2026年高考数学复习（全国）空间向量的概念与运算（讲义）试题版

专题7.5空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、空间向量的概念与运算

空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，其中空间向量的概念与

命题规律

运算是空间向量与立体几何的基础。从近三年的高考情况来看，空间向量的

概念与运算考查相对较少，主要以选择题的形式考查，主要涉及空间向量的

分析线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等内容，难度较易，复习时要熟

练掌握空间向量的概念与运算相关内容。

考点2023年2024年2025年

高考真题

全国乙卷（文数）：

统计空间向量的第19题，12分上海卷（秋考）：第

概念与运算全国甲卷（理数）：15题，5分

第11题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，空间向量的概念与运算的考情将继

2026年续维持稳定态势，考查概率较低。最有可能在选择题中考察，主要考查空间

向量的坐标运算、空间向量的数量积，分值稳定在5分左右；侧重考查数学

命题预测运算能力和空间想象能力，要学会灵活求解。

定义：在空间，具有大小和方向的量叫做

空间向量

空间向量的c

表示方法：①几何表示法；②字母表示法

「有关概念I

空间向量的

概念零向量、单位向量、相反向量、共线向量

.几类特殊的（平行向量、相等向量

空间向量

空力⑪去二减法、数乘运算

空间向量的

间「线性运算运算津号换律;②结合律;③分配律

空间向量的

向

线性运算共线向量定理的用途：①判定两条直线平

彳叫②证明三点共线

量一共线向量定

理

的

空间向量夹利用空间回量的夹角公

概「角的计算

空间向量的

念

I空间向量数求空间向量数量积的步骤

与量积的计算

运

用基底表示a）定基底H2）找目标；（3）下结论

算向量的步骤

空间向量基

本定理（1）证明平行、共线、共面问题；（2）求夹

解决相关问角、证明垂直问题」（3）求距离（长度涧题

题

F

空间向量的力山去、减法、乘法、数量积运算

—坐标运算

坐标运算

知识梳理

知识点1空间向量的有关概念

1.空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法:空间向量用有向线段表示；

②字母表示法:用字母a,b,C,…表示；若向量”的起点是儿终点是8,也可记作刀，其模记为同或|刘

(4)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为()的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量”长度相等而方向相反的向量，称为G的相反向量，记为一”

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这

(平行向量)些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量都有

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

知识点2空间向量的线性运算

1.空间向量的线性运算

加法a-^h=OA+=k

空间向减法a-b=OA—OC=CA0aA

量的线

当A>0时，)M=).OA=PQ-*/。/

性运算//\a(A>0)Aa(A<0)

数乘当2<0时，/M=AOA=加；

：

当2=0时，九i=00P

交换律：a+b=b+a；

运算律结合律：0+(b+c)=(a+b)+c,4々)=(加)〃：

分配律：a(o+b)=A«+劝.

2.共线向量定理

(I)共线向量定理

对于空间任意两个向量以好0)，〃〃力的充要条件是存在实数3使〃=乃.

(2)共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；

②证明三点共线.

知识点3空间向量的数量积

1.空间向量夹角的计算

求两个向量的夹角：利用公式cosG，》=a♦b求COS〈4,右〉，进而确定〈。力).

向同

2.空间向量数量积的计算

求空间向量数量积的步骤:

(I)洛各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.

(3)代入a­b=时,，cos〈a,/»求解.

知识点4空间向量基本定理及其应用

1.空间向量基本定理

如果三个向量mb，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，歹，z),使得p=m

+M+ze.

我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，叫b,c都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步骤：

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的•个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向

量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论:利用空间的一个基底｛),2｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有

7，九c,不能含有其他形式的向量.

3.证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量m仇bWO),的充要条件是存在实数九使4=乃.

(2)如果两个向量〃，力不共线，那么向最p与向最〃，〃共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,刃，使

p=xa-\-yb.

4.求夹角、证明垂直问题

/t•b

(l)e为G,。的夹角，WJcos0=......

I«l\b\

(2)若m力是非零向量，则力=0.

5.求距离(长度)问题

\a\=y/a-a(|力同=AB•AB).

6.利用空间向量基本定理解决几何问题的思路：

(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题：点线共面可以转化为向量共面问题：

(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围：

（3）几何中求距离（长度）都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得.

知识点5空间向量的坐标运算

1.空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量”，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,

使。=与+力+zA.有序实数组（x,z）叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作〃=（戈，y,

2）.

2.空间向量的坐标运算

设a=（m,。2,。3），b=（b\,岳,方3），有

向量运算向量表示坐标表示

加法a+b=（m+①，/+岳，6+①）

减法

a-ha-b=（a\-b\t仅一岳，。3—九）

数乘）,aAa=（Xa\f2例，2a3），2ER

数量积ab+0262+4363

【方法技巧与总结】

1.三点共线:在平面中48,。三点共线方+y公（其中户产1）,0为平面内任意一点.

2.四点共面:在空间中P/4,。四点共面—3+z友（其中x+Hz=l）,。为空间中任意

一点.

