吉林省某中学2025-2026学年高二年级上册期末考试数学试题

吉林省实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知为直线！的一个方向向量，则直线/的频斜角为（）

it—五「c5冗

A.-B.-C.—D.—

6336

2.在等比数列｛%｝中，〃必=8。3,则%=（）

A.2B.3C.4D.8

3.若方程4+二=l（A，wR）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数上的取值范围是（）

A.2<k<3B.2<k<4

C.3<k<4D.k>4

4.已知数列｛见｝满足％=3,=%+〃（〃：］）则（）

A.4,+1-B.4,——1C.-2+-D.-2——I

nnnn

5.已知动圆。与圆（x-21+V=25内切，同时与圆（》-2『+_/=1外切，则动圆C的圆心

轨迹方程为（）

A.—+/=1B.—+^-=1C.—2L|（^-3）D.—/=1（x^-3）

25-25249+5='X'9+.''

6.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收

天线的口径力8=4及，深度/0=1，信号处理中心户位于焦点处，以顶点。为坐标原点，

建立如图2所示的平面直侑坐标系xOy,若P是该抛物线上•点，点。是圆

(X-3)2+(^-2)2=1上一点，则I尸用+|尸。|的最小值为（）

试卷第1页，共4页

A.4B.3C.MD.5

7.等差数列｛%｝的前16项和为64（）,前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9,则公差

乩义的值分别是（）

A.喏B.吟c.吟D.吟

8.已知双曲线C:二一与=1（〃>0,力>0）的左、右焦点分别为巴，鸟，第二象限的点"（％,乂）

a~h"

满足%+2=0,且”P="质.若丽二丽,且|0用一|0用=2°,则C的离心率为

X。。2

()

A.后B.4C.V15D.25/3

二、多选题

9.以下四个命题是错误的是（）

A.直线（加+l）x-2my-3=0（meR）恒过定点（3,6）

B.若直线（：〃】x+y_I=0与/2：3x—（〃?T）y+3=O互相垂直，则〃？=_；

C.已知直线4：ax+y-2=0与4：ax—（〃-2）y+l=（）平彳亍，则。=1

D.过点43,1）的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为》-»-2=0

10.已知数列｛凡｝的前〃项和为S”，且满足4=1,%=3,〃"尸3勺—2%（〃之2）,则下

列说法正确的有（）

A.数列上.「4｝为等差数列B.数列｛%+「2%｝为等比数列

n

C.an=2-\D.5,=2川-〃-2

11.已知双曲线的左右焦点分别为R.A，直线/过点月，且与双曲线的右支

交于4〃两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P,。两点，其中4P两点位于第一象限，

下列说法正确的是（）

A.若⑷=7,则△尸第5的周长为18

B.若方=4屈McR,则实数7的值可以为2

试卷第2页，共4页

3

C.点力到两条渐近线的距离之枳为定值了

4

D.若△力片乙4从曾；的内切圆的半径分别为4百，则/；+“<竽恒成立

三、填空题

12.一条光线从点4-2,3)射出,经x轴反射后，与圆C:(x-3)2+3-2)2=l相切,则反射

光线所在的直线方程为.

13.已知椭圆M:£+E=l(4〉8〉0),过历的右焦点户GO)作直线交椭圆于44两点，

Q-b'

若48中点坐标为(2,1),则椭圆M的方程为.

14.已知数列｛《,｝的前〃项和为S”，且彳+不+…+3=—7，设函数/'(x)=cos7Lt+7，

dld2，”+12

则/(羲)+/岛M赢卜…+/(赛卜—•

四、解答题

15.已知抛物线V=2〃x(P>0)过点力(2,汽)，且点力到其准线的距离为4.

(1)求抛物线的方程；

⑵设直线/：y=2x-2与抛物线交于异于原点的尸、。两点，求△OP。的面积邑80.

16.在平面直角坐标系中，N(l,0),M(4,0),动点。满足耨=2,设动点。的轨迹为曲

线C.

