湖南省邵阳市隆回县2024-2025学年下学期九年级模拟检测考试数学试卷（一）解析版

湖南省邵阳市隆回县名校2024-2025学年下学期九年级模拟检测考试试卷数学（-）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）

1.-2025的相反数是（）

A_J_B•一盛C.2025D.-2025

2025

【答案】C

【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025,

故答案为：C.

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.

2.下列几何体中，主视图是三角形的为（）

【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故A符合题意;

B、球的主视图是圆，故B不符合题意;

C、正方体的主视图是正方形，故C不符合题意;

D、三棱柱的主视图是长方形，故D不符合题意;

故答案为：A.

【分析】根据主视图的定义，从正面观察儿何体分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可求解.

3.下列计算正确的是（)

A.x6x3=x2B.V2-I-V3=V5C.(X3)2=X6D.(x+y)2=x2+y2

【答案】C

【解析】【解答】解：A、故A错误;

B、企与旧不是同类二次根式，不能合并，故B错误;

C、(必)2=X6,故C正确;

222

D、(x+y)=x+2xy+yf故D错误;

第1页

故答案为：C.

【分析】利用同底数案除法、二次柱式的加法、塞的乘方、完全平•方公式，逐项进行判断即可.

4.春运首日，湖南地区到达旅客人数创历史新高，达507000人次.其中数据507000用科学记数法表示为

()

A.50.7x105B.0.507x106C.5.07x105D.5.07x106

【答案】C

【解析】【解答】解:507000=5.07xl05,

故答案为：C.

【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为axlOL其中lw|a|W9,n为原数的整数位数减I,据此得到

答案.

5.在立面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是1)

A.(-5,1)B.(5,-1)C.(1,5)D.(-5,-1)

【答案】D

【解析】【解答】解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(-5,-1).

故答案为：D.

【分析】关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，据此解答.

6.如图，潜望镜中的两面镜子48,C。互相平行放置，光线经过镜子反射时，Z1=Z2,Z3=Z4,若41=

A.39°B.41°C.45°D.49°

【答案】B

【解析】【解答】W：-ABWCD,

1.z.3=Z.2,

•••Z.1=匕2,

z3=Z.1,

VZ3=Z4,Z1=41°,

z4=zl=41°,

故答案为：B.

【分析】根据两直线平行，内错角相等得乙3=乙2,然后进行等量代换得到△4=的度数.

第2页

7.下列命题中，正确的是（)

A.等边二角形是中心对称图形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.正多边形的外角和为360。

D.在△48C中，若44N&NC=3:4:5,则是直角三角形

【答案】C

【解析】【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故A是假命题，不符合题意；

B、对用线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B是假命题，不符合题意；

C、正多边形的外角和为360。，故C是真命题，符合题意；

D、在AABC中，若2=3:4:5,于是得“=卷x180。=75。，则△ABC不是直角三角形，故D是

假命题，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据中心对称图形的定义、菱形的判定、多边形的外角和、三角形的内角和定理以及直角三角形的

定义，结合真命题的定义逐项进行判断即可.

8.如图，点A,B,C均在。。上，OA1OB,若乙4=20°,则乙8的度数为（）

A.40°B.45°C.60°D.65°

【答案】D

【解析】【解答】解：如图，连接。C,

&

'：OA=OB=OC,乙4=20°,

・••乙A=/-OCA=20°,乙B=乙OCB、

*：OA_OB,

・"AOB=90°,

第3页

•\^ACB=^Z-AOB=45。，

:•乙OCB=Z.OCA+Z-ACB=20°+45°=65°,

・・・48=Z.OCB=65°,

故答案为：D.

【分析】连接。C,根据等腰三角形“等边对等角”的性质求得乙力二乙。乙4=20。，乙B=^OCB,然后利用圆

周角定理求得“CB=45。，从而得"=Z,OCB=65°.

9.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决

赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【解析】【解答】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己

的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故答案为：B.

【分析】将II个不同的成绩按从小到大排序后，可得最中间的数据为这组数据的中位数，由于按照成绩取

前5名进入决赛，根据中位数的意义即得.