举一反三

【题型1空间向量的线性运算】

【例1】（2025•黑龙江齐齐哈尔•二模）在三棱柱48C-4181cl中，设荏=AC=b,AA^=c,N为BC

的中点，则硒=（）

A.五+b+ZB.+b+EC.—cD.:方+

22222

【变式1-1]（2025•新疆喀什•模拟预测）在任意四边形/BCD中，E,尸分别是AD,8c的中点，若而+方=2而,

则7=（）

A.1B.1C.2D.3

【变式1-2]（24-25高二上•陕西咸阳・月考）三棱锥。一4BC中，65=日丽=1,沆=七点M为8C中点，

点N满足而=2AM,则丽=（）

A.-a-—-cB.-a--b+-c

233233

C.-1b-IcD.-Ia-

322232

【变式1-3](25-26高二上•天津静海•月考)如图，时,/7分别是四面体048。的棱。48。的中点，点。在用2

上且满足而=|而，若方=展，而=£沅=之则与方相等的向量是()

AA.-1一a+.-1b7*+.-1-c»Bn.-1a-*+.-ITb+.-IcT

336366

C.-a+-b+-cD.-a+-b+-c

663633

【题型2空间共线向量定理及其应用】

【例2】(25-26高二上・安徽滁州•期末)在空间直角坐标系中,若列(1,2,3),8(357),C(7,A15)三点共线,其

中幺6R,则人=()

A.11B.9C.7D.5

【变式2-1](24-25高二下•福建龙岩•期中)设向量可，霓，可不共面，已知而=可+与+与，

正=可+2器+可，而=4可+8出+4瓦，若4C,D三点共线,则2=()

A.1B.2C.3D.4

【变式2-2](25-26高二上•江西南昌•期末)若时(1,2,3),/7(3,4,5),2(5,初")三点共线，则血一汗二()

A.-1B.-2C.1D.0

【变式2-3](24-25高二下•甘肃白果•期中)设小石，可不共面，已知所=A/+2①+①，近=3百+2芍+

〃瓦，而=3区一2五+瓦，若力，C,。三点共线，则/1一〃=()

A.6B.12C.-6D.-12

【题型3空间共面向量定理及其应用】

[«3](25-26高二上•江西萍乡•期末)已知空间中三个向量方=(1,2,3),而=(2,-1,-1),而=(9,-1)

共面，则实数"勺值为()

A.1B.2C.-1D.-2

【变式3-1](2025•山西临汾•一•模)在平行六面体ABCD-中，”为Cg的中点，而=AAH,AE(0,1),

若B,D,4F四点共面，则入=()

【变式3・2】（2025•江西•模拟预测）已知四棱锥P-力BCD的底面48CD为平行四边形，过点B的平面分别交

侧棱PC,PD,PA于E,F,G三点，若户G=G4PE=2EC,则蔡=（）

A.1B.|C.|D.1

5322

（变式3-3]（2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）已知空间中有5个点E、/、B、C、D,若满足（1-A'）EA=^EB+

；就+/1而，且力、B、C、。四点共面，则4的值为（）

4

7511

A.—B.—C.-D.—

1212412

【题型4空间向量数量积及其应用】

【例4】（2026•辽宁大连•模拟预测）在校长为3的正四面体中，点G是三角形/BQ的重心，若空间内

一点P满足而=：前一;庶+:而，则而.正=（）

<5*5*5

A.3B.5C.7D.8

【变式4-1]（2025•辽宁鞍山•一模）已知向量方=（3,5,1）,b=（2,1,4）,则他+方）•了=（）

A.36B.32C.56D.52

【变式4-212025•山西•一模）如图，直三棱柱ABC-中,AB=AC=8C==2,点尸为侧面

上的任意一点，则同•时的取值范围是（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[3,5]

【变式4-3]（2（）25・山东枣庄・二模）已知三楂柱力8。一为々。1的各条棱长相等，且/44?=4&47=乙84。=

60。，则异面直线4B与BiC所成角的余弦值为（）

A.手B.iC.[D.畤

6222

【题型5空间向量基本定理】

【例5】(2025•湖北武汉•二模)在三棱柱48。一4当。1中，设标=五，AB=b,AC=~ctM,N分别为

eq的中点，则而=()

A.ia+ib+cB.|a-ib+cC.a-^b^^cD.a+^b+~c

2222222

【变式5-1】(2025•浙江温州•模拟预测)已知空间向量方=(1,0,0)]=(0,1,0),则下列向量可以与瓦石构成

空间向量的一组基底的是()

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C.c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

【变式5-2](25-26高二上•湖南岳阳•期末)如图，N分别是四面体。48c的棱04,4c的中点，Q是MN

上靠近点N的三等分点，OA=a,而=反OC=c,则丽=()

C赳+A家D.的+吴

【变式5-3](2025・湖北•二模)如图所示，在平行六面体48CD-力i/gDi中，AM=^MCf&N=2ND.

设{8=W,XD=b,AA{=c,MN=xa+yb+zc,则x+y+z=()

BC

【题型6空间向量平行、垂直的坐标表示】

【例6】(2025•江苏•模拟预测)已知空间向量五=(6,2,1),石=(2,%-3),若@一2石)1近，则％=()

【变式6-1](25-26高二上•贵州铜仁•期末)己知1=(1,2,%),b=(2,4,6),且五||b,则％=()

A.0B.1C.2D.3

【变式6-2](25・26高二上・青海・月考)若M(l,0,2)、1(2,1,1)、P(4,3,m)三点共线，则m=()

A.-2B.-1C.1D.2

【变式6-3](25-26高二上•北京朝阳月考)已知向量之=(一2,-3,1)1=(2,0,4),"=(-4,-6,2),则下列

结论正确的是()

A.aLc,bA.cB.a//c,albC.a//b,aleD.以上都不对

【题型7空间向量夹角、模长的坐标表示】

【例7】(2026•四川绵阳•二模)已知^=(1,2,3),石=(苍2,-1),若五1石，则历|=()

A.巡B.2A/6C.376D.V14

【变式7-1](2025•广