(1)求曲线C的轨迹方程；

⑵若直线x-y+l=o与曲线。交于4B两点,求|48|；

17.如图，在四棱锥尸一月6CO中，侧面J_平面△尸/l。是边长为2的等边三角

形，底面48co为直角梯形，其中8c7/力。，ABLAD,4B=BC=1.

试卷第3页，共4页

(1)取线段尸力中点M,连接8W,证明：平面PCD;

(2)求直线AB与平面PCZ)所成角的正弦值；

(3)线段PO上是否存在一点E,使得平面E/C与平面D4c夹角的余弦值为画？若存在，

5

求出P药F的值：若不存在，请说明理由.

18.已知点尸是椭圆C：「+/=l(a＞力＞0)的右焦点，O为坐标原点，若C上的点与点尸

距离的最大值为3,最小值为1,过点尸作。的两条互相垂直的弦力8,DE.

(1)求C的方程；

I1

(2)求证：而j+同回的值为定值；

(3)设43,OE的中点分别为P,Q,求证：直线也过定点.

19.人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过

正整数〃且与〃互素的正整数的个数，例如*⑴=1,*(4)=2.

⑴求双6),9。0)的值;

⑵已知数列｛4｝满足；小e(3").

①求应｝的前〃项和S”；

②记数列1条的前〃项和为。，若对任意〃WN,，均有不等式

储(1+三|-北+320恒成立，求实数之的取值范围.

\乙)

试卷第4页，共4页

《吉林省实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BDCBCADBACDBCD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】根据方向向量与首线的倾斜角的关系进行求解即可.

【详解】因为为直线/的一个方向向量，

所以直线/的斜率为k=平=退，

所以直线/的倾斜角为三.

故选：B

2.D

【分析】根据等比数列的性质化简求解即可.

【详解】因为｛q｝是等比数列，所以。必=%。9=8%,

又出工0,所以%=8.

故答案为：D.

3.C

【分析】根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果.

【详解】方程舌+石=1(%6R)表示焦点在x轴上的椭圆,

\k-2>4-k

则LA，解得：3<4<4,

4一攵>0

所以实数〃的取值范围是3<%<4,

故选：C

4.B

【分析】根据裂项相消法、累加法求出通项公式即可.

【详解】由。”U=勺+/「、可得，%/4=

〃(〃+1)♦/?(//+!)n〃+1

.1111111

/_%=1-彳，ai-a2=---^”4一°3=彳一］，A，a,-an-\=~~-一，

22334n-\n

答案第1页，共15页

1111111

所以4“-q=1--+-----+------+…+------1--(/>2),

22334n-\n?

,1

为=%+1一4--(//>2),

nn

又当”=1时，％=4-;=3依然成立,

所以/=4-L

n

故选：B.

5.C

【分析】（尤-2『+/=25的圆心为4,半径耳，（》+2『+/=1的圆心为人半径々，由动

圆。与圆（工-2『+/=25内切，设动圆半径为〃，求出|）|二4-厂，动圆。与圆

（x+2『+/=i外切，求出|C3|=G+〃，则有|C4|+|C8|为定值，结合椭圆的定义得解.

【详解】

（X+2）2+/=1的圆心为仪―2,0）,半径弓=1,

•.,动圆C与圆（》-2『+_/=25内切，设动圆半径为「，.,.|。|=4一厂=5-厂,

动圆C与圆（x+2）?+/=1外切，.•.|C8|=w+〃=l+r,

/.|CJ|+|C5|=6=2a,|j^|=4=2c,

•・•2a>2c•.动圆。的轨迹是以4"为焦点的椭圆，

•/a=3,c=2,b2=a2-C2=5,

22

•••动圆C的轨迹方程为上+二=l（x工-3）.

95V7

故选：C.

6.A

【分析】由题意设抛物线的方程，将力点的坐标代入，可得抛物线的方程，因为。在抛物线

答案第2页，共15页

的内部，由抛物线的性质可得|外1+|POHPP|+|P0N|P'2|N|N〃|-R=3+2-I=4,可得结

果.

