人教版2026届中考数学二轮复习讲义：三角形全等模型综合

第5讲三角形全等模型综合

[2026届习题1】如图，已知：AB=AC,BD=CD,上4=60。，±D=140.,则上方二()

A.50B.40C.40或70：D.30c

【答案】B

【思潞点拨】连接AO,可证4ABZ)空必CO,根据全等三角形对应前相等可以得到上84。=上C4。・；上/MC,

■

±/AD/;=±ADC,代入角度即可求出上B4Q和上AQ8的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解.

【规范解答】连接AD.如图.

在△A3。mMCD中

\AH^AC

\BD・CD,

：Z\ABDgAACO（SSS）,

.•ZAID-ZC4D-ZA4C,ZADB,ZADC,

vZ>1-60.

:±BAD=上。。=30,

」±0=140°.

1(360-140)*110,

七±JiAD+±ADB+±B=180°,

:上B=40.

故选：B.

【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键.

【2026届习题2】已知点P是线段MN上一动点，分别以PM,PN为一边，在MN的同侧作△人PW,4BPN,并

连接8M,AN.

图1图2图3

(I)如图1,当PM=AP,PN=BP且NAPM=NBPN=9。。时,试猜想AN之间的数量关系与位置关系，

并证明你的猜想；

(II)如图2,当△APM,△BPN都是等边三角形时，(I)中8M,4N之间的数量关系是否仍然成立？若成

立，请证明你的结论：若不成立，试说明理由.

(III)在(II)的条件下，连接AB得到图3,当PN=2PM时，求NPAB度数.

【答案】(1)BM=AN,BM[.AN.(2)结论成立.(3)90°.

【思路点拨】(1)根据已知条件可证△MBPZ△ANP,得出MB=AN,ZPAN=ZPMB,再延长MB交AN于点C,得出

■CN=90。，因此有BNkLAN;

(2)根据所给条件可证△MPBZ△APN,得出结论BM=AN;

(3)取PB的中点C,连接AC,AB,通过已知条件推出aAPC为等边三角形，ZPAC=ZPCA=60°,再由CA二

CB,没一步得出NPAB的度毅.

【规范解答】解：(I)结论：BM=AN,8M.LAN

图I

a

MP=APfNAPM=NBPN=9Q°,PB=PN,

:AMBP名△ANP(SAS'),

:MB=AN.

延长MB交AN于点C.

“△MBPg△ANR

:ZPAN=ZPMB,

“/PAN+/PNA=90°,

:ZPMB+ZPNA=90°,

：ZMCN=180u-ZPMB一ZFNA=90",

:BM一AN.

(II)结论成立

理由：如图2中,

图2

•••△4PM,4BPN,都是等边三角形

・•・ZAPM=NBPN=60。

，NMPB=ZAPN=\20°,

又〈PMuPA,PB=PN,

:.丛MPRQ4APN(.SAS')

:・MB=AN.

(HI)如图3中，取P8的中点C,连接AC,AB.

图3

•二△4PM,△PBN都是等边三角形

・•・NAPM=ZBPN=60°,PB=PN

点C是P8的中点，且PN=2PM,

：.2PC=2PA=2PM=PB=PN,

VZAPC=60°,

AZUPC为等边三角形，

・•・/PAC=ZPCA=60°,

又・・・C4=CB,

：.ZCAB=N4BC=30。，

・•・ZPAB=ZPAC+ZCAB=90°.

【考点评析】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应

用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.

【2026届习题3】如图，已知4。是“8C的中线，SLAC>AB.求证：AD<1(/1C*I

【答案】见解析

【思路点拨】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长A。至点已使DE=DA,连接CE,证

明A8D经ECQ,得出A8=EC,进而根据三角形的三边关系，即可得证.

【规范解答】证明：如图，延长AO至点E,使DE=DA,连接CE,

在AABD4ECD中，

DE・DA

ZJDBn/CDE

BD・CD

:ABD四ECD,

:AB=EC.

在Ay1EC中，AC+EC>AE,

:AB+AC>2AD,

即A。<-(AC+AB).

