二次根式及其性质（知识解读+例题讲义+随堂检测）解析版-2024人教版八年级数学下册

第01讲二次根式及其性质

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部导航1考点清单

考点1:二次根式的定义与有意义条件

考点2：双重非负性的应用

考点3：二次根式性质的正向与逆向运用

考点4：房的化简

考点5：性质条件的辨析

用）导航2里难点

重点：

（1）双重非负性

（2）4条核心性质的灵活运用

2

（2）必与由）的区别

难点：

<1）含的字母后的化简

（2）非负性的综合应用

3"知识梳理.十7t

知识点1：二次根式的定义及有意义的条件

1.定义：一般地，我们把形如向aNO）的式子的式子叫做二次根式，“，”称为称为二

次根号.如行,师都是二次根式。

【总结】二次根式满足条件：

（1）必须含有：次

（2）世”数必须是」及数

2.有意义的条件

①单个二次根式：被开方数赴0。

②多个二次根式：所有被升方数均200

③含分母：被开方数20且分母K0

守题型精讲〜

【题型1二次根式的识别】

【典例1】下面是二次根式的是（）

A.1B.\[2C.V2D.7r4

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为2的根式，且被开方

数非负数.

【详解】解：二次根式需满足根指数为2且被开方数是非负数，

A选项：•••；为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意：

B选项：•.•迈的根指数为3,.••尤不是二次根式，故B选项不符合题意；

C选项：•.・应也指数为2且被开方数是非负数，.♦.企是二次根式，故C选项符合题意；

D选项；・••/q被开方数为一4V0,在实数范围内无意义，.•・«瓦不是二次根式，放D

选项不符合题意.

故选：C.

【变式1】下列式子中，属于二次根式的是（）

A.V8B.QC.Vx2+1D.R

【答案】C

【分析】本题考查了一次根式的定义，一般地，我们把形如碗（aN0）的式子叫做二次根

式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键.

根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案.

【详解】•.•二次根式需满足根指数为2且被开方数20,

对于A：V8,根指数为3,不是二次根式；

对于B：G，被开方数-5V0,无意义，不是二次根式；

对于C：y/x2+1,Vx2>0，x24-1>1>0.恒成立，是二次根式;

对JD：p,当％V0时，乙<0,被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子；

yxx

故选C.

【变式2】下列各式中，是二次根式的是()

A.V^6B.Vx2+2x+3C.y[dD.V9

【答案】B

【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大.解题的关键是掌握二

次根式的概念.形如"点"且Q>0的式子叫二次根式.

结合二次根式的定义即可求解.

【详解】解：A：在口中，—6V0,不合题意，故错误；

B：在V』+23+3=JO+I。+2中,(%+1尸+222>0,符合题意，故正确：

C:在伞中，Q的正负性不可确定，小合题意，故错误；

D：在海中，根指数是3,不合题意，故错误；

故答案是：B.

【变式3】下列各式J(x-1)2,EV7,a彳！中是二次根式的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键：根据

二次根式的定义，“形如VH(aN0)的式子”，逐一判断各表达式即可.

【详解】解：下列各式—1)2,I，V7,中是二次根式的有Ja-1)2,

共2个；

故选B.

【题型2求一次根式的值】

【典例2]已知实数，y满足y…一2025+,2025-X-焉,求无2024y2025的值.

【分析】本题考杳了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数器乘法的逆用，正确掌

握相关性质内容是解题的关键.先结合二次根式的非负性，得％-2025>0,2025-x>

0,即％=2025,乂因为y=7x-2025+y2025-x-焉,得、二一感，整理

x2024y2025=（xy）2024xy,最后代入数值计算,即可作答.

【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得%-2025工0,2025-x>0,

0%>2025,2025>x,

即％=2025,

町=广^+例而=-募=0+0]

20252025

贝|J%2024y202s

=%2。24y2024*y

=(0)2°24xy

2024

2025XX

盛)2025

(1

=(一1严4x

2025.

2025

【变式1]当％=5时，二次根式回工的值是（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键.将％=5代入后三计

算即可.

【详解】解：当％=5时，

V9—x=V9—5=x/4=2.

故选：B.

