高三简短数学题目及答案

高三简短数学题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log_a(x+1)在定义域内单调递增，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(0,+∞)

2.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式为

A.2(cos(π/3)+isin(π/3))

B.2(cos(2π/3)+isin(2π/3))

C.-1+√3i

D.-√3+i

3.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a+b的值为

A.3

B.4

C.5

D.6

4.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=10，则a_10的值为

A.24

B.26

C.28

D.30

5.若直线y=kx+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，则k的值为

A.±√3

B.±2

C.±√5

D.±3

6.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a×b的模长为

A.5

B.√10

C.√13

D.√14

7.若某校高三(1)班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，则抽到2名男生、1名女生的概率为

A.1/10

B.3/25

C.1/125

D.7/50

8.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(x)的最小正周期为

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

9.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则cos(C)的值为

A.1/2

B.1

C.-1/2

D.0

10.若直线l1:ax+by+c=0与直线l2:mx+ny+p=0平行，则

A.an=bm

B.am=bn

C.am=bn且an≠bm

D.am+bn=0

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=2^x-1在区间[1,3]上的最大值与最小值之差为

2.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，则向量a·b的值为

3.若复数z=1+i，则z^4的实部为

4.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则b_5的值为

5.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，则圆C的圆心到直线x+y-1=0的距离为

6.若某校高三(2)班有60名学生，其中男生40人，女生20人，现随机抽取2名学生，则抽到2名男生的概率为

7.已知函数g(x)=tan(x)，则g(x)的周期为

8.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cos(A)的值为

9.若直线l1:2x+y+1=0与直线l2:x-2y+3=0相交，则两直线夹角的余弦值为

10.已知函数h(x)=x^2-4x+4，则h(x)在区间[0,4]上的最小值为

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在定义域内单调递增的有

A.y=2^x

B.y=log_2(x)

C.y=x^2

D.y=-x

2.下列向量中，与向量a=(1,0)平行的有

A.(0,1)

B.(2,0)

C.(-1,0)

D.(1,1)

3.下列复数中，模长为1的有

A.1

B.i

C.-1

D.1+i

4.下列数列中，是等差数列的有

A.{a_n}，其中a_n=n

B.{b_n}，其中b_n=2n

C.{c_n}，其中c_n=3n^2

D.{d_n}，其中d_n=5n-2

5.下列直线中，与圆(x-1)^2+(y-2)^2=5相切的直线有

A.x=1

B.y=2

C.x+y=5

D.2x+y=5

6.下列概率中，正确的有

A.从50张扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃的概率为1/4

B.从50张扑克牌中随机抽取1张，抽到K的概率为1/13

C.从50张扑克牌中随机抽取2张，抽到2张红桃的概率为1/221

D.从50张扑克牌中随机抽取3张，抽到2红1黑的概率为3/50

7.下列函数中，周期为π的有

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=cot(x)

8.下列三角形中，是直角三角形的有

A.边长为3、4、5的三角形

B.边长为5、12、13的三角形

C.边长为7、24、25的三角形

D.边长为8、15、17的三角形

9.下列直线中，与直线2x+y+1=0平行的直线有

A.4x+2y+3=0

B.x+y-1=0

C.2x+y-3=0

D.x-2y+2=0

10.下列函数中，在区间[0,4]上的最小值为0的有

A.y=x^2

B.y=|x-2|

C.y=x^2-4x+4

D.y=sin(x)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3在区间(-∞,+∞)上单调递增

2.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定为实数

3.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则a_10=1

4.过圆(x-1)^2+(y-2)^2=5上任意一点作切线，切线斜率必存在

5.若事件A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

6.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2

7.在△ABC中，若a^2+b^2>c^2，则角C一定为锐角

8.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则k^2+1=r^2

9.从50个产品中随机抽取3个，抽到2个正品的概率等于抽到2个次品的概率

10.函数f(x)=x^2-4x+4在区间[0,4]上是增函数

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx，若f(1)=0且f'(1)=6，求a、b的值

2.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求a_1和d

3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=5，求圆C上到直线x+y-1=0距离最远的点的坐标

4.从甲、乙、丙三人中随机抽取2人参加比赛，求抽到甲和乙至少有1人的概率

5.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，求向量a与b的夹角余弦值

6.若复数z=a+bi满足|z|=5且arg(z)=π/3，求z的代数形式

7.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，求cos(B)

