2026年高考数学第一轮复习：平面向量的数量积及应用举例

第3讲平面向量的数量积及应用举例

自领知识，®会回顾理教材•夯实必备知识.

一、知识梳理

I.向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量。和4作'="，/=力，则叫做向量。与。

的夹角.

(2)范围：向量夹角。的范闱是0°W〃W180°.

I注意］当。与方同向时，9=0°；。与力反向时，9=180°；4与力垂宜时,9=90°.

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a，b的夹角为仇则数量回吐叫2叫做。与力的数量

定义

积，记作。协

⑷cos〃叫做向量〃在〃方向上的投影，

投影

囱珞2叫做向量b在a方向上的投影

几何意义数量积ab等于a的长度⑷与力在。的方向上的投影仍Icos6>的乘积

［注意I投影和两向量的数量积都是数量，不是向量.

3.向量数量积的运算律

(\)a-b=b-a.

(2)(痴)山力尸丝3).

(3)m+Z>)・c=<rc+bc

4.平面向量数量积的坐标运算及有关结论

已知非零向量a=(x”6)，力=(也，>2),。与〃的夹角为"ab=X］X2^~yiy2.

结论几何表示坐标表示

模\a\=y[a^a

夹角8sg-|g||fr|csr^r-_\r^~,~~i

Y阴+vf\/#十中

的充要条件。山=0阳工2+丫尸2=0

常用结论

(1)两向量a与b为锐角Oa-b>0且。与力不共线.

(2)两向量a与b为钝角<=>〃仍V0且。与力不共线.

(3)3±〃)2=屋±2。协+方2.

(4)(a+b)(a—b)=a2—b2.

(5)〃与力同向时，a-b=\a\\b\.

(6)。与力反向时，a-b=~\a\\b\.

二、教材衍化

已知。力=-12”，|3=4,。和力的夹角为135°,则以为()

A.12B.6

C.3小D.3

・12小

解析：选B.。协=|州冰2sl35°=一12巾，所以仍|==6.

4X(吗

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(I)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()

(3)由。力=0可得°=0或5=0.()

(4)(ab)c=a(bc).()

⑸两个向显的夹角的范围是l_o,y()

⑹若。力＞0,则。和。的夹角为锐角；若。・k0,则。和方的夹角为钝角.()

答案：(1)J(2)J(3)X(4)X(5)X(6)X

二、易错纠偏

常见误区I(1)没有找准向量的夹角致误；

⑵不理解向量的数量积的几何意义致误：

(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误.

1.在△4BC中，AB=3,AC=2,BC=®,则函•危的值为.

*人,nc4AC2+AB2-BC222+32-21

解析：在△中，由余弦定理得AR=

48Ccos=-1ZA/ICA/AID-=oZyZXoZvAJQ7♦-

-A-A—►—A-A-►13

所以64AC=|5A||AQ，osm-A)=-|6A||AQcosA=-3X2X^=一邑.

答案：一?

2.已知同=5,|臼=乙，a与b的夹角夕=120°,则向量b在向量a方向上的投影为

解析：由数量积的定义知，)在。方向上的投影为麻osO=4Xcos120°=-2,

答案：一2

3.已知向量。与力的夹角为?\a\=\b\=\,且aJ_（a一劝），则实数1=

解析：由题意，得。力=|a|g|cosW=g，因为。_L（“一劝），所以。"一劝）=间2—脑力=1

—5=。，所以2=2.

答案：2

明考向•直缶考例考法.

考点一平面向量数量积的运算（基础型）

复习指导|1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量

投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

核心素养：数学运算、数学抽象

回0（一题多解）（2019・高考天滓卷）在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2小，AO=5,

NA=30°,点E在线段CB的延长线上，且凡则由）•危=

【解析】法一：在等腰△A8E中，易得/B4E=NABE=30°,故BE=2,则

（命一崩）.（赢+福=布通+病•法•一病一诵.添=5X2小Xcos30。+5X2Xcos180°

-12-2V3X2Xcos150°=15-10-12+6=-1.