【变式2】《九章算术》中的“方田章〃论述了三角形面积的求法：“圭田术日，半广以乘正广”，

就是说：“S二角形=；x底x高”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三

斜求积术〃，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：s=

Ra2b2_（其中Q、6C为三角形的三条边长，5为三角形的面积）.在

△中，AB=y[6,AC=y/3,BC=V5,则△48C的面积为.

【答案】浮

【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可.

【详解】解：^AB=^6,AC=y[3,BC=V5.

团a=V5,b=V3,c=、石，

踹='［（可（可—（（可+4-（巧［=?,

故答案为：当.

【变式3】已知x,y是实数，且满足y=，%一6+16——+1.

（1）求％和y的值;

（2）求Jx+2y的值.

【答案】（1卜=6,y=1

（2）2注

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有

意义的条件求得％=6是解题关键.

（1）根据二次根式有意义的条件叫得x的值，进而得出），的值；

（2）将％,y的值代入万百计算即可

【详解】（1）,:x,y是实数，且满足y=Jx-6+"6-x+1,

fx-6>0

/，16-%>0

解得％=6

0y=1；

（2）当x=6.y=1时;

yjx+2y=-6+2x1=2\/2：

【题型3求二次根式中的参数】

【典例3］〃为正整数，旦是整数，那么〃的最小值是.

【答案】2

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，

二次根式的定义是解题的关键.

先根据二次根式的性质化简为：3而，由题意可知，质必须是整数，即2几必须是•个

完全平方数，当n=2时，271=2X2=4,4是完全平方数，进而得出答案.

【详解】解：•••71为正整数，且诚=3而是整数，

•••后必须是整数，即2n必须是一个完全平方数，

当n=2时，271=2x2=4,4是完全平方数，

此时扬i=/J=2,

•••3y/2n=3x2=6是整数，

n的最小值是2.

故答案为：2.

【变式1】已知析不是整数，则自然数m的最小值是（）

A.12B.9C.1D.4

【答案】D

【分析】本题考查二次根式.由是整数，可设4二衍右（人为非负整数），

则血=13-好，[[m>0,故火W13,枚举女值进而求出m的可能值，即可得出答案.

【详解】解：团旧=是整数，

团设k=113—m,其中k为整数且kN0,

则H=13—771，

0m=13-k2.

乂Em是自然数，

0m>0.即13一忆2>0,

13k2<13,

13k可取0,1,2,3.

当〃=0时，m=13-0=13；

当k=1时,m=13-1=12；

当k=2时，m=13-4=9；

当k=3时，m=13-9=4.

[3m的可能值为13,12,9,4,最小值为4.

故选：D.

【变式2]己知十|。-3|=0,则以。、〃为边的等腰三角形的底边长为.

【答案】3

【分析】由题意得，a-6=0,d-3=0.可求a=6,b=3,由等腰三角形可知，

第三条边为3或6,然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可.

【详解】解：团\区二石+仍一3|=0,

0a—6=0,b—3=0,

解得，a=6,b=3,

由等腰三角形可知，第三条边为3或6,

当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去；

当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6,6,3,底边长为3,

综上所述，以。、〃为边的等腰三角形的底边长为3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形

三边关系的应用.熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义,

三角形三边关系的应用是解题的关键.

【变式3】已知标V是整数，则自然数x的所有取值为.

【答案】13,12,9,4

【分析】本题考查了二次根式的定义，形如6（a>0）的式子叫做二次根式，还考行

了..次根式的性质：由已知可得12-丫20且1?-丫为完全平方数求解.

【详解】解：由已知得13—XN0,

•••x<13

乂国忻行为整数

••.13-x为完全平方数，

13-%=0或1或4或9

二自然数”的所有取值为:13,12,9,4.

【题型4二次根式有意义的条件】

【典例4】若代数式里有意义，则实数"的取值范围是（）

X

A.%工0B.x>—2C.x>一2且％=0D.x>一2且XH0

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，代数式有意义需满足分母不为零且

根号内非负，即不工0且％+2工0,即可求解.

【详解】解：团代数式互有意义，

X

0X0,且％+2N0即%>-2,

0%>-2且义工0,

故选：D.

【变式1】若式子迎彳二I有意义，则x的取值范围是（）

A.让旧B-x>-1C.XH-gD.x对

【答案】D

【分析】本题考杳了二次根式有意义的条件，形如府(a20)的式子叫二次根式，二次

根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

根据被开方数是非负数列式求解即可.

