整式乘法易错压轴（20大题型60道）解析版-2025-2026学年七年级数学下册（苏科版）

整式乘法易错压轴（20大题型60道）

题型归纳

题型一：单项式乘单项式及求值

题型二：单项式乘多项式及求值

题型三；单项式乘多项式的应用

题型四：多项式乘多项式

题型五：多项式乘法的化简求值

题型六：已知多项式乘积不含某项求字母的值

题型七：多项式乘多项式与图形面积

题型八：运用平方差公式进行运算

题型九：平方差公式与几何图形

题型十：运用完全平方公式进行运算

题型十一：通过对完全平方公式变形求值

题型十二：完全平方公式在几何图形中的应用

题型十三：求完全平方式中的字母系数

题型十四：多项式乘法中的整体代入求值（压轴）

题型十五：已知多项式乘积不含某项求字母的值（图形压轴）

题型十六：多项式乘法中的规律性问题（压轴）

题型十七：完全平方式的变形求值（压轴）

题型十八：完全平方式与几何图形综合（压轴）

题型十九：利用配方法求最值（压轴）

题型二十：乘法公式中的新定义运算（压轴）

；题型专练

题型一：单项式乘单项式及求值

1.（24-25八年级下•江苏苏州•期天）计算的结果是（）

A.4x3y2B.2."C.2XD.-2xy

【答案】B

【分析】本题考杳了单项式与单项式的乘法运算，解题的关键是掌握系数相乘、同底数幕相乘的法则.

1/49

先计算系数的乘积，再对同底数需分别进行指数相加，最后合并结果得到最终单项式.

【详解】解：-8xyJ-lx>j=-8x(-1jL3+2./+,=2xy

故选：B.

4

2.124-25八年级下•江苏南京・期末）若单项式-11vz与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则

【答案】2

【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是关键.

先根据单项式乘单项式的法则求解，再根据单项式的次数等于所有字母的指数的和求解即可.

44

【详解】解：v-ix3/zxx2B+,y=-yX2fl+4A，

4

乂•••单项式-与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，

:2〃+4+3+1=12t

2〃=4,

n=2.

故答案为：2.

3.（24-25八年级下•江苏无锡•期天）若（尸产t户）=/凡则求〃-〃的值.

【答案】y

【分析】本题主要考行了单项式乘以单项式，根据单项式乘以的项式的计算法则得到2Ab-2+2”=«皆,

m+2/7=5

据此可得.，「解之即可得到答案.

【详解】解：户）=/火

..武1+2”-卬-2+2〃=/",

m+2〃=5

[3〃-2=3'

5

m=­

3

5，

〃=­

3

10

3

题型二：单项式乘多项式及求值

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4.(24-25八年级下•江苏连云港•期末)计算：a\ab+b2)=()

A.a'b+b2B.ab+a2b2C.a3b+a2b2D.a2b+a2b2

【答案】C

【分析】本题主要考查了整式的乘法运算.根据单项式与多项式相乘的运算法则求解即可.

【详解】解：a2(ah+b2)=a2-ab^-a2-b2=ayb+a2b2.

故选：C.

5.(24-25八年级下•江苏淮安・期末)已知-+x=3,则7+x(x+l)=.

【答案】10

【分析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键.

将代数式x(x+l)展开为/+一然后利用已知条件/+x=3代入计算即可.

【详解】解：；％2+%=3,且X(J+1)=X2+,V,

二7+x(x+1)

=7+(X2+X)

=7+3

=10.

故答案为：10.

6.(24-25八年级下•江苏无锡•期天)某同学在计算一个多项式A乘-3/时，因抄错运算符号，算成了加上

-3?,得到的结果是V-4x+l.

⑴这个多项式A是多少？

⑵正确的计算结果是多少？

【答案】(l)4x?-4x+l

(2)-12/+121-3-

【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌

握整式的乘法运算、整式加减运算法则是解决问题的关键.

(1)根据题意，列式后，运用去括号法则及合并同类项求解即可得到答案；

(2)根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案.

【详解】(1)解：根据题意可得，

力=卜2_41+])_(_3巧

=』-4x+l+3x?

=4--4x+l;

(2)解：正确的计算结果为：

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(4?-4x+l)-(-3x2)

=4x2•(一3%2)-4x•(-3x?)+l•(-3l)

=-12X4+12X3-3X2.

题型三：单项式乘多项式的应用

7.（24-25八年级下•江苏常州•期天）己知某长方形的长为（a+〃cm,其中。＞人＞（）,它的宽比长短

（a-b）cm,求这个长方形的周长与面积.

