2025年高考数学培优复习：导数综合（学生版）

专题19导数综合

2024年真题研析

一、解答题

1.(2024新高考I卷.18)已知函数f(x)=ln上+处+h*一1)3

2-x

(I)若〃=0,且/'O0,求a的最小值;

⑵证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

(3)若/。)>-2当且仅当1<“<2,求力的取值范围.

2.(2024新高考H卷•16)已知函数/(“)=1一公一/

(1)当4=1时，求曲线)，=/(外在点(1J⑴)处的切线方程;

(2)若/")有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

近年真题精选

一、解答题

1.(2022新高考I卷・22)已知函数f(x)="-ai和g(6=ar-lnx有相同的最小值.

⑴求〃；

⑵证明：存在直线y二①其与两条曲线)和)=式刈共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2.(2023新高考I卷-19)已知函数〃"=a(e'+a)7.

⑴讨论了(力的单调性；

3

(2)证明：当a>0时，f(:c)>2\na+-.

3.(2022新高考II卷22)已知函数/(外=依小-/.

⑴当4=1时，讨论了(幻的单调性；

⑵当x>U时，求。的取值范围;

⑶设〃£N‘证明：—+际+…+西>皿〃+>

4.（2023新高考II卷・22）（I）证明：当Ovxvl时，x-fvsinxvx;

（2）已知函数/（x）=cosaLln（l-f）,若x=0是/（"的极大值点，求”的取值范围.

必备知识速记

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数/（用的值域为（凡。）或降,例，或（凡切或［4,/力中之一种，则

①若22/*）恒成立（即4</（幻无解），则兄之"（现皿；

②若恒成立（即无解），则人"（刈.；

③若22/3）有解（即存在X使得成立），则22"（幻］面；

④若有解（即存在X使得2W/（X）成立），则/14"（幻1网；

⑤若几=J（x）有解（即（幻无解），则&{yly=/。）}；

⑥若4=*x）无解（即2w/（x）有解），则;IwQ3y=/（切.

【说明】（I）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法.

（2）取值范围都与最值或值域（上限、下限）有关，另外要注意①@③④中前后等号的取

舍！（即端点值的取舍）

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如4f（x）=g（x）n4=@；

fM

②倒数法分离参数：如％f（x）=g（x）n==42；

%g（x）

【当/（X）的值有可能取到，而g（x）的值一定不为。时！可用倒数法分离参数.】

fM

2>,g(x)>0

g(x)

③讨论法分离参数：如：/g（x）2/（x）o,

fM

,g(x)<()

g(x)

为正偶数

(一1)"/I〈/(〃)(〃£*)=<

</（〃）,〃为正奇数

④整体法分离参数：如万+义二/（#；

⑤不完全分离参数法：如2=lnx+x—V；

X

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数.

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）.但如果

难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化

法.

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一

部分或端点，再分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题.】

三、其他恒成立类型一

①/G）在［4句上是增函数，贝|J/'（X）NO恒成立.（等号不能漏掉）.

②/。）在切上是减函数，则/"）40恒成立.（等号不能漏掉）.

③在切上是单调函数，则分上述两种情形讨论；（常用方法）

四、其他恒成立类型二

①V%GAy3x2GB,使得方程8（工2）=/（不）成立

o{ylU）,x£A}q{yly=g（x）,x£8}.

©BxjG4,3X2GB,使得方程g（%2）=/（X）成

={yly=/（x）,xwA}q{），|），=g（x）,x£B}H0.

五、其他恒成立类型三

①V%GA,VX2GB,/U,）>g（W）<=>/（xJmin之g（W）max；

②eA,3X2GB,f(xy)>g(x2)o；

③“wA.V/eB,/(须)欠(七)。/(芯)2Ng(X2)nm；

()))()

4)3^GA,3A-2GB,/aNg(X2=/(X|maxNg%min.

六、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求

解，方法是：

(1)把不等式转化为

(2)判断函数/(力的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到

具体的不等式(组)，但要注意函数奇偶性的区别.

七、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是

常见闲数的变形

模型1.对于/'*)>/(X)，构造h(x)=/(x)-ga)

模型2.对于不等式/(%)>%(攵工0),构造函数g(x)=f(x)-履+4

模型3.对于不等式/⑴+/⑴>0,构造函数g(x)=exfM

拓展：对于不等式/(x)+好⑴>0,构造函数g(x)=*/3)

模型4.对于不等式f(x)-/(x)>0，构造函数g(x)=W

e

模型5.对于不等式M(x)+/(x)>0，构造函数g(x)=xf(x)

拓展：对于不等式4(x)+，/(x)>0,构造函数g(x)=x”/(x)

模型6.对于不等式A/(X)-f(x)>0,构造函数g(x)=巡(x。0)

X

拓展：对于不等式"(x)mf(x)>0,构造函数g(x)=华

入

模型7.对于4要>0,分类讨论：(1)若/*)>0,则构造/7(x)=lnf(x)；

fM

(2)若则构造〃*)=皿一/'(切

模型8.对于/'(%)+Inaf(x)>0«0)，构造/心)=a"(x).

