小学五年级数学下册“探索3的倍数特征”探究式教案

  小学五年级数学下册“探索3的倍数特征”探究式教案

一、设计理念与理论依据

本课设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，秉持“以学生发展为本”的教育哲学，超越单纯的知识传授与技能训练，致力于培养学生的数学核心素养，特别是推理意识、运算能力、模型意识和应用意识。本设计认为，数学教学的本质是引导学生进行数学化的思维活动。因此，课程以“探究发现”为主线，将“3的倍数特征”的学习，从一种“结论的记忆”转变为一次“规律的探险”和“原理的揭秘”。

本课强调跨学科视野的渗透，引导学生体会数学内部的结构性联系（如与2、5倍数特征的对比与内在统一性），并初步感悟数学规律在计算机科学（如校验码）、信息编码等现代科技领域中的潜在应用背景，拓宽数学学习的价值认知。教学过程中，深度融合信息技术与操作活动，通过“猜想—验证—解释—应用”的完整探究路径，鼓励学生从具体现象中抽象出一般规律，并用数学的语言（推理、算式、模型）予以表达和论证，实现思维从直观到抽象、从特殊到一般的飞跃。

二、教学目标（核心素养导向）

1.知识与技能：理解并掌握3的倍数的特征，能正确、迅速地判断一个数是否是3的倍数；能够根据特征，在指定范围内找出3的倍数，或有依据地构造符合条件的数。

2.过程与方法：经历观察、猜想、举例验证、合作交流、推理归纳等一系列探索活动，亲历知识的发生与发展过程，发展归纳概括能力和初步的演绎推理能力。学会运用“位值制”原理解释数学规律，体验“化繁为简”、“数形结合”（如计数器、小棒表征）的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观：在探究活动中体验数学的奇妙与严谨，感受数学结论的确定性以及探究发现的乐趣。在与2、5倍数特征的对比中，培养批判性思维和求同存异的科学态度。在小组合作与交流中，学会倾听、表达与协作。

三、学情分析

五年级的学生已经熟练掌握了2、5的倍数特征，其探究模式通常是“观察个位数→得出结论”。这种成功的经验可能形成一种思维定势，即“倍数的特征只与个位数字有关”。因此，学生在面对3的倍数时，极有可能首先尝试套用原有模式，通过观察个位数字（3,6,9,2,5,8,1,4,7,0）来寻找规律，从而陷入困惑。这一认知冲突是本课最佳的切入点。

学生已经具备了较强的整数运算能力、一定的观察归纳能力和小组合作学习的经验。对于“位值制”有清晰的认识，知道同一个数字在不同数位上表示不同的数值。这是他们理解3的倍数特征内在原理（“弃3法”或“数字和”原理）的关键认知基础。教学的挑战在于如何引导他们跳出“个位”陷阱，将观察的焦点从“末位数字”转向“所有数位上的数字之和”，并理解这一转变背后的深刻数学原理。

四、教学重难点

1.教学重点：发现并掌握3的倍数的特征，即一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2.教学难点：

1.3.突破观察定势：引导学生将关注点从“个位数字”转移到“各位数字之和”。

2.4.理解原理本质：从“位值制”和整除性质的角度，理解“为什么看各位数字之和”，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越。这需要一定的抽象推理能力。

3.5.灵活综合运用：在综合情境中（如同时是2、3、5的倍数），能准确、灵活地运用不同倍数的特征解决问题。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含交互式百数表、动态计数器演示动画、探究任务单、生活应用情境图片或视频片段）；实物计数器或计数器模型；小组探究学习材料袋（内含数字卡片0-9若干套、记录表）。

2.学生准备：预习2、5倍数特征；准备笔、练习本。

六、教学过程

（一）情境驱动，设疑激趣（预计时间：5分钟）

1.游戏导入——快速判断：

1.2.教师口述一组数：30,45,72,89,111,256。

2.3.学生运用已有知识，快速判断哪些是2的倍数，哪些是5的倍数。（学生能迅速完成）

3.4.教师追问：“那么，哪些是3的倍数呢？”让学生尝试凭直觉或计算判断。对于30、45、72、111，部分学生可能通过计算知晓，但对256等会产生犹豫。

4.5.教师揭示：“像判断2、5的倍数那样，有更快、不用除法计算就能判断的方法吗？今天，我们就来做一回‘数学侦探’，揭开3的倍数隐藏的秘密。”

