2025-2026学年下学期河北雄安新区高二数学3月阶段检测（含答案）

数学试题注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第二册第五章。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导正确的是A.−2′C.x′=2.已知函数fx=x2A.−12B.12C.3.设函数fx在定义域内可导,fx的图象如图所示,则其导函数fABCD4.已知函数fx=ex−alnx在区间A.2e2C.2e25.函数fx=ABCD6.已知P为抛物线y=x2−4x上一点,且该抛物线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为0,A.2,3B.−D.27.已知x=0是函数fx=lnA.-2B.−3C.-1D.−8.路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃△ABC以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上.如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为At,1t，Bt+1,1t+1A.23B.C.34D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若函数fx在区间a,b上连续,且∀x1∈a,b,x2∈a,b,x1≠x2,有fx1+x22> fx1+fx22,则称函数fA.gx=C.gx=−10.已知函数fx=x2+3x+134,x≤0,lnx,xA.-1B.0C.3e1311.已知函数gx=A.a<bB.b>c三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.放射性同位素技术已经在医学上取得了广泛的应用.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系式Nt=N0⋅2−t24，其中N0为t=0时4234的含量.已知13.若曲线y=lnx+2与曲线y=lnx+a14.已知函数fx=−13x3+4x在四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(13分)2026年2月6日至22日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程S(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为S(1)求该运动员从1 s到3 s(2)求该运动员在t=5(3)当该运动员的滑雪路程为90 m16.(15分)已知函数fx(1)当a=1时，求函数fx的图象在点(2)讨论函数fx17.(15分)我国将深化“人工智能+”行动，“十五五”末人工智能相关产业规模将增长到10万亿元以上.某“人工智能+”设备的能量转换值ft关于运行时间t(单位:s)的函数解析式为ft(1)当a=1，且设备运行时间t∈14,(2)若运行时间t∈14,4，能量转换值ft随着t18.(17分)已知定义在0,+∞上的函数f(1)求函数gx=(2)若对于任意的x∈0,+∞，fx≥lnx19.(17分)已知函数fx(1)当a=−2时,判断函数fx在(2)设函数fx存在两个极值点x(i)求a的取值范围；(ii)证明:x1数学试题参考答案1.C由−2′=0,x3−sin2.Bf′x=2x−f′1−1x2,令3.C当x<0时,f′x<0,排除A,B.因为当x>0时,4.A由f′x=ex−ax≥0,得a≤xex恒成立,易知5.C因为f−x=−fx,所以fx是奇函数,故排除B.又f′x=−lnxx2x>0,所以fx6.Dy′=2x−4,令tan0≤2x7.Cf①若a≥0，则f′x≥0，f②若a<−1，令f′x=0，得x=−a+1a<0，fx③若−1<a<0，令f′x=0，得x=−a+1a>0，④若a=−1,令f′x=−x3x+1=0,得x=0,fx8.D如图，过A,B,C分别向x轴作垂线，垂足分别为D，E,F,则△ABC的面积为321t+1t+3−121t+9.AC对于A，因为g′x=1xln3，g′′x=−1x2ln3<0，所以gx=log3x在0,+∞上“严格上凸”;对于B,因为g′x=−x+1−2,g′′x=2x+1−3>010.BC fx=x2+3x+134,x≤0,lnx,x>0的图象如图所示.y=x2+3x+13设gx=x−3lnx,x∈e,e134,则g′x=lnx−3x+111.ACDgx的定义域为0,+∞,g′x=61−3lnxx4,易知gx对于A,因为0<所以a<b, A正确;对于B,要证c=2.8e−1>b=e24,就要证eln2.8e24>e−1,即eln2.8−24>e−1,因为eln2.8−24>e0=1,e12.24N′t=−N024⋅2−t24⋅ln13.4设直线y=12x+b与曲线y=lnx+2相切于点x1,y1,由导数的几何意义可得设直线y=12x+b与曲线y=lnx+a相切于点x2,y2,得14.−3,2因为f′x=−x−2x+2,所以fx在−∞,−2和2,+∞上单调递减，在−2,2上单调递增，且15.解:(1)当0≤t≤3时,S3−S1=27−7=20(2)因为S5+Δt−所以limΔ即该运动员在t=5 s时滑雪的瞬时速度为(3)当0≤t≤3时，所以t>3由2t2+3t=90,即2t+15t−6=因为S′t=4t+316.解:(1)当a=1时,ff′x所以函数fx的图象在点0,f0处的切线方程为y−1(2)fx的定义域为R，f′令f′x=0,得x=−2当a=1时,f′x=x+2当a>1时,令f′x>0,得x>−2或x<−2a当a<1时,令f′x>0,得x>−2a或x<−2综上,当a=1时,fx在当a>1时,fx在−∞,−2a和−2,+∞当a<1时，fx在−∞,−2和−2a,+∞上单调递增，在17.解:(1)当a=1时,ft=3t2−lnt+t+1,f′t=6t−1t+1=6t2+t−1(2)由题可知ft在(0,4]上单调递增，所以f′t=所以6t2+at−1令gt=−6t+1t,易知gt则gtmax=−6×14+4=52,所以18.解:(1)由已知得gx=2e2sin当x∈0,3π2时，函数gx在0此时gxmax当x∈3π2,+∞时,所以gxmax(2)由题设知对于任意x∈0,+∞，设hx=ex−2令φx=x−1e所以φx在0,+∞上单调递增.又φ1=−2<0,φ2=2ln2−1=ln4−1>0,所以存在x0∈1,2,使得φx0=0,即又p1=12e−1,p2=0,所以hxmin=h19.(1)解:由题意得，函数fx的定义域为0当a=−2时,f易知f′x=lnx+x12又因为f′x所以当a=−2时，函数fx在[1(2)(i)解:由题意得f′因为fx存在两个极值点,所以f′x=lnx−a2x12=0在令t=x12t>0,则lnt令gt=lntt,则g′t=1−lntt28分ge=1e,当t→0时,gt→−∞,当t→+∞时,