2025-2026学年下学期山西吕梁高三数学3月二模（含解析）

2025-2026学年高三第二次模拟调研测试数学试题(本试题满分150分,考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知1z=iA.-1B.1C.−iD.2.已知集合A=x∈Nx2−A.3B.4C.7D.83.若单位向量a,b满足a+bA.2B.3C.2D.14.已知Sn为公差不为零的等差数列an的前n项和,若S7=0,且A.4B.5C.10D.115.已知cos20∘=aA.−aB.aC.−36.已知椭圆x24+y23=1与双曲线x2a2−y2A.2B.3C.2D.37.在智能驾驶快速发展的今天,车载AI芯片的运算能力至关重要,行业内通常以“每秒万亿次运算(TOPS),即1TOPS=10​12次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中,需在0.5秒内完成248(参考数据lg2A.56.2B.56.1C.562D.5618.某快递分拣中心待处理的5件包裹中,3件为“普通件”,2件为“优先件”.分拣员按随机顺序不放回逐一扫描分拣，若未分拣的“优先件”数量不少于“普通件”数量，则系统自动暂停当前批次处理.记ξ为暂停时已完成分拣的包裹数，则PA.45B.35C.2二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若a>bA.ac2C.aD.b10.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段B.存在点P，使AC1⊥C.若BP=12BC1,则二面角D.若BP=13BC1,则过点11.声音是由物体振动产生的声波.纯音的数学模型是函数y=Asinωt,我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为y=sinxA.f2x的最小正周期为B.f2x在区间0,2πC.fnx的图象关于点kπD.f3x的最大值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1+2x5的展开式中13.已知椭圆C:x2a2+y2a2−1=1a>0的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交C14.设a∈R,函数fx=2ax2−x四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)设各项均为正数的等比数列an的前n项和为S(1)求数列an(2)设bn=log2a16.(本小题满分15分)如图，圆柱O1O2的轴截面是边长为2的正方形，P为⊙O2上一点，正方形ABCD内接于⊙O1,设平面PAD与平面PBC的交线为直线l,点(1)证明:l//BC(2)求四棱锥P−ABCD(3)若平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，当直线PB与平面QCD所成角的余弦值为33时，求17.(本小题满分15分)已知抛物线C:y2=2pxp>0过点P1,2，直线l与C交于(1)若直线l的斜率为-1,且OA⋅OB=12，求直线(2)若直线l不经过点P，且直线PA与直线PB的斜率之积为4，过点P作直线PG垂直AB于点G，求点G到C的准线距离的最大值.18.(本小题满分17分)某奶茶品牌发现旗下一款新品的日销售量与品牌官方小程序的日访问量呈线性相关关系,为提升销量,小程序推出了A和B两项互动活动,参与互动可领取新品优惠券.该新品日销售量y(单位:百杯)与小程序日访问量x(单位:万人次)的统计数据如下表:日访问量x1万人次24568日销售量y/34657(1)求出y关于x的回归方程y=bx+(2)A项活动规则:顾客每次参与都有14的概率获得新品兑换券，一旦获得，则活动结束;若未获得,可继续参与;每位顾客共有n次参与机会,第n次无论获得与否都结束活动.设X为顾客参与活动的次数,X的数学期望为EX,证明:(3)B项活动规则:有10张不同的助力卡，编号为1,2,⋯,10，参与者从中随机抽取6张,记录编号后放回,再重新随机抽取6张,记被重复抽到的助力卡数量为Y,并向参与者发放Y张新品优惠券,求使PY=参考公式:回归方程y=bb19.(本小题满分17分)已知函数fx(1)讨论函数fx(2)设函数hx=xgxx∈(3)若存在x1,x2∈0,+∞,且吕梁市2025-2026学年第二学期3月调研测试高三数学参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CDCABCDA1.C.复数z=1i2.D.A={x∈N∣−1≤x≤2}={3.C.由a+b2=a2+2a⋅b4.A.