10.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=。8=3遥，点C为平面内一动点，BC连接4C,点

M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2.当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

c・。给D.偿仁为身

【解析】【解答】解:•・,点C为平面内一动点,FC=1

，点C在以点8为圆心，?为半径的08上,

等，）连接。，分别过、作垂足为、

在无轴的负半轴上取点。0,8CMCF_LO4ME1OA,FE,

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-AD=OD+OA=竿

.OA_2

,•而二3

*：CM:MA=1:2,

.OA_2_CM

，9AD=3=AC，

'：LOAM=Z.DAC,

△OAMDAC,

.OM_0A_2

，，~CD~AD~3,

・••当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当O,B,C三点共线，且点8在线段0C上时，C。取得

最大值，

^OA=0B=3S，0D=琴，

•'♦BD=yJOB2+OD2=卜可+（等）24,

:.CD=BC+BD=9,

..OM_2

*CD=3*

：.0M=6,

轴1》轴，CF1OA,

：.^DOB=乙DFC=90°,

■:乙BDO=乙CDF,

；・△BDOCDF,

噜老喑熹

解得C?=卑，

同理可得，LAEM^^AFC,

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,MEAM2un-^=?

♦♦乔二衣二”辱3’

解得ME=里，

◊

:-0E=y/OM2-ME2=J62-=等，

・•・当线段0例取最大值时，点M的坐标是（皑，壁），

故答案为：D.

【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，|为半径的08上，在％轴的负半轴上取点。（一竽，0）,连接BD，

分别过C、M作CF104,例EJ.O4垂足为F、E,先证△0/1M~ZkZX4C,得需=缁=•从而当CD取得

最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当。，B,C三点共线，且点B在线段OC上时，CO取得最大值，然

后分别证^BDOCDF,△AEMAFC,利用相似三角形的性质即可求解.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；清将答案填在答题卡的答案栏内）

11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】%>9

【解析】【解答】解：由题意得X-9X）,

解得x>9.

故答案为：x>9.

【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.

12.分式方程序=?的解是.

【答案】x=-6

【解析】【解答】解：去分母得:3x=2x-6,

解得：x=-6,

经检验x=-6是分式方程的解，

故答案为：x=-6.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

13.已知方程%2一2%+忆=0的一个根为一2,则方程的另一个根为.

【答案】4

【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m

根据韦达定理得：-2+m=2

解得：m=4.

故答案为：4.

第6页

【分析】设方程的另一个根为m,根据韦达定理勺+必=-，代入计算即可.

14.数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：

累计抛掷次

501002003005001000200030005000

数

盖面朝上次

2854106157264527105615872650

数

盖面朝上频

0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530

率

根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（精确到0.01）

【答案】0.53

【解析】【解答】解：根据题意可知：随着实验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53,

故答案为：。53.

【分析】利用频率估计概率，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概

率，结合实验数据直接得到答案.

15.如图，在团4BC。中，乙0=60。.以点B为圆心，以的长为半径作弧交边BC于点E,连接AE.分别以

点4E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线BP交4E于点0,交边于点F,则嘉的

值为•

【答案】V3

【解析】【解答】解：•・•四边形48CD是平行四边形，40=60。,

：.LABC=Z.D=60°,AD||BC,

由作图可知：BP平分乙4BC,BA=BE,

•••△ABE是等边三角形，Z.ABF=LEBF=^LABC=30%

"BAE=60°,

AAAOB=180°-ABAE-AABF=90°,

：.BOLAE,

第7页

：.A0=OE,

又・；AD||BC,

：,Z-AFB=乙EBF=30°,

：.Z.AFB=Z.ABF=30°,

：.AB=AF,

a：BOLAE,

：.LFAO=乙BAE=60°,

HF「

**•tanzF/10=tan60°=而=8，

・°尸_氏

,♦砒二73,

故答案为：V3.

【分析】根据平行四边形的性质得以8C=4=60。，AD||BC,由角平分线尺规作图得8P平分〃8C,

BA=BE,从而推出△A8E是等边三角形，^ABF=^EBF=30c,进而根据等边三角形的性质得484E=

60°,于是得，/0/?=90。，即BO_L/E,AO=OE,然后根据平夕亍线的性质，进行等量代换得，力尸B=

^ABF=30°,由等腰三角形的判定得48=力用根据等腰三角形“三线合一”性质得乙凡4。=48力£=60。，

最后利用正切的定义求解即可.