2

【2026届习题4】如图，点是AARC的边RC上的中线,A/?=6,47）=4,则4c的取信范因为（）

A.2<AC<14B.2<AC<12

C.1<AC<4D.1<AC<8

【答案】A

【思玛点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角彩三边之间的关系，播题的关键是作精劝线，构造全等

三角形.

延长至£,使OE=40,连接CE.由SAS证明ABD^ECD,得CE=AB=6,再根据三甬形的三边关系

即可求解.

【规范解答】解：延长至E,使。E=AO,连接CE.

则AE=2AD=8,

•・•是边4C上的中线,

:CD=I3D,

在"ECD中，

[AD=ED

I

{_bAD6=±EDC,

\BD=CD

・•・ABD^ECD（SAS）,

CE=AB=6,

在ZMCE中，AE-EC<AC<AE+EC,

即8-6<AC<8+6,

：2<AC<14,

故洗：A.

[2026届习题5】在RlzMBC中，上4cB=90。，AC=BC,AE为AC上一动点，过点工作4O_1_8E于。，连接CD.

如图①，上DAC与上DBC的数量关系是

(2)【尝试探究】

点E在运动过程中，上88的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求上88的度数；

(3)【深入思考】

如图②，若E为人。中点，探索跖与。E的数量关

系.【答案】(1)±/)入C=±J)BC

(2)±CDB的大小不变，上COB=45。

⑶。公5DE

【思路点拨】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识.

(1)日±AC3==90。，得Jta4C+Jb4H)=90。，±Z)5C+±^EC=900,而±A£D=±^EC,所以

±JDAC=±jDBCf于是得到问题的答案：

(2)作b_L。。交3。于点尸，则上4CQ=上方3=90。-±ACF,而上D4C=±F8C,AC=BCf即可证明

^DAC^fBC,得CD二CF,则上COB=上C/O=45。,所以上的大小不改变，上CDB=45。;

(3)作CG_LCD交3。于点G,作C"_LBD于点〃，可证明CHE@ADE,得HE=DE,CH=AD,由

DAgGBC,得4Q=BG,则CH=AG,由CG=C。，CH±DG,得DH=GH,则CH=D〃=G〃,所以

BG-DH-GH-2DE,即可推导出bE-5DE.

【规范蒋恪](1)V±I4CB=90e,AD.LBE：.

±ACB=±/\DB=90o,

：.±J)AC+±AED=9()O,±J)BC+±BEC=9()Ot

V±4£D=±BEC,

：.±JJAC=1DBC,

故答案为：±DAC=±J)BC.

(2)±CDB的大小不改变，

如图①，作C尸±CD交8。于点£她±J)CF=90。，

图①

:±4CD=1BCF=9()0-±ACF,

由(D得上。4C=±FBC,

,:AC=BC

DAC^"C(ASA),

:CD=CF,

:±.CDB=±<CFD=450.

:上COB的大小不改变，上CDB=450.

(3)BE=5DEE,

理由：如图②,作CG±CD交B。于点G,作CH±BD于点从则上CHE=9()0,

图②

:上CHE=±ADE,

,:E为AC中点，

:CE=AE,

••,上C£H=1AED,

:CHE^ADE(AAS),

:HE=DE,CH=AD,

由⑵得DAC"GBC,

:AD=BG,

:CH=BG,

VCG=CD,CH±DG,

:DH二GH,

:CH=DH=GH=-DG,

2

:BG=DH=GH=2DE,

BE=BG+GH+HE=2DE+IDEDE=5DE.

如图，48CO是正方形，上£4/=450,当E在8C边上，F在CQ边上时，如图1,BE、DF与EF之间的数量

关

系为.

【模型运用】当E点在3c的延长线上，?在CO的延长线上时，如图2,请你探究BE、DF与EF之间的数量

关

系，并证明你的结论：r

【拓展延伸】如图3,已知A8=AZ)上B+上。=1800E在线段BC上，尸在线段C。上，±E4F=1±/iAD,

请’’

你直接写出BE、。“与E”之间的数量关系.

