2026年高考数学二轮复习：导数基础思维核心应用（题型）（天津）原卷版

专题05导数基础思维核心应用

!目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

佟］典例引领他］方法透视性|变式演练

I

j【选填题破译】

i题型（）i导数的概念和几何性质

I题型02导数的运算

I题型03切线方程

!题型（）4导数中的同构问题

!题型05导数中的“距离”问题

!题型06原函数与导函数混合还原问题

i

:第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

选填题破译＜

题型01导数的概念和几何性质

典例引

【例1・1】（2026•天津河东力考）函数J，=/（x）的图象如下，r（x）是函数/（X）的导函数，下列大小关系

正确的是（）

A.2/（4）＜/（4）-/（2）＜2/（2）B.2/（2）＜/（4）-/（2）＜2/（4）

C.2/X2）＜2,r（4）＜/（4）-/（2）D./（4）-/（2）＜2/＞（4）＜2/（2）

【例1-2]（2026•天津河东・月考）曲线y=/*+l在点（0,2）处的切线与直线），=0和y=x围成的三角形的面

积为.

方依透规

函数/⑴在x=/处瞬时变化率是lim^=妈也L嗯二也2，我们称它为函数尸/（x）在x=/处的

导数，记作/'（/）或.

①增量—可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.©-0的意义：心与0之间距离要多近有

多近，即|--0|可以小于给定的任意小的正数；

②当&tT（）时，W在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

竺="%无限接近：

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即/0）=lim?lim/（/+小）一/（/）

&J。AxATTOAr

，变式窗依

Inx,x＞1

【变式1-1]（2026•天津西青•月考）已知定义在R上的函数/（幻=।2|八，若函数g*）=/（x）+〃比恰

\x一斗X＜1

有2个零点，则实数机的取值范围为.

【变式1・2】（2026•天津红桥•月考）已知awR,设函数/（x）=a・kt的图像在点（1,/。））处的切线为/,

则I在p轴上的截距为（）

A.-1B.a-\C.aD.i

【变式1・3】（2026•天津南开•开学考试）己知函数/a）=e'-lna+l）.

⑴求曲线歹=/（x）在点（（）,/（（）））处的切线方程；

（2）求函数/（力的单调区间和极值.

题型02导数的运算

【例2・1】（2026•天津•月考）函数/（》）=11^+/一3不，则函数/⑴的单调增区间为.

【例2-2］（2026•天津东丽•开学考试）函数/"）二设'+/在工=1处的切线与直线2彳+即-1=0垂直，则实

数".

方沐透视

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

/（X）=C（C为常数）_ra)=o

f(x)=xa(aGQ)f\x)=ar―

/(x)=/(o>0,a#1)f\x)=a'Ina

/(x)=log°x(a>0,4Hl)

xlnw

f(x)=ex仆)="

f(x)=\nx

f\x)=-

X

f(x)=sinxf\x)=cosx

f(x)-cosxf'(x)--sinx

2.导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：［/（x）±g（x）］'=/'（x）土g“）；

（2）函数积的求导法则：1/（x）g（x）1'=/'（x）g（x）+/（x）g'（”）；

"）］/D-/（x）g（x）

⑶函数商的求导法则：g（X）*°,则g（X）g—）

变式演依

【变式2・1］（2026・天津东丽,开学考试）已知函数/（力的导函数为/'"）,且满足/（"=//（2）+工，则/”）

（）

1।

A.--B.0C.yD.-1

【变式2-2］（2025・天津西青•联考）函数/。）=/+4皿；,则/，（力等于（）

A.2x+cos%B.2x-cosxC.2x+$inxD.2x

【变式2・3](2025•天津衢州•月考淀义在R上的函数/("的导函数为/'(x),且/(x)=1®e'+幽/r,

e2

若存在实数X使不等式/3«川-卬〃—3对于〃«0,2]恒成立，则实数〃[的取值范围为

题型03切线方程

【例3-1](2025•天津红桥•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+x"-3).

⑴求曲线y=/(x)在点(I，/⑴)处的切线方程；

(2)求函数/(工)的极值；

⑶函数g(x)=^e”+r—5x-1,若/(x)Ng(x)在定义域内有解,求％的范围.

【例3-2](2025•天津武清•调研)已知函数=-3G+2sinx,"0.

⑴当。=-1时，求曲线P=/(x)在点(O,/(O))处的切线方程；

⑵若〃>收，且/(X)在(。,18)上单调递增，求口的取值范围；

(3)证明：当aw[l,+oo)时，/(.r)>l.

方做遗规

1.在点的切线方程

切线方程y-/(x0)=/'(%)(》-%)的计算：函数y=f(x)在点J(x0,/(.%))处的切线方程为

y-f(x9)=f(xQ)(x-xQ)f抓住关键广；,；7.

