2026年新版沪科版八年级下册数学全册教案（完整版）教学设计含教学-新版

新版沪科版八年级下册数学全册教案(完整版)教学设计含教学反思课程要求了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.教材分析四则运算法则，对实数的四则运算有进一步的了解.因此，教学时应充分注意在“实数”算等的理解和应用.主要内容本章的主要内容是二次根式的相关概念、性质，二次根式的括两节：第16.1节“二次根式”引入二次根式的概念，研究二次根式的基本性质，第16.2节“二次根式的运算”引导学生归纳总结二次根式的乘法法则、除法法则，并引入最简二次根式、同类二次根式的概念，进而学习二次根式的加减运算及运算法则.教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件和性质，2.理解最简二次根式、同类二次根式的概念.3.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.课时分配16.1二次根式及其性质1课时16.2二次根式的运算4课时教与学建议2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认3.加强运算技能训练，提高运算能力。二次根式及其性质课型教学内容1.了解二次根式的概念，理解二次根式中被开方数a的实际意义，2.理解二次根式的性质1、性质2,了解其区别与联系；3.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，并能运用性质解决一些问点教学重点：经历二次根式概念的探索和形成过程，理解和掌握二次根式的性质【教师活动】教师通过提问引导学生回顾已学知识，并举例说明【问题1】什么是一个数的平方根?如何表示?如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a次方根.用±√a表示.(1)16的平方根是;(2)0的平方根是;(3)5的平方根是；(4)-7有平方根吗?没有【问题2】平方根的性质是什么?0的平方根为0;负数没有平方根.回顾已学的知识，为本备，感受新旧知识之间的联系，【师生活动】学生回答。教师引导学生回顾平方根的概念和性质.【问题3】什么是一个数的算术平方根?如何表示?的算术平方根，用√a表示.【问题4】算术平方根的性质是什么?一个正数有一个算术平方根；0的算术平方根为0;负数没有算术平方根.【探究1】用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点?(1)如图①为正方形图片，若面积为2m²,则边长为m.(2)如图②为长方形游泳池，若长是宽的2倍，面积为110m²,则它的宽为(3)如图③为圆形花坛，花坛的面积为S(单位：m²),若用含S的式子表示半径r,则r应该表示为m.语言描述概念，(1)这些式子分别表示什么意义?(2)这些式子有什么共同特征?生的回答进行补充并给出二次根式的定义，【归纳】二次根式的定义我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式.符号厂叫做二次根号，a叫做被开方数.分析：(1)a-2≥0→a≥2;系，以及引入二次根式的必要性.培养学生的观察归纳的能力.总结：二次根式有意义的条件：被开方数a≥0.平方根的意义，应有(√2)²=2(√2)²=2.答案：5;后得出结论.【问题6】观察等式的两边，你能得到什么启示?一个数的算术平方根的平方还等于这个数，即(√a)²=a.【教师追问】对于上面的性质，a能小于0吗?为什么?必须大于等于0.【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：二次根式的性质1:(√a)²=a(a≥0).√a(a≥0)是一个非负数，要提醒学生这里的即二次根式具有双重非负性.引导学生根据二次根式的概念得出二次根式有意义的条件让学生类比平方根的意义计算出结果，并通过观察思考归纳出二次根式的性质1,了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想.不要忽略a≥0这一限答案：答案：到什么启示?【师生活动】学生思考并讨论，教师引导，师生共同总结.当a=0时，√a²=0,当a<0时，√a²=-a.【教师追问】对于上面的结论，与七年级学习过的哪个知识点相似呢?【学生活动】学生谈论并回答.【教师追问】√a²与|a|有什么关系呢?你能试着进行总结吗?式有意义的前提条件.引导学生观察得出a的响，并归纳出二次根式的性质2,发展分类讨论思想，了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想.920)2次根或得性质920)如何区别(√a)²与√a²⑥⑥解：(1)要使√x+3有意义，必须x+3≥0.解这个不等式，得x≥-3.即当x≥-3时，√x+3在实数范围内有意义.(2)因为x为任何实数时都有x²≥0.(3)由-x²≥0,得x=0.(4)由x+4≥0且x-2≠0,得x≥-4且x≠2;(5)由6-2x>0得x<3.由1.当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义?解：(1)x为任意实数时，x+1>0,可得，√x²+1在实数范围内都有意义.归纳判断二次根式一题过程，避免出现考虑不全的情况.学生的应用意识，(3)由x≥0,且x-1≥0,可得x≥1.2.求下列各式的值：3.求下列各式的值：②解：(1)√(-0.2)²=√0.2²=0.24,先化简，再求值；√x²-4x+4,其中x=-2问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0.性质1和性质2容易活运用.课型教学内容1.了解二次根式的乘法运算法则，并能用它进行有关实数的运算；2.经历二次根式乘法运算法则的探索过程，体会数学的严谨性；3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想.点教学重点：了解二次根式的乘法运算法则，能用它进行有关的实数运算.教学难点：二次根式乘法运算法则的推导过程，【教师活动】通过提问引导学生回顾已学知识.【问题1】什么叫二次根式?【问题2】二次根式的两个基本性质是什么?【学生活动】回顾上节内容，回答问题.追问引出本节课要学习的内容.的面积为多少?【教师追问】如何计算这个式子呢?这节课我们一起来研究这个问题，并观察思考算式中存在的规律.【观察】计算下列各题，观察有何规律?引出本节课要学习的内式乘法运算的应用价式的乘法问题，间有什么关系?分析：①被开方数都是正数；②算术平方根的积=积的算术平方根.【教师追问】对于上面的式子，a,b只能取正数吗?【教师追问】这个猜想正确吗?能否证明这个猜想?证明：因为当a≥0,b≥时，又(√ab)²=ab,ab的算术平方根只有一个，所以【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：由等式对称性，性质3也可以写成【做一做】过观察分析得出结论，地归纳二次根式的乘法法则，锻炼学生的观察及归纳总结能力，帮助学生分析认识，通过证明熟悉性质3的严谨性.【想一想】现在你能算出长方形游泳池的面积吗?【师生活动】学生运用所学知识做答，教师点评.【例1】计算：因式(因数)”,用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外.我们可以利用这个办法将二次根式化简，【拓展】【例2】化简：通过归纳进一步熟悉二次根式的性质及积的算术平方根的性质.性质3的正用、逆用，根式进行化简，注意√ab化简后的结果一际问题，进一步巩固二次根式的乘法法则，培养应用意识.课重点.1.计算：=-108.2.化简：3.计算：多个二次根式相乘时此法则也适用，即(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)二次根式在进行乘法运算和化简时需要注意什么?教科书第12页习题16.2第1、2(1)(2)题测学习效果.1.二次根式的性质3(二次根式的乘法法则)2.反过来，可得积的算术平方根的性质积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.第2课时二次根式的除法课型教学内容教材第7-9页的内容1.了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算；2.经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解数学的严谨性；3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.