法二：在△48。中，由余弦定理可得

BD=-\/25+12-2X5X2V3Xcos30°=木,

所以cosNABD=｝[2函I7取2方5=一%,则sinNA8Q=得5设成）与嘉的夹角为0,则

cos9=cos（180°—ZABD+300）=—cos（Z.ABD—30°）=—cosZABD•cos30°—sinZ

ABD•sin300=一率，在aAb七中，易得AE=BE=2,故彷•危=^X2X（一去）=一I.

【答案】-1

侬窗窗

求向量。，〃的数量积。仍的两种方法

（I）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即。〃=|a||b|cos〈〃，h）.

（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若。=（即，v）,b=（m,/），则=

当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用

坐标法求解.

考法全练

1.(2020•河南新乡二模汜知。=(1,2),)=(〃?，加+3),c=(m-2,一1),若a〃b,则

bc=()

A.-7B.-3

C.3D.7

解析：选B.因为。=(1,2),b=(〃z,机+3),a//b,所以1X(m+3)—2〃?=0,所以机

=3,所以力•c=/?/(/??—2)—(w4-3)=—3,故选B.

2.(2019•普•由全国卷II)已知嬴=(2,3),AC=(3,/),|^C|=1,则而・B=()

A.-3B.-2

C.2D.3

解析：选C.因为反?=去?一公=(3,。一(2,3)=(1,1一3),因为|庆?|=1,所以

[1+(1—3)2=1,所以1=3,所以反?=(1,0),所以诵•反:=2X1+3X0=2,故选C.

3.(一懑多解)(2020•湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，ZC=5»48=4,AC

=2,若病=苑，则而a=()

A.-18B.-673

C.18D.6小

解析：选C.通解：由/。=看A8=4,AC=2,得C8=2小，CACB=0.CDCB=(CA

—>—>->-►3">3­►­♦-►3.

+ADyCB=CACB-}-:^ABCB=^CB-CA)CB=^CB2=18,故选C.

优解一：如图，以。为生■标原点，CA,CB所在的直线分别为人，，轴，建立平面直痢

坐标系，则C（0,0）,A（2,0）,8（0,2小）.由题意得NCB4哼又俞=涧，所以力=（一

1,35），则诙•&=（-1,3小）・（0,25）=18,故选C.

优解二：因为/。=与AB=4,AC=2,所以CB=2、R,所以赢在无上的投影为2小，

又病=%,所以病在之上的投影为/X2，§=3小，则可＞在乙上的投影为3小，所以设）・屈

=|CT||cb|cos<cb,CB）=2小X3小=18,故选C.

考点二平面向量数量积的应用（基础型）

复习

,|能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

指P导（I

核心素养：数学运算、逻辑推理

角度一求两平面向量的夹角

辍12）（1）（一施今解）（2019高考仝国博I）已知非零向量m5满足|。|=2固，

则。与力的夹角为（）

K

A.6B,3

2兀5兀

C.D.~6

(2)已知向量赢=(x,l)(x>0),AC=(1,2),\BC\=\[5,则公，At的夹角为()

A区…

A.36

一兀c兀

Jr4-Du-一3

【解析】(1)法一：由题意得，3—b)历=0=>。力=出|2,所以同|以cosa,b=|那,

2

因为|。|=2步所以2|》FCOSa,b=|Z>|=>cosa,b=T,所以a,b=?,故选B.

4J

法二：如图，设后=a,OB=b,则函="一儿所以B岩，\OA\=2\OB\,所以NAOB

=?即a,b=?

（2）因为正=/一筋=（1一k,I）,

所以|的2=（|一外2+|=5,即』一"一3=0,解得1=3或工=一］（舍）.设麻，元的夹

角为仇则cos8—,所以e=今.

一2

I丽应1

【答案】（1）B（2）C

侬窗窗

求向量夹角问题的方法

（1）当〃，力是非坐标形式时，求。与b的夹角0,需求出。力及⑷，固或得出它们之间的

关系.

X|X2+yiV2

(2)若已知。=(为，》)与力=(12，”)，则cos(a,力〉=

5+）彳•4.3+货

角度二求平面向量的模

8HT31(1)(一题多解)(2020・府山市摸底考试)已知ei，62是两个单位向量，且3+。2|=小，

则出-62|=•

(2)设向量〃=(x,1),b=(l,-2),且。_14则⑷=,则当户［一小,

2］时，|°一出的取值范围是.

