解三角形-高考二轮数学专项复习

微专题2解三角形

［考情分析］解三角形主要考查•是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角

形相结合考杳求解最值、范围等问题，综合性较强，中等难度.

考点一正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在中，&（火为△48C的外接圆半径）.

sinAsinBsmC'

2.余弦定理：在△48C中,a2=b2+c2-2hccosA,/r=t724-c2-2f7ccosc2=6f2+h2-2^/?cosC.

3.三角形的面积公式：S=|tzbsinC=It/csinB=；bcsinA.

例1（1）（2024♦河南省九师联盟模拟）在△力BC中，角力，B,C的对边分别为。，b,c,若言=1-

，。=3,b=2y/2,则sin8的值为（）

si,n/；1：+二sinB

23

答案D

解析由看I就*弦定理，

量N备，可得〃+。2-心姐

由余弦定理得COS/，2+：丁；,

2bc2

又0<.4<n,

所以，4甘又a=3,b=2\f2,

由°1

sinB'

ze•Dbsin/1限

（2）（2024・广州模拟）在△48C中，角4,B,C的对边分别为mb,c,若。=3,b=2,N8WC的平分线

AD的长为竿，则8c边上的中线AH的长等于（）

.4V7n4收

A—B—

C呼D.竽

答案A

解析由题意知，ISZBAD=ZCAD=a,则N81C=2a,如图所示，

由SzjscuS/x/iso+Sjc。可得|x3x2sin2«=1x3x

整理得3sin2a=2V6sina,

即sin«(3cosa-V6)=0,

又因为sin今0,所以cosa=告,

所以cos2«=2cos2«-l=1,

由力〃是3C边上的中线,

得而日（荏+前），

俞=1（而+尼）2

大丽2+律+2万.硝

=^b2-c2+2bccos2a）

T4(i+|

=4f22+32+2x3x|'

4\

中4+9+4)#.

所以中线力〃等.

［规律方法］（1）三角形边角转化的主要策略

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.

②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.

（2）解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识（相似三角形的边角关系、平行四边形的性

质等）与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.

跟踪演练1（1）（2024・广州统考）在△力8C中，角力，B,C所对的边分别为。，b,c,若容粤，则^

A8C的形状是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案c

解析在△48C中，由警普及正弦定理，

Clanc

2,sinb

得:黑一整,而sinCO,sin40,

cosC

整理得sinBcos8=sinCeosC,即sin2B=sin2C,而0<8<兀，0<C<7t,

则0<28<2兀,Q<2C<2n,

因止匕26=2。或2B+2C=兀，

即8=C或8+Cq,

所以△48。是等腰三角形或直角三角形.

（2）（2024・杭州模拟）若P为等边△,48。内一点，NBPC=9。。,ZJPC=150°,则tanNP。等于（）

A"B咚

23

C.yD.2-V3

答案C

解析设△力8。的边长为2.

如图，设NPO=a,在RtZ\P8C中，PC=^Ccos(60°-a)=2sin(«+30°)z

在△上“中，由正弦定理得缶噎沅，

an2_2sin(tt+300)

即sinlSO。1皿30。一07

化为cosa=3V3sina,所以tana=y.

考点二正弦定理、余弦定理的综合应用

例2在△力8C中，角A,B,C所对的边分别记为。，b,c,tanJ(cosC+sin2?)=cosZ?-sinC.

(1)证明:C+2若;

(2)若a=2,求b+c的取值范围.

⑴证明因为tan"(cosC+sinB)=cosB-sinC,

所以£^(cosC+sin8)=cos8-sinC,

即sincosC+sin力sinB=cosAcosB-cosJsinC,

即sin/cosC+cosJsinC=cos/Icos8-sinAsinB,

所以sin(4+C)=cos(Z+8),

即sin8=sin(,+4+B),

又40(0,7i),8£(0,7i),

所以B亨4+4或B+^-A+B=n,

艮|］力呷舍)或

所以,4+283.