【答案】周长为（2a+6〃）cm,面枳为（2M+2〃）cn?

【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，单项式乘以多项式与图形面积.先求解长方形的宽，再求

解长方形的周长与面积即可.

【详解】解：由题意可得：

这个长方形的宽为（。+力）一（。一人）=。+8一a+b=2b（cm）,

长方形的周长为2（a+6+2b）=（2a+6»cm,

长方形的面积为（a+»x2方=（2"+2〃）cm2.

8.124-25八年级下•江苏淮安・期末）明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改

动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示.

⑴根据平面图数据，用含。、b.。的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积S.

⑵已知〃=6m,^=lm,c=4m,且装饰板块一所用布料单价为5元/m2,装饰板块二所用布料单价为7

元/»?，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？

【答案】（1）5=ac-4b2

⑵完成新装饰区域全部铺设，总费用为132元

【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意；

（1）根据图形可直接进行求解；

（2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解.

【详解】（1）解：由图形可知：S=ac-4b\

（2）解：由图可知：装饰板块•的面积为2/{-2力）=2/-4火装饰板块二的面积为。（。-23）=的-2庆,

va=6m,/>=Im,c=4m,

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••・装饰板块•的面积为2历一4〃=2x1x4-4xF=4m2，装饰板块二的面积为ac-26c=6x4-2x1x4=16m2，

•••总费用为5x4+7x16=132（元）：

答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为132元.

9.（24-25八年级下•江苏盐城•期末）如图，一张长方形硬纸片力4。。，长/。为（5a+49m,宽AB为

6am,在它的四个角上分别剪去一个边长均为2am的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子,

请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积.

【分析1本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关

键.利用纸片的面积减去剪去的乙个小正方形的面积就是盒子的表面积.

【详解】解：依题意，纸片的面积是：（5〃+46）・6a=301+24必：

一个小正方形的面积是：（2〃）2=4/，

则无盖盒子的表面枳是：30/+24ab—4x4/=24ab+14/（m2）.

题型四：多项式乘多项式

10.（24-25八年级下•江苏南京•期末）若（、-2）"+3）=/+妨+〃,则机+〃的值为（）

A.-IB.1C.-5D.5

【答案】C

【分析】本题考查多项式乘以多项式，直接运用多项式乘法法则展开，通过系数对比求解出用和〃的值，

再计算它们的和即可.

【详解］解：v（x-2）（x+3）=x2+3x-2x-6=x2+x-6,

Xv（x-2）（x+3）=x2+nix+n,

=1,n=-6,

m+ii=1+（-6）=-5,

故选:C.

11.（25-26八年级上•四川自贡・期末）已知关于x的代数式有（x+2）（x+〃?）=x2+内一6,则/〃〃=.

【答案】3

【分析】本题考查了多项式乘多项式、代数式的求值，通过展开左边代数式并比较等式两边对应项的系数,

建立关于〃?和〃的方程，求解得到加和〃的值，进而计算〃皿的值.

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【详解】解：展开左边代数式：(x+2)(x+m)=/+W+2)x+2加，

与右边代数式一+以一6比较，得：

常数项:2m=-6,解得m=-3；

一次项系数：m+2=nf代入/〃=-3,得〃=-1,

因此，/M/2=(-3)X(-1)=3,

故答案为：3.

12.先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题：

(x-5)(.r+6)=：

(x-5)(x-6)=：

(x-5)(x+6)=；

(x-5)(x-6)=；

(1)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则(x+〃?)a+〃)=：

(2)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果

①(。+10)(〃-11)=：

②3-5)8-8)=；

(3)在计算(x+a)(x+与时，甲把b错看成了6,得到结果是：/+81+12;乙错把。看成了一〃，得到结果:

/+X—6.依据上述发现的规律，直接写出。=,b=.

【答案】X2+11X+30：x2-1lx+30；X2+X-30；X2-X-30；(1)x2+(m+n)x+mn；(2)

①d-a-UO,②/_i3y+40；⑶2；3

(分析］根据多项式乘以多项式进行计算即可求解：

(1)根据规律写出公式，即可求解；

(2)根据公式计算即可求解；

(3)根据题意，计算(x+a)"+6),求得Q的值,计算(工-。)(1+6)进而求得6的值,即可求解.

22

【详解】解：(x+5)(x+6)=x+6x+5x+30=x+1Lr+30;

(x-5)(x-6)=x2-5x-6x+30=A2-1lx+30；

(x-5)(x+6)=/+6x-5x-30=k+x-30；

(x-5)(x-6)=x2-6.v+5x-30=-x-30：

故答案为：X2+11X+30：X2-11X+30：X2+X-30：X2-X-30；

(1)(x+m)(x+w)=x2+(m+w)x+mn

故答案为：x2+(m+n)x+mn.

