广西柳州市2026届高三年级上册第二次模拟考试 数学试题

广西柳州市2026届高三上学期二模数学试题

一、单选题

1.已知z=i(l—2i),i为虚数单位，则Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.样本数据10,12,15,16,22,26,27,34的第60%分位数是()

A.26B.25C.24D.22

3.设集合A={.d—l<x<2},B={x\X2<2},则4n8=()

A.{x|—>/2<.v<-1}B.{A|-1<X<>/2>

C.{x|V2<x<2}D.{^-^<x<2]

4.准线方程为x=l的抛物线的标准方程为()

A.）广=4工B.x2=4yC.y2=-4xD./=_4y

5.已知x>0,y>0,则（）

，，11、111-2

A.X'+y->2xyB.一+-2——C.x+y>^xyD.-+~^-j=

%)，外

6.设函数/（X）=COS3-F）3>0）,若f（x）KJ）对任意的实数x都成立，则。的最小值为（）

64

7

A"B.-CD

3-I-I

7.函数/*）=0.3'-&的零点所在区间是（）

A.(003)B.(03,0.5)C.(0.5,1)D.(1,2)

8.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装布，如图，A,B,C,。为该正方体的顶

点，A4,CG为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面Q.若平面AAC与平面。平行，且直绳索人吊

的长度为2G米，则点O到平面a的距离为（）

A,亚米B.容米D,迪米

C.2G米

33

二、多选题

9.己知sin(a—夕)=一二，sinacos/7=-,则()

63

A.cosasin/?=-1

B.sin(cr+/7)=—

sin2asin2〃=2

C.3tana=2tan//D.

10.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，A8为底面直径，ZAPB=120°,%=4,点C在底面圆周上,

且二面角?一AC-O为45。，则（).

A.该圆锥的侧面积为46兀B.该圆锥的体枳为8兀

C.AC=46D.△E4C的面积为8

11.已知点P为双曲线C:工->2=1右支上一点，4，为双曲线。的两条渐近线，过点P分别作以,上

4'

PR5，垂足依次为A，B，过点P作PM〃/2交乙于点M,过点尸作PN〃乙交4于点N,。为坐标原点,

则下列结论正确的是（)

A

A.\OP\>\A^[B.I叫闷=.

C.5sAPAB=4S△pMND.|A^V|>1

三、填空题

12.已知直线/的一个方向向量为少=卜,-6）,则直线/的倾斜角为一.

13.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进

行检则，则每一类都被抽到的概率为;

14.若函数/（力=卜-2及4+3卜«，皿-］）（〃［61<）在［0,4］上恰有3个零点，则符合条件的〃，的个

数为.

四、解答题

15.设等差数列｛〃.｝的前〃项和为S.,且％=2,邑=15.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设"=2“,+可，求数列他｝的前,项和人

16.已知函数“x)=@+hu.

⑴当々=1时，求曲线丁=/(刈在点(1J(I))处的切线方程；

⑵若/(“有极小值，记八%)的极小值为g⑷,证明：g(a)«ei.

17.如图，三棱柱ABC-A由£中，侧面人84人_1底面A8C,，43=34=2,4。=26，/£84=60",

点D是棱44的中点，品二4诙，DELBC.

(2)求直线BBX与平面DEA.所成角的正弦值.

18.已知椭圆6:5+。1(〃＞人0)的离心率为争左、右顶点分别为4,8,点E的坐标为(1,0),且E

为。3的中点.

⑴求椭圆G的方程：

(2)斜率不为。的动直线/过点E交椭圆G于C,O两点，直线AC,BD交于点、M,直线AD,BC交于点N.

(i)设直线8c的斜率为占，直线B。的斜率为证明k段为定值；

5)以MN为直径的圆被x轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明

理由.

19.某中学手工社团每周开展劳动实践活动，制作并展示手工艺品，社团每周需要准备一定数量的手工材

料包（如陶土、布料等）.根据过往活动记录，发现参与活动的学生对手工材料包的需求量相对稳定，每周

对手工材料包的不同需求量（单位：份）及对应概率如下表：

需求量（份）0123

131

概率/）

105510

若以手工材料包的库存作为供给量，为了减少资源浪贽，每周末社团会清点材料库存：若手工材料包全部

被领用，则在周末及时采购2份新材料包，只要手工材料包还有1个存货，就不采购新的材料包.记X”为第

〃周开始时社团的材料包供给量，假设X=2.

⑴求X,的分布列;

（2）记点=（尸。“=1）］（尤=2））为第〃周开始时供给量先的概率向量,随着〃的增大，若募=加，则或趋

向一个定常态分布，记这个定常态分布为也.

