北师大版七年级数学下册第五章图形的轴对称问题解决策略转化课时导学案

北师大版七年级数学下册第五章图形的轴对称问题解决策略转化课时导学案

一、核心素养导向与学习目标

【核心素养】本节课以发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等核心素养为旨归。通过将实际生活情境抽象为数学中的轴对称与线段和最值问题，引导学生经历“观察—分析—建模—转化—求解—反思”的完整思维过程，深刻体会转化思想作为数学基本思想方法的强大力量。教学过程中，着力培养学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界的关键能力，实现知识向素养的内化。

【学习目标】

1.【基础】能将简单的实际问题抽象为数学中的“一线+两点”模型，明确“求最短路径”的本质是寻找某一线段和的最小值。理解并掌握利用轴对称变换，将直线同侧两点到直线上一点的距离之和最小问题，转化为异侧两点距离之和最小问题（即“将军饮马”模型）的基本方法。

2.【重要】经历“将军饮马”问题模型的探究过程，在独立思考和合作交流中，清晰阐述转化的目标（化同为异）、转化的工具（轴对称性质）、转化的依据（两点之间线段最短）。能够准确识别问题情境中的定直线与两定点，并能规范、准确地作出对称点和连接线，确定所求点的位置。

3.【高频考点】【重要】能够灵活运用转化策略解决不同变式的几何问题，如求三角形或四边形周长最小、两条线段和差最值、点在角内部求最短路径等问题。能识别复杂图形中的基本模型，剥离无关信息，实现从“不会”到“会”的跨越。

4.【难点】能够跨越知识领域，体会到转化策略不仅局限于几何，在代数计算、数论游戏等问题中也具有普适性。初步感悟“化繁为简”、“化未知为已知”、“化不规则为规则”是转化策略的本质，提升综合运用数学思想方法解决问题的能力。

二、教学重难点

1.【重点】掌握“将军饮马”问题的基本模型及其转化方法，即通过作对称点将同侧线段和转化为异侧线段和。

2.【难点】理解转化策略的本质是根据问题确定转化目标和方法；在面对不同情境（如点在角内、求周长最小等）时，能灵活构建对称点，创造性地运用转化策略解决问题。

三、教学准备

教师准备：多媒体课件（包含几何画板动态演示）、导学案。

学生准备：预习教材P136-138内容，复习轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，准备好直尺、圆规、铅笔。

四、教学实施过程

（一）创设情境，孕育转化思想（预计5分钟）

1.【基础】生活抽象，引出问题：课件展示教材P136情境图（工厂大门、道路与车间）。教师描述：某工厂计划在一条笔直的道路l上设立一个储物点C。工作人员每天从大门A进入，先到储物点C取物品，然后再到车间B。同学们，你们认为这个储物点C应建在道路l的什么位置，才能使工作人员从A到C再到B所走的总路程（即AC+BC）最短呢？

2.【基础】初步感知，抽象建模：引导学生将实际问题抽象为数学问题：将大门和车间看作两个点（点A、点B），道路看作一条直线（直线l）。问题转化为：在直线l上求作一点C，使得AC+BC最小。

3.【基础】认知冲突，激活思维：教师引导学生观察点A与点B相对于直线l的位置关系。学生通过观察发现：点A和点B都在直线l的同一侧。随即设问：“我们以前学过，如果两点在一条直线的两侧，连接两点与直线相交，交点即为使线段和最短的点。但现在两点在同侧，我们该怎么办？这就是我们今天要共同探究的‘问题解决策略——转化’。”（板书课题）

（二）合作探究，构建转化模型（预计18分钟）

1.【重要】回顾旧知，确立目标：教师引导学生回顾“两点在直线异侧”的模型。提问：为什么此时连接AB与l的交点C就是所求点？引导学生回答：依据是“两点之间，线段最短”，此时AC+BC的最小值就是线段AB的长。此环节旨在激活学生已有知识经验，为后续转化确立清晰的目标——我们最终的目标就是要把“同侧”这个陌生问题，转化为我们熟悉的“异侧”问题来解决。