点教学重点：了解二次根式的除法运算法则，能用它进行有关实数的运算，教学难点：二次根式除法运算法则的推导过程.【教师活动】通过提问引导学生回顾二次根式的乘法法则.【问题1】二次根式的乘法法则是什么?逆用二次根式的乘法法则可以得到什么?【学生活动】学生思考回顾上节课内容，回答问题.【师生活动】教师给出问题，学生独立思考并给出算式，教师再通过回顾二次根式的乘法法则，为后面类比二次根式的乘法法则探索二次根式的除法法则作准引出本节课要学习的内容，感受二次根式除法运算的重要性.【教师追问】如何计算这个式子呢?这节课我们一起来研究这个问【师生活动】教师引导学生独立完成教材第7页【思考】部分的计算题，并观察思考算式中存在的规律.让学生进行根式的除法法则，程，引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的除法法则，锻炼学生的观察及归纳总结能力间有什么关系?分析：①被开方数都是正数；②算术平方根的商=商的算术平方根.猜想：【教师追问】对于上面的式子，a,b都能取到非负数吗?【师生活动】学生思考并讨论，教师引导回答问题，因此a≥0,b>0.吗?证明：因为当a≥0,b>0时，的算术平方根只有一个，所以【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：由等式对称性，性质4也可以写成【想一想】【例1】计算：解：(1)引导学生注意比较与性质3中a,b的取值范围的不同之处次根式的性质及商的算术平方根的性质，同时鼓励学生用文字语言描述性质，培养语言表达能力.式子化去分母中的根号的方法来进行.把分母中的根母有理化.【例2】化简：际问题，进一步巩固二次根式的除法法则，培养应用意识.固、应用新知，熟悉本课重点。①②)解：(1)②【教师活动】先让学生分组探究交流，找出这几个运算结果的特征，然后分组作答，最后教师补充完善，给出最简二①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式是最简二次根式.【做一做】②通过不同的计算方法引出分母有理化，让学生了解分母有理化的过让学生进一步加深对商的算术平方根的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.化简时应注意：①有时需将被开方数分解因式；②当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化.1.化简：2.计算：②③解：最简二次根式有1教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)二次根式的性质3和性质4有什么区别?(3)二次根式在进行除法运算和化简时需要注意什么?(4)什么是分母有理化?(5)最简二次根式的两个特征是什么?究交流，让学生发现运算结果的特征，引出最简二次根式的概念，并让学生明白运算结果一1.二次根式的性质4(二次根式的除法法则)2.反过来，可得商的算术平方根的性质3.分母有理化①被开方数的因数是整数，因式是整式；在教学中更应注重积和商的互相转换，让学合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.第1课时二次根式的加减二次根式的加减课型教学内容教材第10-11页的内容1.经历探索二次根式加减运算的步骤和方法，使学生了解什么是同会辨别同类二次根式；2.通过合并同类项的类比，归纳出二次根式加减的法则，并了解实数的运算性质和法则在根式中同样适用：3.通过二次根式的化简，完成二次根式加减法的运算.点教学重点：二次根式的加减运算，同类二次根式的概念.教学难点：会熟练进行二次根式的加减运算.二次根式，应当怎么处理?【师生活动】教师提出问题，学生回顾上节课的内容，认真回答，通过回顾复习之前所学的知识，让学生更快的【问题1】三个正方形的面积分别为18,32和50,按教材P10图16-1的方式摆放，求长方形(图中阴影部分)的一边长a的值.配律).类比整式的加减3x+4x-5x=(3+4-5)x【追问2】这里的三个二次根式有什么共同特征?你是否能给出一个恰当的名称概括?你能得到这样的几个二次根式加减的方法吗?配律对它们进行合并.用实际问题引入的目的【追问4】你能试着总结出二次根式加减运算的法则和一般步骤吗?类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似.次根式的不能合并.要想得到同类二次根式，①将每个二次根式化为最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式.简记为：一化；二找；三合并.【做一做】判断下列哪些是同类二次根式：通过观察共同特征归纳出同类二次根式的概念，培养观察归纳能力归纳出二次根式加减运算的法则和运算步骤，培养归纳概括能力，解：同类二次根式；√12,是同类二次根式.【例3】下列各组二次根式是否是同类二次根式?②判断.考查了对同类二次根式概念的理解。【例5】计算：①①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不1.下列计算是否正确，为什么?通过例题让学生进一步(3)不正确，因为2和是相加而不是相乘加深对二次根式的加减加深对二次根式的加减运算法则、运算步骤的认识和理解，培养学生的应用意识.(4)不正确，不能直接将被开方数分别除以2.2.计算：②师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)二次根式加减运算的法则是什么?什么是同类二次根式?(2)二次根式加减运算的一般步骤是什么?每一步的依据是什么?(3)在二次根式的加减运算中，哪些地方容易出错?怎样避免?(4)在推导二次根式法则的过程中运用了哪些思想方法?二次根式的加减1,二次根式的加减运算法则式合并，合并同类二次根式与合并同类项类似.提纲挈领，重点突出.3.同类二次根式教后反思，累积经验.二次根式的混合运算课型教学内容1.能够熟练进行二次根式的加减乘除混合运算.2.会将乘法公式运用到含有二次根式的多项式乘法中.3.经历探究二次根式混合运算的过程，并能将整式运算知识迁移到二次根式的运算中.4.培养合作、探究、交流的能力，并通过探究体会到二次根的联系.点教学重点：灵活运用运算律、乘法公式解决二次根式的混合运算问题解答步骤，回顾整式乘除运算的法则，通过追问教师点评补充.【师生活动】根据单项式乘多项式的运算法则，可得(x+具有相同的结构，因此类比单项式乘多项式的运算法则应有生回顾多项式乘除运算的法则和乘法公式，让学生体会整式运算与二次根式运算之间存在的根式的混合运算.(2)根据(1)中的方法完成下面的运算；算，体会类比的数学思想，通过引导学生观察比较，发现两个算式的通性”和类比的数学思教师可以适当引导学生先观察式子的特征，确定对应的整式运算，再进行计算，锻炼学生的力;类比多项式除单项【探究3】类似地，观察下面几个算式的特征，思考分别可以类比哪【师生活动】找学生代表进行回答，教师根据学生回答情况进行补充1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号.2.在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法【例1】计算：解：(1)(√3+1)(√3-1)=(√3²-1²=3-1=2.小结：实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算，对于有乘积的二次根式混合运算，注意乘法公式的准确运用.①二次根式的混合运算与整式的运算顺序一样，括号先算括号里面的(或先去括号).②乘法运算的运算律、运算法则和乘法公式在二次适用.③二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同④运算时，能用乘法公式的要尽量使用，灵活运用通过例1,例2让学生明白实数的运算性质和式的运算，1.计算：通过例题的运算过程归纳出二次根式的混合运算的注意事项.解：(1)2.化简：3.已知：m=3-√5,n=3+√5,求的值.解：∵m+n=(3-√5)+(3+√5)=6,回答下面的问题，说说你对二次根式混合运算的认(1)二次根式运算与整式运算之间的关系?(2)在二次根式的混合运算中，哪些地方容易出错?怎样避免?(3)在学习二次根式的混合运算的过程中运用了哪些思想方法?课本P13习题16.2第4,6题.巩固课堂所学内容，检二次根式的混合运算1.运算顺序：与实数运算相同2.运算原理：运算律、多项式的乘法法则、乘法公式仍然适用3.