16.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从

木末望水岸，入径四寸.问井深几何？''意思是：如图，井径BE=5尺，立木高48=5尺，8。=4寸=0.4

尺，则井深》为尺.

A__..

，/卜

/5尺

ED：B、，

^―▼-----tr-i―i

FC

【答案】57.5

【解析】【解答】解：根据题意，得四边形8EFC是矩形,

:.BE||CF,BE=CF,

△ABD〜△ACFf

.AB_BD

，9AC=CF,

=AB=5,BD=0.4,

第8页

.5_0.4

••福二丁

解得：AC=62.5,

.•.%=BC=AC-AB=62.5-5=57.5,

故答案为：57.5.

【分析】根据题意得四边形BE也是矩形，由矩形的性质得BE||CF,BE=CF,从而推出△〜△ACF,

进而根据相似三角形对应边成比例得缥二空，于是可求出4c=62.5,最后求％=AC-力8的值即可.

ACCF

17.如图，平行于的直线DE把分成面积相等的两部分，口点。，E分别在边4C二，则黑的值

为.

【答案】V2-1

【解析】【解答】解：*：DE||BC,

△ADEABC,

.伏

,,加）一_S^A^D?E

•・,平行于8。的直线DE把418。分成面积相等的两部分,

・S/s/WE_1

•,寸一7

・ADJ2

••亚F

•AB_历

,.而=’2,

.BD_AB-AD_ABAD_.

-AD=AD=AD~AD=y/2~lf

故答案为：V2-1.

2

【分析】根据相似三角形的判定得△力OEs/kABC,从而由相似三角形性质得（黑）=%黄=；,进而可得

出的二多于是得瑞=鱼，最后结合80=48—4。即可求出器的值.

18.“体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，

负一场得。分.比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是

四个连续奇数，那么与二班踢平的班是.

【答案】一班与四班

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【解析】【解答】解：4个队一共要比书12=6场比赛，每个队都要进行3场比赛，各队的总得分刚好是

四个连续奇数，一班、二班、三班、四班的得分情况只能是7,5,3,1

所以，一班胜2场，平1场，负（）场；

二班胜1场，平2场，负0场；

三班胜1场，平0场，负2场；

四班胜0场，平1场，负2场；

与二班踢平的班是一班与四班

故答案为：一班马四班.

【分析】4个队一共要比书出场比赛，即每个队都要进行3场比赛，各队的总得分刚好是四个连续奇

数，四队得分情况只能是7,5,3,1,所以一班胜2场，平1场，负0场：二班胜1场，平2场，负0场；

三班胜I场，平0场，负2场；四班胜0场，平1场，负2场；则二班踢平的班是一班与四班。

三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9

分，第25-26题每题10分，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

19.计算：（7T-5）04-V9-2sin3004-1-2|.

【答案】解：原式=I+3—2X2+2

=14-3-1+2

=5.

【解析】【分析】先根据零指数累、算术平方根、特殊角三角函数值、绝对值的意义进行化简，最后按顺序计

算加减乘运算即可得到答案.

2%+1Nx+2①

20.解不等式组:2x-1<|(x+4)(2)

【答案】解：由①，得X之1,

由②，得x<2,

・••原不等式组的解集为：1WXV2.

【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小

小无解了“得到不等式组的解集.

21.某校为了解学牛.每周参加科学教育的情况，随机抽取了部分学牛.进行调查.根据调查结果制作了两幅不

完整的统计图.

第10页

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次被抽取的人数为人；

（2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为和；

（3）在扇形统计图中，“8h”部分所对应的扇形的圆心角度数是度；

（4）若该校有学生2000人，请估计该校每周参加科学教育的时间达9九及以上的学生人数.

【答案】（1）50；

（2）8/1,8/1；

（3）122.4；

（4）解：2000x=920（人），

JU

・•・时间达9/i及以上的学生有920人.