(2)①(。+10)(。一11)=/一a-］］。，

故答案为：a2-a-W0.

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②(k5)(y-8)=/-13y+40,

故答案为：/-13y+40.

(3)依题意，(x+a)(x+6)+(6+a)x+6a=/+8x+12

•••a=2,

(x-t/)(x+/))=(x-2)(x+Z))=x2+(b-2)x-2h=x2+x-6

:.b=3,

故答案为：2：3.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.

题型五：多项式乘法的化简求值

13.(25-26八年级上•福建厦门•期中)先化简，再求值：(x-l)(x-2)-x(x+l),其中x=g.

【答案】-4x+2,0.

【分析】本题考查了整式的混合运算..先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，然

后把x=g代入计算即可解答.

【详解】解：(X-I)(X-2)T(X+1)

=JT2-3x+2-x2-x

=4+2,

当工=4时，原式=_4乂工+2=_2+2=0.

22

14.(25-26八年级上•四川德阳•月考)计算题：

⑴计算：2(二)4一〃(/)2_(_4.(一/)2.(一“).

⑵先化简,再求值:(2x-l)(x-4)-2(x+3)(x+2),其中x=-l.

【答案】(1)0

(2)-19x-8,11

【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键.

(1)根据某的乘方和积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项把原式化简；

(2)根据多项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算，得到答案.

【详解】(1)解：2(/)4-〃(/)2./_(_〃)3.(一/)2.(一〃)

=2ax-aa'•«'-(一*./.(―q)

MW-/"

=0

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(2)解：(2x-l)(x-4)-2(x+3)(x+2)

=2r?-8x-x+4-2(x?+2x+3x+6)

=2X2-9X+4-2X2-I0X-12

=-19x-8

当工=一1时，原式=—19x(—1)-8=19—8=11

15.先化简，再求值：

⑴(.1+力(工一田-(4/夕-8.打3)+2孙，其中x=l,y=-3

(2)\2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]x2y,其中x=3j=2.

【答案】⑴*+3/,26

(2)x-yti

【分析】本题考查整式的混合运算以及整式的化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.

(1)根据平方差公式和多项式除以单项式化简，然后将x=L3=-3代入求值即可；

(2)根据单项式乘多项式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将x=3,y=2的值代入化简后

的式子即可解答本题.

【详解】解：(1)^A=x2-xy+xy-y2-(2x2-4y2)=x2-y2-2x2+4v2=-x2+3/.

当x=L歹=-3时，原式=-12+3X(-3)2=T+27=26.

(2)原式=(2x》-2x2y2+x2y2-x3y^x2y

=(ry72yx2y

=x-y.

当i=3,»=2时，原式=3-2=1.

题型六：已知多项式乘积不含某项求字母的值

16.(24-25八年级下•江苏苏州•期末)已知(x+a)(x+6)=/+〃?x+〃，若不论。为何值，2〃L〃的值始终是一

个确定的值，则这个确定的值是()

A.4B.2C.-4D.-2

【答案】A

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题.根据多项式乘以多项式的计算法则得到

x2-(a+b)x+ab=x2+mx+n,则加=a+b,〃=ab,进而可得2“7-〃=24+28-4力=(2-6)。+2方，再根据

2吁〃是定值，得到2-6=0,据此求解即可.

【详解】解：V(X+fl)(x+Z>)=x:+mx+n,

/.x'+(a+b)x+ab=x2+mx+n,

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m=a+b,n=ab,

：.2m-n=2a+2b-ab=(2-b)a+2bt

•••无不论。为何值，2〃・〃的值始终是一个确定的值，

2-=0,

h=2,

2加一〃=28=2x2=4,

故选：A.

17.(24-25七年级下•江苏苏州•月考)要使多项式(T2+QX+1)-6X-9展开后不含x的二次项，则。与b

的关系是.

【答案】b=6a

【分析】本题主要考查整式的运算，根据整式的乘法进行运算，合并后，使x的二次项系数等于0即可求

解.

【详解】解：(-x2+av+l)(-6x-Z>)

=6.v'+bx'-6ax*-abx-6x-h

=6x3+(/?-6«)x2+(-ab-())x-b,

•.•多项式(一x~+3+1)(-6彳一/>)展开后不含式的二次项，

:'b-6a=0,

:.b=6a,

故答案为：b=6a.