8.求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[0,4]上的最大值和最小值

9.已知直线l1:2x+y+1=0与直线l2:x-2y+3=0相交，求交点坐标

10.某校高三(1)班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，求抽到至少2名男生的概率

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在定义域内单调递增，则底数a必须大于1，故选B。

2.C

解析：|z|=2且arg(z)=π/3，则z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+i√3/2)=1+√3i，故选C。

3.B

解析：f(x)=x^3-ax^2+bx，f'(x)=3x^2-2ax+b，由题意知f'(1)=0且f(1)=0，即3-2a+b=0且1-a+b=0，解得a=4，b=5，故a+b=9，但选项无9，可能题目有误，根据f(1)=0得a-b=1，f'(1)=0得3-2a+b=0，联立解得a=4/3,b=11/3，a+b=15/3=5，故选C。

4.D

解析：等差数列{a_n}中，a_4=a_1+3d，a_10=a_1+9d，由a_1=2，a_4=10得10=2+3d，解得d=8/3，故a_10=2+9×(8/3)=2+24=26，故选B。

5.C

解析：直线y=kx+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，则圆心(1,2)到直线的距离等于半径√5，即|k×1-1×2+1|/√(k^2+1)=√5，解得k=±√5，故选C。

6.C

解析：向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则a×b=1×(-1)-2×3=-1-6=-7，向量a×b的模长为|-7|=√49=7，故选C。

7.B

解析：从50名学生中随机抽取3名，抽到2名男生、1名女生的概率为C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)=(30×29/2)×20/(50×49×48/6)=870×20/19600=17400/19600=87/980=3/25，故选B。

8.B

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π/1=2π，故选B。

9.A

解析：直线l1:2x+y+1=0与直线l2:x-2y+3=0相交，两直线夹角的余弦值cosθ=|(2×1+1×(-2))|/(√(2^2+1^2)×√(1^2+(-2)^2))=|0|/(√5×√5)=0/5=0，故选A。

10.C

解析：函数h(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，其图像为抛物线，顶点为(2,0)，对称轴为x=2，在区间[0,4]上，函数在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，故最小值为0，故选C。

二、填空题答案及解析

1.7

解析：函数f(x)=2^x-1在区间[1,3]上单调递增，故最大值为2^3-1=8-1=7，最小值为2^1-1=2-1=1，最大值与最小值之差为7-1=6，故答案为6。

2.0

解析：向量a=(1,1)，b=(1,-1)，则向量a·b=1×1+1×(-1)=1-1=0，故答案为0。

3.0

解析：复数z=1+i，则z^4=(1+i)^4=(1+i)^2)^2=(1^2+2×1×i+i^2)^2=(1+2i-1)^2=(2i)^2=4i^2=4×(-1)=-4，z^4的实部为-4，故答案为-4。

4.32

解析：在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则q^2=b_3/b_1=8/1=8，解得q=±√8=±2√2，故b_5=b_1q^4=1×(±2√2)^4=1×(16×4)=64，故答案为64。

5.√2

解析：圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，圆心为(2,3)，半径为1，圆心到直线x+y-1=0的距离为|2+3-1|/√(1^2+1^2)=4/√2=2√2，故答案为2√2。

6.16/49

解析：从60名学生中随机抽取2名，抽到2名男生的概率为C(40,2)/C(60,2)=(40×39/2)/(60×59/2)=1560/3540=780/1770=4/9，故答案为4/9。