【解析】【解答】解：（1）解：根据题意，得本次被抽取的人数为7・14%=50（人），

故答案为：50；

（2）根据题意，得每周参加科学教育时间为8九的人数最多，为17人，

・•・众数为8人

•・•中位数是第25,26个数据的平均数，且第25,26个数据都在8九范围内，

・•・中位数是竽=8九，

故答案为：8h,8h；

（3）根据题意，得“8h”部分所对应的扇形的圆心角度数是360。、斋=122.4。，

故答案为：122.4.

【分析】（1）根据样本容量二频数♦所占白分数，用”7h”的人数除以其所占白分比得本次被抽取的人数:

（2）根据众数、中位数的定义进行求解；

（3）用36（）。乘以“8h”部分所占比得所求圆心角的度数；

（4）利用样本估计总体，将2000乘以时间达9八的学生所占比即可求解.

（1）W：•・•7+14%=50（人），

第11页

故答案为：50.

（2）解：根据题意，得8九的人数足17,最多，

故众数为8九，

而中位数是第25,26个数据的平均数，且第25,26个数据都在8h范围内，

故中位数是挚=8九，

故答案为：8九，8h.

（3）解：根据题意,得360。X/=122.4。.

（4）脩根据题意，得2000x粤=920（人），

答：时间达9八及以上的学生有920人.

22.如图，RtAABC中,48=90。，AB=6,BC=8,。是斜边AC上一个动点，过点D作OE_L/IB于点E,

OF1BC于点F,连接EF.

（1）求证：四边形8E。?是矩形；

（2）若四边形BED尸为正方形，求衰的值.

【答案】（1）证明：•••OE148,DF1BC,

...乙BED=乙BFD=90°,

vZ.B=90°,

乙BED=Z.BFD=Z.B=90°,

.・则边形BEDF是矩形；

（2）解:如图，连接BD,

・・•四边形8EDF是正方形,

•••DE=DF,

•••DE1AB,DF1BC,AB=6,BC=8,

第12页

4n63

o

.S^ABD_------

8c84

SACBDIBCDF

.迎_S&ABD_3

CDS»CBD4

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义求出4BED=4BFD=/B=9O。，然后由三个角是直角的四边形是矩形

即可得证结论;

（2）根据正方形的性质可得°E="凡利用三角形面积公式得谦=需=畜最后根据等高的三角形底

之比等于面积之比求伸=谦的值即可.

(1)证明：•.•£)£114B于E,DFLBC,

...乙BED=乙BFD=90°,

•••乙ABC=90°,

••・四边形8EDF是矩形.

(2)解:如图，连接8D,

・・•四边形8EDF是正方形,

DE=DF,

.S^ABD=地田"_丝63

-=-

84

'S^CBD%C：DFBC

•也_S^ABD_3

CDS&CBD不

23.2023年II月，第一届全国学生（吉年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了

人们的强烈喜爱.一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在

售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个.

（1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率.

（2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个4（）元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查

发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价

多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？

【答案】（1）解：设10、11这两个月毛线玩具销售量的月平均增长率为x,贝IJ：256（1+x）2=400,

第13页

5

1+x=±4

Axi=-2.25（舍），x2=0.25,

答：2、3这两个月销售量的月平均噌长率为25%.

（2）解：设每个毛线玩具降价a元，

则：（40-a-25）x（400+4a）=4200,

整理得：a2+85a-450=0,

解得：«i=-90（舍），a2=5,

答：每个毛线玩具降价5元时可在12月份可获利4200元.

【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x,根据题意列一元二次方程求出x的值即可：

（2）设每个毛线玩具降价a元，根据利润二单利润x销售量列一元二次方程求出a的值即可.

24.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1,某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，

便于社区居民休憩.在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC,遮阳篷48长为5米，与水平面

的夹角为16。.