2.【重要】独立思考，寻找路径：教师提出核心驱动性问题：“现在A和B在l的同侧，我们能否利用我们刚学过的第五章‘图形的轴对称’的相关知识，将‘同侧’的B点（或A点）转化到l的另一侧，构造出我们熟悉的‘异侧’模型呢？”给学生3分钟时间独立思考，鼓励学生动手在导学案的图上画一画、试一试。

3.【重要】小组合作，思维碰撞：学生以四人小组为单位交流各自的初步想法。教师巡视，适时点拨，重点关注学生是否能联想到“轴对称”这个工具。部分思维活跃的学生可能已经想到作点B关于直线l的对称点B‘。

4.【核心讲解】模型建构，规范说理：

1.5.【讲解】请小组代表上台，利用投影仪展示本组的思考成果。学生可能表述为：作B点关于直线l的对称点B’，连接AB‘，与直线l交于点C，点C就是所求点。

2.6.【追问】教师追问：“为什么要作对称点？你的理由是什么？如何证明此时AC+BC是最短的？”

3.7.【精讲】教师结合学生的展示，运用几何画板进行动态演示和精准讲解：

1.4.8.【第一步：转化线段】由轴对称的性质可知，直线l是线段BB’的垂直平分线。因此，对于直线l上的任意一点C（包括我们要求的点），都有BC=B‘C（轴对称的性质：对应点到对称轴上任意一点的距离相等）。于是，我们要求的目标AC+BC，就等价转化为AC+B’C。

2.5.9.【第二步：转化问题】现在，求AC+BC的最小值问题，就转化为了求AC+B‘C的最小值问题。观察图形，点A和点B’已经位于直线l的异侧（因为B‘是B关于l的对称点）。

3.6.10.【第三步：回归原理】对于直线l异侧的两点A和B‘，根据“两点之间线段最短”，连接AB’，与直线l的交点即为使AC+B‘C（也就是AC+BC）最小的点C。

7.11.【要点归纳】在此问题中，我们借助【重要】轴对称【重要】这一工具，成功地将一个【难点】同侧两点的线段和最小问题【难点】，转化为了我们早已掌握的【基础】异侧两点线段和最小问题【基础】，从而使问题得以解决。这种将新问题转化为已解决问题、将复杂问题转化为简单问题的思想方法，就是【非常重要】转化策略【非常重要】。

12.【基础】实践操作，巩固方法：学生独立在导学案上用尺规作图，完成点C的确定过程，并尝试用简练的语言复述解题步骤。（步骤：一定（定直线）、二找（找两定点）、三作（作对称点）、四连（连接对称点与另一定点）、五交（连线与直线交点即为所求）。）

（三）变式训练，内化转化策略（预计12分钟）

1.【高频考点】变式一：几何背景中的周长最小问题。

1.2.题目：如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，点F是AD上的一个动点。已知等边三角形的边长为4，求CF+EF的最小值。

2.3.【引导】教师引导学生分析：本题中，定直线是AD（对称轴），两定点是C和E。问题转化为在AD上找一点F，使CF+EF最小。这是一个典型的“将军饮马”模型。由于等边三角形关于AD对称，点C关于AD的对称点就是点B。连接BE，则BE与AD的交点即为所求点F，CF+EF的最小值即为线段BE的长。最后引导学生计算出BE的长（等边三角形中线，利用勾股定理或特殊角）。

3.4.【总结】本题再次印证了转化策略的运用：通过构造对称点，将折线段长转化为两定点间的距离。

5.【热点】变式二：实际问题建模（“将军饮马”升级版）。

1.6.题目：（教材P138习题变式）如图，牧马营地在P处，每天牧马人要赶马群先到河边l1饮水，再到草地l2吃草，然后回到营地。请你为牧马人设计出最短的牧马路线。（保留作图痕迹）

2.7.【小组讨论】此问题中涉及两条直线和三条线段（P→l1上一点A→l2上一点B→P），求PA+AB+BP的最小值。

3.8.【深度引导】教师引导学生思考：我们的目标依然是化折为直。可以利用两次轴对称，分别作点P关于直线l1的对称点P1，以及点P关于直线l2的对称点P2。连接P1P2，分别交l1于点A，交l2于点B。此时，由轴对称性质可知，PA=P1A，PB=P2B。因此，PA+AB+BP=P1A+AB+BP2。由于P1和P2是固定点，根据两点之间线段最短，P1P2的长度即为所求最短路径，点A和点B即为所求点。