【详解】解：0>位口有意义，

02%-1>0,

02x>1,

0x>1.

因此，X的取值范围是X?右

故诜：D.

【变式2】当时，二次根式声7无意义.

【答案】工<3

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，被

开方数小于0",进而列不等式求解.

二次根式无意义的条件是被开方数小于0,据此分析即可.

【详解】解；二次根式走7』有意义的条件是被开方数2%-6t0,反之，当被开方

数2%-6<0时，二次根式无意义.

解不等式2%-6<0,得：

2x<6,即％<3.

故答案为：XV3.

【变式3】若代数式写有意义，贝k的取值范围是—.

X+1----

【答案】x<3ftx*-1

【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟记分母不为0,

被开方数为非负数是解本题的关键.

根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零得到3-％NO,%+1。0,进而求

解即可.

【详解】解:历代数式空有意义，

03—x>0.x+1,工0，

0xW3目.工工-1.

故答案为：％&3且久工一1.

为知识梳理

知识点2：二次根式的性质

（1）双重非负性620,a20:（主要用于字母的求值）

（2）回归性（J：）,=a,（67>0）:（主要用于二次根式的计算）

a(a20)

（3）转化性:

-a(a<0)

哲题型精讲]

【题型5利用二次根式的性质化简】

【典例5】己知一1cxV5,化简：J（1+X）2+|X-5|=.

【答案】6

【分析[本题考查化筒二次根式和绝对值，根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行

化简，求解即可，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键.

【详解】解：0-1<x<5,

01+x>0,x—5<0,

2J（1+%）?+|X—5|=1+X+5-X=6；

故答案为：6.

【变式1】当1WXW3时，化简：t%2-2%+1+|%一3|=.

【答案】2

【分析】本题考查二次根式的化简，绝对值的化简，掌握相关知识是解决问题的关键.根

据x的取值范围，将算术平方根化为绝对值形式，再根据非负数的绝对值等于它本身，

负数的绝对值等于它的相反数化简绝对值，最后合并同类项.

【详解】解：01<x<3,

121V%2-2x+1+|x-3|

=V(x-l)2+|x-3|

=|x-1|+|x—3|

=x-1+3-x

=2.

故答案为：2.

【变式2】已知-2V%<4,化简：J(x+21+J(x-4尸=.

【答案】

6

【分析】本题考查了二次根式的性质，先去根号，得到绝对值后，再结合X的取值范围

确定化简后每个绝对值的值，最后进行有理数运算.

【详解】v-2<x<4,

.•.%4-2>0,x—4<0,

:.Q(x+2产=|x+2|=%+2,4(x-4产=\x-4\=—(x—4)=—%+4,

13原式=Q+2)+(-x+4)=x+2-x+4=6.

故答案为：6.

【变式3】当1VQV2时，代数式J(Q—2)2+。的值是.

【答案】2

【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键.根据题意得到。-2<

0,据此计算算术平方根，再合并同类项即可得到答案.

【详解】解：:Iva<2,

•••a—2<0,

:.J(a-2尸+a=2-a+a=2,

故答案为：2.

【题型6数轴与二次根式的化简】

【典例6］已知实数a、/)在数轴上对应点的位置如图所示:试化简：必+J(a—6尸+屈=

()

—•~1------1~•----

b-10a1

A.2ciB.0C.2a—2bD.2b

【答案】C

【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根.由数轴得bvova,a-b>0,再利

用算术平方根的性质化简式子即可.

【详解】解：由数轴得，b<O<a,\b\>\a\,

回a-b>0.

+y/(a—bY+

=M+|a-b|+\b\

=a+a-b-b

=2a-2b；

故选：C.

【变式1】如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简J(Q—2尸的结果是

..a.

---1-------1।->

0--------12

【答案】2-a

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是关健.根据点

在数轴上的位置得到1VaV2,再由二次根式的性质得到结果即可.

【详解】解：由实数Q在数轴上的对应点位置可知1VaV2,

yf(a2)2=2a.

故答案为：2—a.