R

（1）求点4到墙面的距离；

（2）当太阳光线40与地面CE的夹角为45。时，量得影长CO为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高8C的长.（结

果精确到0.1米;参考数据:sinl6°«0.28,cosl6°«0.96,tanl6°«0.29）

【答案】（1）解：过点A作4F18C于点F,如图所示：

CD山

・•・△ABF为直角三角形，ZBFA=90°,

;在AB/7中，48=5米，ZBAF=16°,

：.AF=AB-cosl6°«5x0.96=4.8（米）,

・••点A到墙面8C的距离约为4.8米；

（2）解：过点A作力GCE于点G,如图所示:

第14页

B,

tz

CDG匕

由题意得：四边形AFCG是矩形，AADG是直角三角形，NAGD=90。，

：.AG=CF,CG=AF=4.8（米），

■:CD=1.8（米），

：.DG=CG-CD=4.8-1.8=3（米），

在中，^LADG=45°,DG=3米，

：.CF=AG=DG=3（米），

在RtMBF中，AB=5米，ZBAF=16°,

:・BF=AB-sinl6°«5x0.28=1.4（米），

：・BC=FF+CF=1.4+3=4.4（米）.

故遮阳蓬靠墙端离地高BC的长为4.4米.

【解析】【分析】（1）作力/1BC于点F,在/?£△48r中解直角三角形，即可求出AF的长；

（2）过点A作4Gd.cE于点G,可得四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，NAGD=90。，利用矩形

的性质得力G=CF,CG=4F=4.8（米），分别在RsACD和RsABF中解直角三角形，求得FC和BF的

长，由BF+CF,即可得到结论.

（1）W：过点A作力尸18C,垂足为F,

R

在Rt△4B尸中，AB=5（米），

：.AF=AB•cosl60弋5x0.96=4.8（米）,

・••点A到墙面8c的距离约为4.8米；

（2）解：过点A作4G_LCE,垂足为G,

R

由题意得：AG=CF,AF=CG=4.8（米）,

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VCD=1.8（米），

：.DG=CG-CD=4.8-1.8=3（米），

在RtZiAOG中，AADG=45°,

：.AG=DG=3（米），

：.CF=DG=3（米），

在ABF中，

：.BF=AB•sinl6°«5x0.28=1.4（米），

：.BC=BF+CF=1.4+3=4.4（米）.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=。/+以+4（0H0）与％轴交于4（一4,0）,8（1,0）两点，与y轴交

于点C,连接4C,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是射线C4上方抛物线上的一动点，过点P作PE_Lx轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE上

一动点,MNly轴，垂足为N,点尸为线段BC的中点，连接4M,NF.当线段尸0长度取得最大值时，求

4M+MN+N尸的最小值；

(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点D,且与

直线4C相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当NQKD+44C8=180。时，求点Q的坐标.

【答案】(1)解：:抛物线y=。冗2+阮+43H0)与无轴交于414,0),3(1,0)两点,

.[16G-4b+4=0

一1a+b+4=0'

解得｛々:二;，

••・抛物线的表达式为y=-X2-3X+4；

(2)解：如图，连接EN,

第16页

:抛物线y=-x2-3%+4与y轴交于点C,

：•当％=0时，有y=4,

•"(0,4),

设直线AC的解析式为y=mx+n(mH0),

将力(—4,0),C(0,4)代入解析式，得「4狙02=0,

ITi—q

解得：产=:

，直线4c的解析式为y=x4-4.