4.9.【动态演示】利用几何画板演示，验证当点A、B不在P1P2上时，总路程都会更长，加深学生对转化后“两点之间线段最短”的理解。

（四）跨域拓展，深化转化内涵（预计7分钟）

1.【基础】代数领域的转化：

1.2.题目：计算：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64。

2.3.【学生尝试】学生可能会想到通分，但分母很大，计算繁琐。

3.4.【转化引导】教师引导学生进行数形结合的转化：能否用一个几何图形来表示这个算式？引导学生联想边长为1的正方形，每次取一半。如图，将一个正方形不断二等分，这些分数的和就相当于用1减去最后剩下的那一小块（1/64）。从而将复杂的分数加法转化为简单的减法：1-1/64=63/64。

4.5.【感悟】这里，我们利用【难点】数形结合【难点】，将抽象的【热点】数的运算【热点】转化为了直观的【基础】图形面积【基础】问题，体现了转化策略在不同数学分支间的桥梁作用。

6.【热点】游戏策略中的转化（“对称”思想）：

1.7.题目：（教材P138“联系拓广”变式）有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜的策略是什么？如果两堆数量不等呢？

2.8.【游戏体验】同桌两人用棋子模拟游戏，探究获胜策略。

3.9.【转化揭秘】学生通过实践会发现，当两堆数量相等时，后取者必胜。关键策略是：无论先取者在一堆中取几枚，后取者都在另一堆中取相同数量的棋子，以保持两堆棋子数相等。这就相当于把游戏状态始终保持在一个“对称”的平衡态。当先取者把一堆取完时，后取者就把另一堆取完获胜。当两堆数量不等时，先取者可以从多的一堆中取出两堆的差额，使两堆数量相等，从而将“非对称”状态转化为“对称”状态，然后模仿对方的操作，即可获胜。

4.10.【总结】这种“模仿策略”的本质也是一种转化——利用【重要】对称【重要】思想，将复杂的、不确定的博弈过程，转化为一个简单的、可控的等价过程。这与我们今天学习的几何问题中的轴对称转化，有着异曲同工之妙。

（五）当堂检测，反馈目标达成（预计5分钟）

1.【基础】如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄。欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需要管道最短的是（）（选项略，根据教材改编）

2.【重要】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AC边的中点，点P是AD上的动点。若BC=6，AD=4，则BP+EP的最小值为______。

3.【难点】如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内部一点，且OP=5cm，在OA、OB上分别找一点M、N，使△PMN的周长最小，则最小周长为______。

（六）课堂小结，升华思维品质（预计3分钟）

1.【知识梳理】引导学生回顾本节课所学，围绕以下几个问题进行反思总结：

1.2.我们解决了一个什么问题？（在直线同侧找一点，使得到两定点距离之和最短）

2.3.我们用了什么策略解决的？（转化策略）

3.4.我们是怎样转化的？（利用轴对称，将同侧转化为异侧）

4.5.转化后的依据是什么？（两点之间线段最短）

6.【思想提炼】教师总结：转化是一种极其重要且普遍的数学思想。无论是几何中的“化同为异”、“化折为直”，还是代数中的“化繁为简”、“化未知为已知”，甚至是游戏中的“化不对称为对称”，其核心都在于：当我们面对一个陌生、复杂或难以直接入手的问题时，我们有意识地通过某种变换，将其等价地转化为我们熟悉的、简单的、已经解决过的问题。掌握转化策略，就像拥有了一把开启数学智慧之门的金钥匙。

7.【作业布置】

1.8.基础作业：完成教材P138习题1、2。

2.9.拓展作业：寻找生活中或其它学科中运用了“转化策略”解决问题的例子，下节课分享。

五、板书设计

第五章图形的轴对称——问题解决策略：转化

一、问题：

（A、B在直线l同侧，求AC+BC最小）

模型：“将军饮马”

二、转化：

【工具】轴对称

【目标】化“同侧”为“异侧”

【依据】两点之间线段最短

三、步骤：

1.作对称点（B→B‘）

2.连接对称点与另一点（AB’）

3.交点即为所求（点C）

4.最小值为线段AB‘的长

四、核心思想：

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