【详解】由题意设抛物线的方程为产=2px(p>0),

因为44=4及，MO=1,

所以点8(1,-20)在抛物线上，

将8的坐标代入到抛物线的方程中，可得8=2p,故p=4,

所以抛物线的方程为V=8x,

所以抛物线的焦点少的坐标为(2,0),准线方程为x=-2.

圆(x-3)2+(y-2)2=l的圆心位〃(3,2),半径位/?=1,可知圆在抛物线内部，如图：

如图，过点。作PD与准线垂直，P为垂足，

点，作“N与准线垂直，N为垂足，则|P尸|=|PP'|,

所以户刊+|尸0|=|?|+|00|之尸0以凡叫—&=3+2—1=4,

当且仅当P,H,P三点共线时，所以|比|+|尸。|的最小值为4.

故选：A

7.D

【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质及前〃和

公式求解.

【详解】在等差数列｛%｝中，设S奇=%+%+…+%5，S偶=生+…+%6，

区+S四=640

依题意，:Q，解得s奇=288%=352,

答案第3页，共15页

8(-2+%6)

而SfR-S奇=(外一叫)+(%-小)+.•一(/6一45)=/，7^=oz=~>

S奇8(q+%s)4

2

所以d==竺=8%=组=11

切以88%S奇9・

故选：D

8.B

【分析】确定点。在双曲线渐近线上、点。在右支上，由角相等得|尸尼卜|耳巴|；利用中点性

质证明三角形全等，结合双曲线定义得|。H的表达式，由渐近线得角的余弦值：最后在

△POF1中用余弦定理列方程，求解得双曲线的离心率.

【详解】依题意，点尸(%,%)在C的渐近线上，点。在C的右支上.

因为/6£尸=//7"，所以|尸周二|甲4.

设。为坐标原点，又O,。分别为用"”的中点，则优。|二区。|,

又I叫1=1鸟用，^F2Q=ZPF2O,故△片片。丝△次。,

故|OP|=|£0|=|K@+2a=c+2a,WtanZP^F,则cos/POE=-g

a"c

在APOF,中,由余弦定理，得-色=牢2土F二，解得e=£=4(负值舍去).

c2(2a+c)ca

故选：B

【分析】求出直线过定点，判断A；根据直线的垂直关系可求出机的值，判断B；根据直

线的平行关系可求出。的值，判断C；讨论直线的截距是否为0,求出直线方程，判断D.

【详解】对于A,直线(m+l)x-2w-3=0(meR),即(x—2y)〃?+x-3=0(mcR),

答案第4页，共15页

X-2)^=0I3

由于〃?wR,故〈尸“3，即直线(6+1)工一2,到一3=0(机wR)恒过定点(3,二)，A

工一3=0[y=52

错误；

对于B,直线4：〃a+”1=0与/2：3x-S?T)y+3=0互相垂直，

则3加一(〃?-1)=0,解得加=-；,B正确；

对于C,直线4:ar+y-2=0与4:ax-(a-2)y+1=0平行,

则4[-卜「2)]-ax1=(),解得“=1或4=0,

当4=1时，直线4：x+y—2=()与4：x+y+l=O平行，符合题意；

当。=0时，直线4：k2=0与，2：2八1二0平行，符合题意，C错误；

对于D,过点43,1)的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，

当直线在两坐标轴上的截柜均为0时，该宣线方程为J=即x-3j，=0,

当直线在两坐标轴上的截至均不为0时，设方程为曰+上=1,

a-a

将点43,1)代入，即得2一口-=1,解得〃=2,此时直线方程为2+2=1，

a-a2-2

即x-y-2=(),综合可知直线方程为x-3y=0或x-y-2=(),D错误，

故选：ACD

10.BCD

【分析】根据递推式可得％-q=2(%-%)、-一4=4一2%,再根据等差、等比

数列的定义判断A、B：应用累加法求数列通项公式判断C：应用分组求和及等比数列前〃

项和公式求S”判断D.