18.(24-25八年级下•江苏淮安・期末)已知关于x的多项式加r+〃与V-3x+4的乘积的展开式中不含f项,

且3的系数为2,求胪的值.

【答案】36

【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确不含工的二次项，则二次项的系数为0.

根据多项式乘以多项式法则进行运算，再利用关于x的多项式3一〃与f-3x+4的乘积的展开式中不含Y

项，且丁的系数为2建立方程，即可求解.

【详解】解：(mx+«)(x2-3x+4)

=nixy-3mx2+4/M.V+nx2-3nx+4〃

=nix3+(-3w+〃)x?+(4ni-3〃)x+4〃

•••展开式中不含/项，且/的系数为2

Am=2,-3in+/z=0,解得〃=6,

M2

.•.W=6=36.

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题型七：多项式乘多项式与图形面积

19.（24-25七年级下•江苏无锡•月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为2〃+力，宽为力的长方形空地,

计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为的人行通道.

:2a+bI

⑴求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）；

⑵当a=2002=100时，求这两个长方形喷泉池的总面积.

【答案】⑴2（〃一炉（或2a2-4而+2从）

⑵20000

【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键.

（1）根据题意求得两个长方形喷泉池的长与宽的和，然后计算两个长方形喷泉池的面积即可；

（2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算即可.

【详解】（1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为（a+b-2b）,它们宽的和为（2。+8-3b）,

贝!］（。+6—26）（2。+力一38）

=（a-b）（2a-2b）

=2（a-b）2

=2a2-4ab+2b2,

即这两个长方形喷泉池的总面积为加2一4必+2〃；

（2）当。=200,6=100时，

2a2-4ab+2b2

=2x2（）（尸-4x20（）乂1（）（）+2x1（）（）2

=80000-80000+20000

=20000,

即这两个长方形喷泉池的总面积为20000.

20.（24-25八年级上•江苏南通•期中）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所

示），留下一个“〃型的图形（阴影部分）.

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（1）用含X,y的代数式表示"〃型图形的面积并化简：

⑵若）,=3x=12米，”〃型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价.

【答案】⑴"尸型图形的面积为（2—+5个，）；

（2）5440元

【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键.

（1）根据图形可用割补法进行求解；

<2）把夕-3》-12代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价=”「型区域的面积乂单价，进而

问题可解.

【详解】（1）解：由题意得：“厂里图形的面积为（2x+y）（x+2j）—2/=2/+5个+2/-2/=2/+5个：

（2）解：当y=3x=12米时，此时x=4米，

/.2x2+5x>^=2x42+5x4x12=272（平方米），

造价为272x20=5440（元）.

21.（24-25七年级下•江苏南京•期末）一个正方形边长为。+4（“为常数，。>0）,记它的面积为E.将这

个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2,得到一个长方形，记该长方形的面积为S?.

⑴求S2（用含。的代数式表示）.

⑵小丽说无论。为何值，工与52的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？

⑶将原正方形一组邻边分别增加4和减少3,得到一个长方形，记该长方形的面枳为S3,比较S?与导的大

小.

【答案】⑴S2=/+8Q+12

（2）同意；理由见解析

S3>$2（。>4）

（3）S3=S2（”4）

S3Vs2（0<a<4）

【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，熟练掌

握整式乘法运算法则.

（1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可；

（2）求出耳-邑，然后进行判断即可;

（3）表示出S3,然后再作差，比较大小即可.

【详解】（1）解：得到的长方形的两边长分别为。+4+2=。+6,。+4-2=。+2,

:.S：=（白+6）（“+2）="+84+12：

（2）解：同意；理由如下：

S、-S]=（a+4）~—a~—8a—12

11/49

=/+8。+16-。2-8。-12

=4,

・•.E与S?的差都不变.

2

(3)解:,.•S3=(«+4+4)(6r+4-3)=(£Z+8)(«+l)=67+96Z+8,

:.S1—S2=,+9a+8——8a—12=a—4,

.,.当a>4时，S3>S2,

当《=4时，S3=S2,

当0<a<4时，S3<S2f

S3>S2(a>4)

综上分析可知：5二邑.

S3<S2(O<a<4)

题型八：运用平方差公式进行运算

22.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是()

A.(x+t?)(x-a)B.(a+6)(-

C.(-x-/?)(x-b)D.(b+m)(ni-b)

【答案】B

【分析】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键.

根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解.

【详解】解：平方差公式的形式为(。+方)(4-»=/一/,

选项A:a+〃)(x-a),相同项x,相反项。和一。，故选项A符合公式；

选项B:(a+b)(-a-b),没有相同项，故选项B不符合公式；

选项C:(-x-b)(x-Z>),相同项-d,相反项-x和x,故选项C符合公式；

选项D:+,相同项比，相反项6和-6,故选项D符合公式.