6.引发认知冲突：

1.7.教师出示一组数：13,23,33,43,53。引导学生观察它们的个位数字。（都是3）

2.8.提问：“这些数个位都是3，它们都是3的倍数吗？”（13、23、43、53不是，33是）学生计算验证。

3.9.再出示一组数：12,15,18,21,24。提问：“这些数的个位有什么特点？”（2,5,8,1,4，看似无规律）但它们都是3的倍数。

4.10.核心设问：“看来，3的倍数特征不能像2和5那样，只简单地看个位。它的秘密究竟藏在哪儿呢？让我们从最熟悉的‘百数表’开始侦查。”

【设计意图】通过对比性游戏，激活旧知（2、5倍数特征），同时制造强烈的认知冲突，打破学生的思维定势，激发他们强烈的探究欲望。将学习目标从“学习一个特征”转化为“破解一个谜题”，赋予学习以探索的使命感。

（二）合作探究，发现规律（预计时间：15分钟）

1.第一阶段：独立观察，初步猜想

1.2.课件出示1-100的百数表。学生任务：①圈出表中所有3的倍数。②独立观察这些被圈出的数，你能发现它们有什么共同特征吗？（提示：可以从各个数位上的数字入手观察）

2.3.学生独立操作与思考。教师巡视，关注学生观察的焦点是个位、十位还是数字组合。

4.第二阶段：小组交流，聚焦“和”

1.5.学生4人一小组，交流各自的发现。教师下达明确讨论指令：“请向组员说明你发现了什么？其他同学认真倾听，质疑或补充。重点讨论：这些数‘个位和十位上的数字’之间是否存在某种联系？”

2.6.小组活动。教师深入小组，倾听讨论，必要时进行点拨：“比如12，个位是2，十位是1，这两个数字有什么关系？15呢？1和5呢？”引导学生将“联系”具体化为“相加”。

3.7.各小组派代表汇报发现。预期学生可能汇报：“个位和十位加起来是3、6、9、12这样的数”、“两个数字的和是3的倍数”。教师板书学生的发现，并用关键词“各位上数字的和”进行提炼。

8.第三阶段：验证猜想，完善表达

1.9.验证：教师提问：“我们发现的这个规律，在百数表里都成立。那么，对于更大的数，它还成立吗？请各小组用老师提供的数字卡片，任意拼出一个三位数，计算数字和，并用除法验证它是否是3的倍数，把结果记录在探究表上。”

2.10.小组合作，进行多组数据的随机验证。教师选择几组将数据（如：237→2+3+7=12，237÷3=79；608→6+0+8=14，608÷3=202…2）投影展示。

3.11.完善：通过正例与反例的验证，引导学生将语言描述精确化、规范化。最终师生共同归纳出初步结论：“一个数，如果它各位上数字的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。”

【设计意图】探究过程层层递进，从直观的百数表入手，降低起点；通过独立观察培养专注力，通过小组交流碰撞思想、修正观点；再通过随机验证，从特殊推广到一般，体验数学归纳的严谨性。学生亲身经历了“观察现象→提出猜想→举例验证→归纳结论”的完整科学探究过程。

（三）深度建构，揭秘原理（预计时间：12分钟）

这是突破难点的关键环节，旨在回答学生心中最大的疑问：“为什么判断3的倍数要看各位数字之和？”

1.设问引思：“我们找到了特征，但数学不仅要‘知其然’，还要‘知其所以然’。为什么2、5的倍数只看个位，而3的倍数却如此特别，要看所有数位的数字和呢？这背后一定有数学道理。”

2.模型演示，理解“位值”与“余数”：

1.3.以两位数为例：比如“24”。教师利用计数器模型或动画演示：24可以看作2个十（20）和4个一（4）组成。

2.4.关键拆解：提问：“20是3的倍数吗？（20÷3=6…2）余数是2。4是3的倍数吗？（4÷3=1…1）余数是1。”教师板书：20=3×6+2；4=3×1+1。

