2026年高考数学一轮复习（基础版）第一章 集合、常用逻辑用语、不等式

第一章集合、常用逻辑

用语、不等式

§1.1集合

【课标要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含

和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问

题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

■落实主干知识.

1.集合与元素

(I)集合中元素的三个特性：、、.

(2)元素与集合的关系是或,用符号或表示.

(3)集合的表示法：、、.

(4)常见数集的记法

集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集

符号N'（或N-）

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素，就称集合A

为集合B的子集，记作(或82A).

(2)真子集：如果集合但存在元素且.母4,就称集合4是集合B的真子集，记作

_____________(或B字A).

(3)相等：若418,且,则人=及

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是的子集，是的真子集.

3.集合的基本运算

集合语言图形语言记法

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“Y”或“x”)

(1)集合{xWN|?=x},用列举法表示为{-1,0,1).()

(2){x|y=f+1}={y|y=W+1}={。，炖，=『+1).()

⑶若1£廿tx],则x=-l或x=l.()

(4)对任意集合A,B,都有(4n8)U(AUB).()

2.(2025・榆林模拟)设集合A={-2,-1,0,1,2),5=3)20},则4n((RB)等于()

A.{-2,—1>0}B.{-1>~2]

C.{0,1,2)D.jl,2)

3.已知集合4={-1,0,1},8={x|-lWxWl},则()

A.A=6B.ADB=0

C.BQA

4.已知集合M={x\-l<v<3),N={x\x^a,a£R},若MAN=M,则实数〃的取值范围

是.

回微点提醒

1.掌握有限集子集个数的结论

若有限集A中有篦个元素,则A的子集有2”个，其子集有(2"—1)个,非空子集有(2"—1)个，非空真子集有

(2"-2)个.

2.灵活应用两个常用性质

(l)CMAn5)=(CMU(CuB).

(2)1tX4U8)=(CM)n(CM).

3.牢记两个注意点

(1)在应用条件AU8=B=An5=A=AGB时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.

(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.

---------------------------探究核心题型'——

题型一集合的含义与表示

例1(1)(多选)下列各组中M,Q表示不同集合的是()

A.M={3,-1),P={(3,-1))

B.M={(3,1)},P={(1,3))

C.M={y|y=d+l,i尸R},6={巾=产+1,/f=R)

D.M={y|y=『一1,x£R},P={(x,)，)|)，=/一1,x£R}

(2)已知集合用={1,。+3,/+2),且6£M,则。的值为.

思维升华解决集合含义问题的关键点

(I)确定集合中的代表元素.

(2)确定元素的限制条件.

(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异

性相矛盾.

跟踪训练1(1)(2025,遵义模拟)已知集合4={0,1,2),8={1,2,3},若集合C={xy|x£A,)，£△},

则。的元素之和为()

A.9B.12

C.16D.18

(2)己知〃PR,〃WR,若集合{m,2，11={〃汽机+〃，0),则M°25+〃2S5的值为()

m)

A.一2B.-1

C.lD.2

题型二集合间的基木关系

例2(1)(2025•青岛模拟)已知全集U=R,集合A,8满足AG(AnA),则下列关系一定正确的是()

A.A=4B.8GA

C.An([u8)=0D.(Ct-A)AB=0

(2)(2025•扬州模拟)已知集合A={x|r2-3x<10),B={x\m-l<x<2m-2}.若AUB=A,则实数m

的取值范围为()

A.[3.+°°)B.[2,3]

C.(—8,3]D.[2,4-oo)

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满

足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2(1)(多选)已知/为全集，若AU8=A,贝U()

A.AQBB.BQA

(2)(2025•洛阳模拟)已知全集为R.集合A={.T[2<X<6},8={x|a-4W%Wa+4},且Aq[R3,则实数。

的取值范围是.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2024.新课标全国I)已知集合4=3—5<^<5},B={-3,—1,0,2,3},则4C8等于

()

A.{-1,0)B.{2,3)

C.{—3,-1,0}D.(-l,0,2}

(2)(2023•全国甲卷)设全集U=Z,集合M={X|A=女+1,kGZ),N={xk=3k+2,kGZ\,则["MUN)

等于()

A.{x\x=3k,kGZ\B.{x[x=3k~\,kQZ]

C.{x|x=3A-2,k£Z\D.0

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(2024•佛山模拟)已知集合力={x|34第V7),8={_4>m}，若CRAUA=R，则〃?的取值范围是