故选择B.

23.(25-26八年级上•江苏苏州•期中)若。+力=4,a-b=2f则代数式-/的值等于

【答案】8

【分析】本题考查因式分解一一平方差公式.利用平方差公式变形后求解.

【详解】解：：。+匕=4,a-b=2t

a'—h2=(4+-b)=4x2=8,

故答案为：8.

24.(25-26七年级上•江苏盐城•月考)观察下列等式，并完成下列问题：

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第1个：22—1=1x3;

第2个：32-1=2x4;

第3个：42-1=3x5;

第4个：52—1=4x6;

⑴请你写出第6个等式：；

⑵第〃个等式可表示为：：(/?>!,且〃为整数)

⑶运用上述结论，计算：2025?-2023?.

【答案】⑴7?-1=6x8

(2)(〃+1)2-1=〃(〃+2)

(3)8096

【分析】本题主要考查了数字规律计算及有理数的乘方运算，理解题意，找出相应规律是解题关键.

(1)利用规律进行表示即可；

(2)根据给出的示例，找出规律，用代数式进行表示即可；

(3)利用规律展开计算即可.

【详解】(1)解：根据题意得，

第6个等式为72-1=6x8,

故答案为：7?-l=6x8;

(2)解：第〃个等式可表示为(〃+1)2-1=〃(〃+2),

故答案为：(〃+1)2-1=〃(〃+2)；

(3)解：20252-20232

=(20252-1)-(20232-1)

=2024x2026-2022x2024

=2024x(2026-2022)

=2024x4

=8096.

题型九：平方差公式与几何图形

25.如图1,从边长为。的大正方形中剪去-一个边长为人的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2

所示的长方形.根据图形的变化过程可以验证等式()

13/49

C.(a+h)2=a2+2ah+b2D.a2-b~=(a+b)(a-b)

【答案】D

【分析1本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示陕影部分的面积是解题的关键.由图1中大正

方形的面积•小正方形的面积=图2长方形的面积，进而可以证明平方差公式.

【详解】解：图1中，大正方形的面积•小正方形的面积=/-从，

图2中，长方形的面积=(。+6)(。-6),

根据面积相等，得a2f2=(a+b)(a—b),

故选:D.

26.(24-25七年级下•江苏扬州•期末)如图，小正方形48C。和大正方形CE尸G相邻，&C,G三点在同一

条直线上，C,。，E三点在同一条直线上，连接力E,OG,EG.若阴影部分的面积为8,则大正方形的面积

与小正方形的面积之差为.

【答案】16

【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是根据图形求出面积.设大正方形的边长是。，

小正方形的边长是仇则。七=。-人大正方形的面积是/，小正方形的面积表示为从，阴影部分的面积为

8,即S^DE+S&GM=8,即:(〃—4)X力十;(a-刀xa=8,化简可得/一/=16,据此解泮.

【详解】解：设大正方形的边长是。，小正方形的边长是上则OE=a-人

•••阴影部分的面积为8,

•，-S/DE+SQGDE=8,

:.^(a-b)xb+—(a-b)xa=S,

；(□-/>)(〃+〃)=8,

14/49

•"*a'-b~=16•

•••大正方形的面积与小正方形的面积之差为16.

故答案为：16.

27.（24-25六年级下•山东威海•期中）如图，在边长为。的正方形上裁去边长为〃的正方形.

⑴图1阴影面积是二

⑵图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式「

⑶运用得到的公式，计算：…（「焉上一.

【答案】⑴力一】

（2）（。+8）（4-力）=4I2-b2

⑶黑

【分析】本题考查平方差公式的证明和应用.理解平方差公式的结构特征是止确应用的前提.

（1）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得；

（2）根据图1阴影面积和图2面积相等即可直接填空；

（3）根据平方差公式计算即可.

【详解】（1）解：阴影面积是：a2-b2,

故答案为：a2—b2；

（2）解：根据梯形的面积公式可知图2中阴影部分的面积为：

2x—+b）（a-b）=（a+b）｛a-b）,

.何以得到的乘法公式为（。+力）（。-力）=/,

故答案为：（a+b）（a-h）=a2-b2；

I101

—x---

2100

15/49

101

200

故答案为：

题型十：运用完全平方公式进行运算

28.（24-25七年级下•河北邯郸•期末）下列关系式中正确的是（）

A.（r?-Z>）2-a-b-B.（（/+Z;）（a-^）=a2-b2

C.（a+b）~=a2+b2D.（a+b）~=a2-lab+b2

【答案】B

【分析】本题考查了乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.根据平方差公式和完全平

方公式逐项判断即可求解；

【详解】解：A、（a-b）2=a2-2ab+b\该选项关系式错误，不合题意：

B、（。十。）（。-力）=。2一人2,该选项关系式正确，符合题意；

C、（。+力『=/+2岫+/，该选项关系式错误，不合题意；

D、（a+b）2=a2+2ab+b2,该选项关系式错误，不合题意；

故选：B.