⑵解由⑴得力+28』

因为，

s.n/1sinBsinC

gr-piK_asin8_2sinB_2sinB_2sin8

sin/lsin.sin(]-2B)cos2H

_asinJ2sinC_2sin((+8)2cos8

sin/ls\nAsin怎一28)cos20'

m.ih2(sin8+co$B)_2(sinB+cosB)_2_或

“cos2Bcos2B-sin25cosF-sinficos(8+^)

0<BVIT,

°<A28<(得0Vg,

OV^+BVTT,

所^^1合日，

所以0<cos(8+；)<亨，

所以b+c的取值范围为(2,4-00).

［规律方法］解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略

(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将4+6与帅相互转化求最值或范围.

(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围.

跟踪演练2(2024・南充模拟)在①2csin8cos4=〃(sinAcos8+cos4sinB)；②sir^B+sirPC+cDS?4-

l=sinM+Z?)sin(J+C)；叫等tin力这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解答

CSIHDV3

问题.

在△48C中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

⑴求4

(2)若△18C的面积为1675,。为力。的中点，求8。的最小值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)若①：2csinAcos4=Z)(sin/cosB+cosJsinA),

由正弦定理可得2sinCsin8cos4=sin8sin(片+8)=sin8sinC,

又C£(0,兀)，8£(0,兀)，故sin。#),sinBRO,

Acos又力丘(0,Tt),故月

4J

若选择②Isin25+sin2C+cos2z4-l=sin(n+8)sin(4+C),

则sEB+sine-sirPQsin(4+8)sin(/+C)=sinCsinB,由正弦定理可得从+。-岸=姐

X+c2-

故cosA=

-2bc2

又46(0,7t),故

J

若选择③：心瓢/,

由正弦定理可得A,

再由余弦定理得cos4=^sinA,BPtanA=y/3,

V3

•・・4£(0,7i),

出5沙废*戾由4=168，又力三，/.ch=64,

2

在△R4Q中，由余弦定理得协会下+力^^%心郎公^+值)-2居cos^

=c2-^-cb22Jc2--cZ)=1cZ>=32,

当且仅当片|=4企时取等号，

・・・8。的最小值为4V2.

考点三解三角形的实际应用

解三角形应用题的常考类型

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解

够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程

(组)得出所要求的解.

例3(1)(2024•临沂模拟)在同一立面上有相距14千米的力，8两座炮台，力在B的正东方向.某次演习

时，/向西偏北。方向发射炮弹，B则向东偏北。方向发射炮弹，其中〃为锐角，观测回报两炮弹皆命中

18千米外的同一目标，接着力改向向西偏北?方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M,则〃炮台与

弹着点M的距离为()

A.7千米B.8千米

C.9千米D.10千米

答案D

解析结合题意作出图形,AC=BC=18,AB=\4,NCBA=NCAB=O,4MAB=^,

在△/小。中，由余弦定理得

182+142-1827

cos0=-

2x18x1418

rr\,01Icos。2500八

因为COS^-=_-_=—目cos->0

22362rf

所以cos汽,

/O

在必中，由余弦定理得

e5142+182-MF2

cos-="=------------解得"8=10.

262x14x18

（2）（2024・南京模拟）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树

根部。在同一水平面的木，两点，在/点测得红豆树根部。在北偏西60。的方向上，沿正西方向步行

40米到4处，测得树根部C在北偏西15。的方向上，树梢。的仰角为30。，则红豆树的高度为（）

A.10石米B.20V5米

C.半米D.半米

答案D

解析依题意可得如图图形，

在△RBC中，Z^C=90°-60°=30°,ZACB=75o-30°=45°,48=40,

由正弦定理得

sm30°si二n450

解得3C=^=20V2,

在RtZ\6C。中，NC8ZA30。，

所以CD=BQan30。=20企x鲁乎，

所以红豆树的高度为半米.

［规律方法］解三角彩实际问题的步骏

跟踪演练3(1)如图所示，在坡度一定的山坡力处测得山顶上一建筑物CO的顶端C对于山坡的斜度

为15。向山顶前进100m到达8处，又测得C对于山坡的斜度为45。，若C〃=50m,山坡对于地平

面的坡度为0,则cos3.