化简求值：先化简，后代入求值：整体思想乘法、除法及加减法的综合运用，学习二次根式的混合运算应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用第17章一元二次方程及其应用11课时课程要求1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解得意义，经历估计方程解得过程.2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.4.了解一元二次方程的根与系数的关系.5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性.教材分析本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展，学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，函数、二次不等式做好铺垫.主要内容本章主要内容有：一元二次方程的基本概念、解法，一元用.主要包括5节：第17.1节“一元二次方程”通过实际问题学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想；第17.2节“一元二次方程的解法”通过思考、探究、交流等学习活动，运用转化思想，探索了解一元二次方程的直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第17.3节和17.4节研究一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；第17.5节“一元二次方程的应用”运用一元二次方程解决实际问题，强化建模思想，展现运用方程解决实际问题的一般过程，同时，结合应用问题介绍可化为一元二次方程的分式教学目标1.经历实际问题中数量关系的分析、抽象过程，体会方程是刻画现实世界的一种数学模2.了解一元二次程及其相关概念，理解一元二次方程解法的程的联系，体会转化等数学思想方法.3.理解配方法的意义，能用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.理解一元二次方程根的判别式.不需解方程，会用它判别一元二次实数根时，两根是否相等.5.了解一元二次方程的根与系数的关系.6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程包括可化程并求解，并能根据具体问题的实际意义检验求得的结果是否合理.7.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力，体课时分配17.1一元二次方程1课时17.2一元二次方程的解法4课时17.3一元二次方程根的判别式1课时17.4一元二次方程的根与系数的关系1课时17.5一元二次方程的应用3课时教与学建议1.注重创设问题情境，让学生经历建模的过程.2.注重学生的活动，鼓励学生自主探索与合作交流.3.注重数学思想方法的渗透，4.注意把握教学要求，课型教学内容教材第18-23页的内容1.了解一元二次方程的概念.2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，3.经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型，点教学重点；一元二次方程的概念及一般形式，教学难点：探求问题中的等量关系，建立方程模型，无公害蔬菜的产量比2019年翻一番(即为200t).2020年和2021年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少?生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答.设这个队2020~2021年无公害蔬菜的年平均增长率是x,那么:2020年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)t,2021年无公害蔬菜【教师提问】你能根据题意，列出方程吗?根据题意，得100(1+x)²=200.整理，得x²+2x-1=0.问题2如图，在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直),把矩形空地分成大小一样的6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m²,问小路的宽应是多少?设小路的宽是xm,那么横向小路的面积32xm²,纵向小路的面积是2×20xm²,两者重叠的面积是2x²m².【教师提问】由于花坛的总面积是570m².你能根据题意，列出方程吗?32×20-(32+2×20x)+2x²=570.整理，得x²36x+35=0.观察方程：x+2x-1=0,x²-36x+35=0.(2)只含一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.问题1在老师的引导示范下，共同探索，得到方程.先让学生自己尝试列出方程，然后提醒学生进行化简，观察所列方程的特征.【师生活动】学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项.【归纳总结】①一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并②一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项，【教师追问】你能说出x²+2x-1=0,x²36x+35=0的一次项及系数、二【师生活动】此问题较简单，可找基础较弱的学生进行回答。【教师追问】为什么要求二次项系数a≠0?b和c能不能是0?【师生活动】学生独立思考并回答，教师针对学生的回答进行补充、时，方式不是一元二次方程，所以二次项系数a≠0;②b和e可以为任何实数.【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程?【师生活动】引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立解：(1)(2)(3)(4)(7)(8)是一元二次方程.【教师追问】要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些【师生活动】根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报.引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准.【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化问题2由学生自主探究，训练了学生及时学习的能力，为引出一元以使学生对概念的理教师需要强调“一元”“二次”真正含义简整理使方程等号右边为0,最后再观察其是否还具备“只含有一个次方程，否则不是.【例2】a为何值时，下列方程为一元二次方程?【师生活动】学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法.解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x²-x=0,所以当a-2≠0,即a≠2时，原方程是一元二次方程.(2)由|a+1=2,且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.【例3】已知方程3x(x-1)=2(x+2)+4.常数项；(2)判断-1是否为该方程的根.【师生活动】教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项首先要把方程化为一般式.学生独立思考，学生代表回答.解；详见教材P21.【教师追问】解决此类问题需要注意什么?【师生活动】学生独立思考总结，并回答.【归纳总结】①一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次的符号.【例4】已知a是方程x²+2x-2=0的一个实数根，求3a²+6a+2023的值.让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升.a≠0,要说出项的系要紧扣定义进行判断.【师生活动】先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考.【教师追问1】什么是一元一次方程的解?类比一元一次方程的解的【教师追问2】下面哪些数是方程x²-4x+3=0的解?-2,0,1,2,3,4.