人教版数学八年级下册《正方形》同步练习题（附答案解析）

人教版数学八年级下册《23.3正方形》同步练习题（附答案解析）

【题组一正方形的判定】

1.（重庆期末）下列命题中是息命理的是（）

A.一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行匹边形

B.有一组邻边相等的四边形是菱形

C.有一个角是直角的四边形是矩形

D.四边相等且对角线相等的四边形是正方形

2.如图，在包4BCD中，AC1BD,垂足为0.添加下列哪个条件，不能使E48CD成为正方形的是（）

A.AC=BDB./.ABC=90°C.AD=BDD.0A=0B

【题组二正方形为背景的小几何】

3.（江北期末）如图，正方形4BCD中，点E是对角线8D上一点,连接4E、CE,点尸是边CD上一点,

EF=EC,连接4F.若乙ECF=a,贝lj404尸等于()

A.90°-aB.a-45°C.1350-2a150+a

2

4.（重庆月考）如图,正方形ABC。中，点E在CD上，点F在。4的延长线上,且=连接BF,EF,

BE,若乙DFE=a,则等于()

A.90°-aB.450-aC.2aD.45。+a

BC

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5.（一外月考）如图，在边长为3的正方形/BCD中，点E是BC上一点，点尸是C。延长线上一点,

连接4E,AF,平分4区4F交CO于点M.若BE=OF=1,则EM的长度为（）

C.2D,T

5.（礼嘉期中）如图，在正方形48CD中，AB=4,E是CD的中点，将△力DE沿AE翻折至△力/E,连

接C凡则CT•的长度是（）

675

C.3D.

7.（北储月考）如图，正方形4BCD中，4B=4,点E、F分别在边G）、4D上，BE、CF相交于点G,

BE=CF=V17,点。是B尸中点，则0G的长为.

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【题组三四边形为背景的大几何证明】

8.（渝北开学）正方形A8CD对角线力C,8D相交于点。，E为线段力。上一点，连接8E.

{1）如图1,若BE=痘,AE=戏,求48的长度；

：2）如图2,F为BC上一点、,连接DRG为DF上一点、,连接。G,CG,若ZDOG=4BE。，乙FGC=乙BDF,

AE=CG,求证：BE=2CG；

参考答案与解析

【题组一正方形的判定】

1.（重庆期末）下列命题中是其学鹏的是（）

A.一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行匹边形

B.有一组邻边相等的四边形是菱形

C.有一个角是直角的四边形是矩形

D.四边相等且对角线相笔的四边形是正方形

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，根据定理逐一分析各命题的正确

性.

【详解】解：A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足

条件但不是平行四边形，故A为假命题；

B.菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，仅有一组邻边相等但无平行条件，不能判定为菱

形，故B为假命题；

C.矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角的四边形可能为直角梯形，故C为

假命题；

D.四边相等的四边形是菱形，若其对角线相等，则菱形四个角均为直角，符合止方形的定义，故D

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为真命题.

故选：D.

2.如图，在团力BCD中，AC1BD,垂足为0.添加下列哪个条件，不能使团力BCD成为正方形的是（）

A.AC=BDB./.ABC=90°C.AD=BDD.OA=OB

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判

定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或

对角线相等.本题先由力C18D得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形.

【详解】•••四边形48。。是平行四边形，且力C_L8D,

团A8CD是菱形.

若AC=BD,菱形的对角线相等.根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形48。。是正方形，故

A不符合“不能使”的要求.

若乙48c=90。，菱形的一个内角为直角.根据“有一个角是宜角的菱形是正方形”，此时菱形ABCD是

正方形，故B不符合“不能使”的要求.

若AD=BD,4。是菱形的边，8。是对角线.仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，

因此不能保证菱形力BCD是正方形，故C符合“不能使”的要求.

若。/=OB,因菱形对角线互相平分（。力=OC,OB=OD）,则力C=2。力，BD=2OB,即4c=BD.结

合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形力8C0是正方形，故D不符合“不能使”的要求.