答案V3-1

解析在中，』力。9-45。-15。-30。,

由正弦定理知

出”ABsin^BAC100x^£

故叽…一~—

=50（遥-&）,

在△血中,s焉二之叱

故^<'sinmcSl,

2

即sin（夕+90。）=旧-1,BPcos/>V3-1.

(2)(2024•黄冈模拟)“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.

李时珍是湖北省新春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著

《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的靳春县独山修建了一座雕像，如图

所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点4B,C,分别测得雕像顶的仰角

为60。45°,30。，且力米，则雕像高为米.

B

答案20.1

解析如图所示，设雕像的高为尸0=儿

因为地面上选取共线的三点4B,C,分别测得雕像顶的仰角为60。，45。，30。,

则。=当?，OB=h,OC=y/3ht其中08为△O4C的中线，

在△0/8中,由余弓玄定理得OA^OB^AB^OBABcosZOBA,

在△08C中，由余弦定理得OC^OBZ+BgOBBCcosgNOB外,

两式相加，可得

2

即(f/i)+(y/3h)2=2h2+2AB2,

解得人多8邛x陪20.1(米).

专题强化练

（分值：90分）

素养提升

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2024・赣州模拟）在△力SC中，AB=V7,AC=2,C=\20°f贝ijsin月等于（）

A夕^21

A•五nB—

「5bp.3V2T

Cq?D-

答案B

解析•:ABiHIAC=2,C=120°,

・•・由余弦定理力中:^^+力。2-28cxecos。可得5（^+2503=0,

解得BC=1或8c=-3（舍去），

・•・由正弦定理可得sin4-力AH丁弋14.

2.在A/?。中，角4,8,C的对边分别为a,b,c,若ad=2asin],则△力8c的形状是（）

A.等腰三角形或直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

答案B

解析〃・/）=2asin2^=2sx1一；°式

=a-acosC,

故b=acosC,

由正弦定理得sinB=sinAcosC,

其中sin5=sin（J+C）=sin4cosC+cosJsinC,

BPsinJcosC+cos力sinC=sinAcosC,

故cos/sinC=0,

因为C£（0,兀），所以sinCM,故cos4=0,

因为,4£（0,兀），所以4、，

所以△48C的形状为直角三角形.

3.（2024・西安模拟）在△力8c中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,且△44。的面积S=g二

则sinC等于（）

V3n6

AA-TB-

C尊D.半

答案c

解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,

所以b2+c2-a2=2bccosA,

贝！1S~b+c~a~^ccosA.

63

又因为S=^/）csinA,即%csin/l=1/）ccosA,

所以3sinJ=2cosA,显然cosJ>0,又sin2J+cos2J=1,所以cos力=~^（负值舍去）.

所以S=[?c,

v13

又因为T篇所以.c%,

所

所以sinC=^-.

4.（2024・赤峰模拟）为了测量被誉为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式，测量

人员从山脚开始，直到到达山顶.分段测量过程中，已知竖立在8点处的测量觇标高20米，攀登者们在力

处测得到觇标底点8和顶点C的仰角分别为45。，75°,则46的高度差约为（）

A.7.32米B.7.07米

C.27.32米D.30米

答案A

解析根据题意画出如图的模型，则8C=20,ZOAB=45°,/OAC=75°,

所以/C48=30。，ZJC5=15°,

在△/AC中，由正弦定理可得二%R

可得,/4__"sinC_20xsinl5°

""s\n^.CABsin30°

20xs:n(450-30°)

20x

修善±1。限］0g

2

所以在RtAAOB中，BO=ABsin45』（1076-10&）与1073-10432（米）.

5.（2024•全国甲卷）在△45C中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,若吟ic,则sinX+sinC

等于（）

2

A^39

A-

C旦D.萼

J2

答案C

解析因为g,b^ac,

则由正弦定理得sin/sinC=isin2i?=1.

由余弦定理可得,

lr=cr^（r-2accosB=a2+c2-ac=^ac,

4

即«24-C2=^t7C,

4

根据正弦定理得

sin2J+sin2C=YsinAsinC=y1,

222

所以（sinJ+sinQ=sin/l+sinC+2sin/sinC=^t

因为。为三角形内角，贝！|si"+sinC>0,

贝！］sinJ+sinC=y.