【师生活动】学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次并及时归纳总结.解：由题意，得a²+2a-2=0,即a²+2a=2,3a²+6a+2023=3(a²+2a)+2023求值.(1)判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程?行判断，比如例1(3)问题大部分学生能想到a≠0,往往忽略最高项的次数为2的条对此进行强调，避免漏①⑤(m+1)x²+3x+1=0;⑥2x²=0.二次方程.(2)将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、②解：①5x²-6x+8=0,a=5,b=-6,c=8;的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡念的记忆.这里注意项和系数的区别.(3)将48张桌子排成若干行，且每行的桌子的数目相同，已知每行的桌子数比总行数多2,设这些桌子排成了x行，写出排成的行数解：因为这些桌子排成了x行，则每一行的桌子数x+2,依题意，得方程x(x+2)=48,整理，得x²+2x-48=0.(4)下面哪些数是方程组x²+x-2=0根?答案：-2,1教科书P23习题17.1第1~3题17.1一元二次方程1.都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数);2.只含一个未知数；3.未知数的最高次数是2.二、一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),其中ax²是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识.学知识，并运用到实际问题中去.教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识.第1课时直接开平方法课型教学内容教材第24页的内容1.会利用直接开平方法解形如x²=p(p≥0)的方程2.初步了解形如(mx+n)²=p(p≥0)的方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法，教学重难点教学重点：运用开平方的方法解形如(mx+n)²=p(p≥0)的方程，领会-降次-转化的数学思想.教学难点：用平方根的定义解形如x²=p(p≥0)或(mx+n)²=p(p≥0)的方【教师活动】通过提问引导学生回顾已学知识.【问题1】口答题：4的平方根是,81的平方根是,【问题2】我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫(1)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x²=a,则x叫做a的平方根.(2)平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为方根是零；回顾旧知，为新课奠定基础，感受新旧知识之间的联系.③负数没有平方根.【师生活动】问题1、2让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.解：(1)根据平方根的定义，由x²=4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和-2,即根据平方根的定义，得x²=4,x=±2,即此一元二次方程的解为x₁=2,X₂=-2.(2)根据平方根的意义，得xi=x₂=0.(3)根据平方根的意义，得x²=-1,【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗?分析：第(1)题可以先将-8移项，再将两边同时除以2化为x²=a的形式，再利用平方根的性质进行求解.的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右【教师追问2】上述方程有什么共同点?你能归纳一下这类方程的解的情况吗?【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式x²=p,并根一般地，对于方程x²=p,利用平方根的性质进行的平方根式0,负数没(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程x²=p有两个不等的实数根x₁=-√P,X₂=√P.(2)当p=0时，方程x²=p有两个相等的实数根x₁=x₂=0.(3)当p<0时，因为任何实数x,都有x²≥0,所以方程x²=p无实数根.【教师追问3】怎样解方程(x+2)²=25?x²=p没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程(x+2)²=25两边开平方，将它转化为两个一元一次方程x+2=得x=3,X₂=-7,【教师追问4】类似的，怎样解方程(2x-1)²=1呢?【师生活动】类比上面的解法，学生独立完成并回答【教师追问5】结合上面所解的方程思考，具备什么形式才能用直开平方法以及直接开平方法的步骤.见.教师板书.【归纳总结】具备x=p(p≥0)或者(mx+n)²=p(p≥0)形式的一程转化为我们会解的方程了，方根的意义直接求解，【例1】直接利用开平方法解下列方程：方程的解，让学生将它|们对应起来，然后教师注意方程解的写法.这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后一起进行评价.解：(1)两边同除以3,得x²=4,开平方，得x=±2,所以原方程的根是x₁=2,x₂=-2.所以原方程的根是x₁=-3+√5,x₂=-3-√5.【教师追问】利用直接开平方法应该注意什么问题?结归纳，教师做出点评.(mx+n²=p(p≥0)形式的方程，可得方程的根为x=±√p或程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.(1)下列方程可用直接开平方法求解的是()C.x²-3x=0(2)对形如(x+m)²=n的方程，下列说法正确的是()和记忆.通过经历解方程的过程让学生体会转化、降次的数学思想.学内容.(3)若(a²+b²-2)²=25,则a²+b²=_.(4)关于x的一元二次方程x²+a=0没有实数根，则实数a的取值(5)用直接开平方法解一元二次方程4(2x-1)²-25(x+1)²=0.移项，得4(2x-1)²=25(x+1)².①小明的解答有无错误?若有，错在第步，原因是,写出正确的解答过程.移项，得4(2x-1²=25(x+1²,直接开平方，得2(2x-1)=±5(x+1),所以x:=-7,总结，教师点评，并引导学生形成本节课知识框架.教科书P30习题17.2第1题。1.一般地，对于方程x²=p,(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程x²=p有两个不等的实数根x₁=-√p,X₂=√p.(2)当p=0时，方程x²=p有两个相等的实数根x₁=x₂=0.(3)当p<0时，因为任何实数x,都有x²≥0,所以方程x²=p无实数根，接开平方法只适用于能转化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的形定，从而激发学生的求知欲.17.2一元二次方程的解法1配方法第2课时配方法课型教学内容1.理解配方法，会用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程，2.会利用配方法灵活地解决二次项系数不为1的一元二次方程，3.通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想点教学重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程.教学难点：灵活的运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.题步骤解方程，教师巡视，并着重说明第(4)题的解题过程.1.解方程：答案：(1)x₁=3,X₂=-3;(2)x₁=0,x₂=4;2.填空：【教师活动】在问题2中讲解(3)(4)时，着重说明常数项是一次结合前面学习过的完全项系数一半的平方，注重演示及方法阐述.【教师活动】在分组讨论前，提示学生怎样解方程x²+2x+1=0,并演样解方程x²+2x+1=0有何区别?分组讨论完后，找学生来阐述思路再演示过程及解说.【学生活动】分组讨论。移项，得x²+2x=1,方程两边同时加上1,得x+2x+1=1+1,则(x+1)²=2.开平方，得x+1=±√2.