()

A.(-8,3)B.(3,4-oo)

C.(-8,7)D.(7,+8)

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的

元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3(1)(多选)已知集合A={x*-3x+2W0},8={x[l<rW3},则下列判断正确的是()

B.(CRS)UA=R

C.AC\B={x\\<x^2]

D.((RB)U([RA)={小W1或x>2}

(2)设集合A=*|x<2或x24},若(44)「史=0,则。的取值范围是()

A.aWI或a>4B.avl或a24

C.«<1D.a>4

答案精析

落实主干知识

1.(1)确定性互异性无序性

(2)属于不属于£C

(3)列举法描述法图示法

(4)NZQR

2.(\)AQB(2)得8(3)尤A(4)任何集合任何非空集合

3.{小WA,或AUB

{小£A,且正团AOB

{小且如}CM

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)X(4)4

2.C[因为[通=3。+1)。一3)<0尸3—14<3},

所以4。([通)={0,1,2}.]

3.D[因为集合A={-1,0,1},B={x\-\^x^\},所以A中元素都属于B,且4W8,所以A是8的真

子集」

4.(一8,-]]

解析因为MCN=M,所以MUN,所以aW-l.

探究核心题型

例1(l)ABD[选项A中，M={3,—1}是数集，尸={(3,-1)}是点集，二者不是同一集合，故MWP；

选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故MWP;

选项C中，M={y\y=jr+\,x£R}=ll,+~),?={]|工=/+1,z€R}=[l,+~),故M=P；

选项D中，M是二次函数,x£R的所有)，组成的集合，而集合户是二次函数)，=/一1,x£R图

象上所有点组成的集合，故

(2)2或3

解析由M={1,。+3,/+2},

且6EM,

得a+3=6或4+2=6,

解得<7=3或ci=±2,

当。=3时，M={\,6,11),

符合题意；

当〃=2时，M={1,5,6},

符合题意；

当。=一2时，不符合元素的互异性，舍去.

所以“的值为2或3.

跟踪训练1(1)C[因为OX1=0X2=0*3=0,1X1=1,1X2=2X1=2,1X3=3,2X2=4,2X3=6,

所以集合。={0,1,2,3,4,6),集合C的元素之和为0+1+2+3+4+6=16.]

(2)B[因为{m,左,1)

={nr,m-\~n,0},,

得=0,

所以4瓶=瓶十"，

[m2=l,

解得或

m=l-1,

当m=1时，不满足集合元素的互异性，

故/〃=—1,〃=0,w2O254-/?2O25=(—I)20254-O2025=-1.]

例2(1)C[因为集合A,A满足AFACB),故可得Aq8,

对A,当A为8的真子集时，不成立；

对B,当人为8的真子集时，也不成立；

对C,An(CuB)=0,恒成立；

对D,当A为B的真子集时，不成立.]

(2)C[由题意，

集合A={x*—3X-10W0}

={x|WW5},

*：AUB=A,・・・BGA.

①若8=0,则〃z+l>2〃?一l,

即m<2；

m+l<2m—1,

-2<m+l,

(2m-1<5,

解得2WmW3.

综上所述,mW3J

跟踪训练2(1)BC|因为AU8=4,所以8GA,所以。48出.］

⑵自忘一2或心10)

解析由题可知8W0,

RB={巾<〃-4或x>a+4},

因为AHRB,所以6Wa—4或2泊+4,

解得或aW-2,

所以实数a的取值范围是{a|aW-2或心10}.

例3(l)A|因为4={川一遍4<海},

8={-3,-1,0,2,3),

且1<V5<2,-2<-V5<-l,

所以窃8={-1,0).］

(2)A［方法-{…，-2,1,4,7,10,N={…，-1,2,5,8,11,

所以MUN={-，—2,—1,1,2,4,5,7,8,10,11,

所以［MMUN)={…，-3,0,3,6,9,其元素都是3的倍数，

即［MWUM={x|.t=3k,A£Z}.

方法二集合MUN表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集J

例4A［方法一由集合A={x|3Wx<7},8={x|x>m},

可得[RA={x\x<3或G7},

因为([RA)U8=R，则满足〃<3.