6.（2024•聊城模拟）如图，在平面四必形力8CQ中，AB=AD=2,Z5=2ZZ>120°,记^力^。与A/CO的面积

分别为S,S2，则S2-$的值为（

A.2

C.1

答案B

解析在△月8c中,由余弦定理得cos8g粽C,即产窑螫,

①

在△4CZ）中，由余弦定理得

AD2+CD2-AC2

cosD=

2ADCD

14+CD2-AC2

即・24CD

得。加-力卜二2。。-明②

又Sij4BBCsin120。48c

S2=^ADCDsin60°=yCD,

所以Sz-S罟CD-坊（:当CD-BC）,

44乙

由②-①，得CO-BC^CD+BC）,由CZH6C0,得CO-8c=2,代入③得$2-5=VI

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2024•兰州模拟）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化

完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗秆高度的方案有（）

A.在水平地面上任意寻找两点4B,分别测量旗杆顶端的仰角明成，再测量43两点间距离

B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端

的仰角。和“

C.在地面上任意寻找一点4测量旗杆顶端的仰角a,再测量力到旗杆底部的距离

D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5m到达8处，再次测量旗杆顶端的仰角夕

答案BCD

解析对于A,如果48两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确;

S1

对于B,如图1,在△力"。中，由正弦定理求力。，则旗杆的高C7>/?+4Osin”，故B正确;

对于C,如图2,在Rt△力。C中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高OCWCtan处故C正确;

A

对于D,如图3,在△48。中，由正弦定理求4。，则旗杆的高C£>=4）sina,故D正确.

8.（2024•郑州模拟）已知△法0的内角4B，C所对的边分别为。，b,c,若外2vL且则下

列结论正确的是（）

A.ZX4?。的三边小b,c一定构成等差数列

B.Z\/8C的三边小b,c一定构成等比数列

面积的最大值为2V3

D.ZX/6C周长的最大值为6V2

答案BC

解析在△/8C中，由1

sinBtan/1tanC

彳导sin8(tanA+tanC)=tanJtanC.

cn\i.r,/sin-4,sinC\sin/1sinC

所以sin8(--4---)=~--

\cosAcosc/cosAcost

所以sin8(sin/cosC+cos/IsinQ=sinJsinC,

所以sinj?sin(J+C)=sin4sinC.

又4+8+。=兀，所以sin(^+Q=sinB,

所以sin25=sinJsinC.

由正弦定理得即〃，b,c成等比数列.

取4=2,片4适合题意，但此时三边a,伉c不构成等差数列，A错误，B正确；

由bfc及余弦定理得cos8---a之竽竺当当且仅当时取等号).

2acZac2

因为0<4<兀，所以0<83，

所以0<sin8s当

又6=2或，所以ac=〃=8,

所以△力8c的面积S=^acsin8W*8x今28，C正确；

由b2=a2+c2-2accosB及ac=b2=S,

可得g=(a+c)2-2ac-2accosB,

即8=(a+c?)2-16-16cosB,

所以(I+C)2=24+16COSB.

因为OvBWg,

所以32W(〃+c)2=24+16cos8<40,4或q+c<2VlU,

所以6V2^t?+/7+c<2V10+2V2,D错误.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2024•安徽省皖北五校联盟联考)在锐角△力6C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,sin^=y,c=3,

而前则屋___________.

•=3,s/inS:+scinc

答案粤

解析因为△/BC为锐角三角形，sin力邛，所以力=60。，

^ABAC=cbcosA=3,彳导b=2,

由余弦定理可得标=〃+/.2ACOS*=7,即听夕，由正弦定理可得盛鼎嗫地筲.

T

IO.(2Q24・六安模拟)在△48c中，内角力，B,C的对边分别为。，h,c,且bsin等=sinC,若c=7,。是

边力B的中点，且CD_LC8,则CD的长为.