（i）求该材料包的定常态分布。；

（ii）从长远来看，求该材料包需求量大于供给量的概率.

参考答案

1.A

【详解】因为z=i(l-2i)=2+i,

所以z在复平面内对应的点为(2,1),在第一象限.

故选:A.

2.D

【详解】从小到大排列的样本数据10,12,15,16,22,26,27,34,共8个数据,

因为8x0.6=48,所以数据的第60%分位数是第五个数据值22.

故选：D.

3.B

【详解】由f<2,得到一夜，所以8={R_&<x<a},

所以AnB={x|-1cxe&}.

故选:B.

4.C

【详解】因为抛物线准线方程为工=1，

所以可设抛物线的标准方程为r=-2PMp>o),

则］=i,即〃=2,

所以抛物线的标准方程为/=-4x.

故选:c

5.C

【详解】A：当x=y>0时，/+丁=2盯，所以不正确；

111y+x-l

B：—+-----=-------,

xyAJxy

因为x>0,y>0,所以当x+y=l时，-+-=

ky孙

当X+)，>1时，—+当X+)Y1时，-+因此不正确；

xyxyxyxy

C：因为K>0,y>。，所以有而〉而，正确；

D：因为x>0,y>0,所以有_L+_L一义=)'+“—2而=("一—)之0,

xy历孙不’

11、2

即7+工27一，所以不正确.

-vyg

故选:c

6.B

【详解】由八)”。)对任意的实数x都成立，得了⑴在户?处取得最大值，

44

则二。一四=2E«WN,解得。=跳+士次eN,

463

2

所以◎的最小值是

故选：B

7.B

【详解】由指数函数、弃函数的单调性可知：丁=0.3、在R上单调递减，)，=正在［0,+8)单调递增,

所以.f(.i)=03-6在定义域上单调递减，

显然/(0)=1>0,/(0.3)=0.3°3-0.3°5>0,/(0.5)=0.3°5-0.5°5<0,

所以根据零点存在性定理可知/(力的零点位于(030.5).

故选：B

8.D

【详解】设点。到平面ABC的距离为d,

根据正方体的性质可知：点8到平面AOC的距离为2,

因为%-ABC=^B-ACD»

所以;=

由正方体可得AB=BC=AC=yl2-+22=2&，

所以』xk2&x2&xsin60o.d」xk2x2x2,

3232

解得d=述，

3

所以点D到平面ABC的距离为辿，

3

又因为平面48。与平面。平行，直绳索AA的长度为2G米,

所以点。到平面&的距离为2石-半=华.

故选：D

9.BC

【详解】A选项，已知sin(a-〃)=sinacos夕一cosasin/7=-,，sinacos/7=-,

63

则cosasin夕=；+\=g,A错误;

B选项,sin(a+^)=sinacos/?+cosasin/?=-+-=-,B正确;

326

1

3-2

tana_sincrcosp-=

C选项,T3-所以3tana=2tan〃，C正确:

tan/?cosasin/7

2-

D选项，sin2asm2尸=2sinacosax2cos"sin夕=4sinacos/?cosasin万

=4xlxl=±,D错误；

323

故选：BC.

10.BCD

由二面角定义可知，ZPDO=45°,又NRX>=90。，所以〜0二0。,

在△丛3中，PA=PI3=4,ZAPB=120°,

所以/PR4=30°.PO=OD=2,BO=CO=716-4=2>5,

所以「。=2&，AC=2JOC?-OD2=2xJ12-4=4夜，C正确；

所以S，，w=gx2&x4&=8,D正确，

K

5,V1=x2\/5x4=8\/37t,A错误；

V=；X12TTX2=8兀,故B正ti角.

故选：BCD.

11.ABD

【详解】设尸（如%）用之2,且石-4），：=4,

区一2yoi|p〃|_ko+2.vj

又4：工一2)，=0,/2:x+2y=0,则1PAi=飞一，阳一飞―

ko-2)M|%+2%|二付-4)，；|二4

则陷.陷故B正确;

旧旧—5-5

直线%:），=一2（工一天）+.%,直线P4:y=2（%一毛）+），0,

y=-2(x-x0)+y0(4.%+2)，O2X0+)，O、

联立《I5,5J

x-2)，=0

y=2(x-x())+y()14%)-2%―2.+%)

联立x+2y=0'得3―V

则|A理2_<4x0+2)'。_4%—2)'。、+(2/+),0_-2x()+)

i6(x：+y：)

25

又|。D「=片+力，所以|O”>|AM，故A正确:

直线PM:y=-i(A--x0)+%,直线PN:)，=；(x-%)+%,

联立卜=一；(—%)+'得”件詈，血詈、，

x-2y=0I~4J

则|网=卜42y0、2=¥（Xo；：y°）,

2

联立卜女…得N佟言,电纣，

x+2y=01

2xl

'设AMON=26,因为tan<9=:，所以(an2g=/3,=----=,

2l-tair0］」3

-4

16

tai?20

则sin20=

l+tan:26>

因为四边形ONPM为平行四边形，

所以"""=&M"ON曲■国善

«4，1Vz11vzD

_忖-4涮_4_i

——.---------.———,

882

SA/）4B=-|PA|«|PB|sinZ/lP^=-!-x-sin（7r-2<9）=-sin26>=-x-=Af

22555525

故5s4s故C错误;

|MN「二（.42yo_/-;NoJ+（飞丁_f:2%J2l

2=4y+

=芯—4+；x；=（x：—4N；x4—4=1,等号成立时P（2,0）,

^M>1,故D正确.

【详解】因为直线/的一个方向向量为D=(3,-6卜

所以斜率k=—息.

3

设倾斜角为。，则&=1211。=-立，所以。=苧.

36

故答案为：v

6

【详解】

解:从游泳类1项,球类3项，出径类4项共K项项目中随机抽取4项进行检测,则每一类都被抽到的方

法共有CCC+c：CC种,

而所有的抽取方法共有C：种,

CCC+CCC303

故每一类都被抽到的概率为

7

3

故答案为：y.

14.5

【详解】令/*)=(),则V-2>/L:+，〃?=0或5而(!〃吠-三］=0,

4143；

rflA=(-2x/2j-7/2=8-in,

当加>8时，y=x2-242x+在［04］上没有零点，

"在［0,4］上应有3个零点,

则？=sin

m”1兀兀兀lli、ic/兀c口1177c1vJt

因为一—G—,m,所以2兀K〃?——<3兀，即一<m<---,

4333

与加〉8联立得8c机＜一丁，因为小wN",所以m的值依次为9,10；

当"?=8时，y=V-2&x+?〃在［0,4］上有1个零点近，

而产sin（2.V］在［0,4］上有3个零点34,了,不满足题意：

当1W根＜8时，），=/一2711+（〃］在［0,4］上有2个零点，

故v=sin

因为meN",所以该零点与y=x2-2J5x+［m的零点不相同,

所以0工〃?一^〈兀，即三工机＜与，与1金〃＜8联立得

JJJJJ

因为〃ieN",所以用的取值依次为2,3,4,

综上得符合条件的机的个数是5.

故答案是：5.

15.（1）。”=〃

(2)2•一2+匕^

2

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为4.

/=4+d=2

由题意可得g=5q+等d=15'解得――

则%=1+(〃-1)x1=〃.

(2)由(1)可知q=〃，贝ija=2%+〃“=2”+〃，

故(=4+内+&+•••+〃=(2+1)+(22+2)+(23+3)+・T(2”+〃)

=(2'+22+23+...+2/,)+(1+2+3+...+W)

2x(l—2")+(|+〃)〃

i-2-+-T~

16.（i）y=l

（2）证明见解析

【详解】（1）当4=1时，/（x）=1+hir,

AT

i1丫_]

所以/（X）的定义域为（0.+8），川）=1，/（力=一=+士=，,

.X*X

所以r（1）=o,即在点（1」）处的切线斜率为o.

由点斜式可知曲线），=/（"在点（|J⑴）处的切线方程为）-i=o,即y=L

（2）由“X）=q+1M知“X）的定义域为（0,+8）,且/（6=-0+l=三£.

①当。工0时，/'"）=—>。恒成立，/（X）是增函数，没有极小值，不符合题意.

X

②当〃>0时，若XG（OM）,则八工）=三^<0,所以/（力在（0,4）上单调递减；

X

若xe（a,+8）,则:（1）=与^>0,所以f（x）在®+。。）上单调递增,

A

所以/（工）有极小值，且极小值为〃a）=l+lna,所以g（a）=l+lna.

要证#（a）"e"T,即1+lnaKef只需证e"、-l-lnaNO.

令力⑷=尸一1一In9>0）,则/（a）=,

由复合函数的单调性知〃'（4）=e“---在（0,+力）上单调递增，

Xy（l）=e,-,-1=O,

所以当4«0,1）时，〃'（々）<0,〃（々）单调递减;

当4«1,+8)时，/(〃)>0,力(0单调递增，

所以〃(a)=e"T-l-lna(4>0)在”=1时取得极小值，也是最小值,

所以Ma)2/?(l)=ei—l—lnl=0,即〃(a)=e'z-l-lnaNO,

即晨°)4尸.

17.(1)证明见解析；

⑵噜.