方法二因为A={x|3Wx<7},

8={小>间，([RA)U8=R,

所以AG8,所以〃?<3.|

跟踪训练3(1)CD|由f-3x+2W0,即。-2)*—1)<0,

解得IWW2,

所以A={x*—3x+2<0}

={x|lWxW2},

由B=31<x<3},

所以AU8={x|l〈xW3}.故A错误：

An8=31《W2},故C正确；

又黑8=(-8,1]U(3,+8),所以(]RB)UA=(-8,2JU(3,+8),故B错误；

(丛=(一8,1)U(2,+oo),所以(CRB)U&A)=(-8,1]U(2,4-oo),故D正确.]

(2)B[由集合A={x|x<2或后4},得[RA="|2<x<4},又集合5={也《+1}且([叫。8=0,贝U。+

1<2或心4,即«<1或心4.]

§1.2常用逻辑用语

【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要

条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

■落实主干知识.

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则p是q的____________条件，q是p的____________条件

〃是4的充分不必要条件

〃是q的必要不充分条件〃会4且qnp

〃是夕的________条件pu*夕

〃是乡的既不充分也不必要条件且q书p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表

示.

（2）存在量词；短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”

表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p（x）成立存在M中的元素X,p（x）成立

简记p(x)Bx^M,p(x)

否定

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“*”）

（1）当〃是g的充分条件时，夕是〃的必要条件.（）

（2）“三角形的内角和为18（）。”是全称量词命题.（）

⑶“Q1”是“Q0”的充分不必要条件.（）

（4）命题,sin2^4-cos2^=!?,是真命题.（）

2.（2025・南通模拟）命题“VK£R,2¥2-3^+4>0,>的否定为（）

A.VxGR,2r-3x+4^0

B.SAER,2A,2—3x+4>0

C.3A?R,2r-3x+4<0

D3AGR,2f-3x+4W0

3.设Q0,）>0,则/，是“Qy”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.设p：1W/W4,q：x<in,〃是4的充分条件，则实数〃?的取值范围是.

国微点提醒

1.谨记两个常用结论

(1)〃是9的充分不必要条件，等价于㈱q是㈱p的充分不必要条件.

(2)命题〃和㈱〃的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

2.理清一个关系

“A的充分不必要条件是是指8能推出A,且4不能推出B；而“4是8的充分不必要条件”则是指A

能推出8,而8不能推出4,要注意区别上述两种说法的不同.

探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例1(1)(2025•福州模拟)设直线八：(a+l)x+e，-3=0,/2：2%+”-2a—1=0,则“〃=。”是“八〃

，2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2024•北京)设a,力是向量，则"(“+。)・3—6)=0"是%=-4或0=b"的()

A.充分不必要条件

B必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

思维升华充分、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据〃=(/,〃=〃是否成立进行判断.

(2)集合法：根据〃，夕成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

⑶等吩转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立

为止.

跟踪训练1⑴(2024.海口市海南中学模拟)“0=?+2依(k£Z)”是“cos〃=^”的()

42

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2024・山东联考)己知等差数列根〃｝的公差为4,前〃项和为S“.设甲：d>0；乙：｛*｝是递增数列，则

甲是乙的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

题型二充分、必要条件的应用

例2(1)已知p：xWl,q：xWa,若〃是夕的必要不充分条件，则实数。的取值范围是

若〃是夕的必要条件，则实数。的取值范围是.

(2)己知Ip：x>l或xv-3,“：为实数).若^夕的一个充分不必要条件是㈱〃，则熨数a的取值范

围是.

思维升华求参数问题的解题策略

⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2(1)已知〃：41,q：若〃是4的充分条件,则实数"?的取值范围是()

A.[O,+°°)B.[l,+8)

C.(—8,0]D.(—8,1]

⑵设p：Of,q：机一IWX+2.若〃是4的充分不必要条件，则实数的取值范围

是.

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词的命题的否定

例3(多选)下列说法正确的是()

A.“菱形是正方形”是全称量词命题

B.“5，y£R,炉+丁2。”的否定是“也，),GR,f+fvo”

C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”

D.“A=8”是“sinA=sin/T的必要不充分条件

命题点2含量词的命题的真假判断

例4(多选)下列命题中，为真命题的是()

A.VxGR,2fo

B3K£R,丁+1V2工

C.VAJ>0.x-\-y^-lyfxy

D.Bxty£R,sin(x+y)=sinx+siny

命题点3含量词的命题的应用

例5(2025・台州模拟)若命题“Vx£R,r一1一〃?^。”是假命题，贝I」实数m的取值范围

是•

思维升华含量词命题的解题策略

(I)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.