设P(p,-p2-3p+4)(-4<p<0),则D(p,p+4),

••PD=-p2-3p+4-(p+4)=-(p+2)2+4,

V-1<0,

・•・当p+2=0,即p=—2时，PD有最大值为4,

・・・此时2(一2,6),

・•・£■(—2,0),

：.OE=2,

V/l(-4,0),

：.OA=4,

：.AE=OA-OE=2,

丁MNJLy轴，

：.MN=OE=2tAE||MN,

：.AE=MN,

・•・四边形AMNE是平行四边形，

：.AM=EN,

：.AM+MN+NF=EN+MN+NF>MN+EF,

・••当E、N、F共线时，EF取得最小值，即AM+MN+N尸取最小值,

•・•点产为线段BC的中点,8(1,0),C(0,4),

第17页

•••Fg,2),

•*,EF=J(-2-+(0—2)2=

/•AM+MN+N/的最小值为孚+2；

(3)解：如图，过点。作OQIIBC交抛物线y'于点Q,

由(2)得点。的横坐标为-2,直线4C的解析式为y=久+4,

，将x=-2代入y=%+4,得y=2,

•・•将抛物线y=-x2-3%+4沿射线。4方向平移得到一个新的抛物线，且0A=0C=4,

・••可设新抛物线由y=-%2-3%4-4向左平移£个单位，向下平移£个单位得到，

；・新抛物线解析式为y'=-(%4-£尸一3(%+£)+4—t,

•・•新抛物线经过点D,

**•2——(—2+t)23(-2+t)+4-3

解得：£=2或£=一2(舍去)，

，新抛物线解析式为y'=-(x+2尸一3(x+2)+4-2=-d_7%—8,

联立『二1二+7;8,

解得：｛；：二网获二

K(-6,—2),

同理可得直线8c解析式为y=-4%+4,

又.：DQ||BC,

:•乙QDK=乙BCA,

'：^QKD+^ACB=180°,

・•・当点Q在BC下方时,满足QKIIBC,

・••可设直线QK解析式为y=-4%+^

第18页

-2=—4x(—6)+q,

••q=-26»

・•・直线QK解析式为y=-4%-26,

联圮二n，

解得:g：：H=-38>

・・・Q(3,-38)；

*-0A=OC=4,OB=1，

^Z.ACO=45°,乙BCO<COBC，

：.LBCO<45°,

：.Z-ACB<45°,

'：/LQKD+^ACB=180°,

:,乙QKD>90°,

•・•当点Q在8c上方时，^QKD<90°,故此种情形不成立；

综上所述，点Q的坐标为(3,-38).

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的表达式；

(2)连接EN,先求得。(0,4),利用待定系数法求得直线4c的解析式，然后设P(p,-p2-3p+4),则

D(p,p+4),利用二次函数的最值知识求得PD最大值，得出此时P(-2,6),从而得E(-2,0),进而求出4E||

MN,AM=EN,根据平行四边形的判定推出四边形4MNE是平行四边形，得4M=EN,接下来推出当

E、N、尸共线时，EF取最小值，即4时+“可+/7?取最小值，利用中点坐标公式求出/G，2),最后利用坐

标系中两点距离公式得q的值，即可求解；

(3)过点。作OQIIBC交抛物线炉于点Q,由(2)先求得。(一2,2),设新抛物线由原抛物线向左平移t个单

位,向卜.平移t个单位得到，根据二次函数平移变换规律''上加卜减常数项，左加右减自变量“得新抛物线解析

式，将点。坐标代入新抛物线解析式求出£的值，即可得新抛物线解析式，然后联立新抛物线解析式与直线AC

的解析式求出K的坐标，利用待定系数法同理得直线8c解析式，根据平行线的性质得乙QOK=△8cA,结合

^QKD+^ACB=180°,可知当点Q在BC下方时，满足QK||接下来求出直线QK解析式，联立新抛物

线解析式与直线QK的解析式求出Q的坐标，最后求出4QKD>90。，结合当点Q在上方时，上QKDV

90。，得此种情形不成立，据此即可求解.