{k=J(x0)

2.过点的切线方程

,

设切点为产(・%，4)，则斜率左=7'(/),过切点的切线方程为:y-y0=fM(x-x0),

又因为切线方程过点x(〃?，〃)，所以〃-儿=/'(/)(〃?-/)然后解出/的值.(/有几个值，就有几条切线)

变式演依

【变式3-1](2026•天津南开♦月考)已知函数=

⑴当///=2时，求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

⑵若/(力的极小值小于-1，求〃?的取值范闱：

(3)当7M>1时,求g(x)=/(x)+xev-"7的零点个数.

【变式3-2](2025•天津武清•月考)已知函数/(x)=4——]nMacR).

⑴若曲线N=/(x)在点(1J⑴)处的切线的斜率为-3,求q的值；

(2)求/(力的单调区间;

2

【变式3-3］（2026•天津滨海新•联考）曲线y=lnx-£在x=l处的切线方程为

x

题型04导数中的同构问题

舞钠和小

【例4・1】（2025•天津滨海新•联考）若命题〃土％e（l,+8）,加0-洸〃>0能成立"为假命题，则正数〃的最

小值为•

【例4-2］（2025•天津•调研）已知函数/（x）=/e、在山+1］上不单调，贝心的取值范围是.

方/电视

(1)当。〉0且awl,x>0时，有

(2)当。>0且时，有lcg/'=x

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论(其中x>0)

(3)xev=ev+lnv;x+lnx=ln(xe'j

(4)Jeinunx="

XX

(5)x2ex=ev+2,nx;x+21nx=ln(x2ex)

xX

(A、Cr-2lnr©^x-lln.r

(6)—=e，~r=e

XX

x

再结合常用的切线不等式InxWx-l,lnx<-,eA>x+l,ex>ex等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）

e

条为例进行引申：

⑺xex=ev+lnv>x+lnx+l：x+lnx=ln(xev)<xe'-1

x

(8)xcx=e'+,nv>e(x4-Inx)：x+Inx=In(xev)<=xe

变式值珠

【变式川（2。25・天津北辰・三模）若正实数、满足曰产之则孙的最大值为------------

【变式4-2］（2025•天津滨海新•三模）已知关于x的不等式/>aP］nx在（0,xo）上恒成立，则实数。的取

值范围为.

【变式4・3】(2025・天津・调研)若对任意的外,々£(〃7,+力)，不等式土生连曰四”>3恒成立，则实数小的

X\~X2

取值范围是.

题型05导数中的“距离”问题

共例引41

【例5-1](2025•天津南开•一模)已知函数/(x)=aHnj

⑴当。>0时，讨论函数/(x)的单调性；

⑵当0<a<2时，若曲线/(力上的动点。到直线2x7-1le=0距离的最小值为2石e(e为自然对数的底数).

①求实数〃的值；

②求证：/(.v)<ev+co&v-2.

【例5・2】(2025・天津•模拟预测)已知点力在函数/(x)=e'-2x的图象上，点4在直线，：x+y+3=0上，

则44两点之间距离的最小值是.

方沐透视

1.核心思路：转化为函数最值

距离问题(点到直线、点到曲线、两曲线间最短距离)的本质是构造距离相关的目标函数，通过求导找函

数的极值点，进而确定最值。

2.常见类型及解法

点到曲线的最短距离

设曲线方程为y=f(x),定点为(xo,yo)»

因根号不影响最值的位置，可构造目标函数g(x),求导g(x),令g'(x)=0解得极值点，代入原距离公式即

可。

关键结论：曲线在最短距离点处的切线，与定点和该点的连线垂直(斜率乘积为-1),可作为验证条件。

两曲线间的最短距离

设两曲线为y=«x)和y=g(x),最短距离对应的两点处切线平行(斜率相等,即f(xi>g'(x2))«

构造函数h(x)=f(x)-g(x),求|h(x)|的最小值，或设两点坐标后构造距离函数求导。

变式演依

【变式5-1](2025・天津•一模)若直线/:x=a与函数/(x)=x2+l,g(x)=fnx的图像分别交于点P、。,当

P、Q两点距离最近时,。=

A.立B.—C.1D.y

222

【变式5・2】(2025・天津•模拟预测)已知点Q在函数/(力=:上的图象上，则尸点到直线2x-y+8=0

X

的距离的最小值为.

【变式5-3](2025•天津•模拟预测)曲线y=Inx上的一点A到直线)，=2x-l的距离的最小值为.