故选C

【题组二正方形为背景的小几何】

3.（江北期末）如图，正方形K8CD中，点£是对角线8。上一点，连接4£、CE,点F是边CD上一点

EF=EC,连接若乙ECF=a,贝iJzZX4/等于（）

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AB

DFC

A.90-aB.a-45°C.135。-2aD.学

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，由正方形的性

质可证△ABECBE(SAS),得到=EC,/-AEB=4CEB,即得E4=EF,进而由4ECF=a得

LEFC=Z-ECF=a,4BCE=90。-a,即得=180。-2a,/.AEB=LCEB=450+a,得至U

LAEF=90°,即得到NEE4=^EAF=45°,再求出〃/D即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：•••四边形A8CD是正方形，

：./.ABE=乙CBE=45°,乙ADC=乙BCD=90°,AB=CB,

*：BE=BE,

：.^ABEdCBE(SAS),

：.EA=EC,Z-AEB=Z.CEB,

,:EF=EC,

：.EA=EF,

■:乙ECF=a,

工乙EFC=LECF=a,乙BCE=90°-a,

工乙CEF=180°-2a,匕AEB=乙CEB=180°-45°-(90°-a)=45°+a,

：,Z.AEF=360°-4AEB-乙CEB-乙CEF=360°-2(45°+a)一(180°-2a)=90°,

'：EA=EF,

J.Z-EFA=/.EAF=45°,

：.^AFD=180°-/.EFA-乙EFC=180°-45°-a=135°-a,

:.LDAF=900-LAFD=90°-(135°-a)=a-45°,

故选：B.

4.(重庆月考)如图，正方形48CD中，点E在CD上，点/在。力的延长线上，且"二CE,连接BF,EF,

BE,若乙DFE=a,则4ABE等于()

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A.90。-aB.45。-aC.2aD.45°+a

【答案】D

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过证明^BAF=△BCE

得出△E8尸是等腰直角三角形是解题的关犍.

由正方形的性质可得A8=8C,LABC=ZC=/.BAD=90°,进而可得4C=4F,再结合4F=

CE,利用SAS可证得△BAFWABCE,于是可得8F=BE,乙ABF=LCBE,进而可得乙EBP=90。，

由等边对等角及三角形的内角和定理可得乙8FE=45°,rfuDFE=a可得可得匕A8F=45°-Q,进而

可得答案.

【详解】解：•.•四边形48co是正方形，

AB=BC,乙ABC=Z.C=乙BAD=90°,

•••乙BAF=180°-4BAD=90°,

zf=乙BAF,

又，：AF=CE,

••.△BA尸三△BCE(SAS),

：.BF=BE,Z,ABF=Z.CBE,

：.Z.ABF+Z.ABE=UBE+Z-ABE=Z.ABC=90°,

:,乙EBF=90°,

'：BE=BF,

，(BFE=乙BEF=3x(180°-90°)=45°.

•:乙DFE=a,

:.Z-ABF=900-LAFB=90°-(4AFE+Z-BFE)=90°-(a+45°)=45°-a,

：.Z-ABE=900-Z-ABF=90°-(45°-a)=a+45°,

故选：D.

5.（一外月考）如图，在边长为3的止方形48co中，点石是BC上一点，点尸是C。延长线上一点,

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连接AE,AF,4M平分乙£4〃交C。于点A/.若BE=DF=1,贝"EM的长度为(〉

A.-B.-C.2D.警

225

【答案】B

【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质

及三角形全等的判定及性质，证明力£=力?，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明

EM=FM,设fM=%,则FM=x,MC=4-x,CE=2,在Rt△MCE中根据勾股定理求解即可，

掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的性质、勾股定理是解题的关键.

【详解】解：••加边形4BCD是正方形，

：,AB=AD,Z,ABE=Z.ADF=90°,

:.在Rt△和Rt△4DF中，

AB=AD

乙ABE=Z.ADF,

BE=DF

:.Rt△ABE三Rt△ADF(SAS),

：.AE=AF；

FM平分"4几

：.^EAM=/-FAM,

・••在AAEM和A/IFM中，

AE=AF

LEAM=FAM,

.AM=AM

：,^AEM三△力尸M(SAS),

：.EM=FM,

•・•四边形4BC。是正方形，

:.BC=CD=3,乙BCD=90°.