当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.

跟踪训练3(1)(2024•新课标全国II)已知命题〃：田+“>1；命题9：3x>(),x3=.r,则()

A.p和q都是真命题

B.^〃和q都是真命题

C.p和睇q都是真命题

D.㈱p和□㈱都是真命题

(2)已知命题1,2],3x+a>0”是假命题，则实数。的取值范围是.

答案精析

落实主干知识

1.充分必要p=q口q>p充要

2.(IN(2)3

[lp(x)YxGM,F/?(x)

自主诊断

1.⑴、(2)7(3)<(4)X

2.D|命题“V.r£R,2?—3叶4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以所求否定是,2^-3入+4<0”.]

3.C

4.(4,+co)

解析由〃是q的充分条件，

且〃：1,q：x<ni,

可得｛.r|lWxW4｝是｛木<〃7｝的子集，所以心4.

探究核心题型

例1(1)C[因为/1〃/2,

则〃(“+1)=2/,

解得〃=0或4=1.

若。=0,则/|:X—3=0,11:2r—1=0,两直线平行，符合题意；

若。=1,则h:2x+y—3=0,

h:2x+y—3=0,两直线重合，

不符合题意.

综上所述，八〃/2等价于。=0.

所以“。=0”是的充要条件」

(2)B［由3+勿・(。一。)=0,

得a2—b2=O,

即同2—血2=0,所以⑷=|例，

当a=(l,1),4(一1,1)时，

|a|=|“，但a#》且aW—》，

故充分性不成立；

当a——b或a=b时,

(a+b)(a—6)=0,

故必要性成立.

所以“m+ZI)・(a—b)=0”是“。=一〃或。=方”的必要不充分条件.]

跟踪训练1(1)A[若e=：+2E(kGZ),则cos6>=COSQ+2Z:TT)

=cos?=1,k3Z,充分性成立；

42

若cos0=a,则夕=卫+2履或夕=—E+2E,kRZ,必要性不成立，所以“夕=^+2E(kGZ)”是“cos。

2444

=号”的充分不必要条件」

⑵D|若公差Q0,如数列一10，—9,一8,—7,…，0,1,2,…，则数列的前〃项和S”先减后增；

若｛SJ是递增数列，如S〃=〃，则&=1,｛小｝为常数列也为等差数列，且d=0；

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.]

例2(1)(—8,1)(-oo,1]

解析因为p：xWl,q:xWa,

若〃是q的必要不充分条件，贝”(一8,白仔(-8,1],因此,

即实数。的取值范围是(一8,1).

若〃是“的必要条件，贝lj(—8,4,(—8,1],

因此“W1,即实数〃的取值范围是(-8,1].

(2)[1,+8)

解析由已知得冬弟〃：-3WxWl,㈱g：x，.

设A=｛*-3WxWl｝,

8={巾4},

若㈱p是㈱q的充分不必要条件，则冬弟〃=㈱q，弟了瀛p,

所以集合A={x|-3GW1}是集合8={.巾Wa}的真子集.

所以

跟踪训练2(i)C[由可得X(L1)<0,解得(Kt<l,

记A={x[O<x<l},5={x|x>m),

若p是q的充分条件，

则A是8的子集，所以〃?这0,

所以实数机的取值范围是(一8,0].]

⑵[0,1]

解析p：0WxW2,

q1WXW〃？+2.

若〃是q的充分不必要条件，

nlfm-1<0,

贝U.0^0

(7714-2>2,

且两等号不能同时取到，

解得OW〃W1.

例3AB[对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；

对于B,由全称量词命题的否定知其否定是“标，)£R,f+)k0"，故B正确；

对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除"，故C错误；

对于D,因为A=8时，sinA=sin8成立,而sinA=sin3时，.4=5不一定成立，如A=2,，故"A

•5O

=6”是“sinA=sin6”的充分不必要条件，故D错误.]

例4AD[对于A项，VxWR,,A项正确；

对于B项，・・・/+1—2]=(工一1)220,，x2+122r,B项错误；

对于C项，当x<0,y<0时，x-\-y<^<2y[xy,C项错误；

对于D项，取x=y=O,则sin(x+.y)=sinO=O=sinO+sinO=sinx+siny,D项正确J

例5[-卜+8)

解析方法一原命题的否定“会ER,f—x—〃?=0"为真命题，

AJ=1+4启0,解得m^--,

4

・•・实数机的取值范围是卜；，4-00).