3.5.余数重组：“现在，我们把24除以3。实际上就是把（20+4）除以3。根据除法运算性质，这相当于把20除以3的余数（2）和4除以3的余数（1）先加起来，即2+1=3，再看这个和（3）是否能被3整除。”因为2+1=3是3的倍数，所以24能被3整除。

4.6.归纳：“看，20除以3余2，这个‘2’其实就是十位数字‘2’本身；4除以3余1，这个‘1’就是个位数字‘4’除以3的余数。我们把两个余数相加：2+1=3，是3的倍数，所以原数24就是3的倍数。也就是说，‘看各位数字之和’的本质，是看‘各数位代表的数除以3后的余数之和’是否为3的倍数！”

7.迁移理解，推广到多位数：

1.8.以三位数“237”为例：引导学生一起分析：200除以3余多少？2个百，200÷3=66…2，余数就是百位数字2。30除以3余多少？0，所以十位数字3本身可以看作余数。7除以3余1。余数和：2+3+1=6，是3的倍数。

2.9.抽象概括：教师用字母表示一个三位数abc（a、b、c分别代表百、十、个位数字）。引导学生理解：100a=(99+1)a=99a+a。99a是3的倍数，所以100a除以3的余数就是a。同理，10b除以3的余数就是b。c除以3的余数就是c（或cmod3）。因此，整个数abc除以3的余数，就等于(a+b+c)除以3的余数。当a+b+c是3的倍数时，余数为0，原数就是3的倍数。

3.10.揭示奥秘：“现在大家明白了吗？因为10、100、1000……这些‘位值单位’除以3都余1（10÷3=3…1,100÷3=33…1），所以任何一个数位上的数字，它所代表的实际值（如‘200’中的‘2’代表200）除以3的余数，就等于这个数字本身（2）除以3的余数。因此，整个数除以3的余数，就等于所有数位上数字之和除以3的余数。这就是3的倍数特征只看数字和的根本原因！”

11.对比联系，形成知识网络：

1.12.提问：“那为什么2和5的倍数只看个位呢？”引导学生思考：因为10是2和5的倍数，所以十位及以上的部分（几十、几百）一定是2和5的倍数，只需看剩下的个位部分。而10除以3余1，导致每一位的“余数”都留了下来，需要全部加起来判断。

2.13.小结：不同的倍数特征，源于“十”这个计数单位与这个除数之间的整除关系不同。这体现了数学内在的统一美与逻辑美。

【设计意图】此环节是本节课思维的制高点。通过具体的计数器模型、算式拆解，将抽象的位值原理和同余思想直观化、可视化，帮助学生搭建理解的脚手架。从具体数到字母符号的抽象，培养了学生的符号意识和模型观念。与2、5倍数特征的对比，将零散的知识点串联成结构化的知识网络，深化了学生对整数倍数特征本质的理解。

（四）巩固应用，迁移深化（预计时间：10分钟）

设计分层、变式的练习，促进知识的内化与迁移。

1.基础应用（判断与寻找）：

1.2.快速判断：57、82、141、296、1002是否是3的倍数。要求说出判断过程（数字和）。

2.3.在□里填一个数字，使这个数是3的倍数：4□、□75、2□3□。讨论填法多样性，渗透分类讨论思想。

4.综合应用（灵活运用）：

1.5.“我是一个两位数，既是2的倍数，又是3的倍数。我可能是多少？”引导学生先满足2的倍数特征（个位是0,2,4,6,8），再从中筛选满足3的倍数特征的数。列出所有可能，感受集合思想。

2.6.“从0、3、5、7中选出三个数字，组成同时是2、3、5的倍数的三位数，最大和最小分别是多少？”此题综合性强，需要学生统筹考虑：是2和5的倍数，个位必为0；是3的倍数，三位数字和需是3的倍数。从而确定数字组合，再排列。