【详解】因为*=3见-2%(〃22).所以凡讨一见=2(见-%),

则｛。血-牝｝是首项为由-q=2,公比为2的等比数列，故A错误；

根据题意得—=3%-2al=>邪+i-2a“=an-2an_1,邪-2%=1,

所以数列｛。川-2%｝为首项为1,公比为1的等比数列，则“川-4=2"，故B正确；

所以

答案第5页，共15页

%=q+（%一4）+（生一生）+…+（。“一勺M）=1+2+4+…+2/,_,=1x0-2）=2”一1，故

1-2

C正确；

/,，\2x（1-2"）

5=（2+2?+23+…+2"）-〃=—片"_〃=2向_〃_2,故D正确.

故选：BCD

11.ACD

【分析】A：根据双曲线的定义计算△片44的周长：B：根据条件判断出力8，尸。的中点为同

一点，然后可判断出结果；C：设出力点坐标，然后表示出点4到两条渐近线的距离，结合

双曲线方程可计算出结果；D：先确定出内切圆的圆心在x=l上，然后由直线/的倾斜角表

示出，i+2,结合对勾函数的性质可求解出。+々的取值范围，则结果可知.

【详解】对于A：因为|/用=2a+|4段,|%|=2°+忸周外却=»闻+忸用=7,

所以△片/3的周长为|力"|+忸用+|4却=4〃+10=4+14=18,故正确;

对于B：由条件可知巴（2,0）,渐近线方程丁=±6，设/:x=〃/+2,

*

联立;二，可得（3〃/7）/+12〃少+9=0,

3x~-y~=3、7

^△=144/H2-4X9X（3W2-1）=36/H2+36>0,所以几+%=⑵”,

\y=VJx2\/3.\y=-VJx_.2后

由<、可得力=l，由<-可得zay0二——『，

[x=my+21-A/3,M[x=my+2，1+G机

2\/326\2m「口、！

所以外+y?="-TT——：—不一=■_，所以匕।+乃=4+为，

173m1+V3wl-3w

所以储+4=Xp+x0,所以48,尸。的中点重合，记48的中点为“，

所以|叫=忸。|,所以苏=苑,所以4=1,故错误;

对于C：设4（x°Jo）,力到y=的距离为4=凶三创=回口

1g2

答案第6页，共15页

A至I」y=-瓜的距离为d、=।巴。+J

'V1+3

|扇一凡1|尻）+汽|_卜旦一调,

所以点A到两条渐近线的距离之积为4-、=

224

又因为力（七,％,）在双曲线c：/-21=]上，所以片-今=],所以3x；-y：=3,

33

所以4同」阑=（，故正确:

对于D：设直线/的倾斜角为。，因为渐近线的倾斜角分别为与，所以it2n>

i,Tj

设△力6KqBFE的内切圆的圆心分别为人/2,

△/丹用的内切圆人与各边切于Q,G,H,△8月用的内切圆（与/切于£,设G（%0）,

因为|4周-M&=|/叫+|用/卜（|/0+|。段）=恒”|-|。玛1=山6|-|取7|=2跖

所以c+机一(c-〃?)=2a,所以〃?=a=l,所以G(1,O),

所以《在直线x=l上，同理可得人也在直线％=1上，且|G用=。-。=2-1=1,

由几何关系可得/片=色9/68/2=5

1I01

所以，+4二叩」=的|+限卜」网I阳_tan-i-

0it-0~02于，

tantan-tantantan

\2)2F22

九2兀0'7171/T].0

,所以tan5c,V3,令，=tan]£

因为35T，所以5、0

由对勾函数性质可知y=/+!在（理」）上单调递减，在卜，道）上单调递增,

所以ye1+：,6+乎），所以ye2,4AA

—,所以e2,《一，故正确;

故选：ACD.

答案第7页，共15页

12.3x—4y—6=0或4人-3y—1=0

【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关

系可求得斜率，得出方程.