29.（24-25七年级下•江苏泰州•月考）若/+R>=17+m,〃+ab=8—加.则。+力=.

【答案】±5

【分析】本题给出两个关于“、b与，〃的等式，要求。+匕的值.解题思路是将两个等式相加，然后通过因

式分解的方法，将式子转化为含有6的形式，进而求出6的值.本题主:要考查了因式分解以及平方根

的概念，熟练掌握完全平方公式（。+方）2=/+2。6+/以及平方根的求解方法是解题的关键.

【详解】解："a2+ab=\l+m,b2+ab=S-m,

•••a2+ab+b2+ah=\7+ni+S-m,

a2+2ab+b2=25

（4+6）2=25

.,.a+b=±5f

故答案为：±5.

30.（24-25七年级下•江苏南京南考）计算：

（l）［2a+b）（a-4b）；

⑵（2+3硕3〃-2）：

16/49

(3)(*3)(M3)；

(4)(2X-J+3)(2X+7-3).

【答案】(1)2Q2-7Q8一4/r1；

(2)9/一4；

1o■

(3)77^4--x+81；

Io2

(4)4x2-y2+6y-9

【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键

(1)利用多项式乘多项式法则计算即可；

(2)先变形，再利用平方差公式计算即可；

(3)先变形利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可；

(4)先变形两个因式，再利用平方差公式计算，最后利用完全平方公式计算即可.

【详解】(1)解：(2a+h)(a-4h)

=2a2+ah-^ab-4b2

=2a2-7ab-4b2.

(2)解：(2+3a)(3a-2)

=(3a+2)(3〃-2)

=9/_4.

■IST®+3)

(4)解：(2x-y+3)(2x+y-3)

=[2x-(y-3)][2x+(y-3)]

=4x2-(.y-3)2

=4x2-y2+6y-9.

题型十一：通过对完全平方公式变形求值

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31.(24-25八年级下•江苏盐城•期末)若a+b=-4,ab=-2,则(a—=()

A.8B.12C.16D.24

【答案】D

【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式g±6)2=/±2ob+〃是解答本题的关键.根据

完全平方公式变形求解即可.

【详解】解：•••。+6=-4，"=-2,

=(»+/?)"-4ab

=(-4)2-4x(-2)

=24,

故选:D.

32.(24-25七年级下•江苏连云港•期中)若=7,("炉=5,则/+/=.

【答案】6

【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.根据

(a+4+(a-b)2=2(a2+〃)，代入数据求值即可.

【详解】解：：(a+b)2=7,("5『=5,

­•a2+2ab+b2=7»a2-2ab+b~=5»

将两式相加可得：2/+2/=12,

贝lj/+b2=6，

故答案为：6.

33.(24-25七年级下•江苏无锡・期中)已知x+y=6,x2+y2=22,求：

⑴9的值；

⑵(x-y『-4的值.

【答案】⑴7

⑵4

【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

(1)利用完全平方公式变形求解即可；

(2)先将完全平方公式展开，利用整体思想代入求解即可.

【详解】(1)解：-(x+y)2=x2+2xy+y2,

.'.2xy=(x+y\-(x2+/),

•.•x+y=6,x2+y2=22.

18/49

.'.2xy=62-22=14,

二号=7；

(2)解：(x-y)2-4

-2xy+y2-4

=(x2+y2)-2xy-4

=22-2x7-4

=4.

题型十二：完全平方公式在几何图形中的应用

34.（24-25七年级下•江苏淮安・期末）现有长与宽分别为八方的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼

成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：

⑴根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于〃的关系式；（用含力的代数式表示出来）；

图1表示：;图2表示：.

⑵根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

①若x+j,=4,/+）,2=i3,求孙的值；

②如果2m+3〃=5,加〃=1,求4/一9〃2的值.

【答案】⑴（a+b『=/+2ab+〃；（a+b）2=（a-b）2+4ab

⑵①I；②±5

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的变形应用，平方差公式，解题的关键是熟

练掌握完全平方公式和平方差公式.

