值即可；

（3）设丽=4荻，根据已知条件结合线面平行的性质定理得出尸力//A/N.进而根据梯形

的性质求出4=2.根据线面平行的性质定理得出

答案第11页，共14页

ADUMQ,BC//MQ,MQ=*：=；AD.然后可求出部=进而得出

333

4

/3=尹丽，根据等体积法即可得出答案•

【详解】(1)由△84。为正三角形且4O_LQC可知N8OC=J.

又因为。C=J5,且。3=力3=2,在ABOC中，由余弦定理得

CB2=BD~+CD1-2xBDxCDxcosZ^DC=^+(-2x2x&孚1,

jr

所以C8=l,所以。3?+6=4=8加，所以NOCB=5，即DCJ.4C.所以力。〃8C,

因为BC//AD,8c2平面产力。，力。u平面产力。，所以8C7/平面产力。.

又8Cu平面P8C,平面P4CD平面产/。=/,所以8a〃.

又/©平面川冗?Q,"Cu平面44。。，所以〃/平面/14CQ.

(2)当四棱锥P-44C。的体积最大时，平面P4)_L平面/8C。，

如图，取力。中点0,连接。尸,。4,

由=可得尸OJ./1。，由可得8014。，

因为平面21O_L平面力8CO,平面4Oc平面4BCQ=4。，POu平面力1D,所以PO1

平面ABCD,

故可以0为坐标原点，分别以次，砺，而为'J衣轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

因为月8=2,所以8(0,百0),。(-1,6,0),殳-1,0,90,0q,

设E(阳,0,何，阳wR,则有诙=(m+l,0,6