模型9对于f(x)lnx+3>0(<0),构造h(x)=/U)lnx.

x

模型10.(1)对于/'(x)>f(x)tanx(^fXx)<f(x)Unx),即

/'(x)cosx-f(x)sinx>0(<0),

构造h(x)=f(x)cosx.

(2)对于/'。)85。+/(了对11尤>0(<0),构造〃(幻="^.

cosx

fsinv

模型11.(1)f\x)sinX+f(x)cosx=[/(x)sinx](2)./^•^./(•<)cos,v=[/Cv)

sin-xsinx

名校模拟探源

一、解答题

1.(2024.浙江•三模)已知函数/(x)=e：：T.

⑴求函数〃力的单调区间；

⑵若曲线)，=/("在点(0,0)处的切线与二次曲线)，=/+(2〃+5)A2只有一个公共点,

求实数。的值.

2.(2024•河北张家口•三模)已知函数"x)=lnx+5x-4.

(1)求曲线丁=fM在点。，/⑴)处的切线方程；

3

⑵证明：

2

3.(2024•广东汕头•三模)己知函数/(x)=lnx-or,g(x)=—M工().

(1)求函数/(x)的单调区间;

⑵若f(x)Wg(x)恒成立,求。的最小值.

4.(2024•山西吕梁•三模)已知函数/(工)=.--2工+41m(〃£1<).

⑴讨论函数的单调性;

⑵若对任意的与看£(0,+功,西工々，使3(%)</(毛)>0恒成立,则实数。的取值范

王一再

围.

5.(2024•广西钦州•三模)已知函数/(x)=asiri¥+xcosx.

(1)若〃=0,求曲线在点(。,/(。))处的切线方程；

(2)若。>一1,证明：/(”在(-兀,兀)上有3个零点.

22

6.(2024•天津河西•三模)已知函数〃x)=-2alnx——，g(x)=at—(2a+l)lnx-—，其中

XX

4GR.

⑴若广(2)=0,求实数a的值

⑵当。>0时，求函数g(i)的单调区间；

⑶若存在入屋,使得不等式/(x)Kg(x)成立，求实数〃的取值范围.

e

7.(2024・河北・三模)己知函数〃X)=8SX+2X.

(I)当X£(YO,0)时，证明：/(x)<el.

⑵若函数g(x)=ln(x+l)+e,-/(x),试问:函数g(x)是否存在极小值?若存在，求出极

小值；若不存在，请说明理由.

8.(2024•四川南充•模拟预测)已知函数/(x)=1」-，lnx,4eR.

x

(1)讨论f(x)的单调性;

⑵当。>0时，函数/*)与函数g(x)=a(l-ei)-x+l有相同的最大值，求〃的值.

9.(2024・广东汕头•三模)已知函数f(x)=x(e*-a?).

⑴若曲线)，=/(x)在尸-1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值.

(2)若/")在。心)只有一个零点，求

10.(2024•北京•三模)已知函数/(x)=ln(x+l)+Hx+l).

⑴求/(x)的单调区间；

⑵若/(x)WT恒成立，求实数k的取值范围；

⑶求证：名兽<〃(<).(〃eN且〃22)

%+14

11.(2024.四川自贡•三模)已知函数/(x)=l+1+〃lnx3>0)

x

⑴求函数/(X)的单调区间；

(2)函数/")有唯一零点七，函数g(x)=x-sinx-3在R上的零点为々.证明：A,<

e

12.(2024•四川南充•二模)已知函数〃{)=：/_S加+分.

(1)当4=1时，求/(工)的最小值；

⑵①求证：/(力有且仅有一个极值点；

②当-兀1］时，设/(X)的极值点为%,若8(1)=-氐2+2§山-2了.求证：

/(x0)>^(x0)

2

13.(2024.黑龙江双鸭山•模拟预测)已知函数f(x)=hu+--a(x+l)(〃£R).

x

(1)当。=-1时,讨论八幻的单调性;

(2)若%,%(不<%)是f(x)的两个极值点,证明：/(%)-/(1)〈桂-4

14.(2024・北京•模拟预测)已知函数/(x)=ln(l+x)+cosx+a，+x2)-乂x£(_|,不).

(1)当。=0时.；

(i)求曲线y=f(力在点(0J(0))处的切线方程;

(ii)求/⑴零点的个数；

⑵当。>0时，直接写出。的一个值，使得x=0不是/⑴的极值点，并证明.

15.（2024.陕西西安.模拟预测）已知函数f（x）=or-lnx-。,若人工）的最小值为0,

⑴求”的值；

⑵若g（x）=4（x）,证明:g（x）存在唯一的极大值点且&（%）＜；.

16.（2024.四川成都.模拟预测）己知函数/（x）=hu-

X

⑴当〃=一1时，求“力的极值；

⑵若/（”之0恒成立，求实数。的取值范围；

）3/t+i

2

（3）证明：e"+

17.（2024•四川成都•模拟预测）已知函数/（工）=岑一惆xe（0,兀）.

e

⑴求函数/（x）的单调区间；

（2）若为＜占,满足f（N）=/伍）=0・

（i）求一的取值范围;

（ii）证明：%十七〈兀.

18.（2024•湖北荆州•三模）已知函数/（x）fe