【变式2】实数。在数轴二的对应点的位置如图所示，则化简|a-1|+J(a-2产的结果是

()

----1------------------1---->

012

A.2a—3B.-1C.1D.3—2a

【答案】C

【分析】本题主要考查了数轴和实数，绝对值的性质，二次根式的性质，

根据数轴可知1Va<2,进而得a-l>0,a-2<0,再将原式化为|a-l|+|a-2|,

然后去绝对值即可.

【详解】解：根据数轴可知l<a<2.

0a-1>0,a-2<0,

0|a-1|4-J（a—23=|a-1|+\a-2\=a—1+2—a=1.

故选：C.

【变式3】如图，在数轴上，点A对应的数为。，点8对应的数为江则化简后+|a-团后

结果正确的是（）

AB

-----------1-----11------->

a0--b

A.-bB.bC.2Q+bD.-2a+b

【答案】D

【分析】本题考查了数轴上的点，二次根式的性质以及绝对值的意义，熟练掌握知识点

是解决本题的关键.

先确定a,b的符号，判断a-b的正负，+\a-b\=\a\+\a-b\^然后化简绝对值

即可.

【详解】解：•••av0,b>0,|b|>|a|,

a-bV0,

:.\[a^+\a-b\=\a\+\a-b\=-a—a+b=—2a+b,

故选：D.

3"随堂检测..

i.二次根式75』有意义的条件是（）

A.x>3B.x>-3C.x>-3D.x>3

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件•.根据被开方数是非负数列出不等式求解即

可.

【详解】解：团二次根式有意义，

0X-3>0.

>3.

故选D.

2.化简（一夕）2的结果为（）

A.±7B.±49C.7D.-7

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于

其被开方数是解题的关键.

平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数.

27

【详解】解：0(-V7J=(-1)2x(V7)=1x7=7,

13结果为7.

故选：C.

3.计算K③7的结果为()

A.±3B.3C.9D.V3

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键.

先计算根号内(-3尸的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项.

【详解】解：13先计算根号内的式子:(-3)2=9,

回京式=V9.

国算术平方根的结果是非负的，

0V9=3.

故选：B.

4.下列式子中，不属于二次根式的是()

A.V3B.2V2C.VaD.

【答案】C

【分析】本题考查J'二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可

判断.

【详解】解：A、V3,被开方数3>0,符合定义；

B、2鱼，被开方数2>0,符合定义；

C、迎，由于字母。的取值范围不确定，不能保证被开方数aN0,故该式子不一定是二次

根式，不符合定义；

D、If,被开方数;>0,符合定义；

yj66

故选：C.

5.已知，知25-。是正整数,则整数Q的最大值为()

A.2025B.2024C.2D.1

【答案】B

【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题

的关键.

由题意可得aW2025,要使V2025-a是正整数,即可得出当〃最大取2024时，

/2025-。是正整数.

【详解】解：•••2025-a20

a<2025

要使V2025—a是正整数,

即当a=2024时，72025-2024=1.

故整数Q的最大值为2024.

故选：B.

6.已知1<XV2,化简J（T一1尸+1一2|的结果为（）

A.-1B.1C.3-2xD.2-3x

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键.

先根据必=㈤化简二次根式，然后再根据1V%<2去绝对值即可.

【详解】解：（.X—I）2+|x-2|=|x-11+|x—2|,

01<x<2,

回％—1>0,x—2V0,

0|x-1|+|x-2|=x-1+2—%=1,

国［（X-1）2+|x-2|=1,

故选：B.

7,化简：Jl=一.

【答案】如5

【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键.

应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根.

【详解】上点吗

故答案是：上

8.y=a+y/1—2a+a2-其中a=99,则、=.

【答案】197

【分析】本题考查了二次根式的性质，通过将根号内的表达式化为完全平方形式，化简

后根据a的值确定绝对值，从而求解.

(详解］解：由题意，y=a+Vl-2a+a2.1-2a+a2=(a-I)2,

:.V1-2a4-a2=J(a—l)2=\a-1|.

当a=99时，a-1=98>0.

故|a—1|=a—1.

因此y=a+(a-1)=2a-1.

代入a=99,得y=2x99-1=198-1=197.

故答案为：197.

9.已知y=\J2—x+\jx—3—2.贝卜〉=.

【答案w

【分析】本题主要考有二次根式有意义得条件，掌握4有意义，则%>0是解题的关键.

根据题意，3-乃20且％-320,可解得x=