所以原方程的根是x=-1+√2,x₂=-1-√2【例1】用配方法解下列方程；解：(1)移项，得x²-4x=1配方，得x-2×2x+2²=1+2²即(x-2)²=5所以原方程的根是x₁=2+√5,x₂=2-√5(2)先把x的系数化为1,即把原方程两边同除以2,得平方公式来配方，为后铺垫.通过经历由已知知识到新知识的探究过程，培养学生观察能力和运用所学过的知识解决问题的能力，使学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.从二次项系数为1到不为1的自然过渡，培养学生用已学的知识解决问题的能力.的步骤.其中，最关键的是配方，如何配方?用配方法解一元二次方程的一般步骤：①整理：把方程整理成ax²+bx+c=0的形式；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；则方程无实数解.(2)用配方法解下列方程：③2x²+5x-1=0;④3x²-6x+1=0解：①x²+x-1=0归纳配方法解一元二次的一般步骤，规范学生的解题过程，避免出现因步骤不规范导致的错误，帮助学生快速掌握志(1)什么是配方法?(2)配方法的一般步骤是什么?最关键的是配哪一项，这一项怎么(3)配方法的理论依据是什么?(4)本节课用到的思想方法有哪些?教科书P26练习第1,2题，P30习题17.2第2,7题1.配方法：2.用配方法解一元二次方程的的一般步骤：在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中应注意以1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加；忘了开方；因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握.公式法课型教学内容教材第26-28页的内容1.会用配方法推导一元二次方程的求根公式，熟练的运用求根公式解一元二次方2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性.点教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.【问题1】上节课学习了用配方法解一元二次方程的具体步骤是什么?(先由学生回顾、思考，再投影显示)预设答案：①整理：把方程整理成ax²+bx+c=0的形式；数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；则方程无实数解.【问题2】用配方法解下列方程：2x²+3=7x通过回顾之前学习的知方法解题，唤醒记忆，为讲解公式法的推导作铺垫，有助于对新知的引入和学习.解：2x²+3=7x,移项，得2x²-7x=-3二次项系数化为1,得配方，【思考】如何解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)?【交流】用含a,b,c的代数式表示一元二次方程的解，【教师活动】教师引导学生将a,b,c看成普通的数字，根据配方法的解题过程求解一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0).解：因为a≠0,认识求根公式的同时，学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运算习惯.学生求根公式的作用和即(因为(a≠0),所以4a²>0,当b²-4ac≥0,1化简、整理得,即【归纳总结】当求根公式△=b²-4ac≥0时，一元二次方程的实数根可以写为这就是一元二次方程的求根公式.解一个具体的一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定a,b,c的值，然后，把a,b,c的值代入求根公式，就可以得出方程的实数根，这种解法叫作公式法.【追问】观察求根公式可知，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，我们可以直接将a、b、c的值带公式，就可以得出方程根，同学们能试着交流总结运用公式法解一元【师生活动】学生组内交流讨论，选出代表回答，教师对针对回答补1.把方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0);2.确定a、b、c,计算b²-4ac的值；3.若b²-4ac≥0,则代入求值公式解，若b²-4ac<0,则方程没有实数根.【例1】用公式法解下列方程：求出b²-4ac的值，最后代入求根公式求解解：(1)a=2,b=7,c=-4.b²-4ac=7²-4×2×(-4)=81>0.如何运用，要结合例题时，要先把方程化成*【例2】解方程：x²+x-1=0(精确到0.001)解：a=1,b=1,c=-1.1.把下列方程化成ax²+bx+c=0的形式，并写出其中a,b,c的值.解：(1)x²-5x-2=0,其中a=1,b=-5,c=-2.(2)3x²-2x-1=0,其中a=3,b=-2,c=-1.(3)2x²-3x-4=0,其中a=2,b=-3,c=-4.(4)x²-x+3=0,其中a=1,b=-1,c=3.解；(1)a=3,b=5,c=-2.b²-4ac=5²-4×3×(-2)=49>0.抽象的一般形式具有广次方程的一般形式代表了所有的一元二次方方程.x=-2.按例题1的步骤求解，用计算器求出它的近似由学生自己完成.进一步巩固本节课的内生经历运用知识解决问b²-4ac=5²-4×2×(-12)=121>0.x=-4.(5)原方程化为标准式为：a=1,b=-2,c=5.b²-4ac=(-2)²-4×1×5=-16<0.方程无实数根.(6)原方程化为标准式为：b²-4ac=(-0.6)²-4×0.3×0.4=-3.用公式法解方程：x²-3x-1=0(精确到0.1)解：a=1,b=-3,c=-1.4.解关于x的方程：2x²-mx-n²=0解：a=2,b=-m,c=-n².b²-4ac=(-m²-4×2×(-n²)=m²+8n²≥0.成功体验的空间.(1)推导求根公式的关键是什么?(2)怎样用公式法解一元二次方程?在求解的过程中应注意什么?(3)本节课所用到的重要思想方法有哪些?教科书P28练习第1,2题，P30习题17.2第3题2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：①化方程为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式；②确定a、b、c,计算b²-4ac的值；提纲挈领，重点突出.③若b²-4ac≥0,则代入求值公式b²-4ac<0,则方程没有实数根.的学习方法，提高正确率.第4课时因式分解法因式分解法课型教学内容1.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一2.进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程.点教学重点：用因式分解法解一元二次方程.教学难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解.备注【问题1】一元二次方程的一般形式是怎样的?常用的求一元二次方一般形式：ax+bx+c=0(1)直接开平方法：将方程化为x²=p(p≥0)或(mx+n)²=p(p≥0)的形式求解.(2)配方法：当一元二次方程的二次项系数是1时，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.通过回顾之前学习的知解因式分解法作铺垫，助于对新知的引入和学习【问题2】什么叫因式分解?因式分解有哪些方法?因式分解的一般步骤是什么?这个多项式的因式分解，也叫分解因式.方法：提取公因式、公式法、十字相乘法等.一般步骤：一提、二套、三分解.【师生活动】学生独立思考，并进行口答.教师点拨总结.解：直接开平方，得x=±3方程的解为x₁=3,x₂=-3.方法2(公式法):x²=9方程的解为x₁=3,X₂=-3.方法3:解：将原方程变形为：x²-9=0则x+3=0或x-3=0.解得xi=-3,x₂=3.0;反过来，如果两个因式中有一个等于0,那么它们的积就等于0.这种通过因式分解，将一元二次方程转化为的方法叫做因式分解法.【做一做】1.用因式分解法解方程：x²+3x=0x(x+3)=0;则x=0或x+3=0,解得x₁=0,X₂=-3,提示：像ax²+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.2.用因式分解法解方程：25x²=6x则x=0或25x-6=0.