【解析】(1)法一：忸］+匐=小，两边平方，得ef+2g•02+a=3,又ei，个是单位

向量,所以2e〕・e2=l,所以期一e2『=e?-2ei・e2+以=1,所以⑶一匐=1.

法二：如图，设嬴=ei,AD=ey,又右，e，是单位向量，所以|嬴|=|而1=1,以AB,

AD为邻边作平行四边形A8CD,连接AC,BD,所以n=e1+e2,DB=e\-ei，因为|e：+e2|

=小，即瑟］=小，所以NA8C=120°,则ND48=60°,所以|加|=1,即0一62|=1.

(2)向量〃=(%,1),b=(l,-2),且。_1_力，所以工一2=0,解得工=2,所以⑷=卷”

=小.

|。一向2=标+司>2—2底力=5尸+5,所以当f=0时，取得最小值为5;当1=2时，最大

值为25.即一力|的取值范围是［小，5］.

【答案】(1)1(2h/5［小，51

圃窗窗

求向量的模或其范围的方法

(1)定义法：⑷=y［ah,\a±b\=yj(a±b'>2=，1±2a6+/.

(2)坐标法：设a=(x,y),则|a|=Mf+法.

(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角

形的相关知识求解.

［提醒I(I)求形如〃?。+〃力的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算.

(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的

有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的

求解.

角度三两平面向量垂直问题

他⑷已知向量矗与危的夹角为120°,且|赢|=3,|危|=2.若崩=2赢+危，且品

•LBC,则实数2的值为.

【解析】因为崩JL危，所以行•正=0.

又崩=）脑+正，BC=AC-AB,

所以（标+充）•（/一赢）=0,

即Q-1）曲.诵一派2+公'2=o,

所以（九一1）|届|赢|cos1200-92+4=0.

所以。-1）义3义2乂（一习一9/1+4=0.解得/1=*.

【答案】75

侬窗窗

两向量垂直的应月

两非零向量垂直的充要条件是：。_1_50。6=0㈡|〃一加=|"+乩

［注意］若。=0,虽然有〃力=0,但不能说“_1_4

考法全练;

1.已知向量。，力满足|。|=1,步|=2,。-6=（小，^2）,则|“+2力|=（）

A.272B.2小

C.V17D.行

解析：选C.因为°-6=（小，池），所以|。一"=小，所以|。一肝=|才一2<rb+gF=5

-2ab=5,则=0,所以|。+2肝=|才+4〃心+4|肝=17,所以|“+2）|=6.故选C.

2.已知在四边形ABC。中，AB+CD=Q,（AB-AD）AC=0,则四边形人8。£）是（）

A.矩形B.正方形

C.菱形D.梯形

解析：选C.因为Q+诙=0,所以赢=一丽=衣，所以四边形ABCD是平行四边

形.又（赢一而）•启=加•点=0,所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形4BCZ）是菱

形.

3.（一题多解）已知正方形A3CQ,点E在边8C上，且满足2位:=反?，设向量赢，BD

的夹角为仇则cos0=.

解析：法一：因为2庇=正，所以E为BC的中点.设正方形的边长为2,则|丽=小，

|丽=2吸，嬴•丽=（赢+义病）（病一丽/丽产―丽+；俞•嬴《X22-2?=_2,所

以C°sO=超边='yio

I柏丽I小X2610,

法二：因为2砺=於，所以E为8c的中点.

设正方形的边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系x4)，，则点A(0,0),仅2,0),

。(0,2),£(2,1),所以丘=(2,1),而=(一2,2),所以怠.彷=2乂(一2)+1乂2=—2,

考点三向量数量积的综合应用(综合型)

复习

^,,1解决此类问题的关键是把向量关系转化为向量数量积的有关运算，进一步转化为

指导

实数运算，进而利用相关知识求解.

S0JI5](2020•广州海秣区摸底)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,向量机

3

=(cos(A—4),sin(A-8)).n=(cos—sinB),且利•〃=­§.

⑴求sinA的值;

(2)若。=4蛆，b=5,求角B的大小及向量函在反'方向上的投影.

3

【解】(1)由〃r〃=一亍

3

得cos(；4—5)cos8—sin(A—B)sin8=一

3

所以cosA=—亍因为0<A<n,

所以sinA=yJI-cos%：]1-(-f1)=,.