题型06原函数与导函数混合还原问题

【例6・1】(2025・天津•模拟预测)已知小)是定义在"3上的偶函数，导数为/'(X),且当xe(0,£|

时有/'(x)cosx+/(x)shu>0,若〃=孚/(一1，力c=/(0),贝ij()

A.a<b<cB.c<a<bC.h<a<cD.c<b<a

【例6・2】(2025・天津•模拟预测)已知定义在R上的函数的导函数为/'(x),且满足/'⑶-/(幻>0,

_/(2025)=*5,则不等式/('nx卜五的解集为()

A.(O,e2025)B.(O,e6075)C.(e2025,+oo)D.(e6075^^)

方/电视

L对于矿(x)+/(》)>0(<0),构造g(x)=x/(x),2.对于矿(工)+就⑶>0(<()),构造g⑶=/•〃x)

3.对于x・/'(x)—/(x)>0(<0),构造ga)="ll,4.对于X・/'(幻—歹(x)>0(<0),构造g(x)=£l

5.对于/'(X)+/(》)>0(<0),构造g(x)=e'〃x),6.对于广。)+歹(x)>0(<0),构造g(x)=泮•〃x)

7.对于/'(x)—/(x)>0(<0),构造8(%)=华，8.对于八幻一夕(x)>0(<0),构造8(幻=华

ee

9.对于sinx/'(x)+cos.j/(x)>()(<0)，构造g(x)=/(%)•sinx,10.对于sinx•/'(%)-cosx♦/*)>()(<0),

构造g(x)=Z^11.对于cosx-/'U)-sinx・/(x)>。(<())，构造g(x)=/(%)•8sx,

sinx

12.对于cosx/'(x)+sinx/(x)>0(<0),构造g(x)="^

cos.r

13对于/'a)-/(x)»(<0),构造g(x)=，[/(xT]

14.对于/'(x)lnx+3>0(<0),构造ga)=lnx/(x)

X

15.r(x)+c=[/(x)+cxj；f\x)+g\x)=[f(x)+g(x)y；f\x)-g'(x)=[f(x)-g(x)]'；

16.f(x)g(x)+f(x)g(x)=[/(x)g(x)]；---------------------------=[^y].

，变式演依

【变式6-1]（2024•天津•二模）已知定义在R上的函数/（力的导函数为/«）,若/'（x）<6x恒成立,且

f（l）=2,则/（2工）个2/_]的解集为（）

【变式6・2】（2025・天津•模拟预测）已知函数2）的图象关于点（2,0）对称，函数y=/（、）对于任意

的工e（0,兀）满足外幻cosx>/（x）sinx（其中/'（x）是函数〃x）的导函数），则下列不等式成立的是（）

A.卜石/用B.A（q卜同图

C.例4>6/（目D.何罔〉

【变式6・3】（2025•天津•模拟预测）设函数/（外是定义在R上的偶函数，/'（X）为其导函数，当x<0时,

W）-/Cv）>o,且/（1）=0,则不等式△立<0的解集为（）

X

A.（-l,0）U（0,l）B.（-l,0）U（l,+8）

c.（y,-l）U（l,+8）D.（y,-l）U（01）

1.（2025•天津河北•模拟预测）函数〃x）=lnx+8-x的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2025•天津•三模）设函数记函数g（x）=/（x）-G2有且仅有〃个互不相

同的零点（〃WN）,则当〃取到最人值时，实数4的取值范围是.

3.（2025•天津•二模）已知函数“X）的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（）

A./3=质B./（A-）=2'<2

C./（x）=2W-x2D./（x）=eW-|x|

4.（2025•天津南开•二模）已知函数〃x）=2ei-；x2-hu.

⑴求曲线y=/（x）在x=l处的切线方程；

（2）若/（x）N1a-a?恒成寸，求实数。的取值范围：

⑶解关于x的不等式/'（》）>卜+£|巾（其中/'（X）为/（力的导数）.

5.（2025•天津红桥•二模）已知向量3]是夹角为60。的单位向量，若对任意的演,吃£（叽+8）,且王<吃，

弛"二旦工〉B一可,则〃?取值范围是（）

再一/

A.[/，+%）B.；，+工）C.[e,+oo）D.\+oo^

6.（2025•天津•一模）设a=c°125,b=；,c=21n3-31n2,则（）

o

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<hD.a<c<h

7.（2025•天津•二模）若函数/3=卜2-1）（*+收+〃）卜«4八次2的图象关于直线.”2对称，且/（x）

恰有6个零点，则c的取值范围为.

8.（2025•天津西青•调研）定义在R上的奇函数/（工）满足xe（-吗0）时，/（可+疗””。成立，若

方产/仅用，/；=ln2/（ln2）,C=（logOJ0.09}/（log030.09）,则。也c的大小关系是（）

A.a>h>cB.c>a>b

C.b>a>cD.c>b>a

9.（2025•天津河东•二模）设函数/*）=x+lnx,g（x）=x+er,若存在再，七，使得g*J=/区），则1芭-占1

的最小值为.

10.（2025・天津和平•二模）曲线/"）=千詈与曲线g（x）=（G+l）c，在点（0,1）处的切线互相垂直，则

实数。=（）

A.2B.0

1