由等差数列前n项和为过原点的二次函数,S7=0,得Sn的图象关于直线n=72对称,所以由S5.B.cos40∘+cos6.C.由直线MN过右焦点F，得线段MN为通径，故b2a=32，即1−a2a=37.D.由题意,得每秒至少执行的运算次数x=2480.5=即x=1014.7498.A.当ξ=1时，只有一种情况，即分拣了1件“普通件”，此时“普通件”与“优先件”数量均为2件，故Pξ=1=35；当ξ=2时,第一件分拣的包裹必为“优先件”,第二件无论分拣“普通件”还是“优先件”,均不可能暂停处理;当ξ当ξ=4时，第一件分拣的包裹必为“优先件”，第二件与第三件应为“普通件”与“优先件”各一件，均不可能暂停处理;故Pξ二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案BCABDBCD9.BC.对于A选项,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;对于C选项,由c>d,得−d>−c,故a−对于D选项,当a=−1,b=−2,c=−3时,ba10.ABD.对于A选项,易知BC1//平面A1AD,由VA1−对于B选项,易知AC1⊥平面A1BD,故当点P与点B重合时,AC1⊥对于C选项,易证得AP⊥B1C,D1P⊥B1C,故∠D1PA为二面角A−B1P−D1对于D选项,过点P作MN//B1C分别交BB1,BC于点M,N,连接A1M,DN,A1D,易得MN//A1D,故四边形11.BCD.对于A选项,f由f2x+π=sinx+π+12sin2x+π=−sinx+12sin2x≠f2x,得f2x的最小正周期不为π,故A错误;对于B选项,由f2x=sinx+12对于C选项,由fn2kπ−x=sin2kπ−x+12sin22kπ−x+13sin所以f=又因为f所以f3x的周期为2π.故只考虑函数f3x在令f3′x>0,得:0<x<π4或令f3′x<0,得:π4<x<所以函数f3x在0,π4,2π3,3π4,5π4,4π又因为f3所以f3x的最大值为12+223三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.401+2x5的展开式中x213.x因为AF2=2F2B,设BF2=x,则AF2=2x,BF2=a2,则AF2=a,BF1=3a2,由cos∠A14.a=0或由fx=2ax由2ax2−x≥0得x−所以2ax2−x易知x≠0即4a=令t=1x由图,知4a=0或43<4a<4四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(I)由题意得:得a1q解得a1=2q=2又an>0,所以a1=2(2)bn=1bn所以1b1b216.解析:(1)证明:因为BC//AD,BC⊄平面所以BC//平面PAD.2又BC⊂面PBC,面PBC∩面PAD=l,所以(2)易知外接球的球心为线段O1O2的中点O，在RtΔOO1B中，R2=(3)因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，AB⊂所以AB⊥面PAD,又PD⊂面PAD,所以同理,可得AD⊥PD,又AB∩AD=APD⊥面ABCD9建立如图所示空间直角坐标系D则P0,0,PB=2设平面QCD的法向量为n=x,y,z,则2y=0ax记直线PB与平面QCD所成角为α,则sinα所以a=2或52，即PQ的长为2或17.(1)将点P坐标代入y2=2px,得4=2p,所以p=2,即C:y与抛物线方程联立,得y2Δ=16+16m>所以y1y即OA⋅OB=x1x2+所以l:y(2)设直线l的方程为x=ny与抛物线方程联立,得y2−4ny−4t=0,则设Ax1,y1∴x1又kPA⋅kPB=4,所以y1y2−2y1+y2+4=4x1x2−x1又直线l不经过点P,所以2n+t−1≠所以直线l的方程为x=ny+2,因此直线l由n2+t>0,得n2+2n>解法一由题可知,直线PG的方程为y=−nx+n+2,由则点G到C的准线的距离d=n令s=根据公众号三晋高中指南对勾函数的单调性可知:若n<−2,则s<−9,d=2+16若n>0,则s>−1,当s=0,即当−1<s<0,即0<n<14时,d当s>0,即n>14时,由基本不等式可知:d=2+16s因此点G到C的准线距离的最大值为3+17解法二连接PT,因为PG⊥AB,所以点G在以PT为直径的圆N:x−122+y2=174上,.12分所以点G到此时G1+n=−2−01−1+172合题意)因此点G到C的准线距离的最大值为3+1718.(1)由题意可知x=152+4所以b=i=15x当x=10时,所以日访问量10万人时的日销售量为334百杯;.6(2)X可取值为1,2当k<n时,P故EX=34由①-②得14E=14所以EX=(3)PY=由PY=m≥PY=m−1PY=m19.(1)定义域为x∈f′x当a≤0时，f′x当a>0时,x∈0,a