7.π

解析：函数g(x)=tan(x)的周期为π，故答案为π。

8.3/5

解析：在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则满足勾股定理a^2+b^2=c^2，故△ABC为直角三角形，且∠C为直角，cos(A)=adjacent/hypotenuse=b/c=4/5，故答案为4/5。

9.√5/5

解析：直线l1:2x+y+1=0与直线l2:x-2y+3=0相交，两直线夹角的余弦值cosθ=|(2×1+1×(-2))|/(√(2^2+1^2)×√(1^2+(-2)^2))=|0|/(√5×√5)=0/5=0，故答案为0。

10.0

解析：函数h(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，其图像为抛物线，顶点为(2,0)，对称轴为x=2，在区间[0,4]上，函数在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，故最小值为0，故答案为0。

三、多选题答案及解析

1.AB

解析：函数y=2^x在定义域内单调递增；函数y=log_2(x)在定义域(0,+∞)内单调递增；函数y=x^2在定义域内不单调；函数y=-x在定义域内单调递减，故选AB。

2.BCD

解析：向量a=(1,0)与向量(2,0)平行；向量a=(1,0)与向量(-1,0)平行；向量a=(1,0)与向量(1,1)不平行，故选BCD。

3.AC

解析：复数1的模长为1；复数-1的模长为1；复数1+i的模长为√(1^2+1^2)=√2≠1；复数i的模长为√(0^2+1^2)=1，故选AC。

4.ABD

解析：{a_n}，其中a_n=n是等差数列，公差为1；{b_n}，其中b_n=2n是等差数列，公差为2；{c_n}，其中c_n=3n^2不是等差数列；{d_n}，其中d_n=5n-2是等差数列，公差为5，故选ABD。

5.AD

解析：圆(x-1)^2+(y-2)^2=5的圆心为(1,2)，半径为√5；直线x=1与圆相切；直线2x+y=5即y=-2x+5与圆相切，圆心到直线的距离为|2×1+1×2-5|/√(2^2+1^2)=|4-5|/√5=1/√5=√5/5=半径；直线y=2即x+0y=2与圆不相切，圆心到直线的距离为|1×1+0×2-2|/√(1^2+0^2)=|1-2|/1=1>√5/5，故选AD。

6.ABC

解析：从50张扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃的概率为13/50≠1/4；从50张扑克牌中随机抽取1张，抽到K的概率为4/50=2/25≠1/13；从50张扑克牌中随机抽取2张，抽到2张红桃的概率为C(13,2)/C(50,2)=(13×12/2)/(50×49/2)=78/1225≠1/221；从50张扑克牌中随机抽取3张，抽到2红1黑的概率为C(13,2)×C(37,1)/C(50,3)=(13×12/2)×37/(50×49×48/6)=78×37/19600=2886/19600≠3/50，故选ABC。

7.ABC

解析：在△ABC中，若a^2+b^2>c^2，则cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)>0，角C为锐角；若a^2+b^2<c^2，则cos(C)<0，角C为钝角；若a^2+b^2=c^2，则cos(C)=0，角C为直角，故选ABC。

8.ABCD

解析：边长为3、4、5的三角形满足3^2+4^2=5^2，是直角三角形；边长为5、12、13的三角形满足5^2+12^2=13^2，是直角三角形；边长为7、24、25的三角形满足7^2+24^2=25^2，是直角三角形；边长为8、15、17的三角形满足8^2+15^2=17^2，是直角三角形，故选ABCD。

9.AC

解析：直线2x+y+1=0的斜率为-2；直线4x+2y+3=0即2x+y+3/2=0的斜率为-2，与原直线平行；直线x+y-1=0的斜率为-1，与原直线不平行；直线2x+y-3=0即2x+y+(-3)=0的斜率为-2，与原直线平行；直线x-2y+2=0即x+(-2)y+2=0的斜率为1/2，与原直线不平行，故选AC。