(1)解：把4(一4,0),8(1,0)代入y=a/+bx+4(aH0)中得：

IClIVIT0—U

解得的。

；・抛物线的表达式为y=-%2-3%4-4；

第19页

(2)解：在y=—％2-3x+4中，当％=0时，，则y=4,

AC(0,4),

设直线AC的解析式为y=mx+n,

.(-4m4-n=0

n=4，

.(m=1

**ln=4，

；・直线AC的解析式为y=x+4,

iStP(p,—p2-3p+4)(-4<p<0),则D(p,p+4),

:・PD=-p2-3p+4-(p+4)=-(p+2)2+4,

V-l<0,

・•・当p+2=0,即p=—2时，PO有最大值，此时P(—2,6),

，E(-2,0),

：.AE=2,MN=OE=2,

：.AE=MN,AE||MN,

如图所示，连接EN,

・•・四边形4MNE是平行四边形,

：.AM=EN,

：.AM+MN+NF=EN+MN+NFNMN+EF,

・••当E、N、F共线时，EF取最小值，即AM+MN+NF取最小值,

•・•点F为线段BC的中点，

••・EF=J(-2-1)2+22=空，

：.AM+MN+N/的最小值为孚+2；

(3)解：由(2)得点。的横坐标为一2,代入y=x+4,得y=2,

AD(-2,2),

第20页

•・•将该抛物线沿射线C4方向平移得到一个新的抛物线，且04=4,0C=4,

，可设新抛物线由y=-x2-3x+4向左平移£个单位，向下平移£个单位得到,

・•・新抛物线解析式为y'=-(x+£)2-3(x+£)+4-

•・•新抛物线经过点D,

**•2=—(-2+t)?—3(-2+t)+4-3

解得"2或"-2(舍去)，

，新抛物线解析式为y'=-(%+2)2-3(%+2)+4-2=-%2-7x-8,

联立厂工：；厂8,解噬：二弼短7

6,-2)；

同理可得直线解析式为y=-4x+4；

过点。作DQiII8C交抛物线y'于点Q],

，乙QiDK=匕BCA,

同理求得直线的解析式为y=-4x+4,

'：^QKD+^ACB=180°,

・•・当点Q在BC下方时，满足QKIIBC,

・••可设直线QK解析式为y=-4X+Q,

-2=—4x(—6)+q,

，q=-26»

・,•直线QK解析式为y=—4x—26,

联立『二0六消解得口或「4

・・・Q(3,-38)；

=OC=4,OB=1，

-,^ACO=45°,乙BCO〈乙OBC，

・••48co<45°,

・••乙4cB<45°,

y/LQKD+^ACB=180°,

:,乙QKD>90°,

•・•当点Q在8c上方时，^QKD<90°,故此种情形不成立；

综上所述，<2(3,-38).

第21页

26.如图，直线y=-工+b与％轴交于点4,与丁轴交于点B,过原点。，点/和点B三点作OP,再过点A作。

P的切线力M,Q为上一动点，过点Q作y轴的垂线，交y轴于点C,连接BQ,交G)P于点0.

(I)求ZCQA的度数；

(2)连接D。，AD,当力Q=2四时，△D0A恰好为等腰三角形，求此时b的值；

(3)连接PC,DC,PC交BQ于点F,PCIIAD时，记△18的面积为Si，△CO尸的面积为S2，求

【答案】(1)解；•・•直线y=—工+b与4轴交于点4,与y轴交于点B,

・"(40),8(0/),

,.0A=OB=b,

*：z.B0A=90°,

：.WBA="AB=45°,48是OP的直径，

：./.ABC=180°-/.OBA=180°-45°=135°,

：QC_y轴于点C,

:.乙QCB=90°,

•・•过点A作。P的切线AM，

：.AM1BAt

：.^QAB=90°,

乙CQA=360°-4ABC-乙QCB-Z-QAB=360°-135°-90°-90°=45°；

(2)解：为等腰三角形，

：.AD=4。或4。=。。或。0=A0,

第22页

①当月0=4。时，如图,

根据题意，得乙A。。==乙48。=乙84。=乙8D。=乙4CD=45。，四边形。力08是正方形,

：.0B=AD=b,AADO=乙ADB=乙ADQ=90°,

•・•过点4作0P的切线力M,

：.^QAB=90°,

：.Z.DAQ=45°,

：.AD=AQcos450=2,

：.b=0B=2；

⑦当40=DO时，如图，过点A作力N_LQC于点N,

Z.DAO=Z.DOA,

VO,X,D,8四点共圆，

：.Z-DAO+LOBD=180°,

■:乙OBD+乙QBC=180°,

J.LDAO=乙QBC,

•AD=ADr

.*.Z-QBA=Z.D0A,

：.Z-QBA=乙QBC,

在和^QB川H,

zQCB=LQAB

乙QBC=Z.QBA,

QB=QB

•••△QBC三△Q8A(44S),

•・ZQ=2传

第23页

，QC=AQ=2及，

••'ANLQC,

・•・易证四边形04NC是矩形，

：.0A=CN=OB=b,WAN=90°,

：.^BAN=90°-4BAO=45°="AN,

:・QN=AN=AQcos450=2,

：.b=OB=QC-QN=2>j2-2;