【答案】【基本模型】：所=8£+。尸【模型运用】：EF=BE-DF,证明见解析：【拓展延伸】：EF=BE+DF.[

思路点拨】(!)结论：EF=BE+DF.将△〃)尸绕点A顺时针旋转，使与A8重合，得到/，然后求

出上£＞点=±EAF=45O,利用“边再边''证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得E〃二E〃,从而

得解;

(2)结论：EF=BE-DF,证明方法同法(1);

(3)结论：EF=BE+DF.将△A。/绕点A顺时针旋转，使与A3重合，得到MBF1,根据旋转变换的

性质可得△A。尸和~48尸全等，根据全等三角形对应角相等可得上方八/=±J)AF,对应边相等可得人厂=AF,

BF=DF.对应角相等可得上A3/=±Z),再根据上印'=!上网)证明上E4/=IJEAF,并证明E、B、F三点

共线，然后利用“边角边”证明产和全等，根据全等三角形对应边相等可得EU=EF,从而得解.

【规范解答】解：(1)结论：EF=BE+DF.

理由：如图1,将△A。r绕点A顺时针旋转，使与A8重合，得到〜48k,

则：±TAB=iDAF.lABF'=±P=90O,AF=AT,BF=DF.：

上ABF+±ABC=18()0,即：F,8,E三点共线，

,/±£AF=45O,

:±ZMF+±R4£=90O-±jE4F=45O,

+上月A£=45O,

:上力=±/£4F=45O,

在△人£厂和△4EF1中

[AF=A^

(±E4F=

|AE=

：AAEF^AE4F(SAS),

:EF=EF,

义EF=BE+BF,

：EF=BE+DF.

故答案为：EF=BE+DF;

(2)结论：EF=BE-DF.

理由：如图2,将△A。*绕点A顺时针旋转，使与八8重合，得到“8尸，

则：BF=DFA=AF,

,F[J

同法(1)可得：AAENAAEF(SAS),

:EF=EF,

又EF=BE-BF=BE-DF,

：EF=BE-DF.

故答案为：EF=BE-DF;

(3)结论：EF=BE+DF.

理由：如图3,将△AOF绕点A顺时针旋转，使与A8重合，得到dBE,

图3

则ADF^ABF,,

:上BAF,=AiDAF,AF,=AF,BF,=DF,±ABF,=上。，

天:上加F=,

2

:上E4F=上。A尸+上RAE=±BAE+上BAK

:上EAF=上EAF,,

^'1ABC+±J)=18()0,：

±ABF,+±ABE=1800,

:居、8、E三点共线

AF•AF

在AAEF和AAEF,中，/臼f

/£■/£

:zMEF丝△AEE(SAS),

:EF=EF,,

又阳=BE+BF,,

\EF=BE+DF.

【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构

造全等三角形。

[2026届习题7】如图所示，在AABC中，AC=BC,AE=CDtAE±CE于点七,BD±CD于点，AE=1

,40=2,则3E的长是()

【答案】B

【思路点拨】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明RAAEC丝RrCDB,又由A£=7,BD=2,

得出CE=8O=2,AE=CD=7,进而得出答案.

【规范解答】解：VAC=BC,AE=CD,AE±CEtBD_LCD,

:1AEC=±CDB=9(X3,

:RtAgC^RtCDB

又•「AE=7,HD-2,

:CE=BD=2,AE=CD=1,

:DE=CD-CE=7-2=5.

故选B

[2026届习题8】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题:

图2

⑴如图I,点4在直线/上，上BAD=90。,4B=AD,过点B作BC_L/于点C,过点。作。石±/交于点£：.得

上/=上Z).又上8cA二±AED=900,可以推理得到ABC^DAE(AAS).进而得到结论：AC=,BC

=.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；

⑵如图2,/上BAD=±MAN=90o,AB=AD,AM=AN,BM1_l于点C,DE_Ll于点E,ND与直线/交干点P,

求证：NP二DP.