（1）图1中由两个长与宽分别为。、方的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长

为（。+力）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为。，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方

形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；

（2）①将根据完全平方公式用含有工+乂，+/的式子表示出来，然后代入求值即可.

②利用完全平方公式先求出26-3〃=±1,再根据平方差公式求解即可.

【详解】（1）解.：图1表示（a+b『=/+2H+〃；

19/49

图2表示(a+b)~=(a-b)~+4ab；

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a+b)2=(a-h)2+4ab；

(2)解：①•••x+y=4,

:.(J+y)~=x2+2xy+y2=16,

vx:+y2=13,

:.2xy=16-13=3,

3

即今=5；

②,/2ni+3〃=5,mn=1,

(2〃？-3n)=(2〃？+3〃-4x2rnx3n

=(2m+3〃)~-24mn

="24

•••2/w—3n=±1,

当2加一3〃=1时，4/n2-9n2=(2m+3n)(2/n-3w)=5xl=5；

当2〃?-3〃=-1时，4m2-9n2=(2/M+3/?)(2m-3n)=5x(-l)=-5；

综上分析可知：4W2-9«2=±5.

35.(24-25七年级下•江苏宿迁•月考)如图1是一个长为4〃、宽为力的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成

图1图2图3

⑴图2中的阴影部分的面积为；(用。、方的代数式表示)

(2)观察图2请你写出(a+b『、(a-b)\必之间的等量关系是；

⑶实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你有什么发现？

【答案】⑴9-a)?

(2)(a+b)2-(a-d)2=4ab

⑶(°+8)(3a+b)=3/+4ab+b2

【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形.多项式乘多项式等内容,F确掌握相关件质内容是解题的

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关键.

（1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答.

（2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答.

（3）结合面积相等，列式即可作答.

【详解】（1）解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为伍-〃），

・••图2中的阴影部分的面积为他-°）2,

故答案为：伍-々J;

（2）解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，

即（4+6）,-=4ab,

故答案为:（a+b）2-（a-b）2=4ab：

（3）解：依题意，大长方形的宽为（。+»,大长方形的长为（3〃+»,

故大长方形的面积为（。+»（3。+6）；

•••观察图形，大长方形是由3个小正方形、1个大正方形，4个小方形组成的，

•••大长方形的面积为3/+4ab+b2<

gp（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2.

故答案为:（a+b）（3a+h）=3a2+^ab+b2.

36.（24-25八年级下•江苏苏州・期木）

【知识技能】

已知：(4+8『=/+〃+2"；(a-b)2=a2+b2-2ab；

填空：(1)①a?+6?=(”+))2_；(2)(a+6)~-(a-b)~=

【数学理解】

若工满足(5—x)(.”2)=2,求(5-力2+"-2)2的值.

解：设5-x=〃，x-2=h,

则(5-x)(x_2)==2,«+/>=(5-.r)+(x-2)=3,

+(x-2)2=a2-^~b2=(Q+/>)2-2ab=3。-2x2=5.

【解决问题】

(2)①若x满足(7-x)(x-3)=3,则(7-4+(尸3)2=；

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②若X满足(X+1)2+(X—3)2=26,求(x+l)(x-3)的值；

③如图，己知正方形力EWG被分割成4个部分，其中四边形CQEF与8CNG为正方形，若48=x,力。=x+1,

四边形力8C。的面积为6,求正方形4EMG,的面积.

【答案】(1)①2",②4而；(2)①10,②5,③25

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键.

(1)根据完全平方公式进行解答即可；

(2)①设4=7—x,b=x-3,由题意得。十/>=4,ab=3,根据=(。+力『一2。)进行计算即可；

②设m=x+l,〃=x-3,由题意得m-〃=4,m2+/=26,根据机〃=贮立史二也代入计算即可；

2

③设/18=x,AD=y=x+\,根据题意得x-y=x-(x+l)=-l,孙=x(x+l)=6,x+y=2x+l,由

s正方形如G=AE2=(X+y)2=(x-y)2+4xy,代入计算即可.

【详解】解：(i)①•••(。+32=/+〃+2仍，

/.a~+b:=(«+/>)'-2ab,

故答案为：lab.