让学生先自己动手试着寻找x²=9方程的其他分解法的概念和解题思路，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运ab=0⇔a=0或b=0.有下列三层含义：①a=0且b≠0;②a≠0且b=0;③a=0且b=0.解得x=0,提示：像ax²+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.【师生活动】学生独立完成，然后讨论交流，教师适时点拨，①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；②将方程的左边分解因式；一元一次方程.观察下列解方程x²=x的过程.解：方程的两边同除以x,得x=1.故方程的根为x=1.【问题】这样解是否正确呢?为什么?【师生活动】学生先独立思考，尝试解决，小组内进行交流，学生存【追问1】等式的基本性质2怎么规定的?【师生活动】学生根据教师提出的问题进一步思考，并回答，上面的方程两边同除以x,而x有可能等于零，所以上面的解法不对.教师根据学生回答情况进行总结：不能随意在方程的两边同时除以含未知数的整式(如本题中的x),因为含未知数的整式有可能为0,导致方程失根(如本题中的x=0).正确解法应到同一侧，再因式分解，进而解方程.解：(1)当x=0时，左边=0²,右边=0.即x=0是原方程的解；(2)当x≠0时，方程的两边同除以x,得x=1.即原方程的解为x₁=0,X₂=1.提示：像ax²+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.解法解一元二次方程的步骤。骤，对于常考易错题，帮助学生分析出错的原①ax+c=0(a≠0),即ax²=-c,当ac≤0时，总可用开平方法求解；用因式分解法求解，总有一根为0.【例1】解方程：x²-2x=0解：提取公因式，得x(x-2)=0.因此，有x=0或x-2=0.所以原方程的根是x₁=0,X₂=2.【例2】解方程：(x+4)(x-1)=6因此，有x+5=0或x-2=0.所以原方程的根是x₁=-5,x₂=2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤；1.移项：将方程化为一般形式；2.分解：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积；3.转化；令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；(1)一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为因，避免再次出错，分类讨论x=0和x≠0时，检验两个解是否满足题意，(2)方程3x²=0的根是;方程(y-2)²=0的根是;方程(x+1)²=4(x+1)的根是(3)解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为;再选择适当的方法求解，得方程的两根为x₁=…._;X₂=_.(4)用因式分解法解下列方程：⑤t(t+3)=28;⑥(x+1)(x+3)=15.解方程，得x₁=√2,x₂=√3.因此得x=0或4x-3=0.数学的自信心.x=0.因此得x+1=0或3-x=0.解方程，得x=-1,X₂=3.因此得x+1=0或x=7=0.解方程，得x₁=-1,x₂=7.因此得t+7=0或t-4=0.解方程，得t₁=-7,t₂=4.因此得x+6=0或x-2=0.解方程，得x₁=-6,x₂=2.师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回(1)什么是因式分解法?因式分解法的一般步骤是什么?(2)本节课所用到的思想方法有哪些?(3)目前学过的解一元二次方程的四种方法分别适合解哪种类型的要求学生小组内相互交流总结因式分解的一般步骤.固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.1.定义：通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来2.步骤：移项→分解→转化→求解.法及因式分解的基础上，因此要让学生带着问题自学课本，寻找因式分解法解一元二次方程的形式特征，即等号右边必须为零，左边必须为两个一次因式的乘积(不能是加减运算),利用零的特性，将求一元二次方程的解，通过因式分解法，转化为求两个一元一次方程的解，将未知领域转化为已知领域，渗透了化归数偏下学生先上黑板解题，将暴露出来的问题在全班及时纠正，在这里要注意：1.用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零；3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于课型教学内容教材第33-35页的内容1.了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能用它判断方程根的情况.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.3.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明.教学重难点教学重点：会用一元二次方程根的判别式判定根的情况.教学难点：理解为什么能用根的判别式来判断方程根的情况.【问题1】一元二次方程的一般式是怎样的?常用的求一元二次方程的解的方法有哪些?一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)(1)直接开平方法(2)配方法(3)公式法：求根公式(4)因式分解法【师生活动】教师提出问题，回顾前面学习知识，学生随教师提问发【教师活动】提出问题，让学生积极思考，为问题3做铺垫，用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0).回顾知识，为本节课的内容打下基础.即【问题3】接下来能用直接开平方解吗?【问题4】什么情况下可以直接开平方?什么情况下不能直接开?开平方法解方程，引出判别式，使学生理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情(1)当B-4ac>0时，√b²-4ac是正实数，方程有两个不相等的实数根.(2)当B²-4ac=0时，√b²-4ac=0,方程有两个相等的实数根.(3)当b²-4ac<0时，√b²-4ac在实数范围内无意义，方程没有实数根.【追问】教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的总结：一元二次方程根的情况由b²-4ac决定.我们把b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“△”表示，即△=b-4ac.【例1】用根的判别式判别下列方程根的情况：解：(1)因为△=(-3)²-4×5×(-2)=49>0,所以原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为25y²-20y+4=0因为△=(-20)²-4×25×4=0,所以原方程没有实数根.【例2】当m为何值时，关于x的一元二次方两个相等的实数根?此时两个实数根是多少?为0,由此可求出m的值，进而可求出方程的根.即16-4m+2=0,解得方程，得Xi=x₂=2.1.不解方程，判别下列方程根的情况：解：(1)因为△=(-5)²-4×2×(-4)=57>0,所以原方程有两个不相等的实数根.(2)因为△=(-5)²-4×7×2=-31<0,(3)原方程可变形为x+x-3=0,因为△=1²-4×1×(-3)=13>0,所以原方程有两个不相等的实数根.(4)原方程可变形为3y²-10√3y+25=0,因为△=(10√3)²-4×3×25=0,所以原方程有两个相等的实数根.2.已知关于x的方程x²-3x+k=0,问k取何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解：因为△=(-3)²-4×1×k=9-4k,时，方程有两个不相等的实数根；△-0,眼时，方程有两个相等的实数根；给学生示范规范的解题步骤。△<0,即,方程无实数根.师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题；(1)一元二次方程根的判别式是什么?(2)如何用一元二次方程根的判别是判定根的情况?(3)在推导二次根式法则的过程中运用了哪些思想方法?教科书P35练习第2题，习题17.3第1-4题。