答案写

解析在△48C中，由4卜8+。=兀，

7可TT<得BSi-n—4+8=si-»—n-C=cos-C,

44乙

因为gsin"；"=sinC,

故V5cos^=2si埠os,,

Cn

因为0＜。＜兀，贝Uo＜：

22

所以cos^/0,

.c久

Ksnv=v，

所^1=^,则

因为D是边AB的中点，所以S&AM=S+CD,

又NHC8号，CDVCB,

所以/。。三

O

t^bCDsir^=^aCD,故b=2a.

ZoZ

由余弦定理得十"-2血cos§="十〃十皿=7标,

故。=五%因为c=7,所以a=V7,/产2位.

在RtZ\6C。中，BD~*芸,

BC=a=\f7,

所以CDZBD?-8c2*一7考,即C,。的长为日.

四、解答题（共28分）

11.（13分）（2024・新课标全国I）记△NBC的内角力，B,C的对边分别为。，b,c,已知sinC=&cos8,

次十乒/二夜必

（1）求4（5分）

（2）若A"。的面积为3+V3,求c.（8分）

解⑴由余弦定理有a2+b2-c2=2abcosC,

因为a2+b2-c2=y/2ab,

所以COSC=y,

因为CW(0,71),所以sinCO,

2

从而sinC=V1—cos2C=

2

又因为sinC=V2cosB,

即cos8=1，

又B£(0,7i),所以8、.

(2)由(1)可得cosC=y,C£(0,TT),

从而。除sinJ=sin(MC)=sinQ+

V3V2,1y[2V6+V2

22224,

方法一由正弦定理有上T

sin三sin-

从而b=^-y/2c=^c,

由三角形面积公式可知,

△/18C的面积可表示为SAjz?c=^Z?c-sinA

1V6几+在3+V32

k/4——

由已知△力8。的面积为3+V3,

可得警一=3+百，所以c=2&.

O

方法二记〃为△/8C外接圆的半径,

由正弦定理得

Sy/?L、bsinC=2/?2sinJsinBsinC

r'/6+V2V3y/2

=2R-十三三

丹包/?2=3+8.

4

所以R=2.

所以c=2/?sinC=2x2x^=2V2.

12.(15分)(2024•济南模拟)如图，已知平面四边形力BCO中，AB=BC=2y/2,CD=2,力力=4.若4B,C,D

四点共圆.

(1)求彳。；(6分)

(2)求四边形ABCD面积的最大值.(9分)

解⑴在△/8C中，由余弦定理得

=8+8-2x8xcosZABC=16-16cosZABC,

在△月CO中，由余弦定理得A^Ab^+CD^lADCDcosAADC

=16+4-2x8xcosN4£)C=20-16cosNADC,

因为，4,B,C,。四点共圆，所以N/8C+N4)C=7i,

因此cos/40C=-cosN48C,

上述两式相加得2，G=36,所以月C=3近(负值已舍去).

(2)由(1)得16-16cosZABC=20-\6cosZADC,

化简得cosZADC-cosZABC=^,

4

贝！Jcos2//!Oa2cosN/QCcosN/l8C+cos2N/18cE，①

16

四边形ABCD的面积S=^ABBCs\n^ABC^ADCDs\n^ADC

=4x2^x2V2sinZJ5C-4x2x4sinZJDC

Lt乙

=4(sinN/OC+sinN/18C),

整理得sin//OC+sinN48CE，

4

则sin2ZJ£)C+2sinZADCsinZABC+sin2ZABC=^,②

16

ii<72

①②相加得2-2(cosZADCcosZABC-s\nZADCsinZABQ=--,

16

i4,C2

即2-2cos(ZADC+ZABO=^-,

由于0<N力OC<冗，0<ZABC<n,

当且仅当N力。。+//8(；=成寸，85[/彳"。+//"。)取彳导最〃\值-1,

此时四边形48CZ)的面积最大，由专14,解得5=3位，

10

故四边形ABCD面积的最大值为3斤.

ID思维创新

每小题5分，共10分

13.(2024•昆明模拟)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某

小行星”绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在瓦位置时，测出N

SEoM丹、行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了B位置，测出NSBM弯，/石上及三.若