【详解】(1)连接DA,EA,。4=1,AA|=2,/。44=60,

由余弦定理可得DA=V12+22-21-2COS60=G.

满足OI+D^MAK，所以DAI。4,即D4_LA8.

因为平面A84A，平面A8C,且交线为AB,由ZM_LAB,D4u平面川2小，得DAJ_平面ABC.

由BCu平面AAC,得DA上BC,DA±AC.

因为OE13C,D4cOE=/),且。A,O£u平面D4E，

所以8。，平面04£由AEu平面D4E,得8C_LAE.

设BE=t,CE=3t,有BTT'AC?-®)。解得：r=l,即BE=1.

所以BC=4,满足BA'AC'BC?,BPACLAB.

又因为ZM_LAC,D4cA8=A,且D4,ABu平面八^^片，

所以4C_L平面AB4A.

由84u平面A34A，得ACJ.8%

(2)以A为坐标原点，人反其己人力分别为xy，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.

你坐。1,

EA（-I,O,V3）,

22

设平面OE4,的法向量”=(x,y,z),

-x=0

n-DA.=0

由，—，即

K,EA]=0*冬+屈=o.

取z=l,得到平面尸班＞的一个法向量"(021).

又函=区

设直线35与平面。3所成角的大小为。，

则sin6二,。s%西」"呵二S厂二叵.

।“降।网3〃10

所以直线BB、与平面DEA.所成角的正弦值为巫.

10

2

18.⑴二+)尸=1

4'

(2)(i)证明见解析：(ii)是定值，26

【详解】(1)因为点E的坐标为(1,0),且七为08的中点,

所以8(2.0),即〃=2.

又离心率e=£=正，所以c=G，

a2

所以"=/一°2=4-3=|,

所以椭圆G的方程为三+/=|.

(2)(i)因为直线/过点用1,0),可设直线/的方程为彳=〃口+1,。(%,乂),。(七,必)，

由•W+）一1消去X得（4+〃/））,2+2冲-3=0.

x=my+I

2

所以△=（2⑼2-4（4+in）x（-3）=16〃P+48>0,y+y2=力+：，X%=4+1

因为直线8C的斜率为用，直线8D的斜率为攵2，

所以4=♦,*2=）2,

西一2/一2

诉间女女=工____，2—y力

所以12-A-,-2%-2一（M-2）（&-2广

将工=〃少+1,），+%二厂2团，，）,）,二-3,代入得

4+"4+m-

________hh_________X%________^2_______

1

（阳+1-2）（my2+1-2）（mj,-l）（my2-1）阳％为一〃?（）1+乃）+

-3

==-2,

-3-2m4

n2t-----------------------+•

4+"4+in7

3

即尢网为定值-丁.

4

（ii）是定值.

因为A（-2,0）,。（公,），由两点式可得直线AC的方程为），=士（工+2）；

•Xj।，

因为8（2,0）,。（&,%），由两点式可得直线80的方程为y=*7（x-2）.

X）一乙

因为直线AC,BD交于点M,所以-7（%+2）=f（XM-2）,

X）+Zg一Z

将“吁।代入得鼎%右（％-2），

整理得“4吗2T+6%.

3必+凹

,一26—3„3z、

由>i+>2=------r,X%=------r得"5乃=彳（凹+%），

4+"I4+m2

3

所以X:4mxy2_2y+6%_4x,（y+乃）-2由+6乃「：

“3），2+y3y2+）［

同理，直线A力的方程为），={7（1+2）,直线AC的方程为），=T4（X-2）,

x2+4X-z

3

联立可解得4段力-2%+6），_4、2（乂+%）-2%+6y

人4，-----------------------------------------*T

3y+%3y,+儿

因此M（4,%）,N（4,yN）,所以直线MN垂直于工轴，

以MN为直径的圆的圆心为（4,义二上半径,•=一一卬,

I2）2

所以圆的方程为（工_4）2+0，-2k/j,

令六。，可得(x—4)2=(b^J1_(2^2kJ=_%%.

将与=4代入直线AC的方程N=±(X+2)得％=黑=’^

人]十乙人I•乙，〃)]'，

同理得为=—%.

my2+3

6M6%36y%

则.%W=—%---77=-----二.

my}+3rny2+3myy2+3m(y+y2)+9

3-16/---一-3y

将*+%=言*'）'跖=£7代入得坨力;__________4+,犷_______=_3

，-3°-2m八，

m-----+3/71-----+9

4+m~74+〃广7

所以（-4）2=-加%=3,解得X=4±G，

故弦长为（4+6）-（4-6）=26，是定值,

即以MN为直径的圆被上轴所截得的弦长是定值，为2也.

19.