向应用，教师可以先让学生回顾根的三种情况与根的判别式的关系，一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△=b²-4ac.b²-4ac>0→有两个不相等实数根b²-4ac=0→有两个相等实数根b²-4ac<0→没有实数根，学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b²-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b²-4ac作用，它是前面知识的深有所接触，所以可以让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.17.4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系课型教学内容1.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用；2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题；3.通过由特殊到一般，培养学生观察、分析、猜测规律的能力.点教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及其推导.教学难点：正确理解根与系数的关系和推导.订正》一书中建立了方程根与系数的关系，今天我们就跟随数学家韦达的脚步一起来探究一下：一元二次方程的根与展示)大家知道ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式.不仅表示系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么,一元二次方程根与系数之间的联系还【探究】填写下表，解出下列各方程的两根xi和xz,并计算xi+x₂和【师生活动】教师引导学生独立完成表格，【教师追问1】从上面表格中观察以上方程，方程中的两根之和(x₁+x₂)、两根之积(x₁·x₂)与该方程的各项系数之间有怎样的关系?【猜想】一元二次方程ax²+bx+c=0(a、b、c是常数且a≠0)的两根让学生了解要探究的内容，助于对新知的引入和学习.学生明确方程的根与系数存在一定的关系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础.为x₁、X₂,则学生有一个具体的印象，然后让学生猜想根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点，【教师追问2】你能证明上面的猜想吗?学生尝试证明：一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根如果是x,X₂,则发现的，所以我们又称之为韦达定理.如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、X₂,那么.这个关系通常称为韦达定理.在使用根与系数的关系时，应注意：(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用,注意“一”号不要漏写；(3)不要漏除二次项系数.设它的两个根为xi,X₂,即则【例1】已知关于x的方程2x²+kx-4=0有两个根，其中一个根是-4,求它的另一根及k的值.(学生独立求解，除了教材上的解法，思考是否还有其他方法解题)解法1:设方程的另一个根是x₂,那么生对根与系数关系的理解和记忆，体会数学的严谨性和严密性.b²-4ac≥0,教学时要特答：它的另根为k的值是7.解法2:∵方程2x²+kx-4=0的一个根为-4,∴k=7,把k=7代入原方程，得2x²+7x-4=0解得xi=-2,∴,k=3,方程的另一个根【追问】从上面的两种解法中你有什么启示?2.方程2x²-3x+1=0的两个根记作xi,X₂,求x₁=x₂的值.1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少?解：设方程的两根分别为x1,X₂.(6)方程化为一般式3x²-1=0,2.判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.的美，从而建立学好数不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.3.已知关于x的方程3x²-19x+m=0的一个根是1,求它的另一根及m的值。解：设方程的另一个根是x2,那么进一步巩固本节课的内生经历运用知识解决问答：它的另一根,m的值是16.回答下面的问题，说说你对一元二次方程根与系数(1)一元二次方程根与系数的关系是什么?(2)根与系数关系使用的前提是什么?教科书P38练习第2题，习题17.4第1-4题.一元二次方程根与系数的关系如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、X₂,那么方程求出一元二次方程的两根和与两根积，故在设计教案时前一段通过计算填表，这样能让学生有一个感性的认识，在教学中要注意以下问题：1.学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清现，进一步优化操作流2.韦达定理导入时，充分挖掘、调动学生的探究精神.3.两根和、两根积有小部分同学有些混淆.17.5一元二次方程的应用第1课时几何图形与数字问题图形面积问题课型教学内容1.会用列出一元二次方程解决面积问题，学会将实际问题转化为数学问题；2.能够根据问题的实际意义，检验所得的结点教学重点：列一元二次方程解决实际问题教学难点：找出实际问题中的等量关系，列出一元二次方程，并得出列：找到等量关系列出方程.(关键步骤)解：解方程.答：检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.【教师活动】请同学们跟随老师一起回顾旧知识，回顾知识，为本节课的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向成大小一样的6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m²,问小路的宽应是多少?解：设小路的宽是xm则横向小路的面积是32xm²,纵向小路的面积是2×20xm²,两者重叠部分的面积是2x²m²,由于花坛的总面积是570m²,则32×20-(32x+2×20x)+2x²=570.整理得：x²-36x+35=0.结合题意，35>32,x=35不可能，因此，只能取x=1.答：所求小路的宽应为1m.法.【分析】通过平移，剩下的图形是一个长方形，长是(32-2x)m,宽是(20-x)m,则可列方程(32-2x)(20-x)=570.【拓展】面积问题常见图形归纳如下：(1)如图1,长方形ABCD的长为a,宽为b,空白部分的宽为x,则阴影部分的面积为(a-2x)(b-2x).(2)如图2,长方形ABCD的长为a,宽为b,阴影部分的宽为x,则空白部分的面积为(a-x)(b-x).质，把纵、横两条小路移动一下，使列方程更容易些(目的内容打下基础.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型是求小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路),【教师活动】带领学生再次回顾列方程解应用题的步骤，强调关键步骤(找等量关系)和检验这一步骤.审、设、列、解、验、答.【例1】如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm、容积为2880cm³的开口方盒.原金属片的分析：方盒的容积=底面积×高.解：设原金属片的边长为xcm,则方盒的底边长是(x-40)cm.根据题意，得20(x-40)²=2880整理，得(x-40)²=144解方程，得x₁=52,x₂=28.28<20+20,x₂=28不合题意，所以x=52.答：原金属片的边长是52cm.【教师活动】带领学生整理解题步骤，并加以强调..(1)一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3m而导致流通截面减少至原来的,求这根水管解：设水管原来的内壁直径为xmm,可列方程为；整理，得5x²-108x+324=0解得xi=18,x₂=3.63.6<3+3时，3不合题意，舍去.答：这根水管原来的内壁直径18mm.积就容易忽略，可以引导学生进行平移，构成怎样平移，平移后的长方形的长和宽分别是多法(2)在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m²,求这种方案下的道路的宽为多少?