方法二若命题f-x一帆中。”是真命题，

则/=1+4〃?<0,解得m<-4-,

故当原命题为假命题时，〃?2—;，

4

・•・实数机的取值范围是[―[,+00).

跟踪训练3(1)B[对于命题〃，取x=-1,

则有Lr+l|=0<l,

故〃是假命题，㈱〃是真命题，

对于命题q,取x=I,

则有.d=13=l=x,

故q是真命题，，弟q是假命题，

综上，㈱〃和q都是真命题.]

(2)(—8，-4]

解析由题意得，“Vx£[—1,2],x2—3x+a<0”是真命题，则f+3x对1,2]恒成立，在

区间[-1,2]上，-f+3x的最小值为一(一iy+3X(—l)=-4,所以aW(—f+3x)min=-4,即。的取值

范围是(-8,—4].

§1.3等式性质与不等式性质

【课标要求】1.掌握等式性质2会匕较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.

二落实主干知识,

1.两个实数比较大小的方法

a-b>0<=>ab,

Q-b=0=ab,(a,/?GR).

(a-b<0<=>ab

2.等式的性质

性质1对称性：如果。=力，那么；

性质2传递性：如果。=〃，b=c,那么；

性质3可加（减）性：如果那么a土c二》±c；

性质4可乘性：如果那么4C=〃C；

性质5可除性：如果a=b,cWO,那么.

3.不等式的性质

性质1对称性：；

性质2传递性：a>b,b>c=；

性质3可加性：a>A=a+c>/?+c；

性质4可乘性：a>bfc>0=>；a>b>c<0=>；

性质5同向可加性：a>b>c>d=>；

性质6同向同正可乘性：a>h>0,c>d>0=>；

性质7同正可乘方性：a>/?>O=a">Z?"（〃WN,〃22）.

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“X”）

（1）两个实数。"之间，有且只有心〃，a=b,三种关系中的一种.（）

⑵若<1,则b>a.（）

Q

（3）同向不等式具有可加性和可乘性.（）

（4）若二二，则b<a.（）

ab

2.（多选）下列命题为真命题的是（）

A.若a<?>b（?,则a>b

B.若a>b>0,则a2>b2

C.若u<b<0,则cr<ab<lr

D.若u<b<0,则

3.设M=2/-4"+7,N=/-3a+6,则有（）

A.M〈NB.M=N

C.M>ND.无法确定

4.若实数mb满足0<a<2,0<反1,则4一6的取值范围是.

国微点提醒

1.a>h,ab>0=>

ce，八八milbb+maa+in

2.若a>b>0>m>0,则：—<---；—>

aa+mbb+m

«探究核心题型.

题型一数（式）的大小比较

例1（1）（多选）下列不等式中正确的是（）

A.X2—2x>—3(x£R)

++b>0)

C.a2+b2>2(a~b—I)

G+2025.

D.-<-.........(Zb>a>0)

bh+2025

⑵若a>0,b>0,则p=(ab)~与的大小关系是(

A.p'gB.pWq

C.p>qD.p<q

思维升华比较大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

⑵作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

⑶构者函数，利用函数的单调性比较大小.

跟踪训练1（1）已知c>l,且x=《c+l-&,y=\[c-y/c—1,则x,y之间的大小关系是（）

A.x>j

B.x=y

C.x<y

D.x,y的关系随c而定

（2）已知a,方£（0,1）,记N=a+b-l,则M与N的大小关系是.

题型二不等式的基本性质

例2⑴（多选）（2025・常州模拟）已知实数a,b,c,d满足a<X0〈cvd,则（）

A.a+c<b+dB.a+d〈6+c

C.〃於加/D]冶

bd

（2）（多选）（2025・常德模拟）已知a>b>0,则下列不等式正确的是（）

2

A..a>abB捻,含

〃〃

C.a++ln(a)>2D・a一%Y

思维升华判断不等式的常用方法

（1）利用不等式的性质逐个验证.

（2）利用特殊值法排除错误选项.