③当OD=AO时，如图，过点A作AN_LQC于点N,

Z.OAD=Z.ODA,

•OA-OAf乙。BA=45°,

：.Z-OAD=Z-ODA=/-OBA=45°,

VO,3D,B四点共圆，

：,Z-OBD+WAD=180°,

:•乙OBD=135°,

"QBC=180°-乙OBD=180°-135°=45°,

工乙QBC=LOAD=45°,

:,乙QBC=乙BQC=45°,

：.CQ=CB,

又・・・/lNlQC,QCJLy轴，"04=90。，

：.^,COA=乙OCN=乙CNA=90°,

・♦・四边形OANC是矩形，

'：OA=OB=b,

：.OA=CN=OB=b,〃)AN=90°,OC=AN,

：.^BAN=90°-4BAO=45°,

•・•过点4作0P的切线力例，

：.AM1BA,

第24页

：.^QAB=90°,

，乙QAN=ZLQAB-乙BAN=90°-45°=45°,

:•乙NQA="AN=45°,

：.QN=AN,

•・ZQ=2vL

:・QN=AN=4Qcos45。=2,

：.CQ=CN+QN=b+2,CB=OC-OB=AN-OB=2-b,

.'.2+b=2-b,

解得：b=0(舍去)；

综上所述，当△004恰好为等腰三角形时，b=2&—2或力=2；

(3)解：如图，过点P作PHJ_OB于点H,过点A作AG1QC于点G,

姝

・•・四边形OAGC是矩形，

：.OA=CG=OB,^OAG=90°,0C=AG,

：.Z.BAG=90°-4BAO=450=Z-QAG,

：.AG=QG,

设04=CG=OB=2a,BC=2b,

：.OC=AG=OB+BC=2(a+b),QC=AG+CG=4a+2b,

*：PH1OB,OA1OB,

：.PH||OA,

・BH_BP_[

''HO=PA=1,

=HO二OB=a,

:.PH=^OA=Q,

：.CH=BC+BH=a+2b,

由(1)得48是OP的直径，

：,/ADR=90°,

VPC||40,

第25页

:•乙PFB=乙ADB=90°,

：.^PFB=乙CFB=4CFQ=90°,BF=FD,

:,乙PCH=90°-乙CBQ=乙BQC,

tanz.PCH=tan^BQC,

**~HC~QCf

・a_2b

，，a+2b=4a+2b，

*'•a2=b2>

•'.a—bt

VSj=^BF-PF,S2=^DF-CF

竺

,9S^~CF,

VtanzPCH=tanz.BQC=2a=*，

AtanzPCH=荐=本，

设=P!iJCF=3x,

A(3x)2+x2=(2a)2,

解得：%=胆利负值舍去，

・”3回

••CF=-a，

*-PC=7cH2十PH2=V10a，

,.2jl。

••DPCF=nPrC—rCuF=­g—a»

F-3码一3,

/~5~a

【解析】【分析】(1)先求出4(b,0),B(O,b),得到04=0B=力，从而结合直角所对的弦是直径得4084二

△048=45。，48是。户的直径，进而得448c=135。，然后根据垂直的定义以及切线的性质得4QC8=

^QAB=90°,最后利用四边形内角和求出乙CQ4的度数；

(2)分三种情况讨论：①当/0=4。时，得OB=AD=b,解直角三角形求出4。的值即可；

②当40=0。时，过点A作力N_LQC于点N,由等边对等角性质得204。=20。4结合圆周角定理以及四

点共圆的性质，进等量代换得NQB4=4QBC,推出△QBC三△Q8A(44S),得QC=4Q=2近，然后易证四

边形0/1NC是矩形，得0A=CN=OB=b,AOAN=90°,从而得NBAN=々Q4N=45。，进而解直角三角形

得QN=4N的值，最后求b=QC—QN的值即可；

③当。。=4。时，过点A作ANJ.QC于点N,由等边对等角性质以及圆周角定理得乙。4。=乙。。4=

第26页

4。8A=45。，根据

四点共圆的性质得乙=135。，从而得乙Q3C=乙。/4。=45。，进而得=乙3QC=45。，根据等腰二

角形判定得CQ=CB,然后易证四边形O4NC是矩形，根据矩形的性质得。4=OV=。8=从乙OAN=

90。，OC=AN,解直角三角形得QN=AN的值，于是得CQ,C8的值，据此得关于b的方程，解方程即可；

(3)过点P作P”_L03于点H,过点A作力GJLQC于点G,易证四边形OAGC是矩形，得。4=CG=。氏

£.