设EM=x,则/M=x,MC=CD-DM=3—(x—l)=4-x,

CE=BC-BE=3-1=2,

在心△MCE中，根据勾股定理，得EM?=M(?2+CE2,

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即*2=(4X)2I22,

解得：x=g，

：.EM=-,

2

故选：B.

6.（礼嘉期中）如图，在正方形4BCD中，力B=4,E是CD的中点，将△4DE沿4E翻折至△/1FE,连

接CF,则C尸的长度是（）

【答案】B

【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的

关键.

连接。凡交力E于H,由勾股定理可求4E的长，由折叠的性质可得DE=EF=2,AE1DF,FH=DH,

由面积法用求。“二¥，根据勾股定埋可求E”的长，由三角形中位线定埋即可得出结果.

【详解】解：如图，连接。凡交AE于H,

•・•在正方形4BCD中，48=4,E是CO的中点，

=BC=CD=4,CE=DE=2,AADC=90%

•ME=y/AD2+DE2=V1T+4=2遍,

•・•将△ADE沿4E翻折至△AFE,

：.DE=EF=2,AE1DF,FH=DH,

•^AADE=~XAExDH=|xADxDE,

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：A晶

.DHM'

_2V5

：.EH=VDF2-DH2=

*：CE=DE,FH=DH,

：.CF=2EH=于,

故选:B.

7.(北储月考)如图，正方形4BCD中，4B=4,点E、尸分别在边CD、AD上，BE、CF相交于点G,

BE=CF=V17,点。是B9中点，则0G的长为.

【答案】2.5

【分析】本题考杳了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据

正方形的性质证明Rt△BCE=RtACOF(HL),可得乙BEC="T7。，然后利用角的和差证明BE1CF,

再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得0G的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】・・•四边形"CD是正方形,

:・BC=CD,Z.BCD=ZD=90°,

*：BE=CF

：.Z.BEC=zCFDo

VzCFD+zDCF=90°,

，乙BEC十乙DCF=90°,

:,乙CGE=90°,

：,BE1CF,

•••△8GF是直角三角形，

•••点。是8尸中点，

：

.OG=-2BF,

在正方形力BCD中,AD=AB=4,

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*：BE=cr=后,乙BCD=zD=90°,

:,CE=DF=y/BE2-BC2=1,

：,AF=AD-DF=3,

：.BF=yjAB2+AF2=5,

：.OG=-BF=2.5,

2

故答案为：2.5.

【题组三四边形为背景的大几何证明】

8.（渝北开学）正方形48CD对角线AC,相交于点。，E为线段力。上一点，连接BE.

（1）如图1,若BE=法,AE=戏,求的长度；

：2）如I图2,F为BC上一点,连接DF,G为。尸上一点，连接。G,CG,若乙DOG=4BE。，乙FGC=乙BDF,

AE=CG,求证：BE=2CG；

【答案】（1）3

；2）见解析

【分析】（1）过点E作EHJLA8于H,由正方形的性质可得/8AE=乙48。=45。，推出为等腰

直角三角形，推出AH=HE=gAE=1,在Rt△BHE中,根据勾股定理求出8H,即可求解AB=AH+

48的长：

（2）过点C作直线MNII8D,交OG延长线于M,交OG延长线于N,连接8M,根据平行线的性质结合

已知的乙尸GC=N80F,推出4DMN=4FGC,得到CG=CM,由4E=CG可得AE=CM,结合正方

形的性质可得AB=BC,ABAE=乙DBC=45°,结合平行线的性质得到N8CM=乙DBC=45°=

LBAE,从而证明△B4E三△BCM（SAS）,得到BE=BM,^ABE=^CBM,结合角的等量代换推出

BM||0G,进而可证明四边形80NM是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明40DG

NMG（SAS）,得到。G=GN,即G为ON的中点，根据直角三角形的中线定理即可证明；

【详解】（1）解：如图1,过点£作£“14?于H,

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图1•.•四边形ABC。为正方形，

/-BAE=/-ABO=45°,

为等腰直角三角形，