【详解】点4(—2,3)关于x轴的对称点为(—2,—3),圆C:(x-3)2+(y-2)2=l的圆心C(3、2),

半径〃

由光的反射定律知，反射后光线所在的直线过点(-2,-3),显然该直线斜率存在，

设反射光线所在的直线方程为+3=+2),即H-y+2k-3=0,

|5«-5|43

由反射光线与圆相切,得』工=1，解得“=；或=，

+134

所以反射光线所在的直线方程为标-"-6=0或4.”3yT=0.

故答案为：33-4)，-6=0或4》-3)，-1=。

71

【分析】利用“点差法”即可得出：2-±=0,结合c=3,求得/,〃，即可得出答案.

6rb“

【详解】由题意可知直线的斜率&=E=

=I+H

设4(再，必),8区,必)，(阳=G)，代入椭圆方程可得:4+4，44=

a~b~a~b~

而玉+/=4,必+%=2,———=-1,

X1~X2

答案第8页，共15页

两式相减得：丘？i+K?==o,

a~b~

印得43:占)+2(凹；外)=0,即马_5=0,又,,=3,。2=〃+'2,

a-h~a~b'

联立解得：/=1S,b2=9»

r22

故椭圆”的方程为：L+匕v=],

189

故答案为：—+^=1

189

14.华

2

【分析】当〃=1时，求出q=S]的值，当〃22且〃eN*时，由[+?+…+—+g=-

5d2，一i3”n+l

1112，?一2

可得3+3+…+「=——，两式作差可得出S”的表达式，进而由勺与S.的关系可求出

数列｛%｝的通项公式，求出/(I-x)+/(x)的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值.

【详解】因为数列｛"”｝的前〃项和为S”，且三+不+…+不=一

当〃=1时，则"=1，所以q=£=1,

11112/711I2/7-2

当〃22且〃wN*时，由三+三+…+丁+7-=-37可得方+7"+…+丁=-----，

S\S]Sisn〃+1S\S2n

,,I2n2(n-l)2n2-2(11-\)(n+\)2

上述两个等式作差得丁=—-L=------卜甘~乙TF，

所以S=业主D,5=1满足斗=心却，

n2n2

故对任意的〃eN，,S="〃+0>

2

当〃之2旦〃wN,时，…”-S“7=当DL与，q=1也满足为=〃，

故对任意的〃4=n，

+L+COS7Lt+!=—COS7LY+COS7Lt+l=l

因为/(1-x)+/(x)=cos[Ml-x)]

22

记S=/(2025、

募卜2026,

则S=/(20252024]

2026J+••一/

2026<2026>

1202522024、

所以，25=f

202620262026202€^

答案第9页，共15页

=2025x1=2025,

加c2025

故5=丁・

故答案为：卓.

15.（l）r=8x

（2）2百

【分析】（1）由抛物线的定义即可求得P的值，进而解得抛物线的方程；

（2）先设出口4,%）,。（七,必）两点的坐标，直线与抛物线联立，韦达定理解得乂+月=4,

乂必=-8,再代入面积公式求解即可.

【详解】（1）根据题意知抛物线V=2pNp>0）过点42,打），

所以抛物线准线方程为x=-］，且点A到其准线的距离为4,

所以2—（―］）=4,即〃=4,所以抛物线的方程为/=8x；

y=2x—2、

（2）由（2oW/-4v-8=0,A=l6+32>0,

y=Xx

设p（西,必）,。（戈2，%），C。,。）为直线产。与X轴交点，则乂+8=4,必为=一8,

所以S.OPQ=s.0cp+S.OCQ=•回一%I=gX1X"（必+内）2-4必J，2=2x/3.

16.（1）<+/=4

⑵小

【分析】（1）设0（xj）,由题意，利用两点间的距离公式即可求解；

（2）先求出圆心到直线x-y+i=o的距离，然后根据弦长公式即可求解.

【详解】⑴设。（"），因为N（l,0）,M（4,0）,Q满足慌=2,即|刎2=4削2,

答案第10页，共15页

即（工一4『=4（x-l）2+4j2,整理得/+>,2=4,

所以曲线C的轨迹方程为产+/=4.

|0-Q+l|_V2

(2)圆心(0,0)到直线x—+l=O的距离△二

JiRTf2

所以|481=24-d?=2^4-1=V14.