解：设道路的宽为x米，可列方程为：整理，得x²-52x+100=0解得x₁=2,X₂=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.(3)如果两个连续偶数的积时288,求这两个数.解：设较小的偶数为x,则另一个偶数为(x+2),整理，得x²+2x-288=0解得x₁=16,x₂=-18当x=16时，x+2=18;当x=-18时，x+2=-16,,答：这两个数分别为16和18或-16和-18.师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回(1)运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些?(2)列方程解应用题的关键步骤是什么?你是如何理一元二次方程(3)对于解决不规则的面积问题的思路是什么?常见的面积模型有哪些?教科书P45习题17.5第2,3题.图形面积问题列方程解应用题的一般步骤利用一元二次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点.学生分析问题差，在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.如数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设、检验的步骤等.第2课时增长率问题课型教学内容教材第40-41页的内容1.会用列一元二次方程的方法解决增长率的问题.2.能够根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理.点教学重点：列一元二次方程解决实际问题，教学难点：找出实际问题中的等量关系，建立方程.【问题1】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤.【教师活动】请同学们跟随老师一起回顾旧知识，【例2】原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少?(精确到1%)回顾知识，为本节课的内容打下基础【问题1】未知数设什么?该药品两次降价的平均降价率是x.【问题2】第一次降价后每盒售价多少?【问题3】第二次降价后每盒售价多少?=27(1-x)-27(1-x)x=27(1-x)²元【问题4】由“两次降价后每盒售价为9元”可列方程是?【教师活动】带领学生整理解题步骤，并加以强调..解：设该种药品两次平均降价率是x.解方程，得x₁≈1,58,xz≈0.42,答：该药品两次降价的平均降价率约是42%,假设：原价a,降价率x.第一次降价后价格=a(1-x)第二次降价后价格=a(1-x)²第三次降价后价格=a(1-x)5……第n次降价后价格=a(1-x)"提醒：0<降低率<1假设：原量a,增长率t.教师引导学生，分析出意第二次降价是在第一次降价的基础上减少第一次增长后的量=a(1+t)第二次增长后的量=a(1+t)²第三次增长后的量=a(1+t)³……第n次增长后的量=a(1+t)"提醒：增长率>0.【例】一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg,出油率为50%(即每100kg花生可加工出花生油50后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg,已知花生出油率的增长率是产量增长率的,求新品种花生产量的增长率，解：设新品种花生产量的增长率为x,关键是让学生明白谁是单位“1”,增长或降低前后的单位“1”是不同的，可以引导学生逐步列出相应的式子，最后方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解.总结常用增长率及降率的常见规则，使学生加深数学模型意识.若平为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A,其中增长取“+”,降低取“-”.x₁=0.2=20%,x₂=-3.2<0,(不合题意，舍去).答：新品种花生产量的增长率为20%.(1)某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x(2)某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x,则由题意得方程为().A.200(1+x)²=1000B.200+200×2×x=1000C.200+200×3×x=1000D.200+200(1+x)+200(1+x)²=1000(3)某磷肥厂去年4月份生产磷肥500t;因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%;从6月份起强化了管理，产量达到648t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率，解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x,可列方程为：500(1-10%)(1+x)²=648.整理，得25x²+50x-11=0解得x₁=0.2,X₂=-2.2-2.2<0不合题意，舍去.答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%.师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题；(1)运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些?关键步骤是什么?需要注意的地方有哪些?(2)平均增长率问题的一般解题思路是什么?教科书P41练习第1题，P44习题17.5第5,6题.例题涉计到两个“率”解起来有一定的困难，解，让学生明确计算的方法.最后教师引导学解应用题的一般步骤，给学生提供解题的思路假设：原价a,降价率x,第n次降价后价格=a(1-x)”假设：原价a,增长率t.第n次增长后的量=a(1+t)”提纲挈领，重点突出.练，以加深学生的理解.,进一步优化操作流程，提升自身素质.17.5一元二次方程的应用*第3课时可化为一元二次方程的分式方程及其应用可化为一元二次方程的分式方程及其应用课型教学内容教材第42-44页的内容1.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并转化成一元二次方程，2.能验证分式方程的根并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理.点教学重点；能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，教学难点：对求得的解两次验证，【问题1】如何解分式方程：解分式方程的一般步骤：①去分母，将分式方程转化为整式方程；②解整式方程；2x=3x-9.解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解为x=9.【教师活动】请同学们跟随老师一起回顾旧知识。【例1】一组学生组织春游，预计共需费用1200元，后来又有2人参加进来，总费用不变，这样平均每人可少分的人数是多少?【教师活动】教师通过问题方式，引导学生根据步骤层层解决问题.【问题1】题目中涉及哪些量?总费用、每人费用、原学生人数、现学生人数.【问题2】未知数设什么?设原来这组学生的人数是x人.【问题3】题目中有怎样的等量关系?并加以强调，解：设原来这组学生的人数是x人.那么每人分摊的费用,增加x²+2x-80=0.解方程，得x₁=-10,x₂=8.回顾知识，为本节课的内容打下基础是刻画现实世界的一个有效的数学模型经验证，xi=-10,x₂=8都是原方程的根，但x₁=-10不合题意，所以x=8.答：原来这组学生的人数是8人.【归纳小结】解可化为一元二次方程的分式方程应用题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设未知数(要有单位);(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根(分母是否为零),还要看方程的解是否符合题(5)写出答案(要有单位)既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验【例】为了绿化荒山，某村计划在荒山上种植1200棵树.原计划每天要根据实际情况舍去不符合实际情况的解.天完成了任务.求每天实际种植多少棵树.实际种植量=原计划种植量+40,原计划种植天数=实际种植天数+5.解方程，得x=80或x=-120.经检验，x=80和x=-120均为原分式方程