7.拓展延伸（连接生活与科技）：

1.8.生活场景：学校合唱队排练，每3人一组。现有队员人数是三位数1□4，请问□里可以填几，才能恰好分完？这蕴含了优化思想（可能不止一个解）。

2.9.科技背景（简要介绍）：我们身份证号码的最后一位“校验码”，银行卡号的校验等，有时就会用到基于倍数特征的模运算来检查号码是否输入错误。这体现了数学规律的广泛应用价值。

【设计意图】练习设计遵循从易到难、从单一到综合的原则。基础题巩固特征；综合题培养学生综合运用知识和策略解决问题的能力；拓展题将数学与生活、科技连接，体现数学的应用价值，激发持续探索的兴趣。

（五）总结反思，拓展延伸（预计时间：3分钟）

1.学生自主总结：引导学生从知识、方法、体验三个维度进行反思。“今天这节课，你发现了什么规律？（知识）我们是怎样发现这个规律的？（过程与方法：观察、猜想、验证、推理）在探索过程中，你最大的收获或感受是什么？（情感与思维）”

2.教师升华点睛：教师总结：“同学们，今天我们不仅揭开了3的倍数特征之谜，更了不起的是，我们探明了这个特征背后的数学原理——位值制和余数的思想。数学就是这样，美丽的规律背后，是深刻而严谨的逻辑。2、5看个位，3看和，那9的倍数会有怎样的特征呢？它的原理又是什么？请大家带着今天的探究经验，课后自己去研究一下。”

3.布置作业：（详见第七部分）

【设计意图】引导学生进行系统性回顾与反思，将零散的体验提升为结构化、策略化的学习经验。通过设疑（9的倍数特征），将探究活动延伸至课外，保持学生的学习热情，培养自主学习能力。

七、分层作业设计

1.【基础巩固层】（全体学生完成）

1.2.完成课本相关练习题，巩固3的倍数特征的基本判断与应用。

2.3.写出三个是3的倍数的四位数，并说明判断理由。

3.4.在1~100的自然数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数的数有多少个？（培养有序思考与排除法）

5.【能力拓展层】（大部分学生选做）

1.6.探究题：模仿课堂上的推理方法，尝试解释“为什么判断一个数是否是9的倍数，可以看它各位数字之和是否是9的倍数？”（写清推理过程）。

2.7.应用題：有一筐苹果，数量在40-50个之间。如果每3个装一袋，或每5个装一袋，都正好装完。这筐苹果有多少个？

3.8.数字谜：六位数A2024B能被3整除，请问A和B有多少种可能的组合？（A≠0）

9.【挑战创新层】（学有余力学生选做）

1.10.数学小论文（提纲）：以“神奇的‘数字和’——从3、9的倍数特征说开去”为题，撰写一份小提纲。可以包含：特征的发现、原理的推导、与2、5特征的对比、你还能联想到哪些与数字和相关的有趣现象或问题？（如“数字根”）

2.11.编程或算法思想：如果让你设计一个计算机程序或算法，用来判断任意大的整数是否是3的倍数，你会如何设计？简述你的思路（无需真实代码）。

【设计意图】作业设计体现分层与选择性，满足不同层次学生的发展需求。基础题保底；拓展题连接课内探究方法，促进迁移；挑战题指向跨学科联系（数学与计算机科学）和长周期探究，培养创新意识和学术思维萌芽。

八、板书设计（纲要式、思维可视化）

课题：探索3的倍数特征

1.一、特征：

1.2.一个数各位上数字的和是3的倍数→这个数是3的倍数。

2.3.*（举例：24→2+4=6→是；17→1+7=8→不是）*

4.二、探究路径：

1.5.观察（百数表）→猜想（与数字和有关）→验证（举例）→结论

6.三、原理揭秘（以24为例）：

24=20+4

=(3×6+**2**)+(3×1+**1**)

=3×(6+1)+(**2+1**)

1.7.关键：十位“2”→20除以3余2

个位“4”→4除以3余1

2.8.总余数：2+1=3（是3的倍数）

3.9.本质：因为10÷3=3…1，所以每个数位上的数字贡献的余数就是它本身（或本身除以3的