17.(1)证明见解析;

(2)母：

,一七〜PE\

⑶存在，而行

【分析】(1)取尸。中点N,连接MN,证出四边形4CNM为平行四边形，即可得证.

(2)建立空间直角坐标系，求出平面PCO的法向量，由向量夹角公式即可求解:

(3)求得平面以C的法向量而以及加，利用向量夹角公式即可求解.

【详解】(1)在四棱锥尸中，取尸。中点M连接

由〃为P4的中点，且为0=2,BC=\,

得MN//AD//BC,MN=LAD=1=BC,

2

则四边形8CMW为平行四边形，所以BM//CN,

而CNu平面PCQ,8M不在平面PCO内，

所以〃平面PCD.

(2)取力。的中点O,连接尸O0C,

由△以〃为等边三角形，得？。_L/O,

而平面尸/O_L平面/1BC。，平面P4)c平面4BCZ)=AD,尸Ou平面产力。，

则PO_L平面/iBCO.

由力O=8C=1,AOHBC,得四边形48co是平行四边形，

千是OC/IAB,而48h。，则OC_L4),直线OP两两垂直，

答案第11页，共15页

以O为坐标原点，直线。CO。,。。分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图,

则4（0,-1,0）,。（0,1,0）,C（l,0,0）,5（1,-1,0）,P（0,0,x/3）,

则方=（1,0,0）,CP=（-l,0,x/3）,而=（-1,1,0）,

设平面PCD的法向量为万=（X,J，,z）,

[n-CP=-x+4iz-0（rr\

则_,取z=l,得万=,

\n-CD=-x+y=0'7

设直线AB与平面PCD所成角为0,

则sinO=M但讣端用

7

所以直线48与平面PCQ所成角的正弦值为叵

7

(3)令丽=4丽=((U,-VIi),2G[(),1],

ZE=ZP+ra=(0,l,V3)+(0,2,->/32)=(0,1+2,A/3->/32),正=(1,1,0),

设平面£/1C的法向量为比=(。八。)，

m-AC=a+b=0

则而•荏=(i+/t»+(6-麻p=o'

取匕二6(2—1),^.ZM=(X/3(1-/1),^(2-1),2+1),

平面。4c的法向量为加=(0。⑺)，

工曰I凡一\|I丽•同百7+1)加

一年°‘<'"阖版|一G.力3一1(U+7-5，

1PF1

化简得3万—l(U+3=0,又北[0』],解得4=§,即而=针

所以线段月。上存在点£,使得平面以C与平面。力。夹用的余弦值为萼，於=(

答案第12页，共15页

18.(1)J匕=1

43

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据条件列式求出。，再根据A。的关系求方，可得椭圆的标准方程.

11

(2)分直线有无斜率，利用弦长公式表示西+画，化简即可.

(3)利用直线/仍的斜率Z表示出点P,。的坐标，进而得到直线44的方程，化成点斜式,

可得定点坐标.

a+c=3

【详解】⑴设椭圆。的焦距为2c,则由题意得…二|，解得

所以从=02-c2=4-1=3，

所以C的方程为E+乙=1.

43

(2)由(1)得尸(1,0),若直线48与直线OE的斜率一个为0,另一个不存在时,

介117

|^|=4,|D£|=—=3(或眼|=3,|。同=4),此时同+西=日

若直线彳5与直线。石的斜率都存在时，如图：

设直线49的方程为夕=缺》-1),力(石,必),4(与,必)，

y=Zr（x-l）

由1一/,得（3+4产）/-8"、+4--12=0,

---=1

43

所以…二蒜4A--12

平2=3+4公

所以|4却=Jl+K|x）-X21=Jl+LJ（X1+占）2-4中2

4A-2-12120+公）

=J+/-4x

（3+4切3+4-3+4公

答案第13页，共15页

因为"工的将X