【答案】(1)DE,AE

(2)见解析

【思路点拨】本题考查一线三直角全等问题,

(1)日JjCBA=_tAED=上R4D=90O,得上1+±2=匕+上)=900,则上1=血，而AB=/M,即可证明

ABC^DAE,得AC=DE,BC=AE,于是得到问题的答案；

(2)作NF」_/于点”，因为8Wj_/于点C,DE±l于点E,所以上4cM二±NFA=±NFP=±DEP=9()0,由

(1)得AC=DE,因为±MAN=9()0,所以上C4M+±FAN=±f'NA+±FAN=9()Of则±CAM=±FNA,而

AM=NA,即可证明CAMmFNA,得AC=NF,所以NF=DE,再证明PFNWPED,映NP=DP.

【规范解答】(1))解：BCJ_I于点C,DE_LI于点E,

：.±C^A=A£D=90O,

•・•上MQ=90o,

:上+上=上+4=900,

:j=JD,

在AABC和ADAE中，

LtJ=±P

｛上8cA二±AED,

\AB=DA

：,ABC^DAE(AAS),：.

AC=DE,BC=AE,

故答案为：DE,AE

(2)证明：如图2,作NFJ_/于点/，

•・♦BM_Ll于点C,DE_Ll于点E,

：._b\CM=±NFA=±Nb'P=上DEP=9()0

由⑴得ALOE,

同理(1)得AC=NF,

NF=DE,

在APFN和APE。中，

[±MFP=±J)EF

{±/«P?V=±J£PD

|MA=DE

PFN^PED(AAS),

NP=DP.

[2026届习题9】如图①，在△ABC中，，上BAC=90。，直线是过A点的任意一条直线，BD_LPQ于

图①图②

(1)求证：△ABO三AC4E.

(2)猜想B。，DE,CE三条线段之间的数量关系.(不写证明)

(3)在图②中，将图①中的直线绕点A逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部(不与A8,4C重合)时，

上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形.

【答案】(1)见解析

(2)DE=BD+CE

(3)图见解析，DE=BD-CE敢DE=CE-BD,理由见解析

【思路点拨】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法

有：SSS、SAS、SSA、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边

的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

(1)利用AAS判定ABD且CAE;

(2)根据全等三角形的对应边相等可以求得30=AE,AD=CE,进而即可得到结论：

(3)与(1)证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则。E=8D-CE或

DE=CE-BD,即可作答.

【规范解答】⑴证明：一BD±PQ于点，CE±PQ于点E,上BC4=900,

：±BDA=上4EC=90O,上狈+上MD=90O,±MZ)+±MC=9(0,

:上。BA=±£4C.

在和AC4E中

ZDfl^«ZE4C

IABmCA

：ABD9CAE(AAS).

(2)解：DE=BD+CE.理由如下：

由(I)知，ABDCAE,则=AD=CE

：.DE=AD+AE=CE+DB

:.DE=BD+CE；

(3)解：结论：DE=BD-CE义DE=CE-BD.

理由：设与BC的交点为M,

当M离C点近时，结论为OE=BD-CE:

当M离8点近时，结论为OE=CE-BD(注：当M为BC中点时，，E两点重合，线段OE不存在)

.当初离C点近时，如图：

p

D

0V

同(1)可证明ABDgCAE(AAS)

：BD=AE,AD=CE.

DE=AE-AD,

：DE=BD-CE.

当M离，点近时，如图：

同理，得DE=CE-BD.

【2026届习题10】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.

图1图2图3

⑴如图1.已知：在”8C中，±^AC=9()0,,直线/经过点S,BD_L鱼纹I,CE_L直线/,垂足分别

为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)组员小明对图2进行了探究，若上8AC=90O,，直线/经过点A.BDJ_鱼纹I,C£_L直线/,垂足分

别为点。、E.他发现线段。E、BD、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE、BD、CE之

间的投量关系，

(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图3,过的边八8、AC向外作正方形八8。石和正方形ACFG(正方形的4条边都相等，4个角都是直角)，

AH是BC边上的高,延长"A交EG于点/,若BH=3,C"=7,求4/的长.

【答案】(1)见解析

Q)DE=BD-CE

(3)/1/=5

【思路/拨】(1)根据5。_/直线/,CEj_直线/,上WC=90O,可得上G1E=上记。，利用AAS可证明ADI^CEA,根据

DE=AE+AD即可得到OE=RD+CE;

(2)同(1)利用AAS可证明ADB^