,,..5X^r-

(2)由正弦定理0加A=sin8'得s*n^=~~~a=4^2=2'因为a>b,所以A>8,则B

=会由余弦定理得(4隹)=52+C2-2X5CX(一§,解得C=L

故向量而在荷方向上的，殳影为

|朗cosB=ccosB=1x2=2,

阅窗明

平面向量与三角函数的综合问题

(I)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立

等，得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解

题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

考法全练;

(2020・石家庄模拟)已知A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c•所对的角，向量切=(sin

A,sinB),n=(cosB,cosA),且加〃=sin2c.

(1)求角C的大小；

(2)若sin4,sinC,sin8成等差数列，且8.(矗一/)=18,求边c的长.

解：⑴由已知得mn=sin4cosB+cosAsinB=sin(A+B),

因为A+8+C=7t,

所以sin(A+/^)=sin(r-C)=sinC,

所以?n/i=sinC>又mw=sin2C>

所以sin2C=sinC,所以cosC=^.

又OVCV兀，所以

(2)由已知及正弦定理得2c=a-\~b.

因为之(前一就)=以标=18,

所以"cosC=18,所以ah=36.

由余弦定理得(r=cr-\-tr-2abc^C=(a^b)2-3ab,

所以/=4C2-3X36,

所以/=36,所以c=6.

演练■②僖突破练好遨•突破后分瓶颈.

［基础题组练］

1.设。=(1,2),/>=(1,1),c=〃+A力.若力_Lc,则实数&的值等于()

35

---

A.-2B.3

53

C-

3D.2一

解析：选A.c=a+tb=(l,2)+©1,1)=(1+h2+女)，因为b_Lc,所以"c=0,be

3

=(1,1)(1+%,2+1)=1+2+2+2=3+23=0,所以k=一弓.

2.(2020•湖南省五市十校联考)已知向量a,b满足同=1,步|=2,a(a-2b)=0,贝力〃

+例=()

A.#B.小

C.2D.小

解析：选A.由题意知，a-(a-2b)=a2-2ab=1-2ab=0,所以2ab=\,所以|a+〃

=、标+2。•力+6=、1+1+4=#.故选A.

3.(202()•广州市综合检测(一))。，力为平面向量，己知。=(2,4),。-28=(0,8),则。，

力夹角的余弦值等于()

D.1

仁1

解析：选B.设6=(x,y),则有a—26=(2,4)—(2.r.21y)=(2—2.x,4—2y)=(0.8),

[2-2A=0(X=1,,r/\a，b2—8

所以，解得_2,故b=(l，-2),|力|=4r5,闷=245,cos(a,b>=⑷步|=#>，2小

14—2)，=8[y=

3

=­W，故选B.

4.已知向量|①|=3,|为|=2,OC=mOA+nOB,若总与加的夹角为60。，且又1嬴,

则实数?的值为()

11

A.6B4

C.6D.4

解析：选A.因为向量|以|=3,|a|=2,OC=mOA-\-nOB,后与协夹角为60。，所以

力.初=3X2Xcos60。=3,

所以福沃=(初一行)(机方+〃协)

=(加一/向无一〃力苏F+川丽2

=3(〃?—〃)—9/7/+4〃=—6m+〃=0,所以彳=:，故选A.

5.(多选汜知△4BC的外接圆的圆心为O,半径为2,5A+Ah+Ac=0,n.\OA\=\AB\,

下列结论正确的是()

A.3在方方向上的投影长为一小

B.OAAB=dAAC

C.不在而方向上的投影长为小

D.OBAB=OCAC

解析：选BCD.由总+靠+/=0得协=一就=为，所以四边形084c为平行四边

形.又O为△ABC外接圆的圆心，所以|。8|=|0川，又|O4|=|4B|,所以△O4B为正三角形.因

为△ABC的外接圆半径为2,所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以NAC3=a,所以之

在无上的投影为|N|cos连=2乂幸=小，故C正确.区为后病=后./=-2,OB-KB=

dCAC=2,故B,D正确.

6.设向量。=（一1,2）,5=（〃?，1），如果向量。+2力与2〃一力平行，那么。与力的数

量积等于.