10.BCD

解析：函数y=x^2在区间[0,4]上的最小值为0，最大值为4^2=16；函数y=|x-2|在区间[0,4]上，当x=2时取得最小值0，最大值为|4-2|=2；函数y=x^2-4x+4=(x-2)^2在区间[0,4]上，当x=2时取得最小值0，最大值为4^2-4×4+4=0；函数y=sin(x)在区间[0,4]上的最小值约为-0.757，最大值约为1，故选BCD。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：函数f(x)=x^3的导数f'(x)=3x^2，在区间(-∞,+∞)上，3x^2≥0恒成立，且只有当x=0时取等号，故f(x)=x^3在区间(-∞,+∞)上单调递增，故正确。

2.√

解析：设复数z=a+bi，|z|=5，则√(a^2+b^2)=5，平方得a^2+b^2=25。z的平方为z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi，其实部为a^2-b^2，虚部为2ab。若z^2为实数，则虚部为0，即2ab=0，得a=0或b=0。若a=0，则b^2=25，b=±5，z=±5i，z^2=(-5i)^2=25i^2=-25，为实数。若b=0，则a^2=25，a=±5，z=±5，z^2=(±5)^2=25，为实数。故z的平方一定为实数，故正确。

3.×

解析：在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则a_10=a_1+9d=5+9×(-2)=5-18=-13，故错误。

4.×

解析：过圆(x-1)^2+(y-2)^2=5上任意一点作切线，当该点为圆与坐标轴的交点时，例如(±√5,2)或(1,±√5)，切线方程为x=±√5或y=±√5，这些切线的斜率不存在，故错误。

5.√

解析：由概率加法公式，若事件A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故正确。

6.√

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最大值为√2，故正确。

7.√

解析：在△ABC中，若a^2+b^2>c^2，由余弦定理cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)>0，角C的余弦值为正，故角C为锐角，故正确。

8.×

解析：直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则圆心(0,0)到直线的距离等于半径r，即|k×0+1×b|/√(k^2+1)=r，得|b|/√(k^2+1)=r，平方得b^2/(k^2+1)=r^2，即b^2=r^2(k^2+1)，故k^2+1=r^2/b^2，题目中为k^2+1=r^2，只有当b=1时才成立，故错误。

9.×

解析：从50个产品中随机抽取3个，抽到2个正品的概率为C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)=870/19600=87/1960；抽到2个次品的概率为C(20,2)×C(30,1)/C(50,3)=190/19600=19/980。由于870/19600≠190/19600，故概率不相等，故错误。

10.×

解析：函数h(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，其图像为抛物线，顶点为(2,0)，对称轴为x=2，在区间[0,4]上，函数在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，故最小值为0，但不是增函数，故错误。

五、问答题答案及解析

1.解：f(x)=x^3-ax^2+bx，f'(x)=3x^2-2ax+b。由题意知f(1)=0且f'(1)=6，即1-a+b=0且3-2a+b=6。联立方程组：

{1-a+b=0

{3-2a+b=6

解得a=4/3，b=-1/3。

2.解：设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n。由S_5=25得a_1+4d=5，由S_10=70得a_1+9d=7。联立方程组：

{a_1+4d=25

{a_1+9d=70

解得a_1=5，d=5/3。故a_1=5，d=5/3。

3.解：圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=5，圆心为(1,2)，半径为√5。直线x+y-1=0即y=-x+1。圆心(1,2)到直线x+y-1=0的距离为|1×1+1×2-1|/√(1^2+1^2)=|3-1|/√2=2/√2=√2。圆上到直线距离最远的点，与圆心、直线垂线段的端点关于直线对称。设该点为P，则OP垂直于直线x+y-1=0，且|OP|=√5+√2。设P(x,y)，则x+y-1=0，且(x-1)^2+(y-2)^2=(√5+√2)^2=7+2√10。联立方程组：

{x+y-1=0

{(x-1)^2+(y-2)^2=7+2√10

解得x=(1±√(2√10+6))/2，y=(1±√(2√10-6))/2。故圆上到直线x+y-1=0距离最远的点的坐标为((1+√(2√10+6))/2,(1+√