（3）作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

跟踪训练2⑴（2024.西安模拟）已知a洒c＞d＞0,则（）

入dd+4

A><—B.a-c>b—(/

c笈D塌号

⑵（多选）若。泌＞0,c＞办0,则下列结论正确的是（）

\.ad>bc

B.a(a+c)>b(b+d)

I'a+db+c

D.ac+bd>ad+he

题型三不等式性质的综合应川

例3（1）（多选）（2025•大庆模拟）已知实数X,y满足］86,2勺＜3,则（）

A.3<J+2)<9

B.-1<X-J<3

C.2<A><18

（2）（2024.辽宁县域重点高中协作体模拟）公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某

公园的面积为an?,绿化面积为。m'OCva）,现对该公园再扩建2xn?,其中绿化面积为xn?,则扩

建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（）

A.变大B.变小

C.不变D.不确定

思维升华利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点

(1)必须严格运用不等式的性质.

(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围

的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

跟踪训练3⑴已知2々?<3,—2<b<—1,则2a—5的取值范围是()

A.[6,7]B.(2,5)

C.[4,7]D.(5,8)

(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通

常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为•款新的手机外

观，则该手机“屏占比”和升级前比()

A.不变B.变小

C.变大D.变化不确定

答案精析

落实主干知识

1.>=<

2.b=aa=c-=-

cc

3.b<aa>cac>bcac<bc

afc>b~\rdac>bd

自主诊断

1.⑴、(2)X⑶X(4)X

2.ABD[C中，若—2,-1,则a2>ab>h2,故C错误.]

3.C[因为M=2/-4〃+7,

N=〃-3〃+6,

所以M-N=(2/-4a+7)

一(4-3〃+6)

2

=/—a+l=(a-3+》0,所以M>N.]

4.(-1,2)

解析VO<Z?<1,—1<—Z?<0,V0<a<2,—\<a~b<2.

探究核心题型

例1(l)ABD「・•士-2工+3

=(X-1)2+2^2>0,

/.^2—2x>—3,故A正确；

£+会—(9+3=*十号=⑵:『尸，又。，。均为正头数，•,十〃>。，(〃i)峥。,

・・・空丝河部，，备+2浜+，，故B正确；

a2b2b2a2ab

•••片+加一2a+2b+2=(a-1)2+(6+1)220,

.,・/+〃22(。一〃一1),故C错误；

用作差法比较需黑一三

b+2025b

_2025(b-a)

-b(b+202S)

~20二需瑞>。,

.a^a+2025,故D正确.]

**bb+2025

⑵A［由题知p>0且g>0,

若a>b>0,

则三>1,a-h>0,

D

•,-->),即p>q；

Q

若b>a>0,贝ij0<7<1,a-b<0,

V

•,争I,即〃为；

若a=b,贝4=1,，p=q,

综上，p?q.1

跟踪训练1(1)C［由题设，易知x>0,y>0,又土=7-1__

y迎-gJc+i+vFs

Q)M>N

解析因为M-N=ab~a~b+1=(b~I)(a~1)，且a,b^(0,1),所以力一1<0,a~\<0,

所以M—M>0,即M>N.

例2(l)ACD[由av/?<O<c<d,利用不等式的同向可加性得

a+c</?+d,故A正确；

当a=-2,b=—\,c=l,d=2时，满足a<b<O<c<d,

此时有a+d=〃+c=()，故B错误；

由a<b<O<c<d，平方可得a2>b2>0.d2>c2>0,

再利用不等式的同向同正可乘性得/出>及,，故C正确；

由a<b<O<c<d,

可得一a>一历>0,d>c>0,

再利用不等式的同向同正可乘性得一a/>一,

两边同除以正数一，得:，，故D正确」

Da

⑵ABD［对于A,'：a>b>0,

cr>ab,故A正确；

对于B,V«>/;>0,・・.L^,

ab

•••i+V+L

ab

an八口+1b+1

即

0<—a<—b,

・・・/>指，故B正确；

a4-1b+1

对于C,令〃=1"=三，则«+/?-|-ln(«/?)=l4--+ln-=i<2,故C错误；

eeee

对于D,易得)=%一々%>0)为增函数，且a>〃>0,故a一二9一"故D正确.］

xab

跟踪训练2(1)A［对于A,2—誉=吟^,因为c>d>0,

CC।4C(Ci4)