@v(a+bf=a2+b2+2ab：(a-b)2=a2+b2-2ab；

(a~\~b\-(a-b)2=4ab,

故答案为:4ab；

(2)①设〃=7-x,b=x-3,

:.a+b=4,t//>=(7-x)(x-3)=3,

.\(7-A)2+(X-3)2

=a2+b2

=(0+力)--2ab

=)6-6

=ID；

(2)设"i=x+1,n=x—3,

in-n=4,nr+n2=26»

.,.(x+l)(x-3)

=mn

(tn2+〃2)_

~2~

26-16

2

22/49

=5；

③由题意得x(x+l)=6,AE=AD+AB-2x+\,

设/8=x,AD=y=x+\,

j-y=x-(x+l)=-l,xy=X(A+1)=6,x+y=2x+\,

S正方形/JEMG=4E~

=(x+»

二(丫一/)+4xy

=14-4x6

=25.

题型十三：求完全平方式中的字母系数

37.（25-26八年级上•江苏南通•月考）若.d+8x+k是一个完全平方式，则〃的值为（）

A.一8B.8C.-16D.16

【答案】D

【分析】本题主要考查了求完全平方公式中的字母系数，利用完全平方式的结构特征，通过系数比较确定

参数值即可.

【详解】解:•••一+8x+k为完全三方式，

22

设其形式为（x+4『=x+2ax+a1

:.2<z=8,

解得：。=4,

:•k=a?=4=16.

故选:D.

38.（24-25七年级下•江苏扬州•月考）若关于x的二次三项式V+ax+4是完全平方式，则。的值是（）

A.4B.2C.±4D.±2

【答案】C

【分析】本题考查了完全、I'：方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2,熟:己完全平方公式是解题关键.

根据/+6+4=/+仆+22是完全平方式，得到这个完全平方式是：（x+2）2或。-2）2,展开后对比即可得

到答案.

【详解】解：•.•％2+。x+4=/+如+22是完全平方式，

・•.这个完全平方式是：。+2）2或（I-2>

即I2+ax+4=（x+2>=x2+4x+4或/+ax+4=（x-2）2=x2-4x+4

解得：a=4或a=-4

23/49

故"的值是±4.

故选：C.

2

39.（24-25七年级下•江苏苏州•月考）已知代数式X+2（W+3）X+16是一个完全平方式，则机的值为一

【答案】1或-7

【分析】此题考查了完全平方公式和•元一次方程的应用，根据/+2（/〃+3）工+16是•个完全平方式得到

2（阳+3）=±8,解方程即可得答案.

【详解】解：••・代数式/+2（加+3卜+16是一个完全平方式，

A?+2（〃I+3）X+16=（X±4）~=x?±8x+16,

2i：〃[+3）=±8,

解得〃?=1或-7,

故答案为：1或-7

题型十四：多项式乘法中的整体代入求值（压轴）

40.（24-25八年级下•江苏南京・期末）"整体思想”在数学中应用极为广泛.

例如:已知/-2=-36,求2a2+66-7的值.

解：•.七2_2=_36,

•••/+3Z）=2

.♦.2力+66-7=2（/+36）-7=2乂2-7=-3.

请尝试应用"整体思想”解决以下问题：

⑴已知犬―2y—3=0,求3./-6”1的值；

（2）已知/+2“一8=0,求Q（〃+2『-4（4一3）（。-1）+3（5〃-2）的值.

【答案】⑴10

⑵58

【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键.

（1）仿照题例，利用整体代入法解答即可；

（2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解.

【详解】（1）解：vx2-2y-3=0,

x2-2y=3,

.-.3?-6^+1

=3（x2-2y）+l

=3x3+1

=10.

24/49

(2)解：•••/+2a—8=0,

•••/+2a=8.

aJa+2)--1/(a-3)(a-1)+3(5a-2)

=+44+4)-a(/-4a+3)+15a-6

="+4cJ+4a-a'+4/-3a+15"6

=8/+16。-6

=8(a2+2a)-6

=8x8-6

=58.

41.(24-25八年级下•江苏无锡•期末)阅读：已知x1=3,求29卜》2-3/y-4x)的值.

分析：考虑到x,歹的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将/y=3整体代入求值.

解：2Mxiy-3/j,-4x)

=2x6/-6x4/-8x2y

=2(x》y_8x]

=2X33-6X32-8X3

=-24.

用上述方法解决以下问题.

⑴已知ab=3,求(2a%2-3a%+4a).(-2力)的值.

(2)已知。2+。一1=o,求/+2/-2026的值•

【答案】⑴-78

(2)2027

【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为己知

条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算.

(1)先展开整式乘法，将表达式整理为用而表示的形式，再代入时=3进行求值；

(2)由已知等式变形得到/=1_。和/+a=],通过降次将高次基转化为低次幕，再整体代入化简求值.

【详解】(1)解：(2//-3/〃+4a)・(—26)

=-4a%’+6a2b2-8ab.

vab=3,

二原式二-4(。