解析：a+2b=（—1+2/〃，4）,2a—6=（-2—〃?，3）,由题意得3（—I+2〃?）一4（一2—机）

5

=0,则加=一/所以ab=-1义（一号+2乂1-

2-

5

答装-

2

7.已知点M,N满足|而=|NC|=3,且|司+尚=2巾，则M,N两点间的距离为

解析：依题意，得|说+的2=|南F+|的2+2标・无=]8+26认丽=20,则由加

=1,故M,N两点间的距离为|丽=|无一南|

=\j\&^\CM\2-2CN-CM

=:9+9—2=4.

答案：4

8.（2020•山东师大附中二模改编）已知向量a,b,其中同=小，\b\=2,且（。一力）_L“，

则向量。和力的夹角是________,a（a+b）=.

解析：由题意，设向量a,b的夹角为伍因为⑷=、「，步|=2,且3-所以（“一

A

Z>）«=|a|2—«Z>=|«|2—|«||^|cos^=3—2A/3-COS0=0,解得cos0=为".又因为OWOWTT,所以0

=[则a-（a+b）=|a|24-|«|-|ft|-cos0=3+25X净=6.

答案：I6

9.已知向量a=(2,-1),b={\,x).

(1)若/_L(a+b),求IM的值;

(2)若。+2b=(4,-7),求向量。与。夹角的大小.

解：(1)由题意得。+。=(3,-1+A).

由。_L(a+B),可得6+1—x=0,

解得x=7,即)=(1,7),

所以仍|=病=5，1

(2)由题意得，。+2b=(4,2A•—1)=(4,-7),

故文=—3,所以力=(1,—3),

的力,,ab(2,11)(1,-3)

所以cos〈a,b>s小x®

因为〈a,b〉£[0,it],

所以。与b夹角是

10.在平面直角坐标系xOy中，点4-1,-2),跃2,3),C(-2,-1).

⑴求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(赢一/历)•n=0,求I的值.

解：(1)由题设知B=(3,5),AC=(-1,1),则Q+公=(2,6),AB-AC=(4f4).

所以两+最?|=2，T5,\AB-AC\=4yj2.

故所求的两条对角线的长分别为4讹，2^10.

(2)法一：由题设知：OC=(~2,-I),AB-/dC=(3+2r,54-/).

由(8一1灰7)灰=0,得：

(3+2/,5+f>(—2,—1)=0,

从而5t=—11,

所以/=—■9-.

法二：AilOC=iOC2,6=(3,5),

ABOC11

1=-----=-

\oc\25

[综合题组练I

1.(2020•安徽五校联盟第二次质检)已知。是△ABC内部一点，且满足曰1+协+无=

0,乂嘉・n=2小，/BAC=60°,则△OBC的面积为()

A.坐B.3

C.1D.2

解析：选C.由诵危=2小，N8AC=60°，可得Ak正=|通函|cosZBAC=^\AB\\AC

1=2小，所以|/W||AC］=4小，所以S△八此=习人创AC|sinN84C=3,又Q4+OA+OC=0,所

以。为△ABC的重心，所以SM8C=；SAMC=1，故选C.

2.(2020•郑州市第二次质量预测)在RlZ\A8C中，ZC=90°,CB=2,04=4,尸在边

AC的中线8。上，则不的最小值为()

A.—3B.0

C.4D.-1

解析：选A.依题意，以。为坐标原点，分别以AC,BC所在的直线为工，)，轴，建立

如图所示的平面直角坐标系，则8(0,2),0(2,0),所以直线8。的方程为)，=一1+2,因

为点P在边4c的中线8。上，所以可设尸(32—。(0WiW2),所以而=。，2—f),BP=(t,

f一cc(1Y1Iff1

-/),所以CP/P=»—/(2—0=2产-2/=2,一之一？当［=］时，CP,4P取得最小值一7，故

选A.

3.设x£R,向量a=(x,1),b=(l,-2),且aJ_b,则同=,则当［一小,

2］时，I”一出的取值范围是

解析：向量。=(x,1),6=(1,-2),且。_14所以4一2=(),解得x=2,所以⑷=/乔

=小.

M—制2=后+尸/_20。=5尸+5,所以当/=0时，取得最小值为5;当1=2时，取得

最大值为25.即M一出的取值范围是［小，5］.

答案：小