所以</-c<0,所以&一号=华含0,即久竽,

cc+4c(c+4)Cc+4

故选项A正确；

对于B,，c>(l>0,取a=4,

b=3,c=2,d=1,则a—c=b—cl,故选项B错误；

对于C,a>b,c>cl>0,取a=2,

b=1,c=6,d=3,则2=：,故选项C错误；

ca

对于D,，取。=1,b=-1,则/哈，故选项D错误」

(2)BCD［对于A,取a=2,/?=!,c=2yd=\,则ad=bc，故A错误；

对于B,由a>b>0,c>d>0,

得〃+。>/?+办0,

则a(a+c)>b(b+d),故B正确；

对于C,由a>b>0,c>d>0,

得ac>bd,

且3等价于匕乙，等价于5日，

a+d匕+c工+1-+idc

等价于ac>bd,故C正确；

对于D,(ac+〃”)r“d+bc)

=(ac-ad)+(bd-be)

—a(c—d)+b(d—c)

=(c—d)(a—b)>0,

则ac-\~bct>ad-\~bc,故D正确.]

例3(1)CD[因为2V.y<3,

所以4V2产6,因为l<v<6,

所以5a+2)y12,故A错误；

因为2<)<3,

所以一3<一)，<一2,因为14<6,所以一2<x-y<4,故B错误；

因为l<x<6,2<产3,

所以2<x.y<18,故C正确；

因为2V.y<3,所以l<y—1<2,

所以k」—<1,又l<.v<6,

2y—1

所以*±<6,故D正确.]

2y—1

(2)D[原来公园的绿化率为3,扩建后公园的绿化率为言，

则也

a+2xa

a(b+x)-b(a+2x)_(a-2b)x

a(a+2x)a(a+2x)'

所以等与2的大小与。，2〃的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.]

a+2xa

跟踪训练3(l)D[由题意可知

4V2a<6,\<~b<2,

所以5<2a-b<S.]

(2)C［设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,

则屏占比为%。乂>。),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为〃小>。),升级后屏占比为鬻,

，・•・密一"土芋=舒£>0，即该手机“屏占比”和升级前比变幻

§1.4基本不等式

【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.

■落实主干知识二一

I.基本不等式：2"

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当____________时，等号成立.

(3)其中叫做正数〃，〃的算术平均数，叫做正数a,〃的几何平均数.

2.利用基本不等式求最值

⑴已知x,)，都是正数，如果积邛，等于定值P,那么当工=)，时，和x+y有最小值________.

(2)已知x,)，都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积外有最大值.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“Y”或“x”)

2

(1)不等式岫〈(等)与痴〈等等号成立的条件是相同的.()

(2)y=x+：的最小值是2.()

(3)若x>(),y>()且x+y=xy,则个的最小值为4.()

(4)函数产sin%+高,习的最小值为4.()

2.若函数./U)=x+E；(Q2)在处取最小值，则。等于()

A.1+V2B.1+V3

C.3D.4

3.已知(Kivl,则Ml一工)的最大值为()

4.（2025•滨州模拟）已知正数〃，力满足。+力=1,则±+：的最小值为______________.

ab

回微点提醒

谨防两个易误点

（1）在这用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必

须相同，否则会造成错误.

（2）尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.

«探究核心题型.

题型一直接法求最值

例1（1）（多选）（2025・广州模拟）下列代数式中最小值为2的是（）

B.2r+2-x

Cj=kinx|+高

(2)(2025•青岛统考)若1WE4,则J(6-霜(X+2)的最大值为］

)

A.4B.V15

C.2V3D.2

思维升华对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式誓2而成立的前提

条件为〃＞（）,/»（）;二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上

三点缺一不可.

跟踪训练1⑴函数），='仔＞0）的最大值为（）

3

A.-3B.-

4

C.3D.1

（2）若实数居y满足xy=l,则f+2），2的最小值为（）

A.1B.V2

C.2D.2日

题型二配凑法求最值

例2⑴已知0<x<净，则，，1-2*的最大值为()

A.涯B.i

22

C.-D.—

44

（2）函数«r）=4x+W，xe（-l,+8）的最小值为（）

A.6B.8

C.100.12

延伸探究在例2(2)中,若把。£(-1,+8)”改为«xe(-oo,一1)”，求於)的最大值.

■微拓展,

与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型

如图：

对于函数凡0fq,Q0,伍,b\,la,Z?jc(0,+«>).

⑴当4仁［〃，历时，段)二栏力2々，凡l)min祈灰尸死+m2vs；